平均变化率与瞬时变化率课件.pptx

1、树高:15米树龄:1000年高:15厘米时间:两天生活中的数学欣赏 银杏树 雨后春笋(2)在经营某商品中，甲用在经营某商品中，甲用5 5年时间年时间挣到挣到1010万万元，乙用元，乙用5 5个月时间个月时间挣到挣到2 2万元，如何比较万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？和评价甲，乙两人的经营成果？(1)在经营某商品中，甲挣到在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣万元，乙挣到到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？营成果？想一想想一想本题说明本题说明: :y y与与t t中仅比较一个量的变化是中仅比较一个量的变化是不行的不行的. .问题情境问题情境1

2、1现有某市现有某市10年年3月和月和4月某天日最高气温记载月某天日最高气温记载.时间时间3月月18日日4月月18日日4月月20日日日最高气温日最高气温3.518.633.4温差温差15.1温差温差14.8问题情境问题情境2 2 t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210两个时间段内的温两个时间段内的温差哪个时间段内的差哪个时间段内的温度变化感觉比较温度变化感觉比较明显？明显？ 过山车过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷

3、。着迷。 问题情境问题情境3 3o ox xy yB BC CB BC Cx xx xy yy yk k容易看出点容易看出点B,CB,C之间的曲线较点之间的曲线较点A,BA,B之间的曲线更加之间的曲线更加“陡峭陡峭”. .如何如何量化量化陡峭程度呢？陡峭程度呢？该比值近似量化该比值近似量化B,CB,C之间之间这一段曲线的陡峭程度这一段曲线的陡峭程度. .称该比值为曲线在称该比值为曲线在B,CB,C之之间这一段的间这一段的平均变化率平均变化率. .B BA AC C交流与讨论交流与讨论1.1.平均变化率的定义：平均变化率的定义： )(xf一般地，函数在区间一般地，函数在区间 上的平均变化率为上的

4、平均变化率为 12 ,x x2121()()fxfxxx(2)平均变化率是曲线陡峭程度的平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化数量化”，或者说曲线陡峭程度是平均变化率或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化视觉化”建构数学理论建构数学理论说明说明:(1)平均变化率的实质就是平均变化率的实质就是:两点两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连连线的斜率线的斜率.yx（以直代曲思想）（以直代曲思想）（数形结合思想）（数形结合思想）“数缺形时少直观，形离数时难入微数缺形时少直观，形离数时难入微”华罗庚华罗庚例例1、已知函数、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=- -2x ,分别计算分别计算在区间在区

5、间-3，-1，0，5上上 f(x)及及g(x) 的平均的平均变化率变化率. 数学应用数学应用思考思考: :一次函数一次函数y=kx+by=kx+b在区间在区间m,nm,n上的平均上的平均变化率有什么特点？变化率有什么特点？ 一般地，一次函数f(x)=kx+b（k0）在任意区间m,n(mn)上的平均变化率等于k. 例例2、已知函数、已知函数 f(x)=x2,分别计算分别计算f(x)在下列在下列区间上的平均变化率：区间上的平均变化率： （1）1，1.1；（2）1，1.01；（3）1，1.001；（4）1，1.0001. 2.12.0001（5）0.9，1；（6）0.99，1；（7）0.999，1.

6、（8）0.9999，1.变题变题: :1.991.91.999数学应用数学应用xyp p131.99992.012.001通过例通过例2想想如何求函数想想如何求函数 y=f(x)=x2在在x=1时的时的切线的斜率？切线的斜率？ 问题探究问题探究xyp p13(2)(2)用用“逼近逼近”的思想求平均变化的思想求平均变化率的极限率的极限(3)(3)得出结论：切线斜率为得出结论：切线斜率为2 2PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T问题一般化问题一般化：如何求曲线上一点的切线如何求曲线上一点的切线? ?(1)(1)概念概念: :曲线的曲线的割线割线和和切线切线结论结论: :当当Q Q点无限逼近点无

7、限逼近P P点时点时, ,此时此时直线直线PQPQ就是就是P P点处的切线点处的切线. .PQoxyy=f(x)(2)(2)如何求如何求割线的斜率割线的斜率? ?xxfxxfxxxxfxxfkPQ)()()()()(PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T(3)如何求切线的斜率如何求切线的斜率?(0)PQxkP当无限趋近于 时，无限趋近于点 处的切线)()(xxfxxfkPQ例例3 3已知已知 , ,求曲线求曲线y=f(x)y=f(x)在在x=1x=1处的切线的斜率处的切线的斜率. .2)(xxf22:(1,1)(1,1),(1,(1) ),(1)12(1)10,(1,1)PQPQPQxxxk

