回归分析概述-课件.ppt

1、第第1章章 回归分析概述回归分析概述.1、两个变量的关系、两个变量的关系不相关不相关相关相关关系关系函数关系函数关系因果关系因果关系共变关系共变关系问题：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？问题：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？相关关系：相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值变量的取值带有一定随机性带有一定随机性的两个变量之间的关系。的两个变量之间的关系。互为因果关系互为因果关系.1 .1 变量间的函数关系与统计关系函数关系：确定性依存关系函数关系：确定性依存关系商品的销售额与销售量之间的关系y = px圆的面积与半径之间的关系S= R

2、2 原材料消耗额与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系y = x1 x2 x3 .1 .1-2 变量间的函数关系与统计关系.1 .1-3 变量间的函数关系与统计关系相关关系：不确定（随机性）依存关系相关关系：不确定（随机性）依存关系子女身高 (y)与父亲身高(x)之间的关系收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系.1 .1-4 变量间的函数关系与统计关系.1 .1-5 变量间的函数关系与统计关系 确

3、定性的函数关系函数关系 Y=f (X) 不确定性的统计关系相关关系相关关系 Y= f（X）+ (为随机变量) 没有关系 变量间关系的图形描述： 坐标图(散点图) .1 .1-6 相关关系的类型 从涉及的变量数量变量数量看 简单相关 多重相关（复相关） 从变量相关关系的表现形式表现形式看 线性线性相关散布图接近一条直线(左图) 非线性非线性相关散布图接近一条曲线(右图). 从变量相关关系变化的方向方向看正相关正相关变量同方向变化 A 同增同减 (A)(A)负相关负相关变量反方向变化 一增一减 (B) B 从变量相关的程度看 完全相关 (B) 不完全相关 (A) C 不相关 (C) 1 .1-7

4、相关关系的类型.1.2 相关分析与回归分析回归的古典意义古典意义： 高尔顿遗传学的回归概念高尔顿遗传学的回归概念 父母身高与子女身高的关系父母身高与子女身高的关系: : 无论高个子或低个子的子女无论高个子或低个子的子女 都有向人的平均身高回归的都有向人的平均身高回归的 趋势趋势.1.2-2 回归的现代意义一个因变量对若干解释变量依存关系的研究回归的目的目的（实质）（实质）： 由固定的自变量去估计因变量的平均值由固定的自变量去估计因变量的平均值估计因变量估计因变量平均值平均值. 1.2-3 相关分析与回归分析的联系共同的研究对象：都是对变量间相关关系的分析只有当变量间存在相关关系时，用回归分析去

5、寻求相关的具体数学形式才有实际意义相关分析只表明变量间相关关系的性质和程度，要确定变量间相关的具体数学形式依赖于回归分析 相关分析中相关系数的确定建立在回归分析的基础上.1.2-4 相关分析与回归分析的区别 描述的方式不同 变量的地位不同 描述的内容不同.1 .3 回归分析的主要内容及其一般模型况因变量是定性变量的情况自变量含定性变量的情含有定性变量的回归多元非线性回归分段回归一元非线性回归非线性回归偏最小二乘法主成分回归岭回归参数估计方法的改进逐步回归分析方法自变量选择的准则回归变量的选择选择回归函数的形式果判定回归方程拟合的效何对数据进行修正当基本假设不成立时如性归模型基本假设的合理讨论如

6、何从数据推断回回归诊断量的回归多个因变量与多个自变多元线性回归一元线性回归线性回归回归分析一元线性回归多元线性回归一元非线性回归多元非线性回归最常见，应用最广泛的回归模型很多情况下可转化为线性回归问题.1.3-1 一元线性回归涉及一个自变量（X）的回归因变量y与自变量x之间为线性关系因变量与自变量之间的关系用一条线性方程来表示.描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型回归模型一元线性回归模型可表示为 y = 0 + 1 x + y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化误差项 是随机变量反映了除 x 和 y 之间的线性关

