带电粒子在磁场中运动的作图和求解方法课件.pptx

1、带电粒子在磁场中运动作图及求解方法带电粒子在磁场中运动作图及求解方法一、圆心的确定一、圆心的确定V V0 0P PM MO OV VV VP PM MO O基本思路：基本思路：圆心一定在与速度方向垂圆心一定在与速度方向垂直的直线上，通常有三种方法：直的直线上，通常有三种方法：方法一：利用两个速度垂线的交点找方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心。圆心。方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心的交点找圆心.V V0 0P PM MO OV VO O方法三、利用速度的垂线与角的平分方法三、利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心线的交点找圆心,一速度的延长线与另

2、一速度的延长线与另一速度的反向延长线夹角的平分线必一速度的反向延长线夹角的平分线必过轨迹的圆心。过轨迹的圆心。vAvCOOvCfCfAvACA一一. 圆心的确定圆心的确定若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力则可根据洛伦兹力fv，分别确定两点处，分别确定两点处洛伦兹力洛伦兹力 f 的方向，其交点即为圆心的方向，其交点即为圆心例例1、如图所示、如图所示, 一束电子以速度一束电子以速度v 垂直垂直射入磁感应强度为射入磁感应强度为 B、宽度为宽度为 d 的有的有界匀强磁场中界匀强磁场中, 穿出磁场时的速度方向穿出磁场时的速度方向与原来电子的入射方向的夹角

3、为与原来电子的入射方向的夹角为30, 电子的电荷量为电子的电荷量为 e , 则电子的质量是多则电子的质量是多少少? 电子穿过磁场的时间又是多少电子穿过磁场的时间又是多少? OD BACvvdsinsinddrrOvCfCCA若已知粒子轨迹上的两点和其中一点的若已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向，则可作出此两点的连线（即过速度方向，则可作出此两点的连线（即过这两点的圆弧的弦）的中垂线，再画出已这两点的圆弧的弦）的中垂线，再画出已知点知点v的垂线，中垂线与垂线的交点即为的垂线，中垂线与垂线的交点即为圆心圆心例例2、如图所示、如图所示, 一质量为一质量为 m、带电带电荷量为荷量为 q 的粒子水

4、平射入磁感应强的粒子水平射入磁感应强度为度为 B, 方向垂直纸面向外的匀强磁方向垂直纸面向外的匀强磁场中场中, 如果粒子经时间如果粒子经时间 t 到达到达 P 点点, 且且 OP 与入射方向夹角为与入射方向夹角为, 则则 与与 t 的关系如何的关系如何? Pv0O O OvCvACA若已知粒子入射方向和出射方向，及轨若已知粒子入射方向和出射方向，及轨迹半径迹半径R，但不知粒子的运动轨迹，则可，但不知粒子的运动轨迹，则可作出此两速度方向夹角的平分线，在角平作出此两速度方向夹角的平分线，在角平分线上与两速度方向直线的距离为分线上与两速度方向直线的距离为R的点的点即为圆心即为圆心例例3、（、（04全

5、国）一匀强磁场全国）一匀强磁场, 磁场方向垂磁场方向垂直于直于 xy 平面平面, 在在 xy 平面上平面上, 磁场分布在以磁场分布在以 O 为圆心的一个圆形区域内为圆心的一个圆形区域内. 一个质量为一个质量为 m、电荷量为电荷量为 q 的带电粒子的带电粒子, 由原点由原点 O 开开始运动始运动, 初速度为初速度为 v, 方向沿方向沿 x 轴正方向轴正方向. 后来后来, 粒子经过粒子经过 y 轴上的轴上的 P 点点, 此时速度方此时速度方向与向与 y 的夹角为的夹角为30, P 到到 O 的距离为的距离为 L, 如图所示如图所示. 不计重力的影响不计重力的影响. 求磁场的磁感求磁场的磁感应强度应

6、强度 B 的大小和的大小和 xy 平面上磁场区域的平面上磁场区域的半径半径 R. vvxyPOL30 ACQRrr对称性对称性从一边界射入的粒子，从同一边界射出时，入速度与边界的从一边界射入的粒子，从同一边界射出时，入速度与边界的夹角（弦切角）与出速度与边界的夹角（弦切角）相等。夹角（弦切角）与出速度与边界的夹角（弦切角）相等。1 1、直线边界（进出磁场具有对称性）、直线边界（进出磁场具有对称性）B O1022 2、平行边界（存在临界条件）、平行边界（存在临界条件）3 3、圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）、圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）OBOdBdOBdO2带电粒子如果从匀强磁场的直线边

