地质统计学与随机建模原理3克里格估值课件.pptx
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- 地质 统计学 随机 建模 原理 里格 课件
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1、第三章 克里格插值内容内容 1. 克里格法概述 2. 简单克里格 3. 普通克里格 4. 泛克里格 5. 协同克里格 6. 指示克里格一、概述一、概述1. 克里格法的定义克里格法的定义 矿业定义:根据一个块段(盘区)内外的若干信息样品的矿业定义:根据一个块段(盘区)内外的若干信息样品的某特征值(品位)数据,对该块段(盘区)品位(特征值)作某特征值(品位)数据,对该块段(盘区)品位(特征值)作出一种线性、无偏、最小估计方差的估计方法。出一种线性、无偏、最小估计方差的估计方法。 数学定义:一种求最优、线性、无偏内插估计量的方法。数学定义:一种求最优、线性、无偏内插估计量的方法。 具体说是:考虑了信
2、息样品的形状、大小及其待估块段相互具体说是:考虑了信息样品的形状、大小及其待估块段相互之间的空间分布位置等几何特征,以及变量的空间结构信息后,之间的空间分布位置等几何特征,以及变量的空间结构信息后,为了达到线性、无偏、最小估计方差的估计,而对每个样品值为了达到线性、无偏、最小估计方差的估计,而对每个样品值分别赋予一定的权系数,最后用加权平均来对待估块段的未知分别赋予一定的权系数,最后用加权平均来对待估块段的未知量进行估计的方法。量进行估计的方法。“特定的滑动平均特定的滑动平均”2. 克里格法的种类克里格法的种类(1)线性平稳地质统计学)线性平稳地质统计学 (2)线性非平稳地质统计学)线性非平稳
3、地质统计学 (3)平稳非线性地质统计学)平稳非线性地质统计学 (4)非参数地质统计学)非参数地质统计学简单克里格、普通克里格法简单克里格、普通克里格法泛克里格法和泛克里格法和K K阶本征函数法等阶本征函数法等 条件数学期望、析取克里格法等条件数学期望、析取克里格法等 指示克立格法等指示克立格法等 (5)多元地质统计学、分形地质统计学、时空地质统计学等等。)多元地质统计学、分形地质统计学、时空地质统计学等等。 3. 克里格法的使用信息及应用条件克里格法的使用信息及应用条件 信息:信息: 一组数据;一组数据; 空间构形(坐标);空间构形(坐标); 结构信息(变差函数模型)。结构信息(变差函数模型)
4、。 条件:条件: 二阶平稳(本征)假设、线性估计量二阶平稳(本征)假设、线性估计量普通克里格普通克里格 平稳条件不满足,仍采用线性估计量平稳条件不满足,仍采用线性估计量泛克里格泛克里格 信息不仅包括二阶矩知识,还包括更多知识(二维分信息不仅包括二阶矩知识,还包括更多知识(二维分 布)布)析取克里格析取克里格线性线性平稳平稳线性非线性非平稳平稳非线性非线性平稳平稳二、简单克里格法二、简单克里格法 1. 问题的提出问题的提出 设设Z(x)为为点承载点承载区域化变量,且是二阶平稳(或本征)的。今要对以区域化变量,且是二阶平稳(或本征)的。今要对以x0为中心的盘区为中心的盘区V(x0)的平均值的平均值
5、 (简记为(简记为ZV)进行估计。)进行估计。 d)(1)(0VVxxZVxZV x0v2 x2v1 x1v3 x3v4 x4 2. 线性估计量的构造线性估计量的构造 Zi (i=1,2, ,n)是一组离散的信息样品数据,它们定义在)是一组离散的信息样品数据,它们定义在点承载点承载xi (i=1,2, ,n)上的或是确定在以)上的或是确定在以xi 点为中心的承载点为中心的承载vi (i=1,2, ,n)上的平均值)上的平均值Zvi (xi) (简记(简记Zi )。且这)。且这n个承载个承载vi (i=1,2, ,n)既不同于)既不同于V,又各不相同。,又各不相同。 其线性估计量为:其线性估计量
6、为: 它是它是n个数值的线性组合。个数值的线性组合。 克里格估值的原则克里格估值的原则:就是在保证这个估值:就是在保证这个估值ZV*是无偏的,且估计是无偏的,且估计方差最小的前提下,求出方差最小的前提下,求出n个权系数个权系数i 。在这样的条件下求得的。在这样的条件下求得的i 所构所构成的估计量成的估计量ZV*称为称为ZV的克里格估计量,记为的克里格估计量,记为ZK* 。这时的估计方差。这时的估计方差称为克里格方差,记为称为克里格方差,记为K*。 当当Z (x)的期望已知时:为的期望已知时:为简单克里格简单克里格;未知时:为;未知时:为普通克里格普通克里格 niiiVZZ1* 3. 简单克里格