7、系之外的随机因素对 y 的影响是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性0 和 1 称为模型的参数1.3-2 一元线性回归模型. 例：例： 全国每年的技术贸易额与很多因素有关，但经过分析，它主要受全国GDP这一因素的影响和制约，于是，我们来寻求二者之间的统计规律，并进行预测。 以x表示自变量-全国GDP数量，以y表示因变量-全国技术贸易额。根据国家统计局公布的数字，将15年的数据列于下表1 .4 建立实际问题回归模型.1.4-2 全国GDP数量和全国技术贸易额数据 .1.4-3 全国GDP数量（x）和全国技术贸易额 （y）对应散点图 根据列表数据，我们可以在直角坐标系中绘出散点图：.1

8、.4-4 设定回归方程 从散点图中，我们假定y与x之间大致呈线性关系，则可用直线方程 y=a+bx 近似地描述散点的分布情况。这条直线称为y对x的回归直线，上式称为回归方程，a、b称为回归系数。.1.4-5 确定回归系数 回归系数a、b的确定可以采用最小二乘法。 最小二乘法是测量工作和科学实验中最常用的一种数据处理方法，其基本原理是，根据实验观测得到的自变量x和因变量y之间的一组对应关系，找出一个给定类型的函数y=f(x)，使得它所取的 与观测值 在某种尺度下最接近，即在各点处的偏差的平方和达到最小。)(),.,(),(21nxfxfxfnyyy,.,21.最小二乘估计最小niiiniiixy

9、yy121012)()(使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得到最小来求得 和和 的方法。即的方法。即用最小二乘法拟合的直线来代表用最小二乘法拟合的直线来代表x与与y之间之间的关系的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小与实际数据的误差比其他任何直线都小01.xy10.1.4-5 确定回归系数 在此例子中，基于已有数据，应用最小二乘法的相关公式即可求得回归系数a,b。 得到回归直线的方程为：xy0073.08587.69.1.4-6 相关性检验 对于若干组具体数据 都可算出回归系数a,b，从而得到回归方程。至于y与x之间是否真有如回归模

10、型所描述的关系，或者说用所得的回归模型去拟合实际数据是否有足够好的近似，并没有得到判明。因此，必须对回归模型描述实际数据的近似程度，也即对所得的回归模型的可信程度进行检验，称为相关性检验。),(iiyx.1.4-6 相关性检验 我们可用回归平方和占总偏差平方和的比重的大小来检验回归模型与实际变量之间的近似程度。据此，相关系数可表示为: 当r越接近于1时，表示y与x的关系越接近于线性；当r=1时，回归直线通过每一个数据点，这种情况称为完全线性相关；r越接近于0，y与x的关系与线性关系相差就越远，甚至根本不能用所得到的回归方程来描述，当r=0时，称完全无线性相关。22)()(1yyyyriii.1

11、.4-6 相关性检验 在前例中，用上述公式得到 r=0.9471 现f=n-2=13; 若取 ，查表可得相应的相关系数临界值 ，显然有 ，相关性检验通过。所以，可用前面求得的直线回归方程 来描述技术贸易额与全国GDP之间的关系，其置信度为95%。05. 05139. 0rrr xy0073.08587.69. 除了前面所述的相关性检验，在我们接受某一模型之前，还需对它进行回归方程的显著性检验，回归系数的显著性检验，随机误差项的序列相关检验，异方差性检验，解释变量的多重共线性检验等一系列统计检验。 我们将下以后的课程中一一详述，在此略过。1.4-7 模型的其他检验.1.4-8 预测及其置信区间

12、对应于本例，若按照现有的增长速度7%（2002年全国GDP为102398亿元），到2010年时我国的GDP将达到175938.8284亿元，则据此可以预测2010年全国技术贸易额将为：亿元）(4947.12148284.1759380073. 08587.690y.1.4-8 预测及其置信区间 在置信度为在置信度为95%的情况下的情况下2010年全国技术贸易年全国技术贸易额的预测区间为（额的预测区间为（983.6105,1445.3789）亿元）亿元 由于回归方程是由数理统计得出的，它反映的是实际数据的统计规律，所以，根据回归方程所得的预测值 y0 只是对应于 x0 的单点预测估计值，预测值应

13、该有一个置信区间。.教学情境设计教学情境设计问题一：问题一：结合例结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且得出线性回归模型及随机误差。并且区分函数区分函数 模型和回归模型。模型和回归模型。问题二：问题二：在线性回归模型中，在线性回归模型中，e是用是用bx+a预报真实值预报真实值y的随机误差，的随机误差， 它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？问题三：问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？问题四：问题四：结合例结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？思考：用回归方