7、界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（例例1 1 、如图、如图1 1所示，一个质量为所示，一个质量为m m电荷量为电荷量为q q的带电粒子从的带电粒子从x x轴轴上的上的P P（ ，0 0）点以速度）点以速度v v，沿与，沿与x x正方向成正方向成6060的方向射入第的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y y轴射出第一象限。求轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度匀强磁场的磁感应强度B B和射出点的坐标。和射出点的坐标。解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其解析：分

8、别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点交点O O即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径为为 3260sinaar洛仑兹力是向心力洛仑兹力是向心力 rmvqBv2由解得由解得aqmvBar23,32射出点的纵坐标为（射出点的纵坐标为（r+rsin30r+rsin30）=1.5r,=1.5r,因此射出点坐标为（因此射出点坐标为（0 0， ）。）。a3例例2 2、电子自静止开始经、电子自静止开始经M M、N N板间（两板间的电压为板间（两板间的电压为U U）的电场加速后从）的电场加速后从A A点点垂直于磁场边界射入宽度为垂直于磁场边界射入

9、宽度为d d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P P偏离偏离入射方向的距离为入射方向的距离为L L，如图，如图2 2所示，求：所示，求：（1 1）正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；）正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；（2 2）匀强磁场的磁感应强度）匀强磁场的磁感应强度. .（已知电子的质量为（已知电子的质量为m m，电量为，电量为e e）解析：（解析：（1 1）轨迹如图所示：）轨迹如图所示：o（2 2）在）在M M、N N间加速后获得的速度为间加速后获得的速度为v v，由，由动能定理得：动能定理得： 221mveU 电子进入磁场后做匀速

10、圆周运动，设其半电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为径为r r，则：，则： rvmeBv2在在AQPAQP中：中： 22sindLL在在ACOACO中中 ： rdLrAC2/sin22由解得由解得：emUdLL2222C222()rdrL例例3.（04全国）一匀强磁场全国）一匀强磁场, 磁场方向垂直于磁场方向垂直于 xy 平面平面, 在在 xy 平面上平面上, 磁磁场分布在以场分布在以 O 为圆心的一个圆形区域内为圆心的一个圆形区域内. 一个质量为一个质量为 m、电荷量为电荷量为 q 的的带电粒子带电粒子, 由原点由原点 O 开始运动开始运动, 初速度为初速度为 v, 方向沿方向沿 x 轴

11、正方向轴正方向. 后来后来, 粒粒子经过子经过 y 轴上的轴上的 P 点点, 此时速度方向与此时速度方向与 y 的夹角为的夹角为30, P 到到 O 的距离的距离为为 L, 如图所示如图所示. 不计重力的影响不计重力的影响. 求磁场的磁感应强度求磁场的磁感应强度 B 的大小和的大小和 xy 平平面上磁场区域的半径面上磁场区域的半径 R. vvxyPOL30 ACQRrr解：根据牛顿第二定律：2vqvBmr画出粒子的运动轨迹如图，画出粒子的运动轨迹如图，根据几何关系：根据几何关系：3Lr 由上式解得：由上式解得：3/Bmv qL思考思考:1.:1.试求试求例例4.一质量为一质量为m，带电量为，带

12、电量为q的粒子以速的粒子以速度度v从从O点沿点沿y轴正方向射入磁感强度为轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处处穿过穿过x轴，速度方向与轴，速度方向与x轴正向夹角轴正向夹角为为30，如图所示，如图所示 (粒子重力忽略不粒子重力忽略不计计)试求：试求： (1)圆形磁场区的最小面积；圆形磁场区的最小面积； (2)粒子从粒子从O点进入磁场区到达点进入磁场区到达b点所点所经历的时间；经历的时间； (3)b点的坐标点的坐标 v30 xvOybACD30 60rr解（解（1）在磁场中）在磁场中

