数理统计的基础知识课件.pptx

1、第第 四四 章章 数数 理理 统统 计计 的的 基基 础础 知知 识识数理统计是研究统计工作一般原理和方法的科学，它主要阐数理统计是研究统计工作一般原理和方法的科学，它主要阐述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。 数理统计的任务数理统计的任务就是在概率论的基础上研究怎样以就是在概率论的基础上研究怎样以有效的方式收集、整理和分析可获得的有限的有效的方式收集、整理和分析可获得的有限的, , 带带有随机性的数据资料有随机性的数据资料, ,对所考察问题的统计

2、规律性尽对所考察问题的统计规律性尽可能作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的可能作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的决策和行动提供依据和建议决策和行动提供依据和建议. .数理统计与概率论是两个有密切联系的学科，数理统计与概率论是两个有密切联系的学科，它们都以随机现象的统计规律为研究对象。它们都以随机现象的统计规律为研究对象。但在研究问题的方法上有很大区别：但在研究问题的方法上有很大区别：概率论概率论 已知随机变量服从的分布规律已知随机变量服从的分布规律, , 寻求寻求 分布的性质、数字特征、及其应用分布的性质、数字特征、及其应用; ; 数理统计数理统计 通过对实验数据的统计分析通过对实验

3、数据的统计分析, ,寻找寻找 所服从的分布和数字特征所服从的分布和数字特征, , 从而从而 推断整体的规律性推断整体的规律性. . 数理统计的核心问题数理统计的核心问题由样本推断总体由样本推断总体 统计推断统计推断数理统计的一般步骤：数理统计的一般步骤：数据资料的收集数据资料的收集数据的整理、分析数据的整理、分析4.1 总体与样本总体与样本4.2 统计量统计量4.3 常用的统计分布常用的统计分布4.4 抽样分布抽样分布一、总体与样本一、总体与样本研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量考察国产考察国产 轿车的质量轿车的质量总体总体总体总体1、总体与个体；总体分布、总体与个体；总体分布具有一定的共同

4、属性的研究对象全体具有一定的共同属性的研究对象全体.总体：总体：总体中每个对象或成员。总体中每个对象或成员。个体个体： 然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项(或几项或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体总体.该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体就是总体全体就是总体灯泡的寿命灯泡的寿命国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量所有国产轿车每公里耗油所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体量的全体就是总体 由于每个个体的出

5、现带有随机性，即相应的数量指标由于每个个体的出现带有随机性，即相应的数量指标值的出现带有随机性。从而可把此种数量指标看作随值的出现带有随机性。从而可把此种数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量或其分布来描述总体。机变量，我们用一个随机变量或其分布来描述总体。通常，我们用随机变量通常，我们用随机变量X , Y , Z, 等表示总体。等表示总体。定义定义XX统统计计学学中中称称随随机机变变量量（或或向向量量） 为为，并并把把总总随随机机变变量量（或或向向量量） 的的体体总总分分布布称称为为体体分分布布. .注：注：总体的分布一般来说是未知的，统计学的主要总体的分布一般来说是未知的，统计学的主要任

6、务正是要对总体的未知分布进行推断任务正是要对总体的未知分布进行推断. .2、样本与样本值；样本分布、样本与样本值；样本分布 有有限限总总体体总总体体无无限限总总体体 正正态态分分布布总总体体指指数数分分布布总总体体总总体体二二项项分分布布总总体体12(,).nXXX(1)(1)样样本本：从从总总体体中中抽抽取取的的部部分分个个体体 . .(nr v维维抽抽样样具具有有随随机机性性）样本容量：样本中所含的个体的数目样本容量：样本中所含的个体的数目n.样本值：样本的一次观察值或实现值样本值：样本的一次观察值或实现值12(,).nxxx(2) (2) 简单随机样本简单随机样本满足上述两条性质的样本称

7、为满足上述两条性质的样本称为简单随机样本简单随机样本.1. 代表性代表性： X1,X2, Xn中每一个与所考察的总体中每一个与所考察的总体X有相同的分布有相同的分布.2. 独立性独立性： X1,X2, Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.注：以后所考虑的样本均为简单随机样本，注：以后所考虑的样本均为简单随机样本，并简称为样本并简称为样本.12 （ ）有有放放回回取取样样获获取取方方法法（ ）不不放放回回取取样样（总体规模很大）（总体规模很大）(3) 样本样本分布分布1212( ),(,)nnXF xXXXxxx设设总总体体样样本本( (, , , ,) )， ，为为样样本本值值，12

8、nXXX样样本本(,)(,)的的联联合合分分布布. .1212(,)nnXXXF xxx则则(,)(,)，i1(niF x ) )称称之之为为样样本本分分布布. .1212( ),(,)nnXf xXXXf xxx若若设设总总体体则则样样本本(,(,连连续续型型,特特) ) ，别别地地，i1(nif x ).).21221( ,(,)nnXNXXXxxx 正正态态总总体体) ), ,样样本本( (, , , ,) )， ，为为例例样样本本值值，1i1221(,)(, ,)，)nnniXXXxxxx 221()( )exp22xXx 12221()exp2niix 22111() exp() 2

9、2nniix . .( ),Xp xP Xx离离散散型型总总体体 的的概概率率分分布布为为则则样样本本的的概概率率分分布布为为12(,)np xxx，1122,nnP XxXxXxi1(nip x ) ). .12( ),(,)nXPXXX 设设总总体体为为其其样样本本，则则样样本本的的例例概概率率分分布布为为：12knniknsiii其其中中 (1)(1)取取非非负负整整数数，而而+ + .+ + .1122,nnP XiXiXi1nkkP Xi 1!kinkkei 12!nsnneiii 解解X总总体体的的概概率率分分布布为为iippiXP 1)1()1, 0( i1212(1, ),01