14、程预报体重时应注意什么？问题五：问题五：归纳建立回归模型的基本步骤。归纳建立回归模型的基本步骤。问题六：问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）.例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学

15、生的体重。的女大学生的体重。问题一：结合例问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且得出线性回归模型及随机误差。并且区区分函数模型和回归模型。分函数模型和回归模型。解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：.2.回归方程：回归方程：172.85849. 0 xy学学身身 高高 1 17 72 2c cm m女女 大大生生 体体 重重y y = = 0 0. .8 84 49 91 17 72 2 - - 8 85 5. .7 71 12 2 = = 6 60 0. .3 31 16 6( (k kg g) )探究：身高为172c

16、m的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：用这个回归方程不能给出每个身高为答：用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的估计值。只能给出她们平均体重的估计值。.由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近，所由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近，所以身高和体重的关系可以用以身高和体重的关系可以用线性回归模型线性回归模型来表示：来表示：其中其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差称为随机误差.eabxy.函数模型与函数模型与“回归模型回归模型”的

17、关系的关系函数模型：因变量函数模型：因变量y完全由自变量完全由自变量x确定确定回归模型：回归模型： 预报变量预报变量y完全由解释变量完全由解释变量x和随机误差和随机误差e确定确定.注：注：e 产生的主要原因：产生的主要原因： (1)所用确定性函数不恰当；所用确定性函数不恰当； (2)忽略了某些因素的影响；忽略了某些因素的影响； (3)观测误差。观测误差。思考思考:产生随机误差项产生随机误差项e的原因的原因是什么？是什么？.问题二：问题二：在线性回归模型中，在线性回归模型中，e是用是用bx+a预报真实值预报真实值y的随机误差，的随机误差， 它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？它是一个

18、不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？,1,2,. ,1,2,.iiiiiiiiybxa ineyyybxa ine1122nniii残差：一般的对于样本点（x ,y）,(x ,y ),.,(x ,y ),它们的随机误差为e其估计值为称为相应于点(x ,y )的残差。 结合例结合例1除了身高影响体重外的其他因素是不可测量的，不能希望有某种方法获除了身高影响体重外的其他因素是不可测量的，不能希望有某种方法获取随机误差的值以提高预报变量的估计精度，但却可以估计预报变量观测值中所包取随机误差的值以提高预报变量的估计精度，但却可以估计预报变量观测值中所包含的随机误差，这对我们查找样本数据中的错误和模

19、型的评价极为有用，因此在此含的随机误差，这对我们查找样本数据中的错误和模型的评价极为有用，因此在此我们引入残差概念。我们引入残差概念。e=y-(bx+a).eyy 随机误差随机误差eyy e的估计量的估计量样本点：样本点：1122(,),(,), . ,(,)nnxyxyxy相应的随机误差为：相应的随机误差为：,1,2,.,iiiiieyyybxa in 随机误差的估计值为：随机误差的估计值为：,1,2,.,iiiiieyyybxa in ie称为相应于点称为相应于点 的的残差残差.(,)iixy22111( , )(2)22niieQ a bnnn 的估计量的估计量2 为为( , )Q a

20、b称为称为残差平方和残差平方和.问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？(1)我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。iiieybxa（1）计算（i=1,2,.n）残差分析（2）画残差图（1）查找异常样本数据（3）分析残差图（2）残差点分布在以O为中心的水平带状区域，并沿水平方向散点的分布规律相同。.残差图的制作和作用：残差图的制作和作用：制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选

21、择. . 横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系， 常常用于调查数据错误用于调查数据错误. . 横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用于研究模型是否有改进的余地于研究模型是否有改进的余地. .作用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图中的点应作用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域该分布在以横轴为中心的带形区域. .下面表格列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。下面表格列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数

22、据。编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382.残差图的制作及作用。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点说明：几点说明：

23、 第一个样本点和第第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。状

24、区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。.误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性，误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性，都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差越大则表示测量越不准确。误差分为两类：系统误差与越大则表示测量越不准确。误差分为两类：系统误差与随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量方案可以避免系统误差。随机误差与观测者，测量工具，

