振动分析的矩阵迭代法课件.pptx

1、高等结构动力学第十三章第十三章高等结构动力学振动分析的矩阵迭代法高等结构动力学高等结构动力学引言 振型位移叠加法提供了一种计算结构动力反应的有效方法，即无阻尼振型用于对结构运动方程组解耦。 问题如何获得结构的无阻尼振型？ Stodola法以迭代为基础，先假定初始振型并迭代调整至实际振型的适当近似,再由运动方程确定振动频率.引言高等结构动力学基本振型分析Stodola法2nn=m vnIf- 1D = km2- 1nnv =kmv（13-1）（13-2） (13-3)基本振型分析Stodola法n- 1I v n = kf (13-4) 或者用式（13-1）则为 可记作高等结构动力学基本振型分析

2、Stodola法2nnv =D v (13-5) 1011v= D v(13-5a) 先假定试探形状,它尽可能接近第一振型的形状,而振幅是任意的,即：高等结构动力学基本振型分析Stodola法 考虑任一点k的位移 1111211v=v (13-6*) 0111211=kkvv (13-7*)021111kkvv（13-9）高等结构动力学基本振型分析Stodola法 0021111111minmaxkkkkvvvv (13-11)1011211111vm vvm vTT 取平均值求频率的近似值 (13-10) 真正的第一振型频率介于上式求得的最大值和最小值之间:高等结构动力学基本振型分析Stod

3、ola法重复上述过程s次，能求得较近似的解,即s次循环之后s -1211()s11m a x ()1m a x ()m a x ()svvv s 1111221111vvs (13-12)(13-13) 高等结构动力学收敛性的证明 最初假定的形状用正规坐标表示为 000001112233vYYYY 00022I111fm vmY 22000022211I11122233323fm YYY (13-14) 第一振型频率的振动形状所对应的惯性力为 （13-15） (13-16)收敛性的证明高等结构动力学收敛性的证明 由这些惯性力产生的挠度是 -1-121000221I11112222vk fk m

4、 YY 21021112v nnnniDY (13-17) (13-18)2nnnD 或高等结构动力学收敛性的证明 （13-19） 210111vYNnnn=n则由(13-17)可写为 然后，用最大的基准元素 去除 ，使之规格化，从而得到改进的第一次迭代循环的形状 ，因此 20111111(1)111Ymax()max()Nnnn=nvvvv （13-20） 11max()v 11v高等结构动力学收敛性的证明 用同样方法做下一次迭代循环得到第二次循环产生的形状 40121211(2)211Ymax()max()Nnnn=nvvvv （13-21） (13-22) s次循环后 ss(0)(0)2

5、1111122( )s1211().max()max()SsvvYYvv高等结构动力学收敛性的证明 (13-23)2s2s11231 该方程最后一个等号成立,第一振型的系数远大于其它的系数.最终结果可视为 (0)s1111(0)11max()YvY (13-24)高等结构动力学收敛性的证明收敛性的证明（第收敛性的证明（第2 2种方法）种方法）11MiiiKMK10 x 迭代格式 即即:1MkkKxx1 iiix21MKxx1112111111MMMNNNi iiiiiiiixKxKK213211MNiiiixKx高等结构动力学收敛性的证明11111111MkkkNNiiiikkiiiixKx1

6、,kkx 10高等结构动力学收敛性的证明 由(11-39)得 (13-25*) （13-26*） 作下一次迭代循环得到第二次循环产生的挠度 (13-27*)2nnnfm 11111vYYNnnn= 242210111vYY nnnnY则由(13-17)可写为高等结构动力学收敛性的证明 s次循环后 (13-28*) (13-23) 2s00ss1111vYYY nn2s2s11231 该方程最后一个等号成立,第一振型的系数远大于其它的系数.高等结构动力学高阶振型分析 第二振型分析第二振型分析 (13-23*) 假定一个第二振型 (13-25) 2s2s2ss000112233123vYYY 00

