岩土工程师注册：材料力学课件.ppt

1、岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学注册工程师执业资格考试培训注册工程师执业资格考试培训材料力学材料力学 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学一、基本概念一、基本概念 内力：构件在外力作用下发生变形，引起构件内部各质点之间产生的附加内力内力：构件在外力作用下发生变形，引起构件内部各质点之间产生的附加内力（简称内力）。（简称内力）。应力：截面内一点处内力的分布集度。单位是：应力：截面内一点处内力的分布集度。单位是：N/m2（Pa）、）、N/mm2（MPa）等。等。应力可分为正应力应力可分为正应力 和剪应力和剪应力 （剪应力）。（剪应力）。 位移：构件内任一点由其原来位置到

2、其新位置的连线称为该点的线位移。构件内某位移：构件内任一点由其原来位置到其新位置的连线称为该点的线位移。构件内某一线段（或平面）由原始位置所转过的角度称为该线段（或平面）的角位移。一线段（或平面）由原始位置所转过的角度称为该线段（或平面）的角位移。 变形：构件形状的改变。变形：构件形状的改变。 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学 应变：构件内任一点处的变形程度。应变又可分为线应变应变：构件内任一点处的变形程度。应变又可分为线应变 和剪应变和剪应变 ，均为无量纲，均为无量纲量。量。 线应变线应变 表示变形前构件内任一点处的一条微线段表示变形前构件内任一点处的一条微线段,变形后的长度

3、改变量与其原始长变形后的长度改变量与其原始长度之比。度之比。 剪应变剪应变 表示过构件内任一点的两个互相垂直的微线段，变形后两个微线段的角度表示过构件内任一点的两个互相垂直的微线段，变形后两个微线段的角度改变量。改变量。 例题例题 单元体变形后的形状如图中虚线所示，则单元体变形后的形状如图中虚线所示，则A点的剪应变点的剪应变 是多少？是多少？答案：答案： O， ， 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学一、轴向拉伸与压缩一、轴向拉伸与压缩大纲要求大纲要求低碳钢、铸铁拉伸、压缩实验的应力低碳钢、铸铁拉伸、压缩实验的应力应变曲线；力学性能指标。应变曲线；力学性能指标。轴力和轴力图；杆件横

4、截面和斜截面上的应力；强度条件；虎克定律；变形计算。轴力和轴力图；杆件横截面和斜截面上的应力；强度条件；虎克定律；变形计算。岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学1、拉压内力、拉压内力拉压内力：轴力拉压内力：轴力FN 关键点：关键点： 截面法截面法, , 正负号，正确画内力图正负号，正确画内力图 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例题例题 图示杆受轴向外力作用，已图示杆受轴向外力作用，已知知P=60kN，求杆各段轴力，并绘，求杆各段轴力，并绘轴力图。轴力图。P2PAPCBD岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学解：求轴力解：求轴力BC段段 从从1-1面截开，留

5、右段，面截开，留右段， 设轴力设轴力FN1为正为正X=0 FN1 -P =0 FN1 =P=60kN（拉）（拉）P2PAPCBDXA1FN1PC1222PPCBFN233P2PPCBDFN3xFN(kN)6060120DB段段 从从2-2面截开，留右段，面截开，留右段， 设轴力设轴力FN2为正为正X=0 FN2 +2P -P =0 FN2 = -P= -60kN（压）（压）3绘轴力图绘轴力图AD段段 从从3-3面截开，留右段，面截开，留右段， 设轴力设轴力FN3为正为正X=0 FN3 +P +2P -P=0 FN3 = -2P= -120kN（压）（压）岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：

6、材料力学例例题题 已知图示杆的轴力图，已知图示杆的轴力图，请选择该杆相应的载荷图。请选择该杆相应的载荷图。 答案答案 D 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学（1 1）拉伸（或压缩）正应力：）拉伸（或压缩）正应力： A为横截面积。为横截面积。 拉压斜截面上的应力拉压斜截面上的应力 角角 以逆时针为正，反之为负。以逆时针为正，反之为负。 2sin)2/(cos22、拉压应力及强度、拉压应力及强度最大剪应力最大剪应力 2/max方向：方向：4545度度 AFN岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学3 3、拉压变形、拉压变形 对于变内力、变截面的杆件应分段计算变形，再求和得总变