25、量方案可以避免系统误差。随机误差与观测者，测量工具，被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免。 残差残差与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。残差越大表示预测越不准确。残差与数据本身的分布特性，残差越大表示预测越不准确。残差与数据本身的分布特性，回归方程的选择有关。回归方程的选择有关。.显然，显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。表示解析变

26、量对预报变量变化的贡献率。 R2越接近越接近1，表示回归的效果越好（因为，表示回归的效果越好（因为R2越接近越接近1，表示解析变量和预报变量的，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）线性相关性越强）。 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值的值来做出选择，即选取来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。较大的模型作为这组数据的模型。注：相关指数注：相关指数R R2 2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的

27、能力。自变量刻画预报变量的能力。（2）我们可以用相关指数）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy残 差 平 方 和。总 偏 差 平 方 和.相关系数相关系数相关系数的性质相关系数的性质(1)|r|1(1)|r|1(2)|r|(2)|r|越接近于越接近于1 1，相关程度越强；，相关程度越强；|r|r|越接近于越接近于0 0，相关，相关程度越弱程度越弱 注注:b :b 与与 r r 同号同号 问题：达到怎样程度，问题：达到怎样程度，x x、y y线性相关呢？它们的相关程线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？度怎样

28、呢？n ni ii ii i= =1 1n nn n2 22 2i ii ii i= =1 1i i= =1 1( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )r r = =( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )2 2_ _n n1 1i i2 2i i2 2_ _n n1 1i i2 2i in n1 1i i_ _ _i ii iy yn ny yx xn nx xy yx xn ny yx x.n ni ii ii i= =1 1n nn n2 22 2i ii ii i= =1 1i i= =1 1( (x x - - x x) )(

29、(y y - - y y) )( (x x - - x x) ) ( (y y - - y y) )r 相关系数相关系数正相关；负相关正相关；负相关通常：通常：r r-1,-0.75-1,-0.75-负相关很强负相关很强; ; r r0.75,10.75,1正相关很强正相关很强; ; r r-0.75,-0.3-0.75,-0.3-负相关一般负相关一般; ; r r0.3, 0.750.3, 0.75正相关一般正相关一般; ; r r-0.25, 0.25-0.25, 0.25-相关性较弱相关性较弱; ; 对对r r进行显进行显著性检验著性检验 .1354总计0.36128.361残差变量0.

30、64225.639回归变量比例平方和来源 从上中可以看出，解析变量对总效应约贡献了从上中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即，即R2 0.64，可以叙述为，可以叙述为“身高解析了身高解析了64%的体重变化的体重变化”，而随机误，而随机误差贡献了剩余的差贡献了剩余的36%。 所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。下面我们用相关指数分析一下例下面我们用相关指数分析一下例1：预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即变量的变化程度之和，即222

31、111()()()nnniiiiiiiyyyyyy； .问题四：结合例问题四：结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？思考：用回归方程预报体重时应注意什么？1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。2.我们建立的回归方程一般都有时间性。我们建立的回归方程一般都有时间性。3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。精确值。涉及到统计的一些思想：涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型的时间性；模型适用的总体；模型

32、的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。.一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 （如是否存在线性关系等）。（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈

33、线性关系，则选用线性回归方程性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。适等。问题五：归纳建立回归模型的基本步骤问题五：归纳建立回归模型的基本步骤.问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？

34、（分析例（分析例2）例例2 一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y和温度和温度x有关。现收集了有关。现收集了7组观测数据列于表中：组观测数据列于表中：温度温度xoC21232527293235产卵数产卵数y/个个711212466115325（1 1）试建立产卵数）试建立产卵数y y与温度与温度x x之间的回归方程；并预测温度为之间的回归方程；并预测温度为2828o oC C时产卵数目。时产卵数目。（2 2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？ .选变量选变量 解：选取气温为解释变量解：选取气温为解释变量x x，产卵数，产卵

35、数 为预报变量为预报变量y y。画散点图画散点图假设线性回归方程为假设线性回归方程为 ：=bx+a选选 模模 型型分析和预测分析和预测当当x=28时，时，y =19.8728-463.73 93估计参数估计参数由计算器得：线性回归方程为由计算器得：线性回归方程为y=y=19.8719.87x x-463.73-463.73 相关指数相关指数R R2 2= =r r2 20.8640.8642 2=0.7464=0.7464所以，一次函数模型中温度解释了所以，一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。的产卵数变化。0501001502002503003500369121518212427