7、2vY 000TTT12111122m vmYmY 则 (13-26) 展开(13-21)得高阶振型分析高阶振型分析高等结构动力学高阶振型分析不包含第一振型的试探形状为 由于振型正交特性则 (13-28)0T01211m vYM0002211vvY (13-27)高等结构动力学高阶振型分析 (13-29)在这种情形中,(13-5)能写成 (13-30)其中 (13-31)0000T221121211vvm vS vM T11111SIm M(0 )(1)22221vD v 在试探向量中消除第一振型分量的方便方法是 应用淘汰矩阵S1高等结构动力学高阶振型分析其中 代入(13-31)得 (13-3

8、4) (13-32)(1)(0)(0)21222221vDS vD v21D =DS此时可用下式计算频率(1)(0 )T2222(1)(1)22(1)(0 )222(v)m vvm vvDv (13-33)高等结构动力学高阶振型分析 第三和更高振型的分析第三和更高振型的分析 净化了的第三振型的形状为 (13-35) 利用正交特性(0)(0)(0)(0)331 122vvYY(0)(0)(0)TT31131 1(0)(0)(0)TT32232 2mv0mvmv0mv MYM Y高等结构动力学高阶振型分析代入(13-35)得则(0)(0)T11311mvYM(0)(0)T22321m vYM(0)

9、(0)(0)(0)TT331 132 2312(0)(0)(0)(0)TT31 132 2331211vvmvmv11vImvmvvMMMM (13-36a) (13-36b)或高等结构动力学高阶振型分析 由第一淘汰矩阵减去第二振型的项可得第二淘汰矩阵 (13-38) 第三振型的Stodola关系式为 (13-39)其中淘汰矩阵的运算表示为 (13-40)T212221SSm M(0)(0)323vS v(0)(1)(0)(0)332333231vDv=DS vD v高等结构动力学高阶振型分析求第四振型计算第三淘汰矩阵 (13-43) (13-41)相应的动力矩阵 (13-42)T323331

10、SSm M( 0 )( 0 )434vSv43DD S依次类推Tnnnn-1n1SSm Mn+1nDDS高等结构动力学高阶振型分析最高振型的分析最高振型的分析 由(13-1)式得 (13-44) 若代入最高振型的试探形状2v= E v-11EmkD 102vE vNNN (13-45)（13-46） 高等结构动力学高阶振型分析其中第N振型频率的近似值为120k NNk Nvv 11210vmvvmvTNNNTNN 10vEvNN证明最高振型收敛与最低振型收敛的区别是2221231tttNNNNNN（13-47a）（13-47b）(13-48)高等结构动力学用矩阵迭代法分析屈曲kkv0GG0 2

11、11011vD v-1D = km (13-49a)(13-49b) (11-24)当结构上作用轴向力,并假定轴向力不随着结构振动变化时,可采用求特征值和特征向量的Stodala迭代方法振动频率趋于零时,静力特征方程为用矩阵迭代法分析屈曲高等结构动力学用矩阵迭代法分析屈曲G1v = G v0Gf kG1011G 11v= G vG0k0 Tmnmn假设第一屈曲形式的试探向量,迭代过程如下较高屈曲形式要考虑正交条件(13-50a)(13-50b) (13-51)(13-52)高等结构动力学用矩阵迭代法分析屈曲 传递矩阵法传递矩阵法 ij iiT 状态向量 用符号表示为 传递状态向量的点矩阵可通过

12、下式确定 （13-53b*） 用符号表示为 11Tip i+i（13-54b*）（13-53a*）（13-54a*）高等结构动力学用矩阵迭代法分析屈曲 合并点矩阵和场矩阵得整段的传递矩阵 或代入(13-53*)和(13-54*)求传递矩阵得 1111TT TTiji ijipi+ii+i22111211011T0111iiiiiiimmfffm (13-55*) (13-56*)高等结构动力学用矩阵迭代法分析屈曲 例如 用顶层的状态向量基础的状态向量 若定义（13-59*）1 11 2 21 21TTTTTT TBNN N1 2 3 41TTTTTT TNNNTBNN（13-57*）（13-5

