2021新教材高中数学6.2.1向量基本定理课件人教B版必修二.ppt.ppt

1、6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理必备知识必备知识自主学习自主学习导思导思1.1.共线向量基本定理的内容是什么共线向量基本定理的内容是什么? ?此定理有什么作用此定理有什么作用? ?2.2.平面向量基本定理的内容是什么平面向量基本定理的内容是什么? ?此定理可以解决什么问此定理可以解决什么问题题? ?1.1.共线向量定理共线向量定理如果如果a0, ,且且ba, ,则存在唯一的实数则存在唯一的实数,使得使得_. .如果如果A,B,CA,B,C是三个不同的点是三个不同的点, ,则它们共线的充要条件是则它们共线的充要条件是: :存在实数存在实数,使得使得_b=ab=aABAC 【思

2、考思考】(1)(1)定理中的条件定理中的条件“a0”能否省略能否省略, ,为什么为什么? ?提示提示: :不能不能. .如果如果a=0,b0,不存在实数不存在实数,使得使得b=a.=a.如果如果a=0, ,b=0, ,则对任意实数则对任意实数,都有都有b=a. .(2)(2)这里的这里的“唯一唯一”的含义是什么的含义是什么? ?提示提示: :如果还有如果还有b=a,b=a,则有则有=.=.2.2.平面向量基本定理平面向量基本定理(1)(1)定理内容定理内容如果平面内的两个向量如果平面内的两个向量a a与与b b_, ,则对该平面内的任意则对该平面内的任意一个向量一个向量c,c,存在唯一的存在唯

3、一的_(x,y),(x,y),使得使得c=x=xa+y+yb. . 基底定义基底定义平面内不共线的两个向量平面内不共线的两个向量a a与与b b组成的集合组成的集合 称为该平称为该平面上向量的一组基底面上向量的一组基底. . 注意事项注意事项定理中的定理中的“不共线不共线”不能去掉不能去掉, ,因为两个共线向量不能表示因为两个共线向量不能表示平面内的任意向量平面内的任意向量, ,不能做基底不能做基底. .不共线不共线实数对实数对 , a b(2)(2)本质本质: :就是利用平面内两个不共线的向量通过向量的加法、减法及数乘向量就是利用平面内两个不共线的向量通过向量的加法、减法及数乘向量表示平面内

4、的任意一个向量表示平面内的任意一个向量. .(3)(3)应用应用: :利用此定理进行平面向量的分解利用此定理进行平面向量的分解. .【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底. . ( () )(2)(2)若若a,ba,b是同一平面内两个不共线向量是同一平面内两个不共线向量, ,则则xa+yb(x,yxa+yb(x,y为实数为实数) )可以表示该平面可以表示该平面内所有向量内所有向量. .( () )(3

5、)(3)若若aeae1 1+be+be2 2=ce=ce1 1+de+de2 2(a,b,c,dR),(a,b,c,dR),则则a=c,b=d.a=c,b=d.( () )(4)(4)基底向量可以是零向量基底向量可以是零向量. .( () )提示提示: :(1)(1). .根据基底的概念可知根据基底的概念可知, ,平面内不共线的向量都可以作为该平面内向平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底量的基底. .(2).(2).根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由不共线向量根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由不共线向量a,ba,b线线性表示性表示. .(3)(3). .当当e

6、 e1 1与与e e2 2共线时共线时, ,结论不一定成立结论不一定成立. .(4)(4). .基底向量是不共线的基底向量是不共线的, ,一定是非零向量一定是非零向量. .2.2.已知已知ADAD是是ABCABC的的BCBC边上的中线边上的中线, ,若若 则则 = =( () )A.A. (a-b)(a-b)B.-B.- (a-b)(a-b)C.-C.- (a+b)(a+b)D.D. (a+b)(a+b)AB=AC= ，abAD 12121212【解析解析】选选D.D.如图所示如图所示, ,因为因为 所以所以 = = (a+b).(a+b).AE ABAC 2AD ，AD 123.(3.(教材