7、形；对于变内力、变截面的杆件应分段计算变形，再求和得总变形； 1）拉压变形计算公式）拉压变形计算公式 纵向变形纵向变形 E纵向应变纵向应变 横向应变横向应变 EAlFlN岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学最大轴力最大轴力 FNmaxql 例例 图示杆长为图示杆长为l，截面积为，截面积为A，弹性模量为，弹性模量为E。求。求均布荷载均布荷载q引起的杆横截面应力和纵向伸长量。引起的杆横截面应力和纵向伸长量。解：距下端为解：距下端为x的横截面的横截面m-m，轴力为，轴力为FN(x)=qx，轴力图如图（，轴力图如图（b）最大正应力最大正应力 Aql /max在在x处取微段处取微段dx，其纵

8、向伸长为，其纵向伸长为 EAxxFxNdd杆件总伸长杆件总伸长 EAqlxxEAqxEAqxEAxxFllllN2ddd2000岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将时，斜线将( )( )。(A)(A)平动平动 (B)(B)转动转动 (C)(C)不动不动 (D)(D)平动加转动平动加转动答案答案 D 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学二、扭转变形二、扭转变形大纲要求大纲要求扭矩和扭矩图；圆轴扭转切应力；切应力互等定理；剪切虎克定律；扭矩和扭矩图；圆轴扭转切应力；切应力互等定理；剪

9、切虎克定律； 圆轴扭转的强度条件；扭转角计算及刚度条件。圆轴扭转的强度条件；扭转角计算及刚度条件。 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学1、扭转内力、扭转内力扭转内力：扭矩扭转内力：扭矩T 关键点：关键点：截面法截面法, , 正负号，正确画内力图正负号，正确画内力图 扭矩正负号规定扭矩正负号规定 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学 例例 已知传动轴的主动轮已知传动轴的主动轮A输输入的力偶矩入的力偶矩MA=12.74kNm，三，三个从动轮输出的力偶矩分别为个从动轮输出的力偶矩分别为MB= MC=3.82kNm ， MD=5.10kNm 。试画轴的扭矩。试画轴的扭矩图，并

10、求轮的合理布局。图，并求轮的合理布局。 将此例中的将此例中的A、B 轮对调，则扭矩图如轮对调，则扭矩图如图图5.4-5(d)所示，由此可知，合理布置所示，由此可知，合理布置荷载可以降低内力的最大值，提高杆荷载可以降低内力的最大值，提高杆件的承载能力。件的承载能力。 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学实心圆截面实心圆截面 2、圆截面轴扭转剪应力公式：圆截面轴扭转剪应力公式： PIT163234dWdIpp空心圆截面空心圆截面 )1 (16)1 (324344DWDIppPPWTITRmax岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 在图示受扭圆轴横截面上的剪应力分布在图示

11、受扭圆轴横截面上的剪应力分布图中，正确的结果是图中，正确的结果是( )。 答案答案 D岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在一起。扭转变形时，横截面上剪应力分布一起。扭转变形时，横截面上剪应力分布有图示四种答案。其中正确的一种是？有图示四种答案。其中正确的一种是？ 答案答案 B岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学3 3、扭转变形、扭转变形 pGITl例例 已知扭转刚度已知扭转刚度GIPGIP，扭转求轴两端面的相对扭转角扭转求轴两端面的相对扭转角 pGIT单位长度扭转角单位长度扭转角扭转角扭转角 岩土

12、工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学答案：答案： 椭圆椭圆 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，则圆轴的扭转角是原来的则圆轴的扭转角是原来的( )( )。(A)(A) 2 2倍倍 (B) 4(B) 4倍倍 (C) 8倍倍 (D) 16倍倍 答案：答案：D D 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学三、弯曲变形三、弯曲变形大纲要求大纲要求梁的内力方程；剪力图和弯矩图；分布载荷、剪力、弯矩之间的微分关系；梁的内力方程；剪力图和弯矩图；分布载荷、剪力、弯矩之间的微分关系；正应力强度条件；切

13、应力强度条件；梁的合理截面；弯曲中心概念；求梁正应力强度条件；切应力强度条件；梁的合理截面；弯曲中心概念；求梁变形的积分法、叠加法。变形的积分法、叠加法。岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学1、弯曲内力、弯曲内力关键点：关键点： 截面法截面法, , 正负号，正确画内力图正负号，正确画内力图 重点：重点： 熟练利用剪力熟练利用剪力Fs、弯矩、弯矩M与分布力与分布力q的微分关系及其图形的规律的微分关系及其图形的规律判断内力图的正确性。判断内力图的正确性。 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学截面法求内力截面法求内力: :任一截面的剪力等于该截面以左或以右部分全部外力的代数和

