河北省邯郸市八年级（上）期中数学试卷.pdf

1、第 1 页，共 20 页 八年级（上）期中数学试卷八年级（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 16 小题，共 41.0 分）1.下列运算错误的是( )A. B. C. D. 2.计算( ),则括号内应填入的式子为( )A. B. C. D. 3.下列各式中：（1）-（-a3）4=a12；（2）（-an）2=（-a2）n；（3）（-a-b）3=（a-b）3；（4）（a-b）4=（-a+b）4正确的个数是（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个4.若 n 为正整数，则计算（-a2）n+（-an）2的结果是（）A. 0B. 2an C. -2a2n D. 0 或

2、2a2n5.若（2xy2）3（ xmyn）2= x7y8，则（）A. m=4，n=2B. m=3，n=3C. m=2，n=1D. m=3，n=16.如图， ABC 是等边三角形， 点 P 是三角形内的任意一点， PDAB， PEBC， PFAC，若 ABC 的周长为 36，则 PD+PE+PF=（）A. 12B. 8C. 4D. 37.如图，在ABC 中，AB=AC=6，点 D 在边 AC 上，AD的中垂线交 BC 于点 E若 AED=B， CE=3BE， 则 CD等于（）A. B. 2C. D. 38.如图，已知AOB=60，点 P 在边 OA 上，OP=12，点M， N 在边 OB 上，

3、PM=PN， 若 MN=2， 则 OM=（）A. 3B. 4C. 5D. 6第 2 页，共 20 页9.如图，在等腰中，AB=AC，BAC=50，BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点 O、点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，则CEF 的度数是（ ） A. 60B. 55C. 50D. 4510.如图，点 P 是AOB 外的一点，点 M， N 分别是AOB 两边上的点，点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN上， 点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的延长线上若PM=2.5cm， PN=3cm， MN=4cm， 则线段 QR 的长为（）A. 4.5cmB. 5.

4、5cmC. 6.5cmD. 7cm11.已知 2n=a，5n=b，20n=c，那么 a、b、c 之间满足的等量关系是（）A. c=abB. c=ab2C. c=a2b2D. c=a2b12.如图，AOB=，点 P 是AOB 内的一定点，点 M、N 分别在 OA、OB 上移动，当PMN 的周长最小时，MPN 的值为（）A. 90+B. 90C. 180-D. 180-213.在ABC 中， B=30， 点 D 在 BC 边上， 点 E 在 AC 边上， AD=BD， DE=CE， 若ADE为等腰三角形，则C 的度数为（）A. 20B. 20或 30C. 30或 40D. 20或 4014.如图，

5、AOB=60，OA=OB，动点 C 从点 O 出发，沿射线 OB方向移动，以 AC 为边在右侧作等边ACD， 连接 BD， 则 BD所在直线与 OA 所在直线的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 垂直D. 平行、相交或垂直15.如图,点 P 为定角AOB 的平分线上的一个定点,且MPN 与AOB 互补,若MPN 在绕点 P 旋转的过程中,其两边分别与 OA、OB 相交于 M、N 两点,则以下结论：(1)PM=PN 恒成立；(2)OM+ON 的值不变；(3)四边形 PMON 的面积不变；(4)MN 的第 3 页，共 20 页长不变,其中正确的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 116.

6、如图， ABC 中， AC=DC=3， BD 垂直BAC 的角平分线于 D，E为 AC 的中点， 则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）A. 1.5B. 3C. 4.5D. 9二、填空题（本大题共 3 小题，共 11.0 分）17.已知 272=a6=9b，求 2a2+2ab 的值_18.在ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的钝角为 130，则B 等于_度19.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（4，4） ，若ABC 是关于直线 y=1的轴对称图形，则点 B 的坐标为_；若ABC 是关于直线 y=a 的轴对称图形，则点 B 的坐标为_三、解答

7、题（本大题共 7 小题，共 68.0 分）20.如图，已知ABC 中 AB=AC（1） 作图：在 AC 上有一点 D，延长 BD，并在 BD 的延长线上取点 E， 使 AE=AB，连 AE，作 EAC 的平分线 AF， AF 交 DE于点 F（用尺规作图，保留作图痕迹， 不写作法）；（2）在（1）的条件下，连接 CF，求证：E=ACF第 4 页，共 20 页21.如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）（1）画出格点ABC 关于直线 DE 的对称的A1B1C1；（2）在 DE 上画出点 P，使 PA+PC 最小；（3）在 DE 上画出点 Q，使 QA-QB 最大22.如图