36、30333639当当x=28时，时，y =19.8728-463.73 93方法一：一元函数模型方法一：一元函数模型. y= c1 x2+c2 变换变换 y= c1 t+c2 非线性关系非线性关系 线性关系线性关系问题问题选用选用y=c1x2+c2 ，还是，还是y=c1x2+cx+c2 ？问题问题3 产卵数产卵数气温气温问题问题2如何求如何求c1、c2？ t=x2方法二，二元函数模型方法二，二元函数模型.平方变换平方变换：令令t=xt=x2 2，产卵数，产卵数y y和温度和温度x x之间二次函数模型之间二次函数模型y=bxy=bx2 2+a+a就转化就转化为产卵数为产卵数y y和温度的平方和温

37、度的平方t t之间线性回归模型之间线性回归模型y=bt+ay=bt+a温度温度21232527293235温度的平方温度的平方t44152962572984110241225产卵数产卵数y/个个711212466115325作散点图，并由计算器得：作散点图，并由计算器得：y y和和t t之间的线性回归方程为之间的线性回归方程为y=y=0.3670.367t t-202.54-202.54，相关指数，相关指数R R2 2= =r r2 20.8960.8962 2=0.802=0.802将将t=xt=x2 2代入线性回归方程得：代入线性回归方程得： y=y=0.3670.367x x2 2 -2

38、02.54 -202.54当当x x=28=28时时，y y=0.367=0.36728282 2- -202.5485202.5485，且，且R R2 2=0.802=0.802，所以，二次函数模型中温度解所以，二次函数模型中温度解释了释了80.2%80.2%的产卵数变化。的产卵数变化。t.产卵数产卵数气温气温 变换变换 y=bx+a 非线性关系非线性关系 线性关系线性关系43c xyc e对数对数方法三：指数函数模型.xccexccecyxc43433lnlnlnlnlnln4abxzzybcac则有令,ln,ln43温度温度x/21232527Z=lny1.9462.3983.4053.

39、178产卵数y/个71121242932354.1904.745 5.78466115325c由计算器得：由计算器得：z关于关于x的线性回归方程的线性回归方程相关指数相关指数 因此因此y关于关于x的非线性回的非线性回归方程为归方程为98. 02R489. 3272. 0 xz当当x=28 时，时，y 44 ，指数回归模型中温度解释了，指数回归模型中温度解释了98%的产卵数的变化的产卵数的变化C489. 3272. 0 xey.函数模型函数模型相关指数相关指数R2线性回归模型线性回归模型0.7464二次函数模型二次函数模型0.802指数函数模型指数函数模型0.98最好的模型是哪个最好的模型是哪个

40、?显然，指数函数模型最好！显然，指数函数模型最好！.(2)20.367202.543yx (1)0.2723.849xye 利用残差计算公式：利用残差计算公式：0.2723.849(1)(1),1,2,7ixiiiieyyyei (2)(2)20.367202.543,1,2,7iiiiieyyyxi 77.968-58.265-40.104-41.000-5.83219.40047.69634.675-13.3819.230-8.9501.875-0.1010.557325115662421117Y35322927252321X(1)ie(2)ie由残差平方和：由残差平方和：21niiQe

41、(1)(2)1550.538,15448.431.QQ 故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好.或由条件或由条件R2分别为分别为0.98和和0.80，同样可得它们的效果，同样可得它们的效果.在散点图中，样本点没有分布在某个带状区域内，因在散点图中，样本点没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈现线性相关关系，所以不能直接利用此两个变量不呈现线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系线性回归方程来建立两个变量之间的关系.令令z=lny，则变换后样本点应该分布在直线，则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a（a=lnc1，b=c2）的周围）的周围.利用线性回归模型建立利用线性回归模型建立y和和x之间的非线性回归方程之间的非线性回归方程.当回归方程不是形如当回归方程不是形如y=bx+a时，我们称之为时，我们称之为非线性回归方非线性回归方程程.根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线数函数曲线 的周围，其中的周围，其中c1和和c2是待定参数是待定参数.xcecy21.回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用探索无止境探索无止境探索无止境探索无止境探索无止境.