14、。任一截面的剪力等于该截面以左或以右部分全部外力的代数和。 任一截面的弯矩等于该截面以左或以右部分全部外力对该截面形心之矩的代数和。任一截面的弯矩等于该截面以左或以右部分全部外力对该截面形心之矩的代数和。 作图示刚架作图示刚架的弯矩图的弯矩图岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学 （1）利用）利用Fs、M与与q之间的微分关系，有下述结论之间的微分关系，有下述结论(正的剪力画在上方，正的弯矩画在下方）正的剪力画在上方，正的弯矩画在下方） ： c)在在Fs=0截面，截面，M图有极值；在图有极值；在Fs突变处，突变处，M图有折角。图有折角。 b）qc (常数常数)段，段，Fs为斜直线，为斜

15、直线，M为抛物线。为抛物线。当当q () 0，Fs，M ；当；当q () 0， M图图 （上升），（上升），Fs 0，M图图 /（下降）。（下降）。 剪力、弯矩与分布力的微分关系剪力、弯矩与分布力的微分关系岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学 （2）Fs图、图、M图的一般规律：图的一般规律： a）集中力作用处，）集中力作用处，Fs突变，突变量等于集中力值，突变方向与集中力方向一致。突变，突变量等于集中力值，突变方向与集中力方向一致。M斜率突变，出现折角。斜率突变，出现折角。 b）在集中力偶作用处，）在集中力偶作用处，Fs图无变化。图无变化。M图有突变，突变量等于该集中力偶矩值。图有

16、突变，突变量等于该集中力偶矩值。c)c)当梁的简支端或自由端无集中力偶时当梁的简支端或自由端无集中力偶时, , M为零。为零。 d d）梁的最大弯矩通常发生在剪力）梁的最大弯矩通常发生在剪力Fs=0=0处或集中力、集中力偶作用点处。处或集中力、集中力偶作用点处。 e) e)对称结构承受对称荷载时，剪力图反对称，弯矩图对称；承受反对称荷载时，剪对称结构承受对称荷载时，剪力图反对称，弯矩图对称；承受反对称荷载时，剪力图对称，弯矩图反对称。力图对称，弯矩图反对称。 以上剪力图与载荷关系可推广到轴力以上剪力图与载荷关系可推广到轴力FN、扭矩、扭矩T中。中。 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料

17、力学例例 根据梁的受力分析根据梁的受力分析Fs、M图的图形图的图形 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 悬臂梁受力如图，弯矩图的三种答案：悬臂梁受力如图，弯矩图的三种答案：图图(A)、图、图(B)、和图、和图(C)中正确的是？中正确的是？答案答案 C岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 梁的弯矩图如图示，则梁的最大剪力是：梁的弯矩图如图示，则梁的最大剪力是： (A) (B)/2 (C)/2 (D)/2 答案答案 D提示：最大剪力提示：最大剪力=曲线最大斜率曲线最大斜率岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 连续梁两种受力情况如图所示，力连续梁两种

18、受力情况如图所示，力F非常靠近非常靠近中间铰链。则下面四项中正确结论为中间铰链。则下面四项中正确结论为( )。(A)(A)两者的两者的Fs图和图和M图完全相同图完全相同(B)(B)两者的两者的Fs图相同，图相同，M图不同图不同(C)(C)两者的两者的Fs图不同，图不同，M图相同图相同(D)两者的两者的Fs图和图和M图均不相同图均不相同 答案答案 A 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学矩形截面：矩形截面： 2 2、 弯曲应力弯曲应力 326434dWdIzz空心圆截面空心圆截面 )1 (32)1 (644344DWDIzz1）弯曲正应力公式）弯曲正应力公式 zIMy最大正应力最大正

19、应力 zzzWMyIMIMymaxmaxmax/实心圆截面实心圆截面 123bhIz62bhWz岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学2）矩形截面弯曲剪应力）矩形截面弯曲剪应力 矩形截面剪应力矩形截面剪应力最大值在中性轴处最大值在中性轴处bIFsSzz*任意截面剪应力最大值位置不确定任意截面剪应力最大值位置不确定23maxFs zWMmax bISFszz*maxmaxmax三类强度计算三类强度计算 校核强度校核强度 设计截面设计截面 计算最大荷载计算最大荷载maxZWMmaxMWZmaxZWM对铸铁等脆性材料对铸铁等脆性材料maxttmaxCC岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册

