《6.4.3余弦定理》课件.ppt

1、一、情景引入一、情景引入 千岛湖位于我国浙江省淳安县镇内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A,B,C,岛屿A与B之间的距离因A,B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC,BC的距离分别为6km和4km且AC,BC的夹角为120,问岛屿A,B间的距离为多少?ABCABC.,120, 4, 6,ABABACBACBBCBCACACABCABC求求已知已知中中在在 问题问题1 在在ABC中，已知两边及它们的夹角，求第三边中，已知两边及它们的夹角，求第三边.一、情景引入一、情景引入问题问题2 在在ABC中，已知两边及它们的夹角，求第三边中，已知两边及它们的夹角，求第三边.我们以任

2、意三角形为例探索如何求出第三边我们以任意三角形为例探索如何求出第三边注意：在直角三角形中我们可以用勾股定理求出第三边注意：在直角三角形中我们可以用勾股定理求出第三边二、概念形成二、概念形成问题问题 在在ABC中，三个角中，三个角A ，B ， C所对应的边分所对应的边分别是别是a ，b ，c，怎样用，怎样用a ，b和和C表示表示c cab二、概念形成二、概念形成问题问题 在在ABC中，三个角中，三个角A ，B ， C所对应的边分所对应的边分别是别是a ，b ，c，怎样用，怎样用a ，b和和C表示表示c ABCcab分析分析 如图，设如图，设 ， ， ，那么那么a aC CB B b bC CA

3、A c cA AB B b ba ac c 平方平方整理得整理得，C Cababb ba ac ccos2222 同理同理可得可得，A Abcbcc cb ba acos2222 .cos2222B Bcacaa ac cb b 你能用你能用其他方法其他方法证明余弦定理吗证明余弦定理吗?余弦定理（余弦定理（law of cosineslaw of cosines） 三角形中任何一三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即与它们夹角的余弦的积的两倍即 二、概念形成二、概念形成 基本概念基本概念.cos2,cos2,c

4、os2222222222C Cababb ba ac cB Bcacaa ac cb bA Abcbcc cb ba a 利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角形的第三条边角求出三角形的第三条边二、概念形成二、概念形成问题问题4 余弦定理的其它证明方法余弦定理的其它证明方法( (怎样用怎样用a ，b和和C表示表示c ) )ABCcab分析分析.sinsincoscos)-cos( x xy y)sin,cos(c cb bC Cb b)0 ,(a ac cA BA B |建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系二、概念形成二、概念形成问题问题5 勾股定理

5、与余弦定理有怎样的联系？勾股定理与余弦定理有怎样的联系？分析分析 在锐角在锐角ABC中，中，怎样用怎样用a ，b和和C表示表示c ？问题问题6 余弦定理的第三种证明方法余弦定理的第三种证明方法勾股定理勾股定理ACcabBD思考思考对于钝角对于钝角ABC，同，同理可证，同学们课后完成？理可证，同学们课后完成？三、概念深化三、概念深化问题问题7 余弦定理在形式上有什么特点？余弦定理在形式上有什么特点？问题问题8 若已知三边能不能求出三角？若已知三边能不能求出三角？分析分析 1、余弦定理共有四项，每一项都是边的二次幂；、余弦定理共有四项，每一项都是边的二次幂； 2、余弦定理中反映了四个数量间的关系、

6、余弦定理中反映了四个数量间的关系三、概念深化三、概念深化 基本概念基本概念余弦定理的推论余弦定理的推论 ，将余弦定理公式作变形得：，将余弦定理公式作变形得：.2cos,2cos,2cos222222222ababc cb ba aC Ccacab ba ac cB Bbcbca ac cb bA A 可以看出，三角函数把几何中关于三角形可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式的定性结论变成了可定量计算的公式题型一、题型一、已知已知两边及一角两边及一角(夹角夹角)解解四、典例分析四、典例分析ABC解：解：,120cos2222 CBCBCACACBCBCACAABAB

7、,762416362 ABAB).(192kmkmABAB 千岛湖位于我国浙江省淳安县镇内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A,B,C,岛屿A与B之间的距离因A,B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC,BC的距离分别为6km和4km且AC,BC的夹角为120,问岛屿A,B间的距离为多少?引例引例. .在在ABC中，已知中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o，解该三角形（角度精确到解该三角形（角度精确到1，边长精确到，边长精确到1cm）.题型一、题型一、已知已知两边及一角两边及一角(夹角夹角)解解例例1. 1.解：解：a=b+c- -2bccosA =60+34-

8、 -26034cos41o1676.82， a41(cm)，利用计算器，可得利用计算器，可得 C33，B=180o- -(A+C) 180o- -(41o+33o)=106由余弦定理的推论，得由余弦定理的推论，得 ，984825604123460412cos222222 ababc cb ba aC C已知在已知在ABC中，中，a=8，b=7，B=60o，求，求c.题型二、题型二、已知已知两边及一角两边及一角(对角对角)解解例例. .解：解：由余弦定理得由余弦定理得 b=c+a2cacosB， 所以所以 7=c+82c8cos60 o ，整理得整理得 c8c+15=0，解得解得 c=3或或c=

9、5.思考思考为什么此时有两解，其中是否蕴含某一规律，还为什么此时有两解，其中是否蕴含某一规律，还有其他方法吗？请同学们课后思考完成？有其他方法吗？请同学们课后思考完成？已知已知ABC的三条边长的比为的三条边长的比为1：2： ，求该，求该三角形的最大内角三角形的最大内角.题型三、题型三、已知已知三边解三边解例例. .7解：解：依题意可设该三角形三条边分别为依题意可设该三角形三条边分别为则角则角C为最大内角，为最大内角，C=120o.又又0oC180o ，k kc ck kb bk ka a72 ,2122)7()2(2cos222222 k kk kk kk kk kababc cb ba aC

10、 C五、课堂小结五、课堂小结余弦定理及其推论余弦定理及其推论.cos2,cos2,cos2222222222C Cababb ba ac cB Bcacaa ac cb bA Abcbcc cb ba a .2cos,2cos,2cos222222222ababc cb ba aC Ccacab ba ac cB Bbcbca ac cb bA A 解三角形的常见题型解三角形的常见题型题型一、题型一、已知已知两边及一角两边及一角( (夹角夹角) )解；解；题型二、题型二、已知已知两边及一角两边及一角( (对角对角) )解；解；题型三、题型三、已知已知三边解三边解教材第教材第4444页页第第、2 2、3 3题题六、课后作业六、课后作业