几何概型(优秀课件).ppt.ppt

1、3.3.1几何概型 下图是卧室和书房地板的示意图，图中下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？黑砖上的概率大？卧卧 室室书书 房房创设情境3：问题情境问题情境n古典概型的两个基本特点古典概型的两个基本特点: :（1 1）所有的基本事件只有有限个）所有的基本事件只有有限个; ;（2 2）每个基本事件发生都是等可能的）每个基本事件发生都是等可能的. . 那么对于有

2、无限多个试验结果的情况那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢相应的概率应如果求呢? ?思考：上述问题的概率与什么有关？思考：上述问题的概率与什么有关？这是古典概型问题吗？这是古典概型问题吗？几何图形1 1. .取一根长度为取一根长度为30cm30cm的绳子，拉直后在任意位的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm10cm的的概率有多大？概率有多大？从从30cm30cm的绳子上的任意一点剪断的绳子上的任意一点剪断. .基本事件基本事件: :问题问题3 31 1A A) )事事件件A A发发生生的的概概率率P P( (解：记解：

3、记“剪得两段绳长都不小于剪得两段绳长都不小于10cm10cm”为事件为事件A. A. 把绳子三等分把绳子三等分, ,于是当剪断位置处在中间一段上时于是当剪断位置处在中间一段上时, ,事件事件A A发生发生. .由于中间一段的长度等于绳长的由于中间一段的长度等于绳长的1/3.1/3.2.上图中有两个转盘上图中有两个转盘,甲乙两人玩转盘游戏规甲乙两人玩转盘游戏规定当指针指向定当指针指向B区域时区域时,甲获胜甲获胜,否则乙获胜否则乙获胜.在两种情况下分别求在两种情况下分别求甲获胜的概率甲获胜的概率是多少是多少? ?问题问题2153分析：甲获胜的概率只与分析：甲获胜的概率只与B B所在扇形区所在扇形区

4、域的圆弧长度有关，而与域的圆弧长度有关，而与B B所在区域的所在区域的位置无关，不管这些区域是否相邻位置无关，不管这些区域是否相邻 对于一个随机试验对于一个随机试验, ,我们将每个基本事件理解为从某我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地个特定的几何区域内随机地取一点取一点, ,该区域中的每一个点该区域中的每一个点被取到的机会都一样被取到的机会都一样, ,而一个随机事件的发生则理解为恰而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的好取到上述区域内的某个指定区域中的点某个指定区域中的点. .这里的区域可这里的区域可以是以是线段、平面图形、立体图形线段、平面图形、立体图形等等. .:

5、 :(1)(1)基本事件有无限多个基本事件有无限多个;（2)2)基本事件发生是等可能的基本事件发生是等可能的.形成概念如果每个事件发生的概率只与构如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模积）成比例，则称这样的概率模型为型为几何概型几何概型（Geometric models of probability）. .D D的的测测度度d d的的测测度度P P( (A A) ) 一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:注:(2)D(2)D的测度不为的测度不为0,0,当当DD分

6、别是分别是线段、平面图形、立体图形线段、平面图形、立体图形时时, ,相应的相应的“测度测度”分别是分别是长度、面积和体积长度、面积和体积. .（1 1）古典概型与几何概型的区别在于：）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；而古典概型中的等可能事件只有有限多个；（3 3）区域应指）区域应指“开区域开区域” ” ，不包含边界点；在区域，不包含边界点；在区域 内随机取点是指：该点落在内随机取点是指：该点落在 内任何一处都是等可能的，内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而

7、与其性落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关状位置无关DD 1 1. .射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环. .从外向从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色, ,金色金色靶心叫靶心叫“黄心黄心”. .奥运会的比赛靶面直径为奥运会的比赛靶面直径为122cm,122cm,靶心直径为靶心直径为12.2cm.12.2cm.运动员在运动员在70m70m外射箭外射箭, ,假设假设每每箭都能中靶箭都能中靶, ,且射中靶面内任一点都是等可能的且射中靶面内任一点都是等可能的, ,那那么射中黄心的概率是多少么射中黄

8、心的概率是多少? ?练习练习0 0. .0 01 11 12 22 24 41 11 12 2. .2 24 41 1( (B B) )事事件件B B发发生生的的概概率率为为P P2 22 2事事件件B B发发生生. .的的黄黄心心内内时时, ,c cm m1 12 2. .2 2 4 41 1积积为为而而当当中中靶靶点点落落在在面面的的大大圆圆内内, ,c cm m1 12 22 2 4 41 1面面积积为为由由于于中中靶靶点点随随机机落落在在件件B B, ,. .记记“射射中中黄黄心心”为为事事2 22 22 22 2解例例1.1.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机某人午休醒来，发觉表

9、停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于想听电台整点报时，求他等待的时间短于1010分分钟的概率钟的概率. .打开收音机的时刻位于打开收音机的时刻位于5050，6060时间段内时间段内则事件则事件A A发生发生. . 由几何概型的求概率公式得由几何概型的求概率公式得 P P（A A）= =（60-5060-50）/60=1/6/60=1/6 即即“等待报时的时间不超过等待报时的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为1/6.1/6.解：解：记记“等待的时间小于等待的时间小于1010分钟分钟”为事件为事件A A，思考：能用圆盘等设计一种方法模拟试验吗？思考：能用圆盘等设计一种方

