12-第六章用有限元法解平面问题课件.pptx

1、弹性力学主讲：童中华弹性力学简明教程第四版徐芝纶作业概况缺作业：土111孙震(缺第4次) , 土111沈恩鑫(1,2) , 土111张松鹤张松鹤(1,2,3,4?);土112陈建军(4), 土112张文博(4), 土112 周子明(1,2,4); 113杨俊平(4),土114 李杰(1,2,4) ,土114刘洋(4),土114王宁(4),土114翁世强(4),土114韦林辉(4); 土115 杨帅(1,4) 土115 张建(1), 土115张洋(4);缺第缺第5次作业或无效：土次作业或无效：土111 张松鹤张松鹤,土土112 陈建军陈建军, 土土112 葛帅帅葛帅帅,土土112 黄燕黄燕,土土

2、112 张文博张文博,土土114 李杰李杰,土土114 刘洋刘洋,土土114 任乾顺任乾顺,土土114 王王宁宁,土土114 翁世强翁世强 土土115 陈彪陈彪,土土115 程昀程昀,土土115 黄健黄健,土土115 黄亮黄亮,土土115 夏伟胜夏伟胜,土土115 杨帅杨帅,土土115 张建张建,土土115 张洋张洋得A：土112夏娟,土112夏文静,土113高伟利,土113刘剑珲,土113 申文静,土113高智,土114孙丹丹 ,土114左嫚嫚,土115罗微微,土115吴琦【习题4-1】试考察应力函数能解决图示弹性体的何种受力问题。（必做题，带学号）2sin1MMqMaM M aaxyo习题

3、图 4-1习题4-1作业点评M N图中其中M为学号末位数+3，N=Mod(M,2)+1，即N为M对2取余再加1，如学号末位数为9，则得M=12,N=1。解：（1）将应力函数代入相容方程，得22222222222222222211sin111sin10MMMMMMqqqMMaMaM MaqM MMMMaM M 满足aaxyo习题图 4-1习题4-1作业点评2sin1MMqMaM M （2）求解应力分量，得2222222222221sinsi111coss1ncoMMMMMMMMqMaqqMaqMMaaM =aaxyo习题4-1作业点评2sin1MMqMaM M 习题图 4-1（3）求边界上的面力

4、，得aaxyo 221:sin0,cos1:,0,MMNMNMNMMMfM Nfqaa=a=af = =-qcof = =-qsinMsM ,=边界上的面力分布如右图所示。习题4-1作业点评-qcosM-qsinM2Ma qq2222sin,cosMMMMqMaqMa=-=-M N习题图 4-1qq-q（3）求边界上的面力，得aaxyo 222:sin1,cos0:2,0,MM NM NMNqaMMMfM Nfa=a=af = =-f = =-qsinMqc s,oM=边界上的面力分布如右图所示。习题4-1作业点评q2222sin,cosMMMMqMaqMa=-=-M N习题图 4-12Ma

5、q-qsinM-qcosM5+ 5+ 上一讲回顾上一讲回顾弹性体总的形变势能为【位移变分方程位移变分方程】在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。)225( d)(dd)(svfufyxvfufUyxsAyx【位移变分法位移变分法】)265(), 2 , 1(ddddddmsvfyxvfBUsufyxufAUsmyAmymsmxAmxm)165(dd)(21212222AyxyuxvyvxuyvxuEU第六章 用有限单元法解平面问题6+ 有限元法及软件介绍有限元法及软件介绍6-1 基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示6-2 有限单元法的概念有限

6、单元法的概念6-3 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性6+ 6+ 有限元法及软件介绍有限元法及软件介绍弹性力学问题的解法弹性力学问题的解法解析方法解析方法：无穷小单元满足平衡微分方程、相容方程，边界上满足应力和位移边界条件。问题转化成定义在连续体上的偏微分方程问题。有限元法有限元法：有限大单元满足平衡方程、临近单元位移连续，边界上满足应力和位移边界条件。问题转化成定义在有限多个单元上的代数方程问题。有限元法是将连续体离散化，用有限大单元取代微分体，有限元法是将连续体离散化，用有限大单元取代微分体，将问题转化为适合数值解法的结构型问题的求解方法。在将问题转化为适合数值解法的

7、结构型问题的求解方法。在固体力学、流体力学、传热学等领域皆有广泛的应用。固体力学、流体力学、传热学等领域皆有广泛的应用。(a) 桁 架(b) 深 梁 （ 连 续 体 ）6+ 6+ 有限元法及软件介绍有限元法及软件介绍u结力研究对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图a）。u有限元法研究对象是连续体（待离散化）（图b）。结构力学结构和有限元法结构的比较结构力学结构和有限元法结构的比较u将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构（图c）：将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用铰连结起来，构成所谓离散化结构离散化结构。(c) 深