8、，已知ABC 的 BC 边的垂直平分线 DE 与BAC的平分线交于点 E，EFAB 的延长线于点 F，EGAC于点 G，求证：（1）BF=CG；（2）AB+AC=2AG23.(1)观察与发现 ： 小明将三角形纸片 ABC(ABAC)沿过点 A 的直线折叠,使得 AC 落在AB 边上,折痕为 AD,展开纸片(如图);在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片,使点 A 和点 D 重合,折痕为 EF,展平纸片后得到AEF(如图).小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗?请说明理由；(2)实践与运用：将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点第 5 页，共 20 页F

9、 处,折痕为 BE(如图);再沿过点 E 的直线折叠,使点 D 落在 BE 上的点 D处,折痕为 EG(如图);再展平纸片(如图).求图中 的大小.24.在中，且如图 1，垂足分别为点 E，F，求证： 如图 2，如果，且两边分别交边 AB，AC 于点 E，F，那么线段AE，AF，AD 之间有怎样的数量关系？并给出证明第 6 页，共 20 页25.如图所示，已知ABC 中，AB=AC=BC=10 厘米，M、 N 分别从点 A、 点 B 同时出发， 沿三角形的边运动， 已知点 M 的速度是 1 厘米/秒的速度， 点 N 的速度是 2 厘米/秒，当点 N 第一次到达 B 点时，M、 N同时停止运动（

10、1）M、N 同时运动几秒后，M、N 两点重合？（2）M、N 同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？（3）M、N 在 BC 边上运动时，能否得到以 MN 为底边的等腰AMN，如果存在，请求出此时 M、N 运动的时间？26.如图 1，在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 A（a，0） 、B（0，b）两点，且 a，b 满足（a-b）2+|a-4t|=0，且 t0，t 是常数直线 BD 平分OBA，交x 轴于 D 点（1）若 AB 的中点为 M，连接 OM 交 BD 于 N，求证：ON=OD；（2）如图 2，过点 A 作 AEBD，垂足为 E，猜想 AE 与 BD 间的数量关系，并

11、证明你的猜想；（3） 如图 3， 在 x 轴上有一个动点 P（在 A 点的右侧） ， 连接 PB， 并作等腰 RtBPF，其中BPF=90，连接 FA 并延长交 y 轴于 G 点，当 P 点在运动时，OG 的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度第 7 页，共 20 页答案和解析答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算法则以及单项式乘以单项式的法则， 掌握这些法则是解决问题的关键.运用这些法则逐一判断即可.【解答】解：A.（-2a2b）3=-8a6b3，本选项正确,不符合题意；B.（x2y4）3=x6y12，本选项正确，不符合题意；C.（

12、-x）2（x3y）2=x2x6y2=x8y2，本选项正确，不符合题意；D.（-ab）7=-a7b7，本选项错误，符合题意.故选 D.2.【答案】C【解析】解：-9n+1=-（32）n+1=-32n+2=-3n+n+2=3n（-3n+2），括号内应填入的式子为-3n+2故选 C根据同底数幂乘法的性质的逆用，对等式右边式子进行变形，然后根据指数的关系即可求解本题主要考查的是同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则并灵活运用是解题的关键3.【答案】A【解析】解：（1）-（-a3）4=-a12，故本选项错误；（2）（-an）2=（a2）n，故本选项错误；（3）（-a-b）3=-（a+b）3，故本选项错误；（4

13、）（a-b）4=（-a+b）4，正确所以只有（4）一个正确故选 A根据幂的运算性质对各选项进行逐一计算即可判断本题主要利用：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数以及幂的乘方的性质，需要熟练掌握并灵活运用4.【答案】D【解析】解：当 n 为奇数，（-a2）n+（-an）2 =-a2n+a2n =0当 n 为偶数，（-a2）n+（-an）2 =a2n+a2n =2a2n故（-a2）n+（-an）2的结果是 0 或 2a2n故选：D直接利用积的乘方运算法则结合合并同类项法则得出答案第 8 页，共 20 页此题主要考查了积的乘方运算，正确分类讨论是解题关键5.【答案】C【解析

14、】解：（2xy2）3（ xmyn）2= x7y8，8x3y6 x2my2n= x7y8，则 x2m+3y2n+6= x7y8，2m+3=7，2n+6=8，解得：m=2，n=1，故选：C直接利用积的乘方运算法则进而得出 m，n 的值此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键6.【答案】A【解析】 解 ： 如图， 延长 EP、 FP 分别交 AB、 BC 于 G、 H，则由 PDAB， PEBC， PFAC，四边形 PGBD 和四边形 EPHC 是平行四边形，PG=BD，PE=HC，又ABC 是等边三角形，又有 PFAC，PDAB 可得PFG，PDH 是等边三角形，PF=PG=