10、法模拟试验吗？设打开收音机的时刻设打开收音机的时刻X是随机的，则是随机的，则X为为0，60上的均匀随机数上的均匀随机数1.1.两根相距两根相距8m8m的木杆上系一根拉直绳子的木杆上系一根拉直绳子, ,并在并在绳子上挂一盏灯绳子上挂一盏灯, ,求灯与两端距离都大于求灯与两端距离都大于3m3m的的概率概率. .练习解：记解：记“灯与两端距离都大于灯与两端距离都大于3m”3m”为事件为事件A A，41 8 82 2A A) )事事件件A A发发生生的的概概率率P P( (由于绳长由于绳长8m8m，当挂灯位置介于中间，当挂灯位置介于中间2m2m时，事件时，事件A A发生，于是发生，于是 2.2.在在1

11、 1万平方公里的海域中有万平方公里的海域中有4040平方公里的大陆贮平方公里的大陆贮藏着石油藏着石油. .假如在海域中任意一点钻探假如在海域中任意一点钻探, ,钻到油层面钻到油层面的概率是多少的概率是多少? ?练一练练一练: :3.3.如右下图如右下图, ,假设你在每个图形上随机撒一粒黄假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆豆, ,分别计算它落到阴影部分的概率分别计算它落到阴影部分的概率. .4.4.有一杯有一杯1 1升的水升的水, ,其中含有其中含有1 1个大肠杆个大肠杆菌菌, ,用一个小杯从这杯水中取出用一个小杯从这杯水中取出1010毫升毫升, ,求小杯水中含有这个细菌的概率求小杯水中含有这个细

12、菌的概率. .练一练练一练: :国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现发现30min30min的磁带上，从开始的磁带上，从开始30s30s处起，有处起，有10s10s长的一长的一段内容包含间谍犯罪的段内容包含间谍犯罪的 信息后来发现信息后来发现, ,这段谈话的部分这段谈话的部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了那按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦么由于按错了键使含有犯罪内容的

13、谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？掉的概率有多大？例例2.2.甲、乙二人约定在下午甲、乙二人约定在下午1212点到点到1717点之间在某地会面，点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去先到者等一个小时后即离去, ,设二人在这段时间内的各时刻设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。解：解： 以以 X , YX , Y 分别表示甲分别表示甲、乙二人到达的时刻，乙二人到达的时刻，于是于是05, 05.XY 即即 点点 M M 落在图中的阴影部落在图中的阴影部分分. .所有的点构成一个正所有的点构成一个正方形，

14、即有方形，即有无穷多个结果无穷多个结果. .由于每人在任一时刻到达由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正都是等可能的，所以落在正方形内各点是方形内各点是等可能的等可能的. .M(X,Y)y543210 1 2 3 4 5 x二人会面的充要条件是：二人会面的充要条件是： | 1,XY2 25 5. .9 92 25 54 42 21 12 22 25 5正正方方形形的的面面积积阴阴影影部部分分的的面面积积P P( (A A) )2 20 1 2 3 4 5xy54321y=x -1y=x+1记记“两人会面两人会面”为事件为事件A1.1.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，国家安全

15、机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现发现30min30min的磁带上，从开始的磁带上，从开始30s30s处起，有处起，有10s10s长的一长的一段内容包含间谍犯罪的段内容包含间谍犯罪的 信息后来发现信息后来发现, ,这段谈话的部分这段谈话的部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了那按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？掉的概率有多大？解解: :记事件记事件A:A:按错

16、键使含有犯罪内容的谈话被部分或按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉则事件全部擦掉则事件A A发生就是在发生就是在-minmin时间时间段内按错键故段内按错键故 P(A)= 2 2 3 330= 1 1 4545用几何概型解简单试验问题的方法用几何概型解简单试验问题的方法 1 1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概、适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；型求解； 2 2、把基本事件转化为与之对应的区域、把基本事件转化为与之对应的区域DD； 3 3、把随机事件、把随机事件A A转化为与之对应的区域转化为与之对应的区域d d； 4 4、利用几何概型概率公式计算。、利用几何概型概率公式计

17、算。 注意：要注意基本事件是等可能的。注意：要注意基本事件是等可能的。课堂小结课堂小结n1.1.古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别. .相同：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个. . n2.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式. . . .、体积)、体积)D的测度(长度、面积D的测度(长度、面积、体积)、体积)d的测度(长度、面积d的测度(长度、面积P(A)P(A)n3.3.几何概型问题的概率的求解几何概型问题的概率的求解. . 古典概型古典概型几何概型几何概型联系联系区别区别求解方法求解方法基本事件个数基本事件个数的有限性的有限性基本事件发生基本事件发生的等可能性的等可能性基本事件发生基本事件发生的等可能性的等可能性基本事件个数基本事件个数的无限性的无限性