7、方程组和简单克里格方差简单克里格方程组和简单克里格方差(E(Z(x)=m 已知)已知) 由于由于Z (x)的期望为已知,令:的期望为已知,令:Y(x)=Z(x)-m 则:则:EY(x)=EZ(x)-m=EZ(x)-m=0 其协方差函数为:其协方差函数为: EY(x) Y( y) =C(x, y ) 对对ZV的估计转化为对的估计转化为对YV* 的估计,且有:的估计,且有: 所用的估计量为:所用的估计量为: 只要求得只要求得YV的估计值的估计值YV* ,就能得到,就能得到ZV的估计值的估计值ZV * 。mZmxxZVxxYVYVVVVd)(1d)(1), 2 , 1( 1nimZYYYiniiiV
8、其中: 显然:显然: YV*是是YV的无偏估计量,且不需要任何条件。因为:的无偏估计量,且不需要任何条件。因为: 为了求出为了求出i,使得使得 最小,首先需求出最小,首先需求出 的表达式:的表达式: 所以:所以: (1) 其中其中 表示协方差函数在待估域表示协方差函数在待估域V上的平均值。上的平均值。)(E)(E0d)(E1)(E0)(E)(E)(E11VVVVniiiniiiVYYxxYVYmZYY22VVEYYE2E ninjjijiniViiVVninjjijiniViiVVVVVVVVExxCxxxCVyxyxCVxYxYExxYxYEVyxyYxYEVYYYYYY1112111222
9、22),(d),(12dd),(1 )()( d)()(12dd)()(1 EE2EEnininjjijiiiExxCVxCVVC1112),(),(2),(),(VVC 为了使为了使 达到最小,按照求极值原理,将前述的达到最小,按照求极值原理,将前述的 公式(公式(1)对)对诸诸i求偏导数,并令其为求偏导数,并令其为0,则有:,则有: (2) 于是得到简单克里格方程组:于是得到简单克里格方程组: 从这个方程组中解出从这个方程组中解出i (i=1,2, ,n),即为所求的简单克里),即为所求的简单克里格系数,它必定满足最小方差无偏估计的要求。格系数,它必定满足最小方差无偏估计的要求。 将克里格
10、方程组两端均乘以将克里格方程组两端均乘以i ,并对,并对i 从从1到到n求和,则有:求和,则有: (3) 将(将(3)式代入公式()式代入公式(1),则得到简单克里格方差的计算公式:),则得到简单克里格方差的计算公式: (4)0),(2 ),(212njjijiiExxCVxCninjniiijijiVxCxxC11),(),(2E2EniiiKVxCVVC12),(),(), 2 , 1( ),(),(1niVxCxxCinjjii 公式(公式(1)与公式()与公式(4)中,所用的估计方差符号不一样,()中,所用的估计方差符号不一样,(1)式表)式表示无偏估计量的估计方差,不能保证估计方差最
11、小,故用记号示无偏估计量的估计方差,不能保证估计方差最小,故用记号 。公。公式(式(4)是在确保估计方差最小的前提下推导出来的,它是克里格方差,)是在确保估计方差最小的前提下推导出来的,它是克里格方差,故记号为故记号为 。其中关键的区别在于。其中关键的区别在于i (i=1,2, ,n)在两个式中的)在两个式中的意义不一样。意义不一样。 从克里格方程组解出从克里格方程组解出i 后,即得到后,即得到YV的简单克里格估计量:的简单克里格估计量: 所以:所以:2E2KnjjjnjjjKKmZmYmYmZ11)(njjnjjjKmZZ111三、普通克里格法三、普通克里格法1. 普通克里格方程组和普通克里
12、格方差普通克里格方程组和普通克里格方差(E(Z(x)=m 未知)未知) 要使估计量要使估计量 是无偏的,就必须增加限制条件:是无偏的,就必须增加限制条件: (1)无偏性条件)无偏性条件 若要使若要使ZV*为为ZV的无偏估计量,即要求的无偏估计量,即要求 EZV*- ZV =0 因为:因为: 又因为:又因为: 所以得无偏性条件为:所以得无偏性条件为:niiiVZZ1*mxxZEVZEVVd)(1)(niiniiiniiiVmZEZEZE111)()(11nii (2)普通克里格方程组)普通克里格方程组 在区域化变量在区域化变量Z(x) 满足二阶平稳的条件下类似于简单克里格方法满足二阶平稳的条件下