13、8*） (13-57*)可写为 高等结构动力学用矩阵迭代法分析屈曲 Holzer-Myklestad法法 图中假定质量沿轴线集中在一系列点上,结构的自由度是这些点的侧向平移和转动,假定连接质点的梁段没有重量,且每一段的弯曲刚度为常量.考虑场矩阵和点矩阵,如下图图13-5* 弯曲体系的自由度 高等结构动力学用矩阵迭代法分析屈曲图13-6* 在梁结构中用场和点矩阵联系的状态向量 高等结构动力学用矩阵迭代法分析屈曲 场矩阵关系式为 (13-60a*)高等结构动力学用矩阵迭代法分析屈曲i + 1i + 1Tip(13-60b*)(13-61a*) 或用符号表示为 点矩阵对应的向量高等结构动力学用矩阵迭

14、代法分析屈曲Tij ii 完整的传递矩阵为 (13-61b*)21212221p +1i+13322110010TT T1221626iiiiiiiijiiiiiiiiiiiiimll ml mllEIEIEIl mlllEIEIEI(13-62*) 或用符号表示为高等结构动力学用矩阵迭代法分析屈曲 对于(14-59a)展开(13-63*) 高等结构动力学用矩阵迭代法分析屈曲 或用将边界条件代入上式,如图14-5的简支梁,每一端的弯矩和 位移为零,则上式变为 代入单位转动振幅,得方程(13-64*) 高等结构动力学用矩阵迭代法分析屈曲 能确定相应的剪力值如下(13-65*) 再由第二个方程给出

15、自由振动条件:高等结构动力学用矩阵迭代法分析屈曲 注意这个分析过程中N点的边界条件一开始就代入到传递矩关系中,即 (13-66*)(13-67*) 121TTTTBN-NN高等结构动力学逆迭代法首选的方法21(1) 逆迭代法是利用刚度矩阵窄宽性质的首选方法，因为它应用刚度矩阵的逆矩阵，所以此方法向最低阵型收敛 与直接迭代法一样，指定初始假定位移向量，便可类似于式(13-6)的表达式给出此假定位移形状作简谐运动的惯性力然而，由于随后要用规格化步骤效应剔除掉，所以此式中频率被假设为，而作为结果的惯性力被表示为( 0 )1v (13-53)逆迭代法首选的方法( 0 )( 0 )11wm v高等结构动

16、力学逆迭代法首选的方法1)(fk 现对这些惯性力作用的结构平衡方程组求解，得到这些惯性力的改进位移向量，即 求解这些方程组的一条途径是通过就刚度矩阵的逆矩阵得到柔度矩阵，再用这个柔度矩阵乘以惯性力(1 )( 0 )11vfW(1 )( 0 )1k vw( 1 )1v (13-54) 实际上这个方法完全等同于直接迭代分析，如前面解释的，由于需要求逆，还要乘以一个满的柔度矩阵，这将导致计算效率低下高等结构动力学逆迭代法首选的方法 在这里推荐的逆迭代法中，首先用auss消元法分解刚度矩阵成如下形式，然后求解平衡方程(13-54)Td LUTkL d LL U (13-55) 将式(13-55)代入方

17、程(13-54),得到(1 )( 0 )11L U vW (13-54a )然后分如下两步进行求解：(1) 定义(1 )(1 )11yU v (13-56)高等结构动力学逆迭代法首选的方法并下式求解 (13-57) (2) 由下式求解(1 )(1 )11U vy (13-58 )如上所述，然后将这个导出的向量用其中的最大单元相除进行规格化，从而得到第一次迭代循环的结果，即改进的第一振型：(1 )(1 )11(1 )1m a x ()vvv (13-59)( 1 )1v(1 )( 0 )11L yW( 1 )1v高等结构动力学逆迭代法首选的方法重要的是注意，三角矩阵和中保留了刚度矩阵k的窄宽特征

18、，因此与直接矩阵迭代使用的柔度矩阵形式相比，这个逆位移分析方法的效率大大提高因为，此逆迭代法与前述的直接迭代法的区别在于：它是跟高效率的，用来计算导出位移向量的auss分解技术。所以，如果以前用来计算的式(13-7)被上述联立方程(13-54a)的解所取代然而，虽然这个区别看起来很小，但是基于式(13-54a)到式(13-58)的逆迭代法却具有巨大的计算优势( 1 )1v( 1 )1v高等结构动力学移位逆迭代法在发展了的计算高阶振型振动性质的其他方法中，有效的方法之一是基于特征值“移位”概念的方法将特征值问题方程表示为式(13-5)柔度形式的求逆问题：nnnE移位逆迭代法 (13-60)E (