13、 粒子运动轨迹如图：粒子运动轨迹如图：2vqvBmr由图可知，由图可知， 60aob磁场区域最小半径磁场区域最小半径 30rRcos磁场区域最小面积磁场区域最小面积 2minSr联立2220min2234m vSrq B（2）粒子从）粒子从O至至a做匀速圆周运动的时做匀速圆周运动的时间，间， 从从a飞出磁场后做匀速飞出磁场后做匀速直线运动直线运动,有几何关系：有几何关系：1233TmtqB3abR20033abRmtvvqB12(3)3mtttqB(3)由几何关系由几何关系sin302RobRob所以所以033mvobRqB故故b点的坐标为（点的坐标为（ ，0）03mvqBrrCDyvxvOb

14、a例例5.一带电质点，质量为一带电质点，质量为m，电量为，电量为q，以平行，以平行Ox轴的速度轴的速度v从从y轴轴上的上的a点射入图中第一象限所示的区域为了使该质点能从点射入图中第一象限所示的区域为了使该质点能从x轴上的轴上的b点垂直于点垂直于Ox轴的速度轴的速度v射出，可在适当地方加一垂直射出，可在适当地方加一垂直xy平面、磁平面、磁感应强度为感应强度为B的匀强磁场若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试的匀强磁场若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形区域的最小半径重力忽略不计求这个圆形区域的最小半径重力忽略不计解：根据牛顿第二定律：2vqvBmr画出粒子的运动轨迹如图，画出粒子的运动轨迹如

15、图，解得：解得：mvRqB根据几何关系根据几何关系,所求的圆形磁场所求的圆形磁场区域的最小半径为：区域的最小半径为：22222MNmvrRqBMNOypvOL做出粒子运动轨迹如图。做出粒子运动轨迹如图。2vqBvmr解：根据牛顿第二定律：由几何关系知：由几何关系知： L/2sinr 由上式解得：由上式解得：BLvmq/sin2/0 例例7、如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限内有竖直向、如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限内有竖直向下的匀强电场，场强为下的匀强电场，场强为E=20N/C，第四象限内有一个圆形区域，第四象限内有一个圆形区域的匀强磁场，方向垂直纸面向外，大小为的匀强磁场，方向垂

16、直纸面向外，大小为 T，未画出，未画出来一个带正电的粒子质量为来一个带正电的粒子质量为m=210-5kg，电量为，电量为q=510-3C，重力不计，从重力不计，从y中上的中上的a点以点以v0=10m/s的速度垂直的速度垂直y轴射入电轴射入电场场Oa长度为长度为h=0.01m，粒子通过，粒子通过x轴上的轴上的b点进入第四象限，点进入第四象限，粒子经圆形磁场后从粒子经圆形磁场后从c点射出第四象限，出射的速度方向与点射出第四象限，出射的速度方向与y轴轴负方向成负方向成75（=3.14）求：）求：（1）粒子通过）粒子通过b点时的速度大小及方向点时的速度大小及方向（2）磁场的最小面积是多少）磁场的最小面

17、积是多少4 2解：解：（1 1）在电场中，粒子做类平抛运动）在电场中，粒子做类平抛运动y y轴方向有：轴方向有： 联立得：联立得： 过过b b点的速度大小为：点的速度大小为： 过过b b点的速度与点的速度与x x轴的夹角为：轴的夹角为： ，即，即 =45=45 所以通过所以通过b b点速度方向为与点速度方向为与x x轴成轴成4545角；角；（2 2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆周运动的半径为）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆周运动的半径为R R，由牛顿定律得：由牛顿定律得： 解得：解得：R=0.01mR=0.01m；设粒子在磁场中圆周运动的圆弧对应的弦长为设粒子在磁场中圆周运动的圆弧对应的

18、弦长为2r2r，由作图可知：由作图可知： 当磁场以当磁场以2r2r为直径为时，磁场的面积是满足为直径为时，磁场的面积是满足题意的最小面积，即最小面积为：题意的最小面积，即最小面积为：S=rS=r2 2=2.355=2.3551010-4 -4m m2 2qEma212hatyvat210/yqEhvm sm22010 2/yvvvm s0tan1yvv2vqvBmR3sin605 3 10rRm ，(1)电场强度的大小电场强度的大小.(2)N点的坐标点的坐标.例例8。如图甲所示。如图甲所示,xOy平面内存在着沿平面内存在着沿y轴正方向的匀强电轴正方向的匀强电场场,一个质量为一个质量为m、带电荷