15、BD，PD=DH，又ABC 的周长为 36，PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC= 36=12，故选：A可过点 P 作平行四边形 PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可求解此题本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质， 解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形7.【答案】B【解析】解：AB=AC=6，B=C，AED=B，BAE=180-B-AEB，CED=180-AED-AEB，BAE=CED，AD 的中垂线交 BC 于点 E，AE=DE，在ABE 与ECD 中，ABEECD（AAS），CE=AB=6，BE=CD，CE=3BE，CD=BE=2

16、，故选：B第 9 页，共 20 页根据等腰三角形的性质得到B=C，推出BAE=CED，根据线段垂直平分线的性质得到 AE=DE，根据全等三角形的性质得到 CE=AB=6，BE=CD，即可得到结论本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键8.【答案】C【解析】解：过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D，在 RtOPD 中，cos60= ，OP=12，OD=6，PM=PN，PDMN，MN=2，MD=ND= MN=1，OM=OD-MD=6-1=5故选：C过 P 作 PDOB， 交 OB 于点 D， 在直角三角形 POD 中，

17、 利用锐角三角函数定义求出 OD的长，再由 PM=PN，利用三线合一得到 D 为 MN 中点，根据 MN 求出 MD 的长，由OD-MD 即可求出 OM 的长此题考查了含 30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键9.【答案】C【解析】解：如图，连接 OB，BAC=50，AO 为BAC 的平分线，BAO= BAC= 50=25又AB=AC，ABC=ACB=65DO 是 AB 的垂直平分线，OA=OB，ABO=BAO=25，OBC=ABC-ABO=65-25=40AO 为BAC 的平分线，AB=AC，直线 AO 垂直平分 BC，OB=OC，OCB=OBC=

18、40，将C 沿 EF（E 在 BC 上，F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好重合，OE=CECOE=OCB=40；在OCE 中，OEC=180-COE-OCB=180-40-40=100，第 10 页，共 20 页CEF= CEO=50故选 C连接 OB，OC，先求出BAO=25，进而求出OBC=40，求出COE=OCB=40，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决本题主要考查了等腰三角形以及翻折变换及其应用， 解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断10.【答案】A【解析】解：点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上，点

19、P 关于 OB 的对称点R 落在 MN 的延长线上，PM=MQ，PN=NR，PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，RN=3cm，MQ=2.5cm，即 NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5（cm），则线段 QR 的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）故选：A利用轴对称图形的性质得出 PM=MQ，PN=NR，进而利用 MN=4cm，得出 NQ 的长，即可得出 QR 的长此题主要考查了轴对称图形的性质，得出 PM=MQ，PN=NR 是解题关键11.【答案】D【解析】解：2n=a，5n=b，20n=c，4n5n=20n，即（2n）25n=20n，c=a2b故选：D直接利用积的乘方运算法

20、则将原式变形得出答案此题主要考查了积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键12.【答案】D【解析】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 P1、P2，交 OA 于 M，交 OB 于 N，则OP1=OP=OP2，OP1M=MPO，NPO=NP2O，根据轴对称的性质可得 MP=P1M，PN=P2N，PMN 的周长的最小值=P1P2，由轴对称的性质可得P1OP2=2AOB=2，等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P1=180-2，MPN=OPM+OPN=OP1M+OP2N=OP1P2+OP2P1=180-2，故选：D分别作点 P 关于 OA、 OB 的对称点 P1、 P2， 连

21、接 P1、 P2， 交 OA 于 M， 交 OB 于 N， PMN的周长最小值等于 P1P2的长，然后依据等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P1=180-2，即可得出MPN=OPM+OPN=OP1M+OP2N=180-2本题考查了轴对称-最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰OP1P2中OP1P2+OP2P1的度数是关键凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点第 11 页，共 20 页13.【答案】D【解析】解：如图所示，AD=BD，B=30，ADC=60，DE=CE，可设C=EDC=，则ADE=60-，AED=2，根据三角形内角和定理可得，DA