8、梁 （ 离 散 化 结 构 ）图（c）与 图（a）相比：两者都是离散化结构；区别是：(a)的单元是杆件杆件，(c)的单元是三角形三角形块体块体（内部仍是连续体）。6+ 6+ 有限元法及软件介绍有限元法及软件介绍6+ 6+ 有限元法及软件介绍有限元法及软件介绍有限元法基本思路（按位移求解）有限元法基本思路（按位移求解）1. 1. 将连续体划分成离散化的单元结构体；将连续体划分成离散化的单元结构体；2. 2. 设结点位移为基本未知量，按弹性力学方法对单元进设结点位移为基本未知量，按弹性力学方法对单元进行力学分析，将所有物理量和方程用结点位移表示；行力学分析，将所有物理量和方程用结点位移表示；3.

9、3. 列结点的平衡方程，将单元装配成整体，得到整体结列结点的平衡方程，将单元装配成整体，得到整体结构所要满足的平衡方程，未知量为结点位移；构所要满足的平衡方程，未知量为结点位移；4. 4. 求解所有结点的位移，计算待求物理量，如关键点的求解所有结点的位移，计算待求物理量，如关键点的应力，区域平均应力水平，结构变形图等。应力，区域平均应力水平，结构变形图等。（1）具有通用性和灵活性。（2）对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行计算。（3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。6+ 6+ 有限元法及软件介绍有限元法及软件介绍有限元法有限元法( (F Finite inite E

10、Element lement MMethod) ethod) 的特点的特点FEM的两种主要导出方法:结力法和变分法。本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位移求解的方法。采用矩阵表示，可使公式统一、简洁，且便于编制程序。6+ 6+ 有限元法及软件介绍有限元法及软件介绍常见有限元法软件常见有限元法软件【ANSYSANSYS】通用商用软件，适用范围广，前后处理模块完备，人机交互友好，容易上手，参考书多如牛毛参考书多如牛毛。提供参数化设计语言（ANSYS Parameter Design Language)，可以通过脚本语言编程实现ANSYS常规操作，包括输入、输出及设计优化等功能。向所有领域工作者推荐

11、。向所有领域工作者推荐。1.结构静力分析2.结构动力学分析3.结构非线性分析4.动力学分析5.热分析6.电磁场分析7.流体动力学分析8.声场分析9.压电分析 缺陷：土木材料的缺陷：土木材料的本构关系少。本构关系少。软件主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块，后处理模块。6+ 6+ 有限元法及软件介绍有限元法及软件介绍【MSC.MarcMSC.Marc】既可以像ANSYS那样实体建模，也可以采用扩展法建模；具有极强的结构分析能力和非线性计算能力。（1）几乎每种单元都具有处理大变形几何非线性,材料非线性和边界条件非线性以及组合的高度非线性的超强能力。（2）MARC的结构分析材料库提供了模拟金属

12、、非金属、聚合物、岩土、复合材料等多种线性和非线复杂材料行为的材料模型。（3）收敛速度快，大概比ANSYS快56倍；计算土和水的功能很强，提供了土的摩尔库仑模型（线性和非线性）、修正邓肯张模型和修正剑桥模型；计算混凝土的功能不够强；摩擦分析能力不强；参考书较少参考书较少。向土木专业推荐向土木专业推荐6+ 6+ 有限元法及软件介绍有限元法及软件介绍【ADINAADINA】建模方便；非线性计算能力强，收敛速度和marc差不多；没有前后处理，但有源代码，适合二次开发。计算土和水的功能不如Marc；计算混凝土的功能比Marc强；摩擦分析效果比Marc好。参考书较少参考书较少。 向搞向搞FEMFEM软件

13、开发工作者推荐软件开发工作者推荐【ABAQUSABAQUS】被广泛地认为是功能最强的有限元软件，可以分析复杂的固体力学结构力学系统，特别是能够驾驭非常庞大复杂的问题和模拟高度非线性问题。ABAQUS不但可以做单一零件的力学和多物理场的分析，同时还可以做系统级的分析和研究。参考书较少参考书较少。 向资深向资深FEMFEM工作者推荐工作者推荐6-1 6-1 基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示u体力u面力u应力u应变u位移()Txyfff()Tuvd()Txyxy()Txyxy()Txyfffxyxyuxvyuvyx几何方程00(66)xuvyyx 6-1 6-1 基本量及基本方程