19、量为、带电荷量为+q的粒子从坐标原点的粒子从坐标原点O以速以速度度v0沿沿x轴正方向轴正方向 开始运动开始运动.当它经过图中虚线上的当它经过图中虚线上的M(2 a,a)点时点时,撤去电场撤去电场,粒子继续运动一段时间后进入一个矩形粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域匀强磁场区域(图中未画出图中未画出),又从虚线上的某一位置又从虚线上的某一位置N处沿处沿y轴负方向运动并再次经过轴负方向运动并再次经过M点点.已知磁场方向垂直已知磁场方向垂直xOy平面平面(纸面纸面)向里向里,磁感应强度大小为磁感应强度大小为B,不计粒子的重力不计粒子的重力.试求试求:3甲三、三、带电粒子在矩形形磁场区域中

20、的运动带电粒子在矩形形磁场区域中的运动【解析解析】粒子在电场中做类平抛运动粒子在电场中做类平抛运动,轨迹是一条抛物线轨迹是一条抛物线,粒子在磁场中做匀粒子在磁场中做匀速圆周运动速圆周运动,轨迹是一部分圆弧轨迹是一部分圆弧,据此画据此画出粒子的运动轨迹如图乙所示出粒子的运动轨迹如图乙所示.(1)粒子从粒子从O到到M做类平抛运动做类平抛运动,设时间设时间为为t,则有则有02 3av tX方向方向:21.2qEatmy方向方向:得得E=. 206mvqa(2)设粒子运动到设粒子运动到M点时速度为点时速度为v,与与x方向方向的夹角为的夹角为,则则033ytvmvqE22002 33yvvvv, 即即=

21、30 03tan3yvv由题意知由题意知,粒子从粒子从P点进入磁场点进入磁场,从从N点离开磁场点离开磁场,粒子在磁场粒子在磁场中以中以O点为圆心做匀速圆周运动点为圆心做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 得粒子做圆周运动的半径为得粒子做圆周运动的半径为由几何关系知由几何关系知,=PMN=30 1202 33mvmvRqBqB02NmvRaatanqBy即即N点的坐标为点的坐标为 02 3 ,2mvaaqB试球矩形磁场区域的最小面积？试球矩形磁场区域的最小面积？2vBqvmR022(1 sin30 )3SRRR如图如图作图指导：根据粒子受力先画一上切圆，做上切作图指导：根据粒子受力先

22、画一上切圆，做上切圆切线与圆切线与OA垂直，过两切点根据题意画出三角形垂直，过两切点根据题意画出三角形磁场的区域，做相应的辅助线找出粒子轨道半径磁场的区域，做相应的辅助线找出粒子轨道半径与三角形边长的关系。与三角形边长的关系。 解：解：（1 1）由）由rvmqvB2mqBmvr3 . 0得：得： （2）画出粒子的运动轨迹如图，可知）画出粒子的运动轨迹如图，可知Tt65ssqBmt551023. 5103535（3）由数学知识可得：）由数学知识可得： 得：得：30cos30cos2rrLmqBmvL99. 010334) 134(sin302roaoar55222106.28 10rmTssvq

23、B如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子，但由于如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子，但由于，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为场的内半径为R1=0.5m，外半径为，外半径为 R2=1.0m，磁场的磁感应强度，磁场的磁感应强度 B=1.0T，若被缚的带电粒子的荷质比为若被缚的带电粒子的荷质比为 q/m=4107C/kg，中空区域中带电粒子具有，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度。试计算：各个方向的速度。试计算： （1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。）粒子沿环状

24、的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁）所有粒子不能穿越磁 场的最大速度。场的最大速度。Ovv带电粒子在带电粒子在环形磁场区域环形磁场区域中的运动中的运动解：解：1、粒子、粒子运动轨迹运动轨迹如图中如图中 蓝色蓝色轨迹所示轨迹所示 ，由几何关系可得由几何关系可得 ： ，解得解得 ： 由由 可得可得 ， 2、粒子粒子运动轨迹运动轨迹如图中下面如图中下面黑色黑色轨迹所示轨迹所示 ，可得可得 ： 由由 可得可得 ，10.375rm2111vBqvmr7111.5 10/qBrvm sm221()/ 20.25rRRm2222vBqvmr7221.0 10/qBrvm