7、二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )设向量设向量a,ba,b不平行不平行, ,向量向量a+ba+b与与a+2ba+2b平行平行, ,则实数则实数=_.=_.【解析解析】因为向量因为向量a+ +b与与a+2+2b平行平行, ,所以所以a+ +b=k(=k(a+2+2b),),则则 所以所以= .= .答案答案: : k,12k, 1212关键能力关键能力合作学习合作学习类型一共线向量基本定理的应用类型一共线向量基本定理的应用( (数学抽象、逻辑推理数学抽象、逻辑推理) )【典例典例】设设e1 1, ,e2 2是两个不共线的向量是两个不共线的向量, ,则向量则向量a=2=2e1 1-

8、-e2 2, ,与向量与向量b=b=e1 1+e2 2(R)(R)共线时共线时,的值为的值为 ( () )A.0A.0B.-1B.-1C.-2C.-2D.-D.- 12【思路导引思路导引】利用向量共线定理解答利用向量共线定理解答. .【解析解析】选选D.D.因为向量因为向量a与与b共线共线, ,所以存在唯一实数所以存在唯一实数u,u,使使b=u=ua成立成立. .即即e1 1+e2 2=u(2=u(2e1 1- -e2 2)=2u)=2ue1 1-u-ue2 2, ,所以所以 解得解得=- .=- .12u,u ，12【变式探究变式探究】本例若把条件本例若把条件“向量向量b= =e1 1+e2

9、 2(R)”(R)”改为改为“向量向量b=2m=2me1 1+n+ne2 2(m,nR)”(m,nR)”其其他条件不变他条件不变, ,试求试求m+nm+n的值的值. .【解析解析】因为向量因为向量a a与与b b共线共线, ,所以存在唯一实数所以存在唯一实数u,u,使使b=u=ua成立成立. .即即2m2me1 1+n+ne2 2=u(2=u(2e1 1- -e2 2)=2u)=2ue1 1-u-ue2 2. .所以所以 所以所以m+n=0.m+n=0.2m2n ， ，【解题策略解题策略】 利用向量共线求参数的方法利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据共线向量基本定理寻求唯

10、一的实数判断、证明向量共线问题的思路是根据共线向量基本定理寻求唯一的实数,使得使得a=b(b0).a=b(b0).而已知向量共线求而已知向量共线求,常根据向量共线的条件转化为相应向常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解量系数相等求解. .若两向量不共线若两向量不共线, ,必有向量的系数为零必有向量的系数为零, ,利用待定系数法建立利用待定系数法建立方程方程, ,从而解方程求得从而解方程求得的值的值. .同时利用此定理也可以证明点共线或线共面问同时利用此定理也可以证明点共线或线共面问题题. .【跟踪训练跟踪训练】已知两个非零向量已知两个非零向量a、b不共线不共线, =, =a+ +b,

11、=, =a+2b, =, =a+3+3b. .(1)(1)证明证明:A,B,C:A,B,C三点共线三点共线; ;(2)(2)试确定实数试确定实数k,k,使使k ka+b与与a+k+kb共线共线. .OAOB OC 【思路导引思路导引】(1)(1)根据共线向量基本定理证明根据共线向量基本定理证明;(2);(2)利用共线向量基本定理建立利用共线向量基本定理建立方程组求解方程组求解. .【解析解析】(1)(1)因为因为 = =a+b, =, =a+2+2b, =, =a+3+3b. .则则 = =a+2+2b-(-(a+ +b)=)=b, ,而而 = =a+3+3b-(-(a+ +b)=2)=2b,

12、 ,于是于是 , ,又又 有公共点有公共点A,A,所以所以A,B,CA,B,C三点共线三点共线. .OAOB OC ABOB OA ACOC OA AC2AB ACAB ，(2)(2)因为因为k ka+ +b与与a+k+kb共线共线, ,则存在实数则存在实数,使使k ka+ +b=(=(a+k+kb),),即即(k-)(k-)a= =(k-1)(k-1)b. .又因为非零向量又因为非零向量a, ,b不共线不共线, ,所以一定有所以一定有 解得解得k=k=1.1.01 0 ， ，类型二平面向量基本定理的理解类型二平面向量基本定理的理解( (数学抽象、逻辑推理数学抽象、逻辑推理) )【典例典例】1

13、.1.设设O O是平行四边形是平行四边形ABCDABCD两对角线的交点两对角线的交点, ,给出下列向量组给出下列向量组: : 其中可作为这个平行四边形所其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是在平面的一组基底的是 ( () )A.A.B.B.C.C.D.D.AD ABDA BCCA DCOD OB, 与与与与;2.(20202.(2020泰安高一检测泰安高一检测) )如果如果e1 1, ,e2 2是平面是平面内所有向量的一组基底内所有向量的一组基底, ,那么下列那么下列命题正确的是命题正确的是( () )A.A.若存在实数若存在实数1 1,2 2, ,使使1 1e1 1+2 2e2 2=