8、xxxkP 解 先求过点的任意一条割线入手则当无限趋近于 时无限趋近于常数2所以点处的切线斜率为2.利利 用用 割割 线线 求求 切切 线，你学会了吗？线，你学会了吗？二、物理意义二、物理意义瞬时速度瞬时速度svt在物理学中，我们学过平均速度在物理学中，我们学过平均速度 平均速度反映了在某一段时间内运动平均速度反映了在某一段时间内运动的快慢程度的快慢程度, ,那么那么, ,如何刻画在如何刻画在某一时刻某一时刻运动的快慢程度呢运动的快慢程度呢? ?t 5 . 6gt2110th2）（2ht104.9t6.5t（ ）问题探究：问题探究：设在10米跳台上，运动员跳离跳台时垂直向上的速度为6.5m/s

9、，运动员在时刻t距离水面的高度6549t 计算运动员在0这段时间里的平均速度，计算运动员在0这段时间里的平均速度，6549t 计算运动员在0这段时间里的平均速度，计算运动员在0这段时间里的平均速度，2) 既然不能描述运动员的运动状态既然不能描述运动员的运动状态,那我们应该用那我们应该用什么来描述呢什么来描述呢?1) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态是否你认为用平均速度描述运动员的运动状态是否准确准确?3) 如何求运动员的瞬时速度如何求运动员的瞬时速度?0hvt 65()(0)1049hh先引入一个变量t，计算从2s到(2+t)s这段时间内平均速度(2)(2)13.14.9hhthvttt

10、如我们要计算2秒时的瞬时速度所以当所以当t=2st=2s时的瞬时速度是时的瞬时速度是- -13.1m/s13.1m/s 当当 t 趋近于趋近于0时时, 即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边, 还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时, 平均速度都趋近于一个确定的值平均速度都趋近于一个确定的值 13.1.1 .13 )2()2(lim0ththt表示表示“当当t =2, t趋近于趋近于0时时, 平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”, 即即2s时刻的瞬时速度.v 设物体作直线运动所经过的路程设物体作直线运动所经过的路程为为s s= =s s( (t t). )

11、. 以以t t0 0为起始时刻，物体在为起始时刻，物体在 t t时间内的平均速度为时间内的平均速度为 vttfttfts)()(00 这个常数就是物体在这个常数就是物体在t t0 0时刻的时刻的瞬时速度瞬时速度. . 当当 t t0 0时，时，ttfttfts)()(00。结论结论: :常数v0000()( )limlimtth tth thtt 思考思考1：运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 思考思考2函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率应该怎样表示？0000()limlim xxyf(xx)f x x x 例例4 4求曲线求曲线y=f(x)=xy=f(x)=x2 2+1

12、+1在点在点P(1,2)P(1,2)处的切线方程处的切线方程. .因此因此, ,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),y-2=2(x-1),即即y=2x.y=2x.22:(1,2),(1,(1)1),(1)122(1)10,2(2,4)2.PQPQPQxxxkxxxkP 2解则当无限函数趋近于 时无限趋近于常f(x)=x +1数所以点在x=1处的切处的瞬线斜时率为（即变化率）1 1、先利用直线斜率的定义求出先利用直线斜率的定义求出割线的斜率；割线的斜率；2.2.求出当求出当x x趋近于趋近于0 0时切线的斜时切线的斜率；率；3 3、然后利用点斜式求切线方程然后利用点斜式求切线方程. .求曲

13、线在某点处的求曲线在某点处的切线方程切线方程的基本步骤的基本步骤: :1.1.平均变化率的定义：平均变化率的定义： 1212()()fxfxyxxx这节课我的收获是什么？这节课我的收获是什么？2.2.平均变化率的意义平均变化率的意义: :两点两点A A、B B所在直线的斜率所在直线的斜率3.3.求平均变化率的步骤求平均变化率的步骤：一作差二求比值一作差二求比值5.5.思想方法：思想方法： 数形结合、以直代曲和归纳思想等数形结合、以直代曲和归纳思想等大量生活中的实例大量生活中的实例建立数学模型建立数学模型数学应用数学应用4.4.求曲线上一点切线的斜率时求曲线上一点切线的斜率时, ,先利用先利用平均变化率平均变化率求求出割线的斜率出割线的斜率, ,再令求出再令求出切线的斜率；切线的斜率；0 x平均变化率平均变化率 瞬时变化率瞬时变化率重要重要结论结论: :布置作业：布置作业：1、课本、课本P31习题习题21A组第组第2,3,5题题和和B组第组第1题题2、步步高步步高45分钟课时训练分钟课时训练课后反思：本节课内容简单，学生容易课后反思：本节课内容简单，学生容易掌握，在掌握，在3 3班只用了班只用了3030分钟，建议将瞬分钟，建议将瞬时变化率加进来，而导数的概念和瞬时时变化率加进来，而导数的概念和瞬时变化率一起作为一节课较为妥当。变化率一起作为一节课较为妥当。