25、sm2221121()rRRr4、【2015山东山东-24】. 如图所示，直径分别为如图所示，直径分别为D和和2D的同心圆处的同心圆处于同一竖直面内，于同一竖直面内，O为圆心，为圆心，GH为大圆的水平直径。两圆之间的为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域（环形区域（区）和小圆内部（区）和小圆内部（区）均存在垂直圆面向里的匀区）均存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为强磁场。间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场，上极的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开板开有一小孔。一质量为有一小孔。一质量为m，电量为，电量为+q的粒子由小孔下方的粒子由小孔下方d/2处静止处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度释

26、放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由点紧靠大圆射出电场，由点紧靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重力。内侧射入磁场。不计粒子的重力。（1）求极板间电场强度的大小；）求极板间电场强度的大小；（2）若粒子运动轨迹与小圆相切，求）若粒子运动轨迹与小圆相切，求区磁感应强度的大小；区磁感应强度的大小；（3）若）若区，区，区磁感应强度的大小区磁感应强度的大小分别为分别为2mv/qD，4mv/qD，粒子运动一，粒子运动一段时间后再次经过段时间后再次经过H点，求这段时间粒点，求这段时间粒子运动的路程。子运动的路程。解解（1）粒子在电场中，根据动能定理：粒子在电场中，根据动能定理：解得解得2122dEqmv

27、2mvEqd（2)设设区内磁感应强度大小为区内磁感应强度大小为B B，粒子做圆周运动的半径为粒子做圆周运动的半径为R.由牛顿第二定律由牛顿第二定律: ，如图所示粒子的运动轨迹与小，如图所示粒子的运动轨迹与小圆相切有两种情况，圆相切有两种情况，若粒子的运动轨迹与小圆外切，若粒子的运动轨迹与小圆外切，由几何关系由几何关系 解得解得若粒子的运动轨迹与小圆内切，若粒子的运动轨迹与小圆内切，由几何关系由几何关系 解得解得1224DDDr4mvBqD2vqvBmR223224DDDr43mvBqD（3）设粒子在）设粒子在区和区和区做圆周运动的半径分别为区做圆周运动的半径分别为R R1 1 和和R R2 2

28、 由题意可知，由题意可知，区和区和区内地磁感应强度大小分别为区内地磁感应强度大小分别为 ；由牛顿第二定律可得；由牛顿第二定律可得 ，代入解得代入解得 , ,12mvBqD24mvBqD211vqvBmR222vqvBmR12DR 24DR 设粒子在设粒子在区和区和区做圆周运动的周期分别为区做圆周运动的周期分别为T T1 1 和和T T2 2 由运动由运动学公式的：学公式的：由题意粒子与大圆两次相切时间间隔和运动由题意粒子与大圆两次相切时间间隔和运动轨迹如图乙，由对称性可知，轨迹如图乙，由对称性可知，区两段圆弧区两段圆弧所对圆心角相同，设为所对圆心角相同，设为1 1 ，区所对圆心区所对圆心角为角

29、为2 2 ，圆弧和大圆的两个切点与圆心，圆弧和大圆的两个切点与圆心O O连线的夹角为连线的夹角为由由几何关系可得几何关系可得; ;1 1 =120 =1200 0 , ,2 2 =180 =1800 0 =60=600 0 . .112 RTv222 RTv粒子重复交替运动的粒子重复交替运动的H H点点设粒子在设粒子在区和区和区做圆周运动的区做圆周运动的时间分别为时间分别为t t1 1 和和t t2 2 , ,可得：可得： , ,设粒子运动的路程为设粒子运动的路程为S S，由运动学公式的，由运动学公式的联立解得联立解得; ;1122360360tT2222360360tT12()Sv tt5.

30、5SD1201200 01801800 0例例3（18分）如图所示，两个同心圆是磁场的理想边界，内分）如图所示，两个同心圆是磁场的理想边界，内圆半径为圆半径为R，外圆半径为，外圆半径为 R，磁场方向垂直于纸面向里，内，磁场方向垂直于纸面向里，内外圆之间环形区域磁感应强度为外圆之间环形区域磁感应强度为B，内圆的磁感应强度为，内圆的磁感应强度为B/3。t=0时一个质量为时一个质量为m，带，带q电量的离子（不计重力），从内圆电量的离子（不计重力），从内圆上的上的A点沿半径方向飞进环形磁场，刚好没有飞出磁场。点沿半径方向飞进环形磁场，刚好没有飞出磁场。（1）求离子速度大小）求离子速度大小（2）离子自）