14、0,=0,则则1 1=2 2=0=0B.B.空间任一向量空间任一向量a可以表示为可以表示为a=1e1+2e2, ,其中其中1 1,2 2RRC.C.对实数对实数1 1,2 2,1 1e1 1+2 2e2 2不一定在平面不一定在平面内内D.D.对平面对平面中的任一向量中的任一向量a, ,使使a=1 1e1 1+2 2e2 2的实数的实数1 1,2 2有无数对有无数对3.3.已知平面向量已知平面向量e1 1, ,e2 2是一组基底是一组基底, ,实数实数x,yx,y满足满足(3x-4y)(3x-4y)e1 1+(2x-3y)+(2x-3y)e2 2=6=6e1 1+3+3e2 2, ,则则x-y=

15、_.x-y=_.【思路导引思路导引】1.1.根据基底的构成条件判断根据基底的构成条件判断. .2.2.由平面向量基本定理内容理解判断由平面向量基本定理内容理解判断. .3.3.利用相同向量的系数对应相等求解利用相同向量的系数对应相等求解. .【解析解析】1.1.选选B.B. 不共线不共线; ; 则则 共线共线; ; 不不共线共线; ; 则则 共线共线. .由平面内向量基底的概念知由平面内向量基底的概念知, ,只有不共线的只有不共线的两个向量才能构成一组基底两个向量才能构成一组基底, ,故满足题意故满足题意. .2.2.选选A.A.选项选项B B错误错误, ,这样的这样的a a只能与只能与e e

16、1 1,e,e2 2在同一平面内在同一平面内, ,不能是空间任一向量不能是空间任一向量; ;选选项项C C错误错误, ,在平面在平面内任一向量都可表示为内任一向量都可表示为1 1e1 1+2 2e2 2的形式的形式, ,故故1 1e1+2 2e2 2一一定在平面定在平面内内; ;选项选项D D错误错误, ,这样的这样的1 1,2 2是唯一的是唯一的, ,而不是有无数对而不是有无数对. .AD AB 与DABC, DA BC 与CA DC 与ODOB, OD OB 与3.3.因为平面向量因为平面向量e1 1, ,e2 2是一组基底是一组基底, ,所以向量所以向量e1 1, ,e2 2不共线不共线

17、, ,所以所以 解得解得x-y=3.x-y=3.答案答案: :3 33x4y6,2x3y3，【解题策略解题策略】对平面向量基本定理的理解对平面向量基本定理的理解(1)(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和, ,且这且这样的分解是唯一的样的分解是唯一的, ,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的, ,而零而零向量的分解式是唯一的向量的分解式是唯一的, ,即即0=x0=xa+y+yb, ,且且x=y=0.x=y=0.(2)(2)对于固定的不共线向量对于固定的不共线向

18、量a, ,b而言而言, ,平面内任一确定的向量的分解是唯一的平面内任一确定的向量的分解是唯一的, ,但平面内的基底却不唯一但平面内的基底却不唯一, ,只要平面内的两个向量不共线只要平面内的两个向量不共线, ,就可以作为基底就可以作为基底, ,它它有无数组有无数组. .【拓展延伸拓展延伸】平面向量基本定理的关注点平面向量基本定理的关注点(1)(1)a,b是同一平面内的两个不共线向量是同一平面内的两个不共线向量; ;(2)(2)该平面内的任意向量该平面内的任意向量c c都可用都可用a,b线性表示线性表示, ,且这种表示是唯一的且这种表示是唯一的; ;(3)(3)对基底的选取不唯一对基底的选取不唯一

19、, ,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底组基底. .【拓展训练拓展训练】设设a,ba,b不共线不共线,c=2,c=2a- -b,d=3,d=3a-2-2b, ,试判断试判断c,dc,d能否作为基底能否作为基底. .【解析解析】假设存在唯一实数假设存在唯一实数,使使c=c=d, ,则则2 2a- -b=(3=(3a-2-2b),),即即 由由a,b不共线得不共线得 所以所以 所以这样的所以这样的是不存在的是不存在的, ,从而从而c c,d不共线不共线, ,所以所以c,dc,d能作为基底能作为基底. .(2 3) a(21)b0. 2 3