20、：材料力学例例 T形截面铸铁梁的荷载及截面尺寸如图形截面铸铁梁的荷载及截面尺寸如图(a)示，示，C为为T形截面的形心，惯矩形截面的形心，惯矩Iz6013104mm4，材料的许可拉，材料的许可拉应力应力 t40MPa，许可压应力，许可压应力 c160MPa，试校核，试校核梁的强度。梁的强度。 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学解：作内力图解：作内力图62430 10 (230157.5)()6013 10BtBzM yI36.2MPa36.2MPa t t 61430 10157.5()6013 10BcBzM yI78.6MPa78.6MPa c c B截面截面A截面截面6141

21、50 10157.5()6013 10AtAzM yI39.3MPa39.3MPa t t 分析分析 危险截面：危险截面：A、B截截面面提示：当梁的截面上下不对称，且有反弯矩，最大拉、压应力往往不在同提示：当梁的截面上下不对称，且有反弯矩，最大拉、压应力往往不在同一截面上一截面上 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 矩形截面混凝土梁，为提高其抗拉强度，在梁矩形截面混凝土梁，为提高其抗拉强度，在梁中配置钢筋。若梁弯矩如图示，则梁内钢筋中配置钢筋。若梁弯矩如图示，则梁内钢筋( (虚线虚线所示所示) )的合理配置是的合理配置是( )( )。答案答案 D 岩土工程师注册：材料力学岩土

22、工程师注册：材料力学 薄壁截面梁横截面上的剪应力沿壁厚均匀分布，作用线平行于截面边缘的切线，形薄壁截面梁横截面上的剪应力沿壁厚均匀分布，作用线平行于截面边缘的切线，形成成“剪应力流剪应力流”。 3、 弯曲中心的概念弯曲中心的概念 当横向力作用面平行于形心主惯性平面并通过某一特定点时，杆件只发生弯曲而无当横向力作用面平行于形心主惯性平面并通过某一特定点时，杆件只发生弯曲而无扭转，称该点为弯曲中心。弯曲中心实际上是横截面上弯曲剪应力的合力作用点，扭转，称该点为弯曲中心。弯曲中心实际上是横截面上弯曲剪应力的合力作用点，因此弯曲中心又称为剪切中心。因此弯曲中心又称为剪切中心。1）、）、 弯曲中心弯曲中

23、心岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学 2. 2.若截面具有对称轴时，弯曲中心必位于对称轴上；由两个狭长矩形组成的截面，若截面具有对称轴时，弯曲中心必位于对称轴上；由两个狭长矩形组成的截面，如如T形、形、L形等，弯曲中心必位于该两个狭长矩形中线的交点。形等，弯曲中心必位于该两个狭长矩形中线的交点。 2） 弯曲中心的特征弯曲中心的特征 1. 弯曲中心的位置仅取决于横截面的形状与尺寸，与外力无关。弯曲中心的位置仅取决于横截面的形状与尺寸，与外力无关。 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学 2. 2.横向外力作用平面与梁的形心主惯性平面平行并通过截面的弯曲中心横向外力作用平面

24、与梁的形心主惯性平面平行并通过截面的弯曲中心3) 发生平面弯曲的条件发生平面弯曲的条件 1.外力偶作用平面与梁的形心主惯性平面平行；外力偶作用平面与梁的形心主惯性平面平行；岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学4 4、提高梁弯曲承载能力的措施、提高梁弯曲承载能力的措施1 1）合理截面型状）合理截面型状在面积一定的条件下（材料不增加）在面积一定的条件下（材料不增加）, ,材料分布离中性轴越远，对提高正材料分布离中性轴越远，对提高正应力强度越有利。应力强度越有利。AW越大越好。越大越好。PbhPbh621bhWz622hbWZ(1)(2)在面积一定的条件下在面积一定的条件下, ,空心截面

25、优于实心截面。空心截面优于实心截面。岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 图示铸铁梁有图示铸铁梁有(A)(A)、(B)(B)、(C)(C)和和(D)(D)四种截面形四种截面形状可供选择，根据正应力强度条件，合理的截面状可供选择，根据正应力强度条件，合理的截面形状是形状是( )( )。答案：答案：C C岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学使使Mmax尽量小尽量小2）合理布置荷载和支座合理布置荷载和支座p2L2L+4PLLPM8PL4L+M4L岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学4 4、弯曲变形、弯曲变形 积分法求弯曲变形时需注意确定积分常数的条件：挠曲线连