19、13-61)移位的基本概念是把每一个特征值表示成移位和余量之和，即nnnn (13-62)高等结构动力学移位逆迭代法或者 (13-63)I如图13-2所示，移为可以想象成在特征值图形上原点位置的移动它的作用是将实际特征值的分析转变为余量的分析 图13-2 在特征值轴上一个移位的说明高等结构动力学移位逆迭代法把(13-63)代入(16-61)()EI这个新的特征值问题可以按照与上面描述的类似方法采用逆迭代求解它可重写为()EI (13-64)E (13-65)1( 0 )(1 )1( 0 )m a x ()kkkvEvEv高等结构动力学移位逆迭代法或者通过比较式(13-22),它可写成( 0 )

20、( 0 )()1( 0 )( 0 )m a x ()m a x ()NssnnnsknksskkvYEvEvEv()( 0 )1( 0 )( 0 )( 0 )11m a x ()()()sskkskkNkkkknnnnnnknnvEvYYY (13-66)高等结构动力学移位逆迭代法这里表示成最小的余量特征值，即 (13-67)k12kkk和12kkk计算的振型收敛于( 0 )()( 0 )m a x ()m a x ()sskkkkkkskkkkYvY高等结构动力学移位逆迭代法对于图13-2的情形，就收敛到第二振型类似于(13-13)，可见该振型的余量特征值等于规格化以前算得的特征向量的最大项

21、： (13-68)()1m a x ()kskv因此实际特征值由它加上移位值而得到()1m a x ()kskv从式(13-11)能够推导出一个很好的近似位移点的公式( )(1)( )( )sskkksskkvmvvmv (13-69)高等结构动力学移位逆迭代法所推荐的利用移位的逆迭代分析方法，其运算过程与在13-6节所述的没有利用移位的情况几乎相同，首先从如下形式特征值问题开始2nnnkm可以改写为kkm (13-71)()nnnkm()nnnkmm (13-70)记将上式代入(13-70)，然后开始求解位移的迭代过程(1)(0)kkkvW (13-72)高等结构动力学移位逆迭代法为在联立方

22、程求解过程中利用的窄带特性，用Gauss消元法将其简化为上三角和下三角矩阵形式kL U (13-73)然后，求改进位移的两个步骤等同于前面所述的式(13-56)和(13-58)，第一轮迭代的最终形状通过式(13-59)所示的规格化来获得k( 1 )kv高等结构动力学特殊特征值问题概述在此，采用描述振动惯性力和弹性恢复力相平衡的无阻尼自由振动方程，作为基本特征值方程，则对于第“n”振型有2nnnkm (13-74)特殊特征值问题概述12nnnkm21nnnD (13-75)高等结构动力学特殊特征值问题概述由质量矩阵的逆矩阵乘以式(13-74)可以得到另一个主要的特征值问题的列式，其结果等同于式(

23、13-60)，即12nnnmk (13-76)2nnnE式(13-76)通常用于逆迭代过程但这里将其表示为高等结构动力学特殊特征值问题概述动力矩阵按特征特性的展开动力矩阵按特征特性的展开nnnE (13-77)TL nL nnE对转置特征值问题可以写为一个值得提及的特征值问题的概念是，将一个矩阵用其特征值和特征向量进行展开 (13-78)TETTL nnL nE高等结构动力学特殊特征值问题概述TTL mnL mnnE (13-79)由式(13-79)减去式(13-80)可得用特征向量前乘式(13-77)，即 (13-80 )TL mTTL mnmL mnE0TnmL mn (13-81 )它表

24、明了正交特性0TL mn()mn高等结构动力学特殊特征值问题概述如果将特征向量规格化以满足的条件，并令全部右和左的方阵分别为和，从规格化和正交条件，显然有 (13-82a )1TL nnTLI (13-85 )L1TL (13-82b )E (13-83 )TLE (13-84 )TLE 这个结果也能表示成各振型贡献之和：1NTnnL nnE (13-86 )高等结构动力学特殊特征值问题概述此外，矩阵的平方是 (13-86 )22TTTLLLE ssTLE (13-87 ) 必须记住式(13-87) 的展开式是建立在特征向量已规格化的基础上只要再引入一个附加的规格条件，就能得到左特征向量的一个

