广东汕头市2022届高三数学二模数学试卷及答案.docx

1、2022年汕头市普通高考第二次模拟考试试题数 学第卷 选择题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合则（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（是虚数单位），则的值为（ ）A. B. C. D. 3. 设为等差数列的前项和，则A. -6B. -4C. -2D. 24. 函数的图象可能是A. B. C. D. 5. 二项式展开式中，有理项共有（ ）项A. 3B. 4C. 5D. 76. 已知椭圆C的左、右焦点分别为，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 7. 若

2、，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t取值范围是（ ）A B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知a，b，c满足cab，且ac0B. c（b-a）0C. D. 10. 如图所示，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（ ）A. 相关系数r变大B. 残差平方和变大C. 相关指数R2变小D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强11. 设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C.

3、 D. 12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（ ）A 直线平面B. 三棱锥的体积为定值C. 异面直线AP与所成角的取值范围是D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为第卷 非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中，14题第一空2分，第二空3分13. 中国古代数学名草周髀算经曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为，我们把a，b，c叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是_.14. 在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则=_.15. 如图从双曲线（其中）的左焦

4、点F引圆的切线，切点为T，延长，交双曲线右支于P，若M为线段的中点，O为原点，则的值为（用表示）_16. 若，则的取值范围为_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知个正数排成n行n列，表示第i行第j列数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为q已知，（1）求公比q；（2）记第n行的数所成的等差数列的公差为，把，所构成的数列记作数列，求数列的前n项和18. 袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等（）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（）用表示取出的3个小球上所标的最大

5、数字，求随机变量的分布列和数学期望19. 已知钝角ABC内接于单位圆，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，（1）证明：；（2）若，求ABC面积20. 如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角的大小为30，且（1）求t的值；（2）对于平面ACD内的动点P总有平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得平面BEC的理由21. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆与抛物线交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P（1）求证

6、：点P的纵坐标为定值；（2）若F是抛物线C的焦点，证明：22. 已知函数，其中是自然对数底（1）求的极小值；（2）当时，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，且，求证：2022年汕头市普通高考第二次模拟考试试题数 学第卷 选择题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，B，再求其交集【详解】解：因为，所以，因为所以.所以.故选：C.2. 已知复数z满足（是虚数单位），则的值为（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】C【解析】【分析】利用

7、复数的除法化简复数，利用复数乘方的周期性可求得结果.【详解】由已知可得，因此，.故选：C.3. 设为等差数列的前项和，则A. -6B. -4C. -2D. 2【3题答案】【答案】A【解析】【详解】由已知得解得故选A考点：等差数列的通项公式和前项和公式4. 函数的图象可能是A. B. C. D. 【4题答案】【答案】A【解析】【详解】试题分析：因为，所以为奇函数，故排除B、D；当时，故排除C，故选A考点：1、函数图象；2、函数的奇偶性5. 二项式展开式中，有理项共有（ ）项A. 3B. 4C. 5D. 7【5题答案】【答案】D【解析】【分析】求出展开式通项，令的指数部分为整数即可得结果.【详解】

8、二项式展开式中，通项为，其中，的取值只需满足，则，即有理项共有7项，故选：D.6. 已知椭圆C的左、右焦点分别为，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】设正三角形的边长为，设椭圆的标准方程为：，设左、右焦点分别为，设，则有，由椭圆的定义可知：，解得：，在中，由余弦定理可知：，故选：B7. 若，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.【详解

9、】由已知可得.故选：A.8. 已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】D【解析】【分析】设切点，求得切线方程，根据切线过点，得到，再根据存在3条直线与曲线相切，则方程有三个不同根，利用导数法求解.【详解】解：设切点，因为，则，所以切线方程为，因为切线过点，所以，即，令，则，令，得或，当或时，当时，所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，因为存在3条直线与曲线相切，所以方程有三个不同根，则，故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

10、选错的得0分9. 已知a，b，c满足cab，且ac0B. c（b-a）0C. D. 【9题答案】【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性质求解.【详解】解：因为a，b，c满足cab，且ac0，所以，所以ac（a-c）0 ，c（b-a）0，故选：BCD10. 如图所示，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（ ）A. 相关系数r变大B. 残差平方和变大C. 相关指数R2变小D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强【10题答案】【答案】AD【解析】【分析】由散点图知，去掉离群点D后，x与y的相关性变强，且为正相关，由此判断即可【详解】由散点图知，去掉离群点D后，x与y的

11、相关性变强，且为正相关，所以相关系数r的值变大，相关指数R2的值变大，残差平方和变小故选：AD11. 设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【11题答案】【答案】ACD【解析】【分析】设，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案【详解】解：设，则，所以，即，所以，所以，故D正确；由，所以，故A正确，B错误；因为，又，所以，即，故C正确；故选：ACD12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（ ）A. 直线平面B. 三棱锥的体积为定值C. 异面直线AP与所成角的取值范围是D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为【12题答

12、案】【答案】AB【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量夹角公式、三棱锥的体积性质逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设，设，即.A：，因为，所以，而平面，所以直线平面，因此本选项结论正确；B：侧面的对角线交点为，所以，而平面，平面，所以，而平面，所以平面，为定值，因此本选项结论正确；C：，设异面直线AP与所成角为，则有，当时，；当时，因为，所以，因此，即，所以，综上所述：，所以本选项结论不正确；D：设平面的法向量为，所以有，直线与平面所成角的正弦值为：因为，所以当时，有最小值，最小值为，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值