26、续、转角连续，积分法求弯曲变形时需注意确定积分常数的条件：挠曲线连续、转角连续，满足约束条件。满足约束条件。 EIxMx)()(1( )M xvEI岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 直径为直径为d的等直圆杆，在外力偶作用下发生纯弯的等直圆杆，在外力偶作用下发生纯弯曲变形，已知变形后中性层的曲率为曲变形，已知变形后中性层的曲率为，材料的弹，材料的弹性模量为性模量为E，则该梁的弯矩，则该梁的弯矩M为多少？为多少？ 解：解：zEIM1 64 4dEEIM岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 图示梁确定积分常数的条件为图示梁确定积分常数的条件为( )。 岩土工程师注

27、册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 图示梁的正确挠曲线大致形状为图示梁的正确挠曲线大致形状为( )。 答案答案 B 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 图示梁的正确挠曲线大致形状为图示梁的正确挠曲线大致形状为( )。 (A) (b)(d) (B)(A) (b)(d) (B)(b)(c) (b)(c) (C) (a)(c) (D)(C) (a)(c) (D)(a)(d)(a)(d)答案答案 C 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 在等直梁平面弯曲的挠曲线上，曲率最大值在等直梁平面弯曲的挠曲线上，曲率最大值发生在下列何项的截面上？发生在下列何项的截面上？（

28、A） 挠度最大挠度最大 （B）转角最大）转角最大 （C）弯矩最大）弯矩最大 （D）剪力最大）剪力最大答案答案 C 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 材料相同的两矩形截面梁如图示，其中材料相同的两矩形截面梁如图示，其中(B)(B)梁是用两根高为梁是用两根高为0.5h0.5h, ,宽为宽为b b的矩形截面梁叠的矩形截面梁叠合而成，且相互间磨擦不计，则下面结论中正合而成，且相互间磨擦不计，则下面结论中正确的是确的是( )( )。(A)(A)强度和刚度均不同强度和刚度均不同 (B)(B)强度和刚度均相同强度和刚度均相同(C)强度相同，刚度不同强度相同，刚度不同 (D)强度不同，刚度

29、相强度不同，刚度相同同 答案答案 A 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 图示两根简支梁，一根材料为钢，另一根材图示两根简支梁，一根材料为钢，另一根材料为铝。已知它们的抗弯刚度料为铝。已知它们的抗弯刚度EIEI相同，相同，在相同外力作用下，二者的可能不同之处是：在相同外力作用下，二者的可能不同之处是： (A)弯曲最大正应力弯曲最大正应力 (B)剪力图剪力图 (C)最大挠度最大挠度 (D)最大转角最大转角 答案答案 A 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学关键在于正确确定剪切面关键在于正确确定剪切面AQ、挤压面挤压面Abs及相应的剪力及相应的剪力Q和挤和挤压力压力F

30、bs。四、剪切强度的实用计算四、剪切强度的实用计算 名义剪应力：名义剪应力： 名义挤压应力：名义挤压应力： AQtFAFbsbsbsbsd岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学四、剪切强度的实用计算四、剪切强度的实用计算 大纲要求大纲要求剪切和挤压的实用计算；剪切面；挤压面；剪切强度；挤压强度。剪切和挤压的实用计算；剪切面；挤压面；剪切强度；挤压强度。 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学答案：答案：B例例 图示拉杆接头的剪切面图示拉杆接头的剪切面A和挤压面和挤压面Abs为为( )。(A): ab Abs: cb (B) : ce Abs: cd(C) A: ce Abs

31、: ab (D) A: ce Abs: bc 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学 例例 边长边长200mm正方形截面的混凝土柱，其基底正方形截面的混凝土柱，其基底为边长为边长a=1m的正方形混凝土板。柱的轴向压力的正方形混凝土板。柱的轴向压力P=100kN。混凝土许的许可剪应力。混凝土许的许可剪应力=1.5MPa。 设地基对混凝土板的支反力均匀分布，为使柱设地基对混凝土板的支反力均匀分布，为使柱不致压穿底板，混凝土板所需的最小厚度不致压穿底板，混凝土板所需的最小厚度t是？是？(A) 83mm (B) 100mm(C) 125mm (D) 80mm岩土工程师注册：材料力学岩土工程师