31、离子自A点射出后在两个磁场点射出后在两个磁场间不断地飞进飞出，从间不断地飞进飞出，从t=0开始经过开始经过多长时间第一次回到多长时间第一次回到A点？点？（3）从）从t=0开始到离子第二次回到开始到离子第二次回到A点，离子在内圆磁场中运点，离子在内圆磁场中运动的时间共为多少？动的时间共为多少？（4)画出从画出从t=0到第二次回到到第二次回到A点离子运动的轨迹。点离子运动的轨迹。 37、一个美丽的吸顶灯罩（2)离子从离子从A出发经出发经C、D第一次回到第一次回到A的轨迹如图的轨迹如图在内圆的磁场区域在内圆的磁场区域 得得 在内圆转动的周期在内圆转动的周期 由几何关系可知，由几何关系可知， 在内圆转

32、动的时间为在内圆转动的时间为 解：解：(1)依题意，外磁场中轨迹与外圆相切，如图依题意，外磁场中轨迹与外圆相切，如图由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： 由图中几何关系得由图中几何关系得 解得解得 由以上各式得由以上各式得 21vqvBmr2221( 3)RrRr133rR33qBRvm223Bvqvmr21333mvrrRqB2226rmTvqB263216To2oo1r2r1ACD在外磁场区域的周期在外磁场区域的周期 由几何关系可知，在外磁场偏转一次的偏角为由几何关系可知，在外磁场偏转一次的偏角为 ，则离，则离子经历子经历ACDA的时间的时间 解得解得 (3)从从t=0开始到离子第二次回到开始

33、到离子第二次回到A点，离子在内圆磁场中共运点，离子在内圆磁场中共运动动6次，时间为次，时间为 得得 (4)轨迹如图轨迹如图1122rmTvqB4311221236tTT111 mtqB22166tT26 mtqBo2oo1r2r1ACD例例2据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有级高的温度，因而带电粒子将没据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有级高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装，托卡马克装置是一种利用磁约束来实现受控核聚变的环有通常意义上的容器可装，托卡马克装置是一种利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器，由磁场将高温、高密等离子体约束在有限的范围内，现按下面的简化条件形容器

34、，由磁场将高温、高密等离子体约束在有限的范围内，现按下面的简化条件来讨论这个问题，如图所示，有一个环形区域，其截面内半径为来讨论这个问题，如图所示，有一个环形区域，其截面内半径为R1=a，外半径为，外半径为R2=(2-1)a,环形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为环形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。被磁场围住。被磁场围住的中心区域为反应区，反应区内质量为的中心区域为反应区，反应区内质量为m，电量为，电量为q的带电粒子，若带电粒子由反应的带电粒子，若带电粒子由反应区沿各个不同射入磁场区域，不计带电粒子重力和运动过程中的相互作用，则；区沿各个不同射入磁场区域，不计带电粒子

35、重力和运动过程中的相互作用，则；1、要求所有带电粒子均不能穿过磁场外界，允许带电粒子速度的最大值、要求所有带电粒子均不能穿过磁场外界，允许带电粒子速度的最大值m多大？多大？2、若一带电粒子以上述最大速度从边界上某点沿圆环半、若一带电粒子以上述最大速度从边界上某点沿圆环半径方向垂直射入磁场，求带电粒子从进入磁场开始到第一径方向垂直射入磁场，求带电粒子从进入磁场开始到第一次回到出发点所用的时间次回到出发点所用的时间t. 解：（解：（1 1）由圆周切线方向进入磁场的粒子最易穿越磁场，）由圆周切线方向进入磁场的粒子最易穿越磁场，临界时有临界时有 如图，由如图，由 得得（2）粒子轨迹如图，由图知粒子轨迹

36、如图，由图知则则 即即每次进入磁场转过圆心角为每次进入磁场转过圆心角为225225运动时间为运动时间为在反应区内运动一次在反应区内运动一次总时间为总时间为21()2mRRr2mmmmvBqvr21()2mBq RRvm1tan21rRtan212451225253604mmtBqBq1122124()mRmRtvBq RR121016( 21)88mmtttBqBq?rOA0v1v)(a19图2R1ROC452v)(bAR解：（解：（1）粒子从）粒子从A点射出后到外界边界射出过程，点射出后到外界边界射出过程，由动能定理得由动能定理得 解得：解得： （ 2 ）撤去电场后，作出粒子的运动轨迹如答图