13、为，因此本选项结论不正确，故选：AB第卷 非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中，14题第一空2分，第二空3分13. 中国古代数学名草周髀算经曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为，我们把a，b，c叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是_.【13题答案】【答案】【解析】【分析】观察、找出勾股数的规律:以上各组数均满足;最小的数 是奇数,并且每组勾股数中最小的数依次放在一起是连续的奇数,其余的两个数是连续的正整数;最小奇数的平方等于另两个连续整数的和,即可得出结论.【详

14、解】观察、先找出勾股数的规律:以上各组数均满足;最小的数是奇数,并且每组勾股数中最小的数依次放在一起是连续的奇数,其余的两个数是连续的正整数;最小奇数的平方等于另两个连续整数的和,如由以上特点我们可知第组勾股数:,故答案为:14. 在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则=_.【14题答案】【答案】【解析】【详解】试题分析：因为，所以为的中点即，考点：向量线性运算与数量积的几何运算.15. 如图从双曲线（其中）的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长，交双曲线右支于P，若M为线段的中点，O为原点，则的值为（用表示）_【15题答案】【答案】【解析】【分析】设是双曲线的右焦点，连接由、分别为、的

15、中点，知由双曲线定义，知，进而可得答案.【详解】由图可知点在第一象限设是双曲线的右焦点，连接、分别为、的中点，又由双曲线定义得，故故答案为：16. 若，则的取值范围为_.【16题答案】【答案】【解析】【详解】题设不等式等价于.设，所以，所以是上的增函数，所以，.故.由，知的取值范围是.故答案为四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知个正数排成n行n列，表示第i行第j列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为q已知，（1）求公比q；（2）记第n行的数所成的等差数列的公差为，把，所构成的数列记作数列，求数列的前n项和【17题答案

16、】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用每一行中的数依次都成等差数列可求，再根据每一列中的数依次都成等比数列，结合条件 ，求得答案;（2）先求出，表示出，再根据第四列等比数列求得，从而根据第n行等差数列可得，求得，可求得答案.【小问1详解】由题意知，成等差数列，其公差为，又，成等比数列，且，公比，由于 ，故 ；【小问2详解】由，可得 ，而，故 ，故 ；又 ，故 ，由于 为等差数列，公差为，故 ，即，故 .18. 袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等（）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（）用表示取出的3个小球上所标的最大数

17、字，求随机变量的分布列和数学期望【19题答案】【答案】（1）（2）【解析】【详解】（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则 （II）由题意所有可能的取值为：，. ；所以随机变量的分布列为1234随机变量的均值为19. 已知钝角ABC内接于单位圆，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，（1）证明：；（2）若，求ABC的面积【20题答案】【答案】（1）证明过程见解析； （2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式分类讨论进行证明即可；（2）根据（1）的结论，结合三角形面积公式、单位圆的性质、正弦定理进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理，由，因为，所以，

18、所以由，由，因为ABC是钝角三角形，所以，或，当时， ，所以有，这与ABC是钝角三角形相矛盾，故不成立，当时，所以有，显然此时B为钝角，所以ABC是钝角三角形，符合题意；【小问2详解】由，由（1）可知：，所以，因为B为钝角，所以，所以，因为A为锐角，所以，所以，因为钝角ABC内接于单位圆，所以由正弦定理可知：，因此ABC的面积为.20. 如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角的大小为30，且（1）求t的值；（2）对于平面ACD内的动点P总有平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得平面BEC的理由【

19、22题答案】【答案】（1）； （2）P的轨迹为过靠近的三等分点及中点的直线，理由见解析【解析】【分析】（1）建立空间坐标系，易得面的一个法向量为，用表示出面的法向量，通过二面角的大小为30建立方程，解方程即可；（2）取中点，中点，连接，证明面平面BEC，结合面，即可求出P轨迹.【小问1详解】易知面，以所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系，则，易知面的一个法向量为，设面的法向量为，则，令，则，可得，解得或3，又点E在弦AD上，故.【小问2详解】P的轨迹为过靠近的三等分点及中点的直线，证明如下：取靠近的三等分点即中点，中点，连接，由为中点，易知，又面，面，所以平面BEC，又，面，面，所以平面BEC

20、，又，所以面平面BEC，即和所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC，又面，故P的轨迹即为所在直线，即过靠近的三等分点及中点的直线.21. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆与抛物线交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P（1）求证：点P的纵坐标为定值；（2）若F是抛物线C的焦点，证明：【24题答案】【答案】（1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析.【解析】【分析】（1）根据圆和抛物线的对称性，结合导数的几何意义进行求解证明即可.（2）转化为证明向量分别与向量的夹角相等,应用向量夹角余弦公式，即可证明

21、结论.【小问1详解】由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)，代入抛物线方程可得2p=1，所以抛物线的方程为x2=y，设A，B，所以，所以直线AB的方程为，即，因为直线AB过点C(0，2)，所以，所以因为，所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，直线PA的方程为，即，同理直线PB的方程为，联立两直线方程，可得P由可知点P的纵坐标为定值-2.【小问2详解】，注意到两角都在内，可知要证， 即证，所以，又，所以，同理式得证.22. 已知函数，其中是自然对数底（1）求的极小值；（2）当时，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，且，求证：【26题答案】【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解

22、析】【分析】（1）求得函数导数，分和两种情况讨论，结合导数的符号，求得函数的单调性，结合极值的定义，即可求解；（2）根据题意，把，设，转化为利用导数证明，再设，证得，即可证得.【小问1详解】解：由题意，函数，可得，当时，令，函数在上单调递增，无极小值；当时，令，即，解得，当时，此时函数上单调递减；当时，此时函数上单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值.【小问2详解】证明：因为，所以，所以，因为函数有两个不同的零点，且，所以，所以，所以，因为，设，可得，因为，所以在单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，再考虑，因为，所以，设，则，令，则，所以在上为单调递减函数，所以，即恒成立，进而，综上可得，.