20、0210, ，2,31,2 【补偿训练补偿训练】设设e1 1, ,e2 2是不共线的非零向量是不共线的非零向量, ,且且a=a=e1 1-2-2e2 2,b=,b=e1 1+3+3e2 2. .(1)(1)证明证明: :a, ,b可以作为一组基底可以作为一组基底. .(2)(2)以以a, ,b为基底为基底, ,求向量求向量c=3=3e1 1- -e2 2的分解式的分解式. .(3)(3)若若4 4e1 1-3-3e2 2=a+b, ,求求,的值的值. .【解析解析】(1)(1)若若a,b共线共线, ,则存在则存在vR,vR,使使a=v=vb, ,则则e1 1-2-2e2 2=v(=v(e1 1

21、+3+3e2 2).).由由e1 1, ,e2 2不共线不共线, ,得得 所以所以v v不存在不存在, ,故故a与与b不共线不共线, ,可以作为一组基底可以作为一组基底. .v1,v1,23v2v.3 (2)(2)设设c=m=ma+n+nb(m,nR),(m,nR),则则3 3e1 1- -e2 2=m(=m(e1 1-2-2e2 2)+n()+n(e1 1+3+3e2 2) )=(m+n)=(m+n)e1 1+(-2m+3n)+(-2m+3n)e2 2. .所以所以 所以所以c=2=2a+ +b. .mn3,m2,2m3n1n1 ，(3)(3)由由4 4e1 1-3-3e2 2=a+b, ,

22、得得4 4e1 1-3-3e2 2=(=(e1 1-2-2e2 2)+()+(e1 1+3+3e2 2) )=(+)=(+)e1 1+(-2+3)+(-2+3)e2 2. .所以所以故所求故所求,的值分别为的值分别为3 3和和1.1.4,3,2331. 类型三平面向量基本定理的应用类型三平面向量基本定理的应用( (逻辑推理、直观想象逻辑推理、直观想象) )角度角度1 1在线性运算中在线性运算中【典例典例】若若D D点在三角形点在三角形ABCABC的边的边BCBC上上, ,且且 则则3r+s3r+s的值的值为为( () )CD 4DBrABsAC 161284A. B. C. D.5555【思路

23、导引思路导引】利用三角形或平行四边形法则利用三角形或平行四边形法则. .【解析解析】选选C. C. CD 4DBrABsAC,44CDCB(ABAC)55rABsAC441248rs3rs.55555 因所以，所以 ， ，所以 为【变式探究变式探究】本例若改为本例若改为“ ”“ ”, ,其他条件不变其他条件不变, ,求求r+sr+s的值的值. .CD 3DBrABsAC 【解析解析】CD=3DB=rABsAC,33CD=CB=(AB AC)rABsAC,443333rsrs0.4444 因所以所以 ， ，所以为角度角度2 2解向量方程组解向量方程组【典例典例】已知已知e1 1, ,e2 2是平

24、面内两个不共线的向量是平面内两个不共线的向量, ,a=3=3e1 1-2-2e2 2, ,b=-2=-2e1 1+ +e2 2, ,c=7=7e1 1-4-4e2 2, ,试用向量试用向量a和和b表示表示c. .【思路导引思路导引】利用向量方程组法利用向量方程组法, ,设设c=x=xa+y+yb, ,用待定系数法求出用待定系数法求出x,y.x,y.【解析解析】因为因为a, ,b不共线不共线, ,所以可设所以可设c=x=xa+y+yb, ,则则x xa+y+yb=x(3=x(3e1 1-2-2e2 2)+y(-2)+y(-2e1 1+ +e2 2)=(3x-2y)=(3x-2y)e1 1+(-2

25、x+y)+(-2x+y)e2 2=7=7e1 1-4-4e2 2. .又因为又因为e1 1, ,e2 2不共线不共线, ,所以所以 解得解得 所以所以c= =a-2-2b. .3x2y7,2xy4 ，x1,y2, 【解题策略解题策略】用基底表示向量的三个依据和两个用基底表示向量的三个依据和两个“模型模型”(1)(1)依据依据: :向量加法的三角形法则和平行四边形法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则; ;向量减法的几何意向量减法的几何意义义; ;数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义. .(2)(2)模型模型: :【题组训练题组训练】1.1.在在ABCABC中中, EFBC,EF, EFBC,