22、E=120-，分三种情况：当 AE=AD 时，有 60-=2，解得 =20；当 DA=DE 时，有 120-=2，解得 =40；当 EA=ED 时，有 120-=60-，方程无解，综上所述，C 的度数为 20或 40，故选：D先根据三角形外角性质，得出ADC=60，则设C=EDC=，进而得到ADE=60-，AED=2，DAE=120-，最后根据ADE 为等腰三角形，进行分类讨论即可本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是依据题意画出图形，并进行分类讨论14.【答案】A【解析】解：AOB=60，OA=OB，OAB 是等边三角形，OA=AB，O

23、AB=ABO=60当点 C 在线段 OB 上时，如图 1，ACD 是等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC 和ABD 中，AOCABD，ABD=AOC=60，DBE=180-ABO-ABD=60=AOB，BDOA，当点 C 在 OB 的延长线上时，如图 2，同的方法得出 OABD，ACD 是等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC 和ABD 中，AOCABD，ABD=AOC=60，第 12 页，共 20 页DBE=180-ABO-ABD=60=AOB，BDOA，故选：A先判断出 OA=OB，OAB=ABO，分两种情况判断出OAC=BAD，进而判断出

24、AOCABD，即可得出结论此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出ABD=60是解本题的关键15.【答案】B【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.如图作 PEOA 于 E，PFOB 于 F只要证明POEPOF，PEMPFN，即可逐一判断【解答】解：如图作 PEOA 于 E，PFOB 于 FPEO=PFO=90，EPF+AOB=180，MPN+AOB=180，EPF=MPN，EPM=FPN，OP 平分AOB，PEOA 于 E，PFOB 于 F，PE

25、=PF，在POE 和POF 中，POEPOF（HL），OE=OF，在PEM 和PFN 中，PEMPFN，EM=NF，PM=PN，故（1）正确，SPEM=SPNF，S四边形 PMON=S四边形 PEOF=定值，故（3）正确，OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故（2）正确，MN 的长度是变化的，故（4）错误.故选 B.第 13 页，共 20 页16.【答案】C【解析】解：延长 BD 交 AC 延长线于点 H设 AD 交 BE 于点 OADBH，ADB=ADH=90，ABD+BAD=90，H+HAD=90，BAD=HAD，ABD=H，AB=AH，ADBH，BD=DH，DC=CA，CD

26、A=CAD，CAD+H=90，CDA+CDH=90，CDH=H，CD=CH=AC，AE=EC，SABE= SABH，SCDH= SABH，SOBD-SAOE=SADB-SABE=SADH-SCDH=SACD，AC=CD=3，当 DCAC 时，ACD 的面积最大，最大面积为 33= 故选：C首先证明两个阴影部分面积之差=SADC，当 CDAC 时，ACD 的面积最大本题考查等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题17.【答案】0 或 36【解析】解：272=a6=9b，36=a6=32b，a=3，2b=6，解得：b=3，当 a=3，b=3 时，

27、故 2a2+2ab=29+233=36；当 a=-3，b=3 时，故 2a2+2ab=29-233=0；综上所述：2a2+2ab 的值为 0 或 36直接利用幂的乘方运算法则计算进而得出答案此题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键第 14 页，共 20 页18.【答案】70 或 20【解析】解：AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的钝角为 130即EDC=130， ADE=50，AED=90，如图 1，当ABC 是锐角三角形时，A=40，AB=AC，B=C=70，如图 2，当ABC 是钝角三角形时，BAC=ADE+AED=50+90=140，AB=AC，B=C=20综

28、上所述，底角 B 的度数是 70或 20故答案为：70 或 20首先根据题意作图， 然后由 AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 52， 即可得ADE=52，AED=90，然后直角三角形的两锐角互余，当三角形是锐角三角形时，即可求得A 的度数，当三角形是钝角三角形时，可得A 的邻补角的度数；又由 AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和的定理，即可求得底角 B 的大小此题考查了等腰三角形与线段垂直平分线的性质此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，要注意分情况讨论19.【答案】（4，-2）；（4，2a-4）【解析】解：根据题意，点 A 和点 B 是关于直线 y=1 对

29、称的对应点，它们到 y=1 的距离相等，是 3 个单位长度，ABx 轴，点 B 的坐标是（4，-2）若ABC 是关于直线 y=a 的轴对称图形， 则点 B 的横坐标为 4， 纵坐标为 a-（4-a） =2a-4，点 B 的坐标为（4，2a-4），故答案为：（4，-2），（4，2a-4）根据轴对称的性质，可得对称点的连线被对称轴垂直平分，即可得到两点到对称轴的距离相等利用此性质可在坐标系中得到对应点的坐标本题主要考查了坐标的对称特点，解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线20.【答案】（1）解：如图所示；（2）证明：AB=AC，AE=AB，AE=AC，AF 是EAC 的