32、注册：材料力学解：解： MPa1 . 0 11101003APpkN96)04. 01 (1 . 0)2 . 02 . 0(ApQ tAFsQ42 . 010963 mmt8042 . 010963岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学五、截面的几何性质五、截面的几何性质 大纲要求大纲要求静矩和形心；惯性矩和惯性积；平行轴公式；形心主轴及形心主惯性矩概念。静矩和形心；惯性矩和惯性积；平行轴公式；形心主轴及形心主惯性矩概念。岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学（2 2）形心）形心五、截面的几何性质五、截面的几何性质 同一截面对不同轴的静矩可能为正、负同一截面对不同轴的静矩可

33、能为正、负值或为零。值或为零。 1）静矩与形心静矩与形心 (1) (1) 静矩静矩 若截面对某轴的静矩为零，若截面对某轴的静矩为零，则该轴必通过截面形心；截则该轴必通过截面形心；截面对任一形心轴的静矩为零。面对任一形心轴的静矩为零。dxCASy AAydyCASxy AAxddyACxACx ASxAAy ASyAA岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学2 2） 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 （3 3）截面对）截面对x x、y y轴的惯性积轴的惯性积（1）截面对）截面对x、y轴的惯性矩轴的惯性矩 （2 2）截面对坐标原点）截面对坐标原点O O点的极惯性矩点的极惯性矩 AxIAyIAyA

34、xdd22yxApIIAId2AxyIAxyd岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学3 3）形心主惯性轴与形心主惯性矩）形心主惯性轴与形心主惯性矩 形心主惯性矩是截面图形对通过形心形心主惯性矩是截面图形对通过形心C点所有轴的惯性矩中的最大值点所有轴的惯性矩中的最大值（Imax）和最小值（）和最小值（Imin） 主轴：若截面图形对任意一对正交坐标轴（主轴：若截面图形对任意一对正交坐标轴（x、y）的惯性积）的惯性积Ixy=0，则，则该对坐标轴称为主惯性轴该对坐标轴称为主惯性轴( (主轴主轴) )。若该对坐标轴通过截面形心，则称该对。若该对坐标轴通过截面形心，则称该对主轴为形心主轴。主轴为

35、形心主轴。 主惯性矩：截面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。形心主惯性矩：截主惯性矩：截面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。形心主惯性矩：截面图形对一对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。面图形对一对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 截面图形对于过形心截面图形对于过形心C点的任意一对直角坐标轴点的任意一对直角坐标轴x、y的两个惯性矩之和为的两个惯性矩之和为常数，即常数，即pyxIIIIImaxmin岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学3 3）形心主惯性轴与形心主惯性矩）形心主惯性轴与形心主惯性矩 形心主惯性矩是截面图形对通过形心形心主惯性矩是截面图形对通过形心C点所有轴的惯性矩中的最大

36、值点所有轴的惯性矩中的最大值（Imax）和最小值（）和最小值（Imin） 主轴：若截面图形对任意一对正交坐标轴（主轴：若截面图形对任意一对正交坐标轴（x、y）的惯性积）的惯性积Ixy=0，则，则该对坐标轴称为主惯性轴该对坐标轴称为主惯性轴( (主轴主轴) )。若该对坐标轴通过截面形心，则称该对。若该对坐标轴通过截面形心，则称该对主轴为形心主轴。主轴为形心主轴。 主惯性矩：截面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。形心主惯性矩：截主惯性矩：截面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。形心主惯性矩：截面图形对一对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。面图形对一对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 截面图形对于过形心

37、截面图形对于过形心C点的任意一对直角坐标轴点的任意一对直角坐标轴x、y的两个惯性矩之和为的两个惯性矩之和为常数，即常数，即pyxIIIIImaxmin岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学4 4）平行移轴公式）平行移轴公式 22AbIIAaIIycyxcxAabIIxcycxy重点：利用平行移轴公式计算惯性矩。重点：利用平行移轴公式计算惯性矩。注意：必须以截面对形心轴的惯性矩为基础进行计算。注意：必须以截面对形心轴的惯性矩为基础进行计算。 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学惯性矩、极惯性矩恒为正值。惯性积值可能为正，可能为负，也可能为惯性矩、极惯性矩恒为正值。惯性积值可

