（人教2019版）选择性必修第二册第5章 导数单元测试（培优版）（含解析）.docx

1、第五章：一元函数的导数及其应用同步单元必刷卷（培优版）(时间：120分钟满分：150分)1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1（2020全国高二课时练习）函数在上可导,且,则A0B1C-1D不确定2（2021全国高二课时练习）设a为实数，函数f(x)x3ax2(a3)x的导函数为f(x)，且f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为()A9xy160B9xy160C6xy120D6xy1203（2021黑龙江牡丹江市第三高级中学高三月考（文）函数的部分图像大致为（ ）ABCD4（2020全国高二课时练习）已知且，则函数（ ）A有极大值，无极小值B有极

2、小值，无极大值C既有极大值，又有极小值D既无极大值，又无极小值5（2022全国高三专题练习（文）已知函数，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD6（2020全国高二）已知函数，若成立，则的最小值为ABCD7（2020湖南双峰县第一中学高二开学考试）已知函数，若，则a的取值范围是（ ）ABCD8（2020浙江宁波市北仑中学高二期中）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）ABCD2、 多项选择题(大题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9（2021全国高二课时练习）定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列

3、结论正确的是（ ） A函数在区间单调递增B函数在区间单调递减C函数在处取得极大值D函数在处取得极小值10（2022全国高三专题练习）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件有（ ）ABCD11（2022全国高三专题练习）已知为函数的导函数，若，则下列结论正确的是（ ）A在上单调递增B在上单调递减C在上有极大值D在上有极小值12（2021全国高二单元测试）关于函数，下列说法正确的是（ ）A函数的极小值为B函数有且只有个零点C存在负实数，使得恒成立D对任意两个正实数、，且，若，则三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13（2021全国高二单元测试）若函数的单调递增区间是，则实数的取值

4、范围是_.14（2020全国高二课时练习）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是_15（2019全国全国高二课时练习）已知，若，使得成立，则实数a的取值范围是_16（2021全国高二课时练习）在单调递增，则的范围是_四、解答题(本大题共6小题，共70分)17（2020全国高二单元测试）设函数，已知它们在处有相同的切线.（1）求函数，的解析式；（2）求函数在上的最小值.18（2019吉林扶余市第一中学高二期中（文）已知函数（1）若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值；（2）若，对恒成立，求的取值范围19（2021全国高二单元测试）设函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，记的最小值为，证明：.2

5、0（2021甘肃兰州一中高二期中（理）已知函数.（1）当时，求函数的极值点；（2）记，若对任意都有成立，求实数的取值范围.21（2020全国高二课时练习）已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.22（2021宁夏大学附属中学高二月考（理）设函数（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m的取值范围21第五章：一元函数的导数及其应用同步单元必刷卷（培优版）全解全析1C【分析】求出代入求出，进而求出，即可求解.【详解】，得，.故选:C【点睛】本

6、题考查函数的导数以及简单的运用，属于基础题.2A【详解】由题意可得f(x)3x22axa3是偶函数，则a0，所以f(x)x33x，f(x)3x23，则f(2)2，f(2)9，则所求切线方程为y29(x2)，即为9xy160，故选A.点睛：若多项式函数为偶函数，则只含x的偶次项与常数项，不含奇次项；若多项式函数为奇函数，则只含x的奇次项，不含偶次项与非零常数项3A【分析】根据奇偶性的定义，结合函数极限以及利用导数求得函数单调性，即可判断和选择.【详解】容易得定义域为关于原点对称，又，故函数是偶函数，的图象关于轴对称，故排除B，又，故排除D.当时，令 ，解得；故当时，单调递减，在单调递增.此时故排

7、除C.故选：.【点睛】本题考查函数图象的辨识，涉及函数奇偶性、单调性的判断，属综合基础题.4C【分析】先求导数，再求导函数零点，根据零点分析导数符号，进而确定极值.【详解】,又在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点，设为，因为则，所以导函数有两个不同零点，因此函数既有极大值，又有极小值，选C.【点睛】导数极值点的讨论层次：一是有无，即没有零点，就没有极值点（导数存在情形下）；二是在与不在，不在定义区间的零点也不是极值点；三是是否变号，导函数不变号的零点也不是极值点.5B【分析】至少存在一个，使得成立，即在上有解，满足即可，构造函数，求导判断出单调性，代入最值可得实数的范围【详解】由题意知至少存

8、在一个，使得成立，即在上有解，满足即可，设，在上恒为增函数，故选：B.6A【分析】根据得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论【详解】设，则，令，所以，又在增函数，且，当时，当时，所以在上递减，在上递增所以，即的最小值为故选A.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，有一定的难度7D【分析】作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.【详解】由题意可作出函数的图像，和函数的图像. 由图像可知：函数

9、的图像是过原点的直线，当直线介于与轴之间符合题意，直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为，求其导数可得，因为，故，故直线的斜率为，故只需直线的斜率.故选：D【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.8D【分析】设，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.9ABD【

10、分析】根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项.【详解】根据导函数图像可知，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选项错误.故选：ABD【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题10AC【分析】根据题意得出，令，然后根据在上不单调得出函数与轴在上有交点，最后分为、两种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】，若在上不单调，令，则函数与轴在上有交点，当时，显然不成立；当时，则，解得或，结合选项易知在上不单调的一个充分不必要条件是，故选：AC.11BD【分析】首先根据题意设，得到，再求出的单调性和

