双曲线及其标准方程课件.ppt

1、1. 1. 椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) (1)取一取一条拉链，拉开一部分条拉链，拉开一部分(2)在拉开的两边上各选择一点，固定在拉开的两边上各选择一点，固定在在板上的两点板上的两点 F1、F2(3)把把笔尖笔尖放放在点在点M处，随着拉链逐渐

2、拉处，随着拉链逐渐拉开闭拢，画出一条曲线开闭拢，画出一条曲线拉链画双曲线拉链画双曲线平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于常数常数2a(小于小于|F1F2 |)的点的轨迹叫的点的轨迹叫双曲线双曲线定点定点F1、F2叫做双曲线的焦点叫做双曲线的焦点两焦点之间的距离叫做焦距两焦点之间的距离叫做焦距(2c)F2F1M 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0 ；双曲线定义双曲线定义思考：思考：（1）若）若2a=2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？（2）若）若2a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？说明说明（3）

3、若）若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？ | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )两条射线两条射线( (2) )不表示任何轨迹不表示任何轨迹以线段以线段F1F2中点为坐标原点，中点为坐标原点，F1F2所在直线为所在直线为 x 轴，建立轴，建立平面直角坐标系，则平面直角坐标系，则F1(-c,0)，F2(c,0).设设M(x, y)第二步第二步 设点设点第一步第一步 建立直角坐标系建立直角坐标系yxO(-c,0)(x,y)(c,0)F2F1M由定义可得由定义可得 |MF1|- -|MF2|2a 第三步第三步 列式列式第四步第四步 代坐标代坐标第五步第五步 化简化简设设得得22

4、2222b xa ya b即：即：双曲线的双曲线的标准方程标准方程 a2222ccx yxy2 + + + + +（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)c2-a2b222221(0,0)xyabab表示一个焦点在表示一个焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线其焦点坐标为（其焦点坐标为（c,0),(-c,0)，双曲线上每一点到两焦点距离之差的绝对值为双曲线上每一点到两焦点距离之差的绝对值为2a其中：其中：222cab+O(-c,0)(c,0)F2F1Myx(x,y)如果焦点在如果焦点在y轴上，则双曲轴上，则双曲线的标准方程为：线的标准方程为：22221(0,0)yxabab其焦点坐标为其焦点

5、坐标为(0,-c)，(0,c)表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线表示焦点在表示焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线问题问题:对于一个具体的双曲线方程，怎么判对于一个具体的双曲线方程，怎么判断它的焦点在哪条轴上呢？断它的焦点在哪条轴上呢？哪个系数是正的，它对应的字母哪个系数是正的，它对应的字母（x或或y）就是焦点所在轴）就是焦点所在轴xyF1(0,-c)M(x,y)F2(0,c)O22221(0,0)xyabab其中：其中：222cab+222bac+ + | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2

6、|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab+22221(0)yxabab+22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab 已知双曲线的两个焦点坐标分别是已知双曲线的两个焦点坐标分别是(-5,0)，(5,0)，点，点P到到F1,F2距离差的绝对值等于距离差的绝对值等于6，求它，求它 的标准方程的标准方程解：由于双曲线的焦点在解：由于双曲线的焦点在x轴，于是轴，于是设标准方程为设标准方程为221916xy双曲线方程为双曲线方程为:26,210ac由由3,5ac得得只要求出只要求出a、b则可求则

7、可求出双曲线的出双曲线的方程方程22221xyab22534b 所以所以4) 3() 3() 1 (2222+yxyx5) 3() 3() 2(2222+yxyx6)3()3()3(2222+yxyx方程表示的曲线是双曲线方程表示的曲线是双曲线方程表示的曲线是双曲线的右支方程表示的曲线是双曲线的右支 方程表示的曲线是方程表示的曲线是x轴上分别以轴上分别以F1和和F2为端点，为端点，指向指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。轴的负半轴和正半轴的两条射线。练习巩固练习巩固: : 双曲线 上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一焦点F2的距离是 _a=8 判断下列双曲线的焦点位置，判断下列双曲线的

8、焦点位置，并求出焦点坐标和焦距并求出焦点坐标和焦距(2)(2)a=4,b=3,c=5, , 焦点在焦点在y轴，轴，焦点焦点(0(0，-5)-5)、(0(0，5)5)，焦距为，焦距为101022(1)13 66 4xy(1)(1)a=6,b=8,c=10, , 焦点在焦点在x轴，轴， 焦点焦点(-10(-10，0)0)、(10(10，0)0)，焦距为，焦距为2020；2216436xy22|PF1|- -|PF2|= 2a= 16=6- -_2222(2)1169yx 求适合下列条件的双曲线的求适合下列条件的双曲线的标准方程：标准方程：(1)a=4，b=3，焦点在焦点在x轴上；轴上；(2)焦点为

9、焦点为(0,-6)，(0,6)，且经过点，且经过点(2,-5)2211 69xy2222222|20562056|4 52 5412016aabyx+依题意得，c=6，焦点在y轴上（） （）（） （），即，所以双曲线方程为 如果方程如果方程 表示双曲表示双曲线，求线，求m的取值范围的取值范围. .22121xymm+解解: :22121xymm + + +思考：思考：21mm 得得或或(2)(1)0m m+由由2m 已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m, ,在在A A地听到炮弹爆炸声地听到炮弹爆炸声比在比在B B地晚地晚2 2s, ,且声速为且声速为340340m/ /s, ,求

10、炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程. .解解: :如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy, ,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则则340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 使使A、B两点在两点在x轴上，轴上，并且点并且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合44400bca 2 22 22 2答答: :再增设一个观测点再增设一个观测点C，利用，利用B、C

11、（或（或A、C）两处）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置准确位置. .这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用. .如图如图,设点，的坐标分设点，的坐标分别为别为(-5,0)，(5,0)直线直线AM，BM相交于点，且它们的斜率之积是相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程，求点的轨迹方程49xyOABM解：设点的坐标为解：设点的坐标为(x,y) , 因为点的坐标为因为点的坐标为(-5,0) ,所以，直线所以，直线AM的斜率

12、的斜率(5);5AMykxx +同理，直线同理，直线BM的斜率的斜率4(5)559yyxxx +由已知有由已知有221(5).100259xyx 化简化简,得点得点M的轨迹方程为的轨迹方程为(5);5BMykxx 求证：双曲线与椭圆求证：双曲线与椭圆的焦点相同的焦点相同221515xy证明：双曲线化为标准方程证明：双曲线化为标准方程因为因为所以所以22115xy焦点在焦点在x轴，故焦点坐标为轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0)15,1ab221259xy+1514c +因为椭圆中因为椭圆中5,3ab所以所以2594c 焦点在焦点在x轴，故焦点坐标为轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0)所以双曲线与椭圆的焦点相同所以双曲线与椭圆的焦点相同3 sinsinsin,5BCA解解: 在在ABC中中, ,| |BC|=10|=10，33106 1055ACABBC 由由正正弦弦定定理理得得故顶点故顶点A的轨迹是的轨迹是以以B、C为焦点的双曲线的左支为焦点的双曲线的左支又因又因c=5，a=3，则，则b=41 (3)916xyx 2 22 2则顶点则顶点A的轨迹方程为的轨迹方程为几何画板演示第几何画板演示第2 2题的轨迹题的轨迹