25、特殊表达式例如， (13-88 )TTkm TmI (13-89 )1Lmk (13-90 )高等结构动力学13-8 特殊特征值问题概述动力矩阵的对称形式一般的振动特征问题把质量矩阵分解成一个矩阵与它的转置的乘积来求得转换矩阵,可采取对角质量矩阵和一致质量矩阵kmnnn nyynnB转换成标准对称形式（13-142*）（13-143*）高等结构动力学13-8 特殊特征值概述对角质量矩阵对角质量矩阵令（13-144*） (13-145*)1/2nnmy1/21/2nnnmkmyyTmT Tv则一致质量矩阵一致质量矩阵-1/2nnTyv1/2T-1/2nnnT kTyyvv (13-146*) (

26、13-147*) (13-148*)高等结构动力学自由度的缩减13.9* 自由度的缩减2kv=mv00002KKv00vKKv0mv0tt0tttttt 离散质量的配置离散质量的配置 自由振动运动方程写成形式为(13-68*) 对质量和刚度矩阵作分割得 (13-69*)高等结构动力学自由度的缩减2k v =m vttttt 假设为集中质量体系,用静力凝聚得振动方程 (13-70*) 采用柔度形式可写为t21v= f mvtttt (13-71*)高等结构动力学自由度的缩减 离散坐标体系中的离散坐标体系中的RayleighRayleigh法法自由振动中的速度向量为采用假设的形状和广义坐标来表示结

27、构的位移 0vsinttt（13-72a*） 0vcostt （13-72b*）高等结构动力学自由度的缩减 结构的最大动能和位能为Tm a xm a xm a x1vm v2T (13-73a*)Tm a xm a xm a x1vk v2V (13-73b*) 将(13-72*)求得的值代入22m ax01m2 TT （13-74a*）2m a x01k2TV（13-74b*）高等结构动力学自由度的缩减 将改进的Rayleigh法写成矩阵形式,取初始位移为:0vZ（13-76*） 使最大动能等于最大位能求得频率为*2*kmTTkm (13-75*)高等结构动力学自由度的缩减将上式代入(13-

28、73*)可得改进的Rayleigh法表态式为 022fmvmI (13-77*)由这些惯性力引起的挠度为 12vfffmI (13-78*)2m fmm fm fmTT (13-79*)则自由振动产生的惯性力为高等结构动力学自由度的缩减Rayleigh-Ritz法法Ritz法的基本假设为由非零力自由度表示的全部位移为112233v= v = (13-80*)10000ttvkkv -100 00 ttt vkkv =vIv高等结构动力学自由度的缩减把(13-80*)代入(13-73*)得体系的最大动能和位能为2max1m2 TTT（13-81a*）max1k2 TTV （13-81b*）令它们

29、相等求得频率为 (13-82*)2()()TTTTZkZk Zm ZZmZ高等结构动力学自由度的缩减将频率表达式对任一广义坐标微分并令其为零再由(13-82*)得22mk/km/0mnnn (13-83*)2km0 nnnnk2m2kTTTTn (13-85a*)(13-84*)高等结构动力学自由度的缩减类似地n2m TTnm (13-85b*)将(13-85*)代入(13-84*)并转置得2km0 TTnn (13-86*)T2Tkm0 依次对每一个广义坐标使频率最小,则整组方程可表示为高等结构动力学自由度的缩减则得采用符号*Tkk （13-87a*）*Tmm（13-87b*）*2*(km

30、)0 (13-88*)高等结构动力学自由度的缩减 (13-87*)是广义质量和广义刚度,其每一个元素是一个广义质量和广义刚度项,即 (13-88*)应用前面讨论的行列式解法,对于只有少量的广义坐标的体系得到的对低振型精度高,但对高振型的精度就很差.应将振型向量规格化.*Tmnmnkk（13-89a*）*Tmnmnmm（13-89b*）高等结构动力学自由度的缩减用振幅表示广义坐标这些振型对于广义质量和广义刚度是正交的,将式(13-90*)代入(13-80*),几何坐标就能用规格化振型坐标来表示为Y （13-90*）v=Y（13-92*）高等结构动力学自由度的缩减可见,几何坐标中的近似振型为假定的