38、能为正，可能为负，也可能为零。零。(2) 若一对坐标轴中有一轴为截面的对称轴，则截面对这对坐标轴的惯性积若一对坐标轴中有一轴为截面的对称轴，则截面对这对坐标轴的惯性积必为零；但截面对某一对坐标轴的惯性积为零，这对坐标却不一定是截必为零；但截面对某一对坐标轴的惯性积为零，这对坐标却不一定是截面的对称轴。面的对称轴。(3) 在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小；但其惯性积不在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小；但其惯性积不一定最小。一定最小。5 5）惯性矩、惯性积的性质惯性矩、惯性积的性质岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学（4 4）通过截面形心）通过截

39、面形心C C，至少存在一对形心主轴。，至少存在一对形心主轴。（5 5）若截面有两根对称轴，此两轴即为形心主轴。）若截面有两根对称轴，此两轴即为形心主轴。若截面有一根对称轴，则该轴必为形心主轴，另一若截面有一根对称轴，则该轴必为形心主轴，另一形心主轴为通过截面形心且与该轴垂直的轴。形心主轴为通过截面形心且与该轴垂直的轴。（6 6）若截面有三根（或以上）对称轴时，则通过）若截面有三根（或以上）对称轴时，则通过形心的任一根轴均为形心主轴，且形心主惯矩均相形心的任一根轴均为形心主轴，且形心主惯矩均相等（如正方形截面等）。等（如正方形截面等）。 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 求图

40、形对水平形心轴求图形对水平形心轴x的的形心主惯性矩。的的形心主惯性矩。 解（解（1 1）求形心。）求形心。建立参考坐标轴建立参考坐标轴x1，设形心，设形心C距参考轴距参考轴x1 1为为yc。将该截面分解为两个矩形，将该截面分解为两个矩形，AC1 1=200=20050=10000(50=10000(mm)2 2，yC1 1150150mm; ;AC2 2=50=50150=7500(150=7500(mm)2 2，yC2 22525mm; ; 43431 101507.5 102596.4mm1 107.5 10iCiCiA yyA岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学（2 2）求形

41、心主惯性矩）求形心主惯性矩 截面截面1 1、2 2对自身形心轴的惯性矩：对自身形心轴的惯性矩： 13741502003.33 10 (mm)12CxI23541150501.56 10 (mm)12CxI1215096.453.6mm96.42571.4mmaa，122724741112523742223.33 10(53.6)106.21 10 (mm)1.56 10(71.4)7.5 103.84 10 (mm)CCxxxxIIa AIIa A274110.01 10 (mm)xxiiII岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 图示矩形截面，图示矩形截面，Z轴过形心轴过形心C

42、，则该截面关，则该截面关于于Z、Z1及及Z2轴的惯性矩关系为轴的惯性矩关系为( )。 (A) I(A) I1 12 2 (B) (B) 2 21 1 (C) 21 (D)12答案：答案：C C岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 图示截面，其惯性矩的关系为图示截面，其惯性矩的关系为 (A) I12 (B)12(C)21 (D)不能确定不能确定 答案：答案：B岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 图示两图图示两图的面积相等，的面积相等，对各自形心对各自形心轴轴Z轴惯性矩轴惯性矩是否相等？是否相等？ 2222habhHaBHIIzazb岩土工程师注册：材料力学岩土工

43、程师注册：材料力学例例 图示半圆形截面半图示半圆形截面半径径r=1m，该截面对，该截面对x轴轴的惯性矩的惯性矩(C为形心为形心)为为( )：(A) 1.96 (B) 0.78 (C) 3.3 (D) 3.68答案：答案：C C岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 在边长为在边长为2a的正方形中挖去一个边长为的正方形中挖去一个边长为a的的正方形，则该图形对正方形，则该图形对Z轴的惯性矩轴的惯性矩I为为( )。(A)a4/4 (B)a4/3 (C)a4/5 (D)a4/ 答案：答案：D岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 图示图示1/41/4圆截面，圆截面，c c点

44、为形心，下面结论中正点为形心，下面结论中正确的是确的是( )( )。(A)(A)y y1 1，z z1 1是主惯性轴，而是主惯性轴，而y,zy,z不是不是(B)(B)y,zy,z是主惯性轴，而是主惯性轴，而y y1 1，z z1 1不是不是(C)(C)两对轴都是主惯性轴两对轴都是主惯性轴(D)(D)两对轴都不是主惯性轴两对轴都不是主惯性轴答案：答案：A岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学六、应力状态和强度理论六、应力状态和强度理论 大纲要求大纲要求平面应力状态分析的解析法和应力圆法；平面应力状态分析的解析法和应力圆法；主应力和最大切应力；广义虎克定律；主应力和最大切应力；广义虎克定