14、的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示物理方程其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是(68)D21010(69)11002ED6-1 6-1 基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示()( )(6 15)TTAdxdy*F 图6-1yxoij*,iiyvF*,iixuFjjyvF ,*,jjxuF),(),(*jjiijyjxiyixvuvuFFFFF虚功方程：外力在虚位移上的虚功等于应力在虚应变上的虚功有限元中将各种外力以作用于结点上的等效集中力代替，用结点的平衡方程代替平衡微分方程。结点上的集中力和相应的虚位移可表示为板的厚度取单位长度16-2 6-2 有限单元法的概念有限单元法的

15、概念三角形单元：三角板或三棱柱三角形单元：三角板或三棱柱imjxyoiixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixFivmvjviumuju大多在顶点设置结点，一个单元有3个结点。有时在三边的中点设置结点，成为六结点三角形单元。结点一般都作铰结。单元上受到的体力和面力都按静力等效移置到结点上，成为结点载荷。将单元受力移置到结点上。将单元受力移置到结点上。单元为三角形的连续体，在结点处受到结点力作用，发单元为三角形的连续体，在结点处受到结点力作用，发生变形，在结点处产生结点位移。生变形，在结点处产生结点位移。6-2 6-2 有限单元法的概念有限单元法的概念按位移求解三角形单元的步骤按位移求解三

16、角形单元的步骤1. 1. 取三角形单元的取三角形单元的结点位移结点位移为基本未知量，即为基本未知量，即Teiijjmmuvuvuv e e称为单元的称为单元的结点位移列阵结点位移列阵。2. 2. 应用插值公式，由结点位移求出单元的位移函数应用插值公式，由结点位移求出单元的位移函数( , )( , )eu x yv x ydN插值公式表示单元中的位移分布形式，称为插值公式表示单元中的位移分布形式，称为位移模式。位移模式。形函数矩阵形函数矩阵6-2 6-2 有限单元法的概念有限单元法的概念3. 3. 应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变eB4.

17、4. 应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力e = D = DB = S5.5.应用虚功方程，由单元的应力求出单元的结点力应用虚功方程，由单元的应力求出单元的结点力T( eeijmFFFFk应力转换矩阵应力转换矩阵单元劲度矩阵单元劲度矩阵应变转换矩阵应变转换矩阵6-2 6-2 有限单元法的概念有限单元法的概念6. 6. 应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，化为化为结点荷载结点荷载，求出单元的结点荷载为，求出单元的结点荷载为(TLixLiyLjxLjyLmxLmyFFFFFFeLF7a.7a.

18、结点对单元的作用力为结点对单元的作用力为 以坐标正向以坐标正向为正，则单元对结点的反作用力为为正，则单元对结点的反作用力为装配三角形单元装配三角形单元（列结点平衡方程）（列结点平衡方程）(TiixiyFFF(TiixiyFF F7b.7b. 各结点受单元作用力和单元移置而来的结点荷载，各结点受单元作用力和单元移置而来的结点荷载，结点平衡方程为结点平衡方程为,(1,2, )iniLieeFF6-2 6-2 有限单元法的概念有限单元法的概念结点平衡方程的分量形式结点平衡方程的分量形式,(1,2, )( )ixLixiyLiyeeeeF =FF =Fini其中其中 表示对所有环绕表示对所有环绕 i

19、i 结点的单元求和。结点的单元求和。e式式(i)(i)右边为已知的结点荷载，左边为结点力，可由结点右边为已知的结点荷载，左边为结点力，可由结点位移表示，因此可得求解整体结点位移的矩阵方程位移表示，因此可得求解整体结点位移的矩阵方程( )LjKF整体劲度矩阵整体劲度矩阵整体结点位移列阵整体结点位移列阵整体结点荷载列阵整体结点荷载列阵6-3 6-3 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性Teiijjmmu v uvuv6-3单元的位移模式与解答的收敛性6-4单元的应变列阵和应力列阵6-5单元的结点力列阵与劲度矩阵6-6荷载向结点移置、单元的结点荷载列阵6-7结构的整体分析、结点平

20、衡方程( , )( , )Teu x yv x ydNeBeST( eeijmFFFFk(TLixLiyLjxLjyLmxLmyFFFFFFeLF, (1,2, )iniLieeFF有限元分析详细步骤有限元分析详细步骤6-3 6-3 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性每个单元仍然作为一个连续的、均匀的、各向同性的弹性体，相邻单元有公共结点和公共边。解题首要问题：单元的结点位移位移函数。假定位移模式，表示单元中的位移函数。u假定位移分量是坐标的线性函数，三角形单元的位移模式，可取为u插值公式(a)在三个结点上应等于结点的位移值，由此可求出6个待定系数16 123456,(