13、类似于简单克里格方法的估计方差的推导,同样可以得到估计方差:的估计方差的推导,同样可以得到估计方差: 在无偏性条件在无偏性条件 下,要使得估计方差最小,从而求得诸权下,要使得估计方差最小,从而求得诸权系数系数 i , (i=1,2,n),这是一个求条件极值的问题,要用拉格朗日乘这是一个求条件极值的问题,要用拉格朗日乘数法。数法。 令:令: ,为,为n个权系数个权系数 i和和 的的(n+1)元函数。元函数。-2 是拉格朗日乘数。求出是拉格朗日乘数。求出F对对 i , (i=1,2,n)以及以及F对对的偏导数,并的偏导数,并令其为零,得到普通克里格方程组。令其为零,得到普通克里格方程组。ninin
14、jjijiiiExxCVxCVVC1112),(),(2),(11nii1212niiEF普通克里格方程组:普通克里格方程组: 整理得:整理得: 这这n+1个方程的方程组,称为普通克里格方程组。个方程的方程组,称为普通克里格方程组。 012), 2 , 1( 02),(2),(211niinijiiiiFnixxCVxCF1), 2 , 1( ),(),(11niiinijiiniVxCxxC普通克里格方差:普通克里格方差: 将上式克里格方程组中的第一式(前将上式克里格方程组中的第一式(前n个方程)两边乘以个方程)两边乘以 i ,再,再对对i 从从1到到n求和得:求和得: 将此式代入到普通克里
15、格估计方差公式中得:将此式代入到普通克里格估计方差公式中得:1), 2 , 1( ),(),(11niiinijiiniVxCxxC),(),(111VxCxxCiniininjjiji),(),(12VxCVVCiniiE (3)用变差函数表示的普通克里格方程组与普通克里格方差)用变差函数表示的普通克里格方程组与普通克里格方差 若若Z(x)只满足本征假设,而不满足二阶平稳假设时,则利用协方只满足本征假设,而不满足二阶平稳假设时,则利用协方差函数与变差函数的关系差函数与变差函数的关系C(h)=C(0) - (h) 可得用变差函数可得用变差函数(h)表示的表示的普通克里格方程组与普通克里格方差:
16、普通克里格方程组与普通克里格方差:),(),(12VVVxniiiE1), 2 , 1( ),(),(11niinjijijniVxxx 用变差函数表示时,普通克里格方程组的矩阵表示形式为:用变差函数表示时,普通克里格方程组的矩阵表示形式为: 1),(),(),( ,2121VvVvVvMnn 01111),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(212221212111nnnnnnvvvvvvvvvvvvvvvvvvK MK ),( 2VVMTK (4)信息样品为)信息样品为非点承载非点承载时的普通克里格方程组与普通克里格方差时的普通克里格方程组与普通克里格方差 若样品的承载不
17、能看作是点承载,而是以若样品的承载不能看作是点承载,而是以x i为中心,其体积为为中心,其体积为v i的承载时,样点之间的协方差的承载时,样点之间的协方差C(xi ,x j ),就变为样品域之间的平均协,就变为样品域之间的平均协方差方差 ,相应的普通克里格方程组与普通克里格方差分别写成:,相应的普通克里格方程组与普通克里格方差分别写成: 用变差函数用变差函数(h)表示的普通克里格方程组与普通克里格方差:表示的普通克里格方程组与普通克里格方差:niiiKVvCVVC12),(),(1), 2 , 1( ),(),(11niinjijijniVvCvvC),(jivvC),(),(12VVVvni
18、iiK1), 2 , 1( ),(),(11niinjijijniVvvv (5)普通克里格方程组及其方差的矩阵的表示法)普通克里格方程组及其方差的矩阵的表示法 为简单起见,我们仅给出样品点为非点承载下的普通克里格方程为简单起见,我们仅给出样品点为非点承载下的普通克里格方程组及其方差的矩阵表示形式:组及其方差的矩阵表示形式: 其中:其中: K称为普通克里格矩阵,它是一个对称矩阵,因为有:称为普通克里格矩阵,它是一个对称矩阵,因为有: 估计方差表示为:估计方差表示为: 1),(),(),( ,2121VvCVvCVvCMnnjivvCvvCijji , ),(),( MK MVVCTK),(2
19、01111),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(212221212111nnnnnnvvCvvCvvCvvCvvCvvCvvCvvCvvCK 用变差函数表示时,普通克里格方程组的矩阵表示形式为:用变差函数表示时,普通克里格方程组的矩阵表示形式为: 1),(),(),( ,2121VvVvVvMnn01111),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(212221212111nnnnnnvvvvvvvvvvvvvvvvvvK MK ),( 2VVMTK进一步的说明进一步的说明 1. 只有当协方差矩阵只有当协方差矩阵C(vi,vj)nn(即矩阵(即矩阵K的左上角的