37、）撤去电场后，作出粒子的运动轨迹如答图 1 ，设粒子运动的轨道，设粒子运动的轨道半径为半径为 r ，由牛顿第二定律，由牛顿第二定律 由几何关系可知，粒子运动的圆心角为由几何关系可知，粒子运动的圆心角为 90900 0 ，则，则 得得 联立联立 得得 匀速圆周运动周期匀速圆周运动周期 粒子在磁场中运动时间粒子在磁场中运动时间 联立联立 ，得，得 222vBqvmr22122()rRR02rR2022mvBqR22 rTv14tT0222Rtv（3）要使粒子一定能够从外圆射出，粒子）要使粒子一定能够从外圆射出，粒子刚好与两边界相切，轨迹如刚好与两边界相切，轨迹如 由由 可知，可知， R 越大越大

38、B 越小。与磁场边界相切的圆的最越小。与磁场边界相切的圆的最大半大半径为径为 12022RRRR设此过程的磁感应强度为设此过程的磁感应强度为 B 1,由牛顿第二定律由牛顿第二定律 由由 ，得，得 还有一种情况如图所示还有一种情况如图所示 所以速度大小所以速度大小 v 3应满足：应满足： 或或 233vBqvmR032R qBBqvm002R qBvm00R qBvmOA1v2R1ROC2vA3vR缩放圆法缩放圆法带电粒子以大小不同，方向相同带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速度的变化圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨

39、迹为半径缩放而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图的动态圆（如图 ），利用缩放的），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。迹，使问题得到解决。ovBdabcvB量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）带电粒子在矩形磁场区域中的运动带电粒子在矩形磁场区域中的运动一、处理同源带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法一、处理同源带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法 -放缩法放缩法AvB【例例】 如图所示，质量为如图所示，质量为m m，电荷量为，电荷量为q q，重力不计的带正电，重力不计的带正电粒子，以速度粒子，以速度v v从从A

40、A点垂直射入匀强磁场，磁场的磁感应强度大点垂直射入匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为小为B B，方向垂直于纸面，方向垂直于纸面向里向里. .【问问】 1 1、 当当v v逐渐增大，轨迹有何逐渐增大，轨迹有何规律规律? ?R RR-dR-dL L2 2、加加入距离入距离为为d d、长度为长度为L L的的两水平感光板，要使正电荷两水平感光板，要使正电荷均打到上感光板上，试讨论均打到上感光板上，试讨论带电粒子速度的取值范围带电粒子速度的取值范围 例题例题1 1如图如图 ( (甲甲) )所示，长为所示，长为L L的水平极板间有垂直纸面向里的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为的匀强磁场，磁感

41、应强度为B B，两板间距离也为两板间距离也为L.L.现有质量为现有质量为m m、电荷量为电荷量为q q的粒子的粒子( (不计重力不计重力) )，从左侧中心处以速度从左侧中心处以速度v v水平射入水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，磁场，欲使粒子不打在极板上，则速度大小范围如何？则速度大小范围如何？( () )图（甲）图（甲）找圆心、找圆心、画圆弧、建立三角形画圆弧、建立三角形O154qBLvm图（乙）图（乙）24LR 2222vqv BmR2112vqv BmR24qBLvm24qBLvm图（丙）图（丙）24qBLvm154qBLvm154qBLvm例题例题2 2如图所示，一足够长的矩形区域如

42、图所示，一足够长的矩形区域abcdabcd内充内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B B的匀强磁场，的匀强磁场，在在adad边中点边中点O O，方向垂直磁场向里射入一速度方向，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟跟adad边夹角边夹角3030、大小为、大小为v v0 0的带正电粒子，已的带正电粒子，已知粒子质量为知粒子质量为m m，电量为，电量为q q，adad边长为边长为L L，abab边足够边足够长，粒子重力不计，求长，粒子重力不计，求(1)(1)粒子能从粒子能从abab边上射出磁场的边上射出磁场的v v0 0大小范围。大小范围。(2)(2)若粒子速度不受上述若

43、粒子速度不受上述v v0 0大小大小的限制，求粒子在磁场中运动的的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。最长时间。V0Oabcd300600一、处理同源带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法一、处理同源带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法 -放缩法放缩法R101P0?Qabdc图甲图甲图图 (乙乙)2111vqv BmR13qBLvm2222vqv BmR03qBLqBLvmm2qBLvm图图 (丙丙)532mTt2mtT2vBqvmRmvRBq2 RTv2 mTBq53mmtBq如图，电子垂直左边界射入磁场，若电子的电量如图，电子垂直左边界射入磁场，若电子的电量e，质量质量m，磁感应强度，磁