21、)uxyvxya6-3 6-3 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性1231111,1,1111iiiiiijjjjjjmmmmiiijjjmmmmmuuuuuuuuxyxyyxDxyDxyDyDxxyyxuxy123111iiijjjmmmuxyxyuxyu123123,DDDDDD456111iiijjjmmmvxyxyvxyv456456,DDDDDD123456,( )uxyvxya,(6 16)i ijjm mi ijjm muNuN uN uvNvN vN v( , )iiiP x y( ,)jjjP x y( ,)mmmP x y( , )P x y用插值公式

22、表示结点的位移，得6-3 6-3 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性11111,( , )12211iijjijjmmmmxyxyAxyA x yxyxyxy,(6 16)i ijjm mi ijjm muNuN uN uvNvN vN v( , )( , ), ,iiA x yN x yii j mA( ,)iiiP x y(,)jjjP xy(,)mmmP xy( , )P x yNNi i是是i i点点(x(xi i ,y,yi i) )函数值对函数值对(x,y)(x,y)点函数值的贡献加权。点函数值的贡献加权。计算面积计算面积A A及及A Ai i时以顶点按逆时针

23、排列得到的面积为正。时以顶点按逆时针排列得到的面积为正。NNi i, N, Nj j, N, Nmm称为称为形形( (态态) )函数函数，也称为，也称为面积坐标面积坐标。6-3 6-3 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性形函数形函数NNi i(x,y)(x,y)的分布规律的分布规律位移函数位移函数u u (x,y)(x,y)的分布规律的分布规律位移函数位移函数v v (x,y)(x,y)的分布规律的分布规律11111,( , )12211iijjijjmmmmxyxyAxyA x yxyxyxy( , )( , ), ,iiA x yN x yii j mA2iiiabx

24、c yA,mmjjiyxyxa ,11miiyyb11iimxcx6-3 6-3 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性,(6 16)i ijjm mi ijjm muNuN uN uvNvN vN v( , ), ,iiA x yN x yi j mA位移分量用矩阵表示为位移分量用矩阵表示为000(623)000iiijmjijmjmmuvNNNuuNNNvvuv edN形函数矩阵形函数矩阵6-3 6-3 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性u当单元很小时，单元中的位移和应变都趋近于常量刚体位移和常量应变，因此位移模式必须必须能反映单元的刚体位移。位移主

25、要来自于其他单元连动，受本单元形变影响较小。位移模式必须必须能反映单元的常量应变。单元内应变变化较小，主要部分为常量应变。位移模式应尽可能应尽可能反映位移的连续性。相邻单元在公共结点和公共边上的位移应保持一致。位移模式必须反映弹性体的真实位移形态位移模式必须反映弹性体的真实位移形态是有限元法在单元尺寸逐步取小时收敛的充分必要条件。是有限元法在单元尺寸逐步取小时收敛的充分必要条件。6-3 6-3 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性位移模式中的位移模式中的6 6个参数反映了个参数反映了3 3个刚体位移和个刚体位移和3 3个常量应变。个常量应变。123456,uxyvxy535

26、3125353462222uxyyvyxx代入几何方程（代入几何方程（2-82-8）得）得00(2 9)u uyv vx与作比较0104532uv 2635,xyxy00,22xyxyxyuuxyyvvyxx因此，因此，6-3 6-3 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性jinmxyo单元内的位移取值是经过三结点位移的平面，单元内的位移取值是经过三结点位移的平面，边上位移取值为两端结点的连线，相邻单元边上位移取值为两端结点的连线，相邻单元在公共边上位移取值必然相同（两端结点相在公共边上位移取值必然相同（两端结点相同），因此位移模式反映了相邻单元之间的同），因此位移模式反映了

27、相邻单元之间的位移在公共边上连续。位移在公共边上连续。6+ 6+ 小结小结有限元法是将连续体离散化，用有限大单元取代微分体，有限元法是将连续体离散化，用有限大单元取代微分体，将问题转化为适合数值解法的结构型问题的求解方法。将问题转化为适合数值解法的结构型问题的求解方法。常用有限元软件：常用有限元软件：ANSYSANSYS，MSC.MarcMSC.Marc，ADINAADINA， ABAQUS ABAQUS有限元分析的步骤有限元分析的步骤取取结点位移结点位移为基本未知量，求为基本未知量，求位移函数位移函数应变应变应力应力，求求结点力结点力，荷载荷载向结点移置，装配单元，进行向结点移置，装配单元，进行整体分析整体分析。,(6 16)i ijjm mi ijjm muNuN uN uvNvN vN v( , )( , ), ,iiA x yN x yi j mANNi i, N, Nj j, N, Nmm称为称为形形( (态态) )函数。函数。