30、平分线，EAF=CAF，在AEF 和ACF 中，AEFACF（SAS），第 15 页，共 20 页E=ACF【解析】（1）以 A 为圆心，以 AB 长为半径画弧，与 BD 的延长线的交点即为点 E，再以点 A 为圆心，以任意长为半径画弧，分别与 AC、AE 相交，然后以这两点为圆心，以大于它们 长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点 A 与这一点作出射线与 BE 的交点即为所求的点 F；（2） 求出 AE=AC， 根据角平分线的定义可得EAF=CAF， 再利用 “边角边” 证明AEF和ACF 全等，根据全等三角形对应角相等可得E=ACF本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作一条线

31、段等于已知线段，角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键21.【答案】解：（1）如图，A1B1C1即为所求；（2）如图，连接 A1C 交 DE 于点 P，点 P 即为所求；（3）延长 AB 交 DE 于点 Q，点 Q 即为所求.【解析】此题主要考查有关轴对称-最短路线的问题中的作图步骤，用到的知识点为：两点之间，线段最短注意作图形变换这类题的关键是找到图形的对应点.（1） 分别作点 A、B、C 关于直线 DE 的对称点 A1、B1、C1； 顺次连接 A1、B1、C1所得的三角形即为所求（2）依据轴对称的性质，连接 C1A（或 A1C）与直线 DE 交于点 P 即可（3） 根据 QA-

32、QBAB，即可得到 QA-QB 最大值为 AB 的长，据此延长 AB 交 DE 于点 Q，点 Q 即为所求.22.【答案】（1）证明：连接 BE、EC，EDBC，D 为 BC 中点，BE=EC，EFABEG AG，且 AE 平分FAG，FE=EG，在 RtBFE 和 RtCGE 中，RtBFERtCGE （HL），BF=CG；（2）在 RtAFE 与 RtAGE 中，RtAFERtAGE，第 16 页，共 20 页AG=AF，AB+AC=AB+AG+CG=AB+AG+BF=AG+AF=2AG【解析】（1）连接 EB、EC，利用已知条件证明 RtBEFRtCEG，即可得到 BF=CG；（2）根据

33、（1）中的条件证得 RtAFERtAGE，根据全等三角形的性质得到 AG=AF，于是得到结论本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练正确全等三角形的判定定理是解题的关键23.【答案】解：（1）同意如图，设 AD 与 EF 交于点 G由折叠知，AD 平分BAC，所以BAD=CAD又由折叠知，AGE=DGE，AGE+DGE=180，所以AGE=AGF=90，所以AEF=AFE所以 AE=AF，即AEF 为等腰三角形（2）由折叠知，四边形 ABFE 是正方形，AEB=45，所以BED=135又由折叠知，BEG=DEG，所以DEG=BEG=67.5从而=67.5-4

34、5=22.5【解析】（1）由两次折叠知，点 A 在 EF 的中垂线上，所以 AE=AF；（2）由图知，=BEG-BEF本题是一道折叠操作性考题重点考查学生通过观察学习，领悟感受，探究发现折叠图形的对称性，培养其自主学习能力，本题的关键是成轴对称的两个图形全等，对应角相等在解答此题时，有的人往往知道结论，书写不规范，建议教师在以后的教学中，在培养学生自主学习能力的同时，还要注重培养有条理表达和规范证明的能力24.【答案】（1）证明：AB=AC，ADBC，BAD=DAC= BAC，BAC=120，BAD=DAC= 120=60，DEAB，DFAC，ADE=ADF=90-60=30，AE= AD，A

35、F= AD，AE+AF= AD+ AD=AD；（2）解： 线段 AE，AF，AD 之间的数量关系为：AE+AF=AD，理由如下：连接 BD，如图所示：第 17 页，共 20 页BAD=60，AB=AD，ABD 是等边三角形，BD=AD，ABD=ADB=60，DAC=60，ABD=DAC，EDB+EDA=EDA+ADF=60，EDB=ADF，在BDE 与ADF 中，BDEADF（ASA），BE=AF，AE+BE=AD，AE+AF=AD【解析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出BAD=DAC= 120=60，再证出ADE=ADF=90-60=30，由含 30 角的直角三角形的性质得出 AE=