20、左上角nn阶方阵)是严格正定的,克里格方程组才有唯一解。阶方阵)是严格正定的,克里格方程组才有唯一解。因为此时其系数矩阵的行列式严格大于零。因此,要求所因为此时其系数矩阵的行列式严格大于零。因此,要求所用的点协方差函数用的点协方差函数C(h)是正定的。(若用变差函数是正定的。(若用变差函数(h)表表示,则要求示,则要求- (h)是条件正定的),且数据承载无一重合。是条件正定的),且数据承载无一重合。因为若有因为若有vk=vj,则,则C(vi,vk)= C(vi,vj) (i=1,2,n),从而矩阵,从而矩阵C(vi,vj)nn中有两列(行)完全相等,故其行列式的值为中有两列(行)完全相等,故其
21、行列式的值为零。零。进一步的说明进一步的说明 2. 克里格估值是一种无偏的内插估值。即若待估块段克里格估值是一种无偏的内插估值。即若待估块段(承载)(承载)V与有效数据的任意承载与有效数据的任意承载vi重合,则由克里格方程重合,则由克里格方程组给出组给出ZK*=Z(vi)及及K2=0。这在制图学中称为这在制图学中称为“克里格估克里格估值曲面通过实测点值曲面通过实测点”。传统的估计方法并没有这种性质。传统的估计方法并没有这种性质。这也说明了克里格估值精度高于其它估值方法。这也说明了克里格估值精度高于其它估值方法。进一步的说明进一步的说明 3. 对于克里格方程组所用到的协方差函数对于克里格方程组所
22、用到的协方差函数C(h)和变差和变差函数函数(h)的模型,不论它们所表征的基本结构如何均可,的模型,不论它们所表征的基本结构如何均可,它们可以是各向同性的,也可以是各向异性;既可以是单它们可以是各向同性的,也可以是各向异性;既可以是单一结构,也可以是套合结构。一结构,也可以是套合结构。进一步的说明进一步的说明 4. 普通克里格方程组和方差只取决于结构模型普通克里格方程组和方差只取决于结构模型C(h)或或(h) ,以及,以及各承载的相对几何特征(或说相对空间位置),而不依赖于数据各承载的相对几何特征(或说相对空间位置),而不依赖于数据Zi 的的具体数值。具体数值。因此,只要知道结构函数因此,只要
23、知道结构函数C(h)或或(h)以及样品的空间位置以及样品的空间位置(数据构形),在开钻前就可得普通克里格方程组及其方差。这样,(数据构形),在开钻前就可得普通克里格方程组及其方差。这样,就可以根据钻孔的空间位置不同,得出不同的克里格方差,从而选择就可以根据钻孔的空间位置不同,得出不同的克里格方差,从而选择较小的克里格方差所对应的钻孔位置构形,较小的克里格方差所对应的钻孔位置构形,在已知结构函数前提下确在已知结构函数前提下确定最优的布孔方案。定最优的布孔方案。进一步的说明进一步的说明 5. 普通克里格矩阵普通克里格矩阵K ,只取决样品承载,只取决样品承载vi (i=1,2,n)的几何特征的几何特
24、征(空间位置),而完全不依赖于待估块段的承载(空间位置),而完全不依赖于待估块段的承载V。因此,只要所用。因此,只要所用的信息样品相同,即使对不同的待估块进行估值,克里格方程组的系的信息样品相同,即使对不同的待估块进行估值,克里格方程组的系数矩阵数矩阵K 也相同。从而只需求一次逆矩阵也相同。从而只需求一次逆矩阵K -1。若估计构形(待估。若估计构形(待估承载与全体样品承载的构形)也相同,则矩阵承载与全体样品承载的构形)也相同,则矩阵M也不变。即只需解也不变。即只需解一次克里格方程组,就可得到线性估计量中的权系数一次克里格方程组,就可得到线性估计量中的权系数i (i=1,2,n),大大地节省计算
25、时间。(规则勘探网格就满足这一要求)大大地节省计算时间。(规则勘探网格就满足这一要求)进一步的说明进一步的说明 6. 普通克里格方程组及其方差考虑了以下四个方面的因素:普通克里格方程组及其方差考虑了以下四个方面的因素: (1)待估承载)待估承载V 的几何特征(的几何特征( (V, V) );); (2)数据构形的几何特征()数据构形的几何特征( (vi, vj) );); (3)信息样品承载)信息样品承载vi 与待估承载与待估承载V之间的距离(之间的距离( (vi, V) ) ; (4)反应区域化变量)反应区域化变量Z(x)空间结构特征的变差函数模型(空间结构特征的变差函数模型( (h) )
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