45、律；四个常用的强度理论。四个常用的强度理论。岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学六、应力状态和强度理论六、应力状态和强度理论 （2 2）单元体）单元体围绕所研究点处切取的边长为无穷小的正六面体，称为单元体。围绕所研究点处切取的边长为无穷小的正六面体，称为单元体。三对平面上的应力均为直接已知或能通过计算得到的单元体，称为原始单元体。三对平面上的应力均为直接已知或能通过计算得到的单元体，称为原始单元体。 1、应力状态的概念、应力状态的概念（1 1）一点处的应力状态）一点处的应力状态通过受力构件内部一点的所有斜截面上的应力情况称为该点处的应力状态。通过受力构件内部一点的所有斜截面上的应力

46、情况称为该点处的应力状态。 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学（3 3）主平面、主应力及主单元体定义）主平面、主应力及主单元体定义 剪应力为零的截面称为主平面，剪应力为零的截面称为主平面，主平面的法线方向称为主方向，主平面主平面的法线方向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。上的正应力称为主应力。按大小分别用按大小分别用 1 1、 2 2、 3 3表示。表示。 受力构件内任意一点均可找到三个互相正交的主平面和主应力，由三对受力构件内任意一点均可找到三个互相正交的主平面和主应力，由三对互相垂直的主平面所构成的单元体，称为主单元体。互相垂直的主平面所构成的单元体，称为主单元体。（4

47、 4）应力状态的分类）应力状态的分类1 1）单向应力状态：只有一个主应力不为零。）单向应力状态：只有一个主应力不为零。2 2）平面应力状态（二向应力状态）：有二个主应力不为零。）平面应力状态（二向应力状态）：有二个主应力不为零。3 3）空间应力状态（三向应力状态）：三个主应力均不为零。）空间应力状态（三向应力状态）：三个主应力均不为零。 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学2 2、平面应力状态分、平面应力状态分析的解析法析的解析法 （1）任意斜截面）任意斜截面 ef上的应力上的应力:单元体的两个互相垂直的截面上的正应力之和是一常量，剪应力互等单元体的两个互相垂直的截面上的正应力之和

48、是一常量，剪应力互等（剪应力互等定律）。（剪应力互等定律）。 cos2sin222xyxyxsin2cos22xyx岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学（2 2）主平面主应力）主平面主应力主平面的方向角主平面的方向角 上式可解出两个主方向，其最大主应力作用线所在的象限一定是两相互上式可解出两个主方向，其最大主应力作用线所在的象限一定是两相互垂直截面上剪应力箭头所对应的象限。垂直截面上剪应力箭头所对应的象限。 2max2min22xyxyx02tan2xxy （3 3）主剪应力）主剪应力231max位于法线与位于法线与 1 1、 3 3均成均成4545 的斜截面上。的斜截面上。 岩土

49、工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学3 3、平面应力状态分析的图解法、平面应力状态分析的图解法 （1）应力圆）应力圆0,2yx222xyxR圆心圆心 半径半径 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学（2 2）三个特殊的应力圆）三个特殊的应力圆 1 1）单向拉伸（或压缩）应力圆）单向拉伸（或压缩）应力圆最大剪应力（切应力）最大剪应力（切应力）45max45min/2 , /2 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学2 2）纯剪切应力圆（扭转）纯剪切应力圆（扭转） 主应力主应力13 主方向由主方向由x轴顺时针转轴顺时针转4545 岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：

50、材料力学3 3）等拉或等压应力状态的应力圆）等拉或等压应力状态的应力圆 对于等拉或等压应力状态，其任意斜截面上的正应力均为常数对于等拉或等压应力状态，其任意斜截面上的正应力均为常数 , ,剪应剪应力均为零。力均为零。岩土工程师注册：材料力学岩土工程师注册：材料力学例例 图示四种应力状图示四种应力状态中属于单向应力状态中属于单向应力状态的是态的是( )。 答案：答案：D解：作应力圆解：作应力圆（A）圆心为）圆心为0，半径为，半径为（B）圆心为）圆心为10，半径为，半径为（C）圆心为）圆心为0，半径为，半径为20（D）圆心为）圆心为20，半径为，半径为20220310岩土工程师注册：材料力学岩土工