导数微分及其应用课件.pptx
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- 导数 微分 及其 应用 课件
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1、第二章第二章 导数微分及其应用导数微分及其应用2022年年4月月23日星期六日星期六2 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生,又反过来广泛影响着生产技术和科学论科学的需要中产生,又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。的发展。 微积分是微分学和积分学的统称,它的萌芽、发生与发微积分是微分学和积分学的统称,它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期,欧多克斯提出了穷展经历了漫长的时期。早在古希腊时期,欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱,而我国庄子的竭法。这是微积分的先驱,而我国庄子的天下篇天下篇中也有中也
2、有 “ 一尺之锤,日取其半,万世不竭一尺之锤,日取其半,万世不竭 ” 的极限思想,公元的极限思想,公元 263 年,刘徽为年,刘徽为九间算术九间算术作注时提出了作注时提出了 “ 割圆术割圆术 ” ,用正多,用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。 积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的,古希腊积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的,古希腊数学家阿基米德在数学家阿基米德在抛物线求积法抛物线求积法中用究竭法求出抛物线中用究竭法求出抛物线弓形的面积,没有用极限,是弓形的面积,没有用极限,是 “ 有限有限 ” 开工的穷竭法。开工的穷竭法。微积分的创
3、始人是微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨牛顿和莱布尼茨。 解析几何为微积分的创立奠定了基础解析几何为微积分的创立奠定了基础 。2022年年4月月23日星期六日星期六3第一节第一节 函函 数数1.区间区间一、预备知识一、预备知识设a,b是两个实数,且ab开区间开区间 : 满足不等式 axb一切实数的全 体。, a b闭区间闭区间 : 满足不等式 axb的一切实数的 全体。 , a b半开区间半开区间 :满足不等式 axb的一切实数的 全体。 :a x b, a b, a b2022年年4月月23日星期六日星期六4表示全体实数,或写成 x ;, 表示大于a的全体实数,或写成a x +;, a 表示小于
4、a的全体实数,或写成 x a;,a表示 a x +; ,)a 表示N的一切的一切an,有不等式,有不等式 | | an a| 称数列称数列an以有限数以有限数a为极限,常数为极限,常数a叫作数列叫作数列 an 当当n时的极限。或称数列时的极限。或称数列 an 收敛到收敛到a,记作,记作2022年年4月月23日星期六日星期六17(2)、单调数列、单调数列单调增加数列和单调减少数列统称单调数列。 (3)、有界数列、有界数列对于数列an,如果存在正数M,使得数列中的每一项an(n=1,2,3,)都满足不等式-M an0,总存在一个,总存在一个0,0|x-x0|时,有时,有 | f(x)-A|0,作直
5、线 y=A+,y=A-,这两条直线形成一横条区域. 对于这个,存在点x0的一个邻域(x0-,x0+),当x(x0-,x0+)但xx0时,有不等式:点(x, f(x))落在上面所做的一横条区域内。( )Af xA( )f xA2022年年4月月23日星期六日星期六262022年年4月月23日星期六日星期六272252 2( ).24 2xxxf xxx2022年年4月月23日星期六日星期六28、当当x时函数时函数f(x)的极限的极限2022年年4月月23日星期六日星期六29解解2022年年4月月23日星期六日星期六30 、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则当当x 时,性质也成立。时,性质也成
6、立。2022年年4月月23日星期六日星期六31数列极限四则运算也有类似的定理:2022年年4月月23日星期六日星期六322022年年4月月23日星期六日星期六33所以 解解 11lim 22212limlim113133lim 3nnnnnnnnnn注意到11lim 2lim2lim2nnnnn11lim 3lim3lim3nnnnn2022年年4月月23日星期六日星期六34分母的极限不为零。解解222323222lim11lim23lim23xxxxxxxxx22232222limlim1=limlim2lim3xxxxxxxx22232222limlim1lim2 limlim3xxxxx
7、xxx4 15=82 433 2022年年4月月23日星期六日星期六35 4、两个重要、两个重要极限极限011sin( ). lim,xxx121( ). lim.xxex2022年年4月月23日星期六日星期六36解解000sin2sin2sin2limlim22lim2xxxxxxxxx2 ,00,txx令当时,t00sin2sinlim2lim2xtxtxt因此2022年年4月月23日星期六日星期六37解解- ,txx令当时,t11lim 1lim 1xxxxxx1lim 1ttt1lim11ttt111lim 1ttet2022年年4月月23日星期六日星期六38解解先用x去除分母及分子,
8、然后取极限.00sin1sinlimlimsinsin1xxxxxxxxxx00sin1 limsin1 limxxxxxx1 101 12022年年4月月23日星期六日星期六39解解112212limlim 111xxxxxxx2122lim 11xxx2111limlim 11xtxtxxt2e2022年年4月月23日星期六日星期六405 5、无穷小量和无穷大量、无穷小量和无穷大量 、无穷小量、无穷小量例如例如一个函数一个函数 当当 时以时以0 0为极限,称该函数为极限,称该函数为当为当 时的无穷小量时的无穷小量。)(xf0 xx )(xf0 xx 2022年年4月月23日星期六日星期六4
9、1.定理定理无穷小量阶无穷小量阶 ( ) ( );xx2022年年4月月23日星期六日星期六422022年年4月月23日星期六日星期六43下面是几个常用的等价无穷小下面是几个常用的等价无穷小: 0 x 2022年年4月月23日星期六日星期六44、无穷大量、无穷大量2022年年4月月23日星期六日星期六452022年年4月月23日星期六日星期六46第三节第三节 连连 续续1 1、连续的定义、连续的定义2022年年4月月23日星期六日星期六472022年年4月月23日星期六日星期六48区间连续的定义区间连续的定义2022年年4月月23日星期六日星期六49连续函数的图象是一条连续的曲线。连续函数的图
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