11、极值即可得到答案.【详解】由，可知，则，即，设.由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得极小值.故选：BD.12ABD【分析】利用导数求函数的极值可判断A选项的正误；利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可判断B选项的正误；分析函数的单调性，可判断C选项的正误；构造函数，利用函数和的单调性可判断D选项的正误.【详解】对于A，函数的定义域是，且，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故A正确；对于B，令，则，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，故，故函数在上单调递减，又，故函数有且只有个零点，故B正确；对于C，设，若时，记，由二次函数的基本性质可知

12、，当时，即函数在上单调递减，当时，因此，不存在实数，使得恒成立，C选项错误；对于D：设，结合A选项可知，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递减，则，所以，即，因为函数在上单调递增，所以，因此，D选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.13【分析】求导，为二次函数，结合单调递增区间是，即得解【详解】，令，得，由函数的单调递增区间是

13、，得导函数的图象是开口向上的抛物线，所以.故答案为：14【分析】由函数的解析式，得出，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】因为，所以不妨设当时，当时，根据，可知，所以，所以，故，所以记，则，当时，所以在上单调递减，当时，所以在上单调递增，所以，又当时，所以的值域是所以的取值范围是故答案为：【点睛】方法总结：解答此类问题，首项根据分段函数的解析式明确自变量的取值范围，找到、的关系进而构造函数，利用导数解决函数的值域，从而得到取值范围15【分析】将题设中，使得成立可转化为，进而求出参数.【详解】，则可知在单调递增，在单调递减.故.在单调递减，在单调递增.故.，使得成立，则，所以.

14、【点睛】本题解题的关键是将存在性问题转化为最值问题求解. 常见的存在性问题有：（1）有解，则.（2）有解，则.16【分析】由求导公式和法则求出，由题意可得在区间上恒成立，设，从而转化为，结合变量的范围，以及取值范围，可求得其最大值，从而求得结果.【详解】，则，因为函数在上单调增，可得在上恒成立，即，令，则，所以，因为在上是增函数，所以其最大值为，所以实数的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上是增函数，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有导数与单调性的关系，恒成立问题向最值问题转换，注意同角的正余弦的和与积的关系.17（1），；（2）答案见解析.【分析】（1）利用且，然后求解

15、出的值，则可得到与的解析式；（2）求导，讨论在上的单调性，然后确定取得最小值的点及最小值.【详解】解：（1）函数，可得，由题意，两函数在处有相同的切线.，又，.（2），由得，由得，在单调递增，在单调递减，当时，在单调递减，单调递增，的最小值为；当时，在单调递增，的最小值为.综上可得，当时，的最小值为；当时，的最小值为.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数分析函数的单调性及最值，难度一般.导数与最值问题解答时要注意分类讨论，分析清楚原函数的单调性是关键.18（1）；（2）【分析】（1）对求导，解方程组求出，即可（2）将代入，利用参变分离可以将问题转化为在 恒成立，求出的最小值，令即可【详

16、解】（1），由，得，（2）因为，等价于，令，当时，所以在上单调递减，当时，所以在上单调递增，所以，所以.【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题19（1）见解析；（2）见解析.【详解】试题分析：（1）函数的定义域为，对函数求导得，对实数分分两种情况讨论，得出单调性；（2）由（1）知， ，所以单调递减，又，所以存在，使得，当时，单调递增；当时，单调递减；所以，再证明出试题解析（1）的定义域为， ，当时，在上单调递增；当时，当，单调递减；当，单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知， ，即.解法一： ，单调递减，又，所以

17、存在，使得，当时，单调递增；当时，单调递减； ，又，即， ，令，则在上单调递增，又，所以，.解法二：要证，即证，即证：，令，则只需证， ，当时，单调递减；当时，单调递增；所以 ，所以，即.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论思想，解答时要认真审题，仔细作答，注意导数的应用20（1）的极小值点为；无极大值点；（2）.【分析】（1）求出，再求出的零点，结合导数的符号可得函数的极值点；（2）令，求出，就和讨论的最值的符号后可得实数的取值范围.【详解】（1），定义域为，令，得，列表讨论如下：0递减极小值递增的极小值点为；无极大值点.（2）由题得，对任意，恒有，令，则，其中，.

18、当时，恒有，所以（不恒为零），函数单调递增，成立；当时，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；为函数的最小值，又，所以不成立.综上所述，.【点睛】本题考查函数的极值、不等式的恒成立，前者利用导数的符号，后者可转化为函数的最值，本题属于中档题.21（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；（2）先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.【详解】（1）函数的定义域为，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时，而，显然当，函数有零点，而函

19、数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；当时，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点综上所述，函数的定义域内有2个零点；（2）因为是的一个零点，所以，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.设曲线的切点为，过切点为切线，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，当切线的斜率等于直线的斜率时，即，切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.【点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.22（1）在单调递减，在单调递增；（2）.【详解】（）若，则当时，；当时，若，则当时，；当时，所以，在单调递减，在单调递增（）由（）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值所以对于任意，的充要条件是：即，设函数，则当时，；当时，故在单调递减，在单调递增又，故当时，当时，即式成立当时，由的单调性，即；当时，即综上，的取值范围是