10、,(,),(,).nnXbppXXXXXX 设设总总体体服服从从两两点点分分布布其其中中是是来来自自总总体体的的样样本本求求样样本本的的概概率率分分布布练习：练习：,2211nnxXxXxXP 2211nnxXPxXPxXP niiniixnxpp11)1(.1 , 0,21中取值中取值在集合在集合其中其中nxxx 比如我比如我们从某班大学生中抽取们从某班大学生中抽取 10 人测量身高人测量身高, 得到得到 10 个数个数. 我们只能观察到我们只能观察到随机变量取的值随机变量取的值而见不到而见不到随随机变量机变量. 它们是样本它们是样本取到的值而不是样本取到的值而不是样本. 总体、样本、样本值

11、的关系总体总体( (理论分布理论分布) )？ 样本样本 样本值样本值 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料 样本值样本值, 去推断总体的情况去推断总体的情况 总体总体分布分布F( (x) )的性质的性质. 总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，的规律，事实上事实上, 我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值. 因而因而可以由样本值去推断总体可以由样本值去推断总体. ? ? ? 是总体的代表是总体的代表, 含有总体的信息含有总体的信息分散、复杂分散、复杂 样本是联系二者的

12、桥梁样本是联系二者的桥梁 二、统计量二、统计量1. 定义定义 由样本推断总体特征由样本推断总体特征, ,需要对样本进行需要对样本进行“加工加工”, ,“提提炼炼”. .这就需要构造一些这就需要构造一些样本的函数样本的函数, ,它把样本中所含它把样本中所含的信息集中起来的信息集中起来. .1212(,)(,)4 3nnXXXXXXX 设设为为总总体体 的的一一个个样样本本，称称此此样样本本的的任任一一不不含含总总体体分分布布未未知知参参数数的的函函数数h h为为该该样样本本的的定定义义 . .统统计计量量. .12121212,(,)(,).nnnnxxxXXXh xxxh XXX设设是是相相应

13、应于于样样本本的的样样本本值值则则称称是是的的观观察察值值?,),(,22321哪哪些些不不是是些些是是统统计计量量判判断断下下列列各各式式哪哪为为未未知知为为已已知知其其中中样样本本的的一一个个是是来来自自总总体体设设 NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是例例12. 常用统计量常用统计量1212,),(,).nnXXXxxx设设( (是是来来自自总总体体X X的的一一个个样样本本是是这这一一样样本本的的样样本本值值(1)样本平均值样本平均值11;niiXXn (2)

14、样本方差样本方差22011()niiSXXn .1122 niiXnXn.11 niixnx其观察值其观察值它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息其观察值其观察值22011()niisxxn .1122 niixnxn修正修正样本方差样本方差2211()1niiSXXn .11122 niiXnXn其观察值其观察值2211()1niisxxn .11122 niixnxn22200(1nSSnSn 充充分分大大时时）(3)样本标准差样本标准差 2211;1niiSSXXn 其观察值其观察值211() .1niisxxn (4) 样本样本 k 阶

15、阶(原点原点)矩矩;, 2, 1,11 kXnAnikik其观察值其观察值.,2111kxnanikik注：一阶原点矩即为样本均值注：一阶原点矩即为样本均值.(5)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩;, 3, 2,)(11 kXXnBnikik其观察值其观察值., 3, 2,)(11 kxxnbnikik上述五种统计量可统称为样本的矩统计量，简称为上述五种统计量可统称为样本的矩统计量，简称为样本矩样本矩.他们皆可表为样本的显式函数他们皆可表为样本的显式函数.注：二阶中心矩即为未修正样本方差注：二阶中心矩即为未修正样本方差.样本矩具有下列性质样本矩具有下列性质:性质性质21221222210(),(

16、),(,),:(1)();(2)();(3)();(4)().nnnnXE XD XXXXXE XD XE SE S 设设总总体体 的的期期望望方方差差为为来来自自总总体体 的的样样本本 则则有有12(1)(2)( )(1)(2)( )( )(,),)6nnniXXXXXXXXXXXi设设为为总总体体 的的一一个个样样本本. .将将样样本本中中的的诸诸分分量量按按由由小小到到大大的的次次序序排排列列成成顺顺序序统统计计量量（ ）顺顺序序统统 则则称称( (为为样样本本的的一一组组，称称为为样样本本的的第第 个个顺顺序序计计量量统统计计量量. .(1)12(1)12( )(1)min(,)max

17、(,).nnnXXXXXXXXXX 样样本本极极小小值值样样本本称称极极特特别别地地，与与分分别别为为与与，并并称称为为样样本本值值的的大大极极差差12(,)nXXXX设为总体 的一个样本，需推断总体分布中某一未知参数 ，12(,; ),.nU XXX构造一个样本函数服从一个已知分布仅含一个未知参数，但其分布却已知的样本函数仅含一个未知参数，但其分布却已知的样本函数称为称为枢轴量枢轴量.220012( ,),(,)nXNXXXX 设设总总体体其其中中已已知知， 未未知知，为为总总体体 的的一一例例如如个个样样本本，.U 故故 是是一一枢枢轴轴量量，可可用用来来对对未未知知参参数数 作作统统计计推推断断0()n XU 令令 (0,1) N