31、形状与广义坐标振型之积前面的Rayleigh法的改进方式也适用于Rayleigh-Ritz法 （13-93*）高等结构动力学自由度的缩减由初始形状所对应的惯性力产生的挠度为 前面的Rayleigh法的改进方式也适用于Rayleigh-Ritz法,用改进了的广义坐标刚度和质量矩阵来代替(13-87*)Tkmfm （13-94a*）Tmmfmfm （13-94b*） 10fm （13-95*）高等结构动力学自由度的缩减则(13-94*)即可写为 Stodola分析只能产生一个振型和频率,而连续使用Ritz改进过程能同时求得一组缩减了的振型和频率.这个方法叫做子空间迭代. 10kmT （13-96a

32、*） 11mmT （13-96b*）高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念13-10* 矩阵迭代的一些基本概念式(13-43*)写成Ennn (13-97*) TEL nL nnTTEL nnL n (13-98*)TTEnnnL mL m (13-99*)TTEnmnL mL m (13-100*)高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念式(14-99*)减去(14-100*)得0=TnmnLm0 TnmnLm (13-101*)它表明了正交特性高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念几个重要结论几个重要结论ETL E=TL=1E=NTnnLnn (13-104*)(13-105*) (13-105a

33、*)22TTTLLLE (13-106*)stTLE (13-107*)-1mkL (13-110*)高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念特征问题的迭代解特征问题的迭代解正分析假定最高振型为01vYNNnnnY (13-111*) 10vEvNN 10110vEvv=max vmax EvNNNNN (13-112*) 1022102EvE vvmax Evmax E vNNNNN(13-113*) 0s0sE vvmaxE vsNNN (13-114*)高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念把(14-107)和(14-111)代入(14-114)得 1000sssYYvmax E vmax E

34、 vmax E vNssTsnn nsnLNNNNY 10s1vm axE vssNsNnNNNNNnNNYY (13-115*)高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念再进一步迭加 vmaxmaxssNNNNNNsNNNNYY 进行足够多次的迭代后,括号里的可以忽略. 1vEvmaxmaxssTNNNNLnNN 最高振型的特征值在规格化以前由特征向量的最大项给出为1max vsNN (13-117*) (13-116*)高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念逆迭代的第一次循环的结果为 0-11110-11Evvm a xEv (13-118*) -1111 1021vmax E vttNsN N-

35、snnYY (13-119*)高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念对应的特征值进行足够多次的迭代后,括号里的可以忽略. 1111vmaxs (13-120*)1111max vs (13-121*)高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念带有移位的迭代带有移位的迭代把每一个特征值表示成移位和余量之和nn（13-122*）I (13-123*)高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念将上式代入(13-103*)引入动力矩阵的修正矩阵IEE- I E=E- I（13-124*） E (13-125*)高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念特征问题的逆迭代解0- 110-

36、1Evvm a xEvmmm 1-sm011vmax E v smssNNmmm mn nn nnnnn m-smYYY（13-126*）高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念其中 (13-127*)1212mmmmmm 其迭代多次后收敛于 vmaxmaxssmm mmmmsmmm mYY 高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念该振型的余量特征值等于规则化以前得到的特征向量的最大项因此实际的特征值由它加上移位面得到近似移位点的公式:s+11max vmm+11max vmtm s1svmvmTsmmmTsmmvv (13-128*) (13-129*)高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念自由振动方

37、程代入特征值的移位2kmnnnkmnnn(k- m)mnnn(13-130*)高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念迭代过程 100kvmvwnnn (13-131*) 0-110-1k wvmax k wnnn (13-132*)高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念子空间迭代子空间迭代位移 0000v （13-134*）初始广义坐标为单位矩阵k=m（13-135*）（13-136*）（13-137*）(1)(0)( 0 )k=mW(1)-1( 0 )=k W高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念规则化和正交化的方式法一（13-138*）（13-139*）(1)(1)(1)(0)*1kk=TTm(1)(1)*1mTm(1)(1)*2111k Zm Z高等结构动力学矩阵迭代的一些基本概念（13-140*）（13-141*）(1)(1)*11TZm Z(2)(2)(2)Z(1)(1)(1)(1)VZ(s)21 s法二当