44、感应强度B及宽度及宽度d已知，若要求电子不从右已知，若要求电子不从右边界穿出，则初速度边界穿出，则初速度v0应满足什么条件？应满足什么条件？de Bv0de Bv0r+rcos60 = dde Bv0若若v0向上与边界成向上与边界成60角，则角，则v0应满足什么条件？应满足什么条件？若若v0向下与边界成向下与边界成60角，则角，则v0应满足什么条件？应满足什么条件？rrcos60 = drdPOQAv0B试题分析：离子不从试题分析：离子不从OP边射出的边射出的临界情况为离子运动的圆轨道与临界情况为离子运动的圆轨道与OP相切，有几何关系：相切，有几何关系：解得：解得： 由由 得得 联立得联立得2

45、SRR21SR 2vBqvmRmvRBq( 21)3( 21)mBqRBqSBqSvmmmAQBPvB代入数据得：代入数据得：3= rm = 2d，= d，练练3、如图，如图，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为为水平放置的足够长的平行板，板间距离为 d =1.0102m，A板上有一电子源板上有一电子源P，Q点在点在P点正上方点正上方B板上，在纸面内从板上，在纸面内从P点向点向Q点发射速度在点发射速度在03.2107m/s范范围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度B=9.1103T，已知电子质量，已知电子质量 m=9.11031

46、kg ，电子电，电子电量量 q=1.61019C ，不计电子重力和电子间的相互作用力，不计电子重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在A、B两板上的范围。两板上的范围。rm电子打在电子打在 板上的范围是板上的范围是PH段。段。因因 qvB=mv2/rm得：得： rm=2d aOdbcBR1练练4、如图，一端无限伸长的矩形区域如图，一端无限伸长的矩形区域abcd内存在着磁感应强内存在着磁感应强度大小为度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边，方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边ad中中点点O射入一速率射入一速率v0

47、、方向与、方向与Od夹角夹角=30的正电粒子，粒的正电粒子，粒子质量为子质量为m，重力不计，带电量为，重力不计，带电量为q，已知，已知ad=L。 （1）要）要使粒子能从使粒子能从ab边射出磁场，求边射出磁场，求v0的取值范围的取值范围。 （2）取不同）取不同v0值，求值，求粒子在磁场中运动时间粒子在磁场中运动时间t 的范围？的范围？ （3）从）从ab边射出的粒子在磁场中运动时间边射出的粒子在磁场中运动时间t 的范围。的范围。得得R1 = L/3 R2R2R2cos60= L/2得：得：R2 = L。mqBLmqBL3练练5、如图，一端无限伸长的矩形区域如图，一端无限伸长的矩形区域abcd内存在

48、着磁感应强内存在着磁感应强度大小为度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边，方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边ad中中点点O射入一速率射入一速率v0、方向与、方向与Od夹角夹角=30的正电粒子，粒的正电粒子，粒子质量为子质量为m，重力不计，带电量为，重力不计，带电量为q，已知，已知ad=L。 （1）要）要使粒子能从使粒子能从ab边射出磁场，求边射出磁场，求v0的取值范围的取值范围。 （2）取不同）取不同v0值，求值，求粒子在磁场中运动时间粒子在磁场中运动时间t 的范围？的范围？ （3）从）从ab边射出的粒子在磁场中运动时间边射出的粒子在磁场中运动时间t 的范围。的范围。 aOdbcBR1R2

49、 t 5 m6Bq4 m3Bq t m3Bq5 m3Bq例例6 6、如图如图1313所示，匀强磁场中磁感应强度为所示，匀强磁场中磁感应强度为B B，宽度为，宽度为d d，一电，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为，已知电子的质量为已知电子的质量为m m，电量为，电量为e e，要使电子能从轨道的另一侧射，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。出，求电子速度大小的范围。 电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力：电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力： 所以；所以； 解析：如图解析：如图1414所示，当入射速度很小时电子会

50、在磁场中转动一段圆弧后又所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为的速率为v v0 0，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得：，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得： r+rcos=d r+rcos=d 。，所以电子从另一侧射出的条件是速度大于，所以电子从另一侧射出的条件是速度大于联立解得：联立解得：B旋旋 转转 圆