36、AD，AF= AD，即可得出结论；（2）连接 BD，证明ABD 是等边三角形，得出 BD=AD，ABD=ADB=60，证出ABD=DAC，得出EDB=ADF，由 ASA 证明BDEADF，得出 BE=AF，即可得出结论本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含 30 角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键25.【答案】解：（1）设点 M、N 运动 x 秒后，M、N 两点重合，x1+10=2x，解得：x=10；（2）设点 M、N 运动 t 秒后，可得到等边三角形AMN，如图 ，AM=t1=t，AN=AB-BN=10-2

37、t，三角形AMN 是等边三角形，t=10-2t，解得 t= ，点 M、N 运动 秒后，可得到等边三角形AMN；（3）当点 M、N 在 BC 边上运动时，可以得到以 MN 为底边的等腰三角形，由（1）知 10 秒时 M、N 两点重合，恰好在 C 处，如图，假设AMN 是等腰三角形，AN=AM，AMN=ANM，AMC=ANB，AB=BC=AC，ACB 是等边三角形，第 18 页，共 20 页C=B，在ACM 和ABN 中，ACMABN（AAS），CM=BN，设当点 M、N 在 BC 边上运动时，M、N 运动的时间 y 秒时，AMN 是等腰三角形，CM=y-10，NB=30-2y，CM=NB，y-1

38、0=30-2y，解得：y= 故假设成立当点 M、N 在 BC 边上运动时，能得到以 MN 为底边的等腰AMN，此时 M、N 运动的时间为 秒【解析】 此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系（1） 首先设点 M、N 运动 x 秒后，M、N 两点重合，表示出 M，N 的运动路程，N 的运动路程比 M 的运动路程多 10cm，列出方程求解即可；（2） 根据题意设点 M、N 运动 t 秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出 AM，AN的长，由于A 等于 60，所以只要 AM=AN 三角形 ANM 就是等边三角形；（3）首先假设AMN 是等腰三角形，可证

39、出ACMABN，可得 CM=BN，设出运动时间，表示出 CM，NB 的长，列出方程，可解出未知数的值26.【答案】（1）证明：直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 A（a，0）、B（0，b）两点，且 a，b 满足（a-b）2+|a-4t|=0，且 t0，a=b=4t，当 x=0 时，y=4t，当 y=0 时，-x+4t=0，解得 x=4t，点 A、B 的坐标是 A（4t，0），B（0，4t），AOB 是等腰直角三角形，点 M 是 AB 的中点，OMAB，MOA=45，直线 BD 平分OBA，ABD= ABO=22.5，OND=BNM=90-ABD=90-22.5=67.5，ODB=ABD+BA

40、D=22.5+45=67.5，OND=ODB，ON=OD（等角对等边）；（2）答：BD=2AE理由如下：延长 AE 交 BO 于 C，BD 平分OBA，ABD=CBD，AEBD 于点 E，AEB=CEB=90，第 19 页，共 20 页在ABECBE 中，ABECBE（ASA），AE=CE，AC=2AE，AEBD，OAC+ADE=90，又OBD+BDO=90，ADE=BDO（对顶角相等），OAC=OBD，在OAC 与OBD 中，OACOBD（ASA），BD=AC，BD=2AE；（3）OG 的长不变，且 OG=4过 F 作 FHOP，垂足为 H，FPH+PFH=90，BPF=90，BPO+FPH

41、=90，FPH=BPO，BPF 是等腰直角三角形，BP=FP，在OBP 与HPF 中，OBPHPF（AAS），FH=OP，PH=OB=4t，AH=PH+AP=OB+AP，OA=OB，AH=OA+OP=OP，FH=AH，GAO=FAH=45，AOG 是等腰直角三角形，OG=OA=4t【解析】 （1） 根据直线解析式求出点 A、B 的坐标，然后得出AOB 是等腰直角三角形，再根据角平分线的定义求出ABD=22.5，根据等腰三角形三线合一的性质 OMAB，第 20 页，共 20 页然后根据直角三角形两锐角互余的性质与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出OND=67.5，ODB=67.5，利用等角对等边得到 ON=OD；（2）延长 AE 交 BO 于 C，得ABECBE，得到 AC=2AE，再证OACOBD 得到BD=AE，从而得到 BD=2AE；（3） 作 FHOP，垂足为 H，利用角角边定理可以证明OBP 与HPF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 FH=OP、PH=OB=4，再证 AH=FH，FAH=OAG=45，OG=OA=4t本题综合考查了一次函数，全等三角形的判定与全等三角形的性质，以及等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形三线合一的性质，综合性较强，求解比较繁琐，但只要仔细分析，认真求解也不难解决，难度较大