26、EF交交ACAC于于F,F,设设 则则 等于等于 ( () )A.-A.-a+ + bB.B.a- - bC.C. a- - bD.D. a+ + b1AEAB,5 ABAC ， ，abBF151523131323【解析解析】选选A.A.1AE=AB,5411BE=AB.EF BCEF=BC=(AC AB)55541BF=BE EF=AB(AC AB)5511AC AB=.55 因所以又因，所以，所以 为为ab2.2.如图如图, ,已知已知E,FE,F分别是矩形分别是矩形ABCDABCD的边的边BC,CDBC,CD的中点的中点,EF,EF与与ACAC交于点交于点G,G,若若 = =a, , =

27、 =b, ,用用a,b表示表示 = = ( () )A.A. a+ + bB.B. a+ + bC.C. a- - bD.D. a+ + bAB AD AG1414143434341313【解析解析】选选D.D.易知易知设设 则由平行四边形法则可得则由平行四边形法则可得 由于由于E,G,FE,G,F三点共线三点共线, ,则则2 2+2+2=1,=1,即即= = , ,从而从而 , ,从而从而11CFCDCECB.22 ， CGCA ，CG(CBCD)2 CE2 CF ，141CG=CA4 33AG=AC=().44 ab3.3.如图如图, ,在在AOBAOB中中, , = =a, , = =b

28、, ,设设 而而OMOM与与BNBN相交于点相交于点P,P,试用试用a,ba,b表示向量表示向量 . .OAOB AM 2MBON 3NA, ， OP 【解析解析】 因为因为 共线共线, ,令令 又设又设 所以所以 所以所以 所以所以22212OM OAAM=OAAB=OA(OBOA)().33333 abaabOP OM 与12OPtOMOPt.33 ，则()ab3OP1m ONmOB1mm .4 ()a ()bt3(1m)342tm3， ，3m59t10 ，33OP.105 ab【补偿训练补偿训练】如图如图, ,在在ABCABC中中, ,设设 = =a, =, =b,AP,AP的中点为的中

29、点为Q,BQQ,BQ的中点为的中点为R,CRR,CR的中点为的中点为P,P,若若 =ma+nb,=ma+nb,则则m+n=m+n=( () )AB AC AP 126A. B. C. D.1237【解析解析】选选C.C.由题意可得由题意可得 因为因为 由解方程求得由解方程求得 再由再由 =ma+nb=ma+nb可得可得m= ,n= ,m+n= .m= ,n= ,m+n= .AP2QP,QB2QR ，1ABaAQQBAP2QR2 ，13ACAPPCAPRPAPQP QRAPAP QRAP QR22 ，b24AP.77 abAP 2747671.1.如图如图, ,线段线段ABAB与与CDCD互相平

30、分互相平分, ,则则 可以表示为可以表示为 ( () )课堂检测课堂检测素养达标素养达标BD 11A.ABCD B.ABCD 221C.(ABCD)D.(ABCD)2 【解析解析】选选B.B.线段线段ABAB与与CDCD互相平分互相平分, ,所以所以 1BD(CD AB).2 2.(2.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )四边形四边形OABCOABC中中, , 若若 则则 =(=() )A.A.a- - bB.B. a- -bC.C.b+ + aD.D.b- - a1CBOA2 ，OAOC ，abAB 12121212【解析解析】选选D.D.1CBOBOCOA211OBOCO

31、A2211ABOBOA.22 由，可得，所以babaaba3.3.设设a,b是两个非零向量是两个非零向量, ,若若8 8a-k-kb与与-k-ka+ +b共线共线, ,则实数则实数k=k=_.【解析解析】由题意知由题意知8 8a-k-kb=(-k=(-ka+ +b),),即即 所以所以k=k=2 .2 .答案答案: :2 2 8k,k ，224.4.如图如图, ,在在ABCABC中中, P, P是线段是线段BDBD上一点上一点, ,若若 则实数则实数m m的值为的值为_._.1ADDC,3 1APmABAC,6 【解析解析】已知已知 所以有所以有 答案答案: : 11BPBD,ADDCADAC,341APABBPABBDAB(BAAD)(1)ABAC,4 设1APmABAC,6 21m3111m.463 ，13