安徽省马鞍山市高三理数一模及答案.pdf

1、 高三上学期理数一模试卷高三上学期理数一模试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则等于（ ） A2 B C D 2复数满足，则（ ） A1 B C2 D1 或 3若变量满足约束条件则的最小值为（ ） A-5 B C D-2 4已知抛物线过点，则其准线方程为（ ） A B C D 5已知集合，集合，在集合中任取一个元素，则的概率是（ ） A B C D 6志愿服务是办好 2022 年北京冬奥会的重要基础和保障，冬奥会城市志愿者已于 2021 年 12 月 5日在主要服务站点开始上岗，预计 2022 年 1 月 25 日开始全面上岗服务现有 4 名志愿者要安排到 3个服务站点参加服务，每名志愿者

2、只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有（ ） A48 种 B36 种 C24 种 D12 种 7函数的图象大致是（ ） A B C D 8如图，圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦， 则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A B C D0 9已知的内角的对边分别为，设，则 （ ） A B C D 10若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（ ） Ae B C2e D 111471 年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表

3、面抽象为平面，悬杆抽象为线段 AB（或直线 l 上两点 A，B） ，则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图 1，一条直线 l 垂直于一个平面，直线 l 有两点 A，B 位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大.建立如图 2 所示的平面直角坐标系.设 A，B 两点的坐标分别为，.设点 C 的坐标为，当最大时，（ ） A2ab Bab C D 12已知均为正实数，且，若，则下列关系中可能成立的是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知，则 14已知，则 15已知双曲线的左、右焦点分别、，为渐近线上一点，为坐标原点，且，的面积为，则双曲线的离心率为 16三棱锥中，是边长为的等边三角形

4、，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为 三、解答题三、解答题 17已知数列的首项，前项的和为，且数列是首项为 2 的等比数列，且 （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项的和 18如图，在四棱锥中， （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值 19某厂生产两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取 100 件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中 （注：收益率） 等级 一等品 二等品 三等品 指标值 产品收益率 （1）求的值； （2）将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体 从产品中随机抽取

5、 3 件，求其中一等品件数的分布列及数学期望； 在总投资额相同的情况下，若全部投资产品或产品，试分析投资哪种产品收益更大 20已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，离心率为，为椭圆上一点，轴，且的面积为 （1）求椭圆的方程； （2）直线 与椭圆交于两点，为的中点，作射线交椭圆于点，交直线：于点，且满足，证明：直线 过定点，并求出此定点的坐标 21已知函数 （1）求函数的单调性； （2）若存在使得，求证： 22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数） ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的直角坐标方程为 （1）写出曲线的普通方程和直线 的极坐标方程； （2）若直线（）与曲线交

6、于两点，与直线 交于点，求的值 23已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数 m 的取值范围 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】因为， 所以， 因为， 所以。 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合交集和并集的运算法则，从而求出集合 。 【解析】【解答】复数 z 满足， ， 。 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则，从而求出复数 z，再利用复数求模的公式，进而求出复数的模。 【解析】【解答】不等式组表示的可行域如图所示： ， 由得， 表示直线的轴截距的-2 倍， 当直线过时，取得最小值，。 故答案为：A 【分析】利用已

7、知条件结合二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再结合最优解求出线性目标函数的最小值。 【解析】【解答】抛物线过点，则， 所以， 由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于轴负半轴， 准线方程为。 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合代入法，得出 a 的值，从而求出抛物线的方程，再利用抛物线方程确定准线的位置，从而求出抛物线的准线方程。 【解析】【解答】且或且, 集合表示的区域为以为圆心，半径为 的圆上和圆的内部, 则如图所示： 所以的概率为。 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合几何概率的公式，进而求出 的概率 。 【解析】【解答】先将 4 名志愿者分成 3 组，其中 3 组

8、 1 人，1 组 2 人，由种分法， 再将 3 组人分给 3 个服务站有种安排方案。 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分步乘法计数原理，进而求出不同的安排方案种数。 【解析】【解答】，定义域为 R， ， 所以函数为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 AC； 又，排除 B. 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再利用偶函数的图像的对称性结合特殊点排除法，进而找出函数的大致图象。 【解析】【解答】圆锥底面周长为，又其侧面展开图为半圆，则圆锥母线长， 直角三角形中，,，则， 分别取、的中点 M、N、P，连接、， 又由 O

9、 为中点，则， 则为异面直线与所成角或其补角， 由，可知平面，则， 在中，,，则， 在中， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为。 故答案为：C 【分析】利用圆锥底面周长为，又其侧面展开图为半圆，从而求出圆锥母线长，在直角三角形中，,，再结合勾股定理得出 CB 的长，分别取、的中点 M、N、P，连接、，又由 O 为中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，则，则为异面直线与所成角或其补角，由，可知平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，则，在中，,，结合勾股定理得出 MN 的长，在中，再利用余弦定理得出异面直线与所成角的余弦值。 【解析】【解答】在中，由及正弦定理得：， 即，由余弦定理得：

10、，而，解得， 由得，显然，则， 所以。 故答案为：C 【分析】在中，由及正弦定理得出，再由余弦定理得出角 A 的余弦值，再利用三角形中角 A 的取值范围，进而求出角 A 的值，由得出角 B 的正弦值，再结合三角形中角的取值范围结合三角形内角和为 180 度的性质，进而求出角 B 的取值范围，从而求出角 B 的值，进而求出角 C 的值，再利用两角差的正弦公式得出角 C 的正弦值。 【解析】【解答】设直线与的切点为， 由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为， 即为， 设直线与的切点为， 由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为， 即为， 仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切， ，即， 令，则，

11、 当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减，则在处取得最大值，图像为 切线只有一条，即的值唯一，只有。 故答案为：C. 【分析】设直线与函数的切点为，再利用求导的方法求出函数在切点处的切线的方程，即为，设直线与的切点为，再利用求导的方法求出函数（）在切点处的切线的方程，即为，利用仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，所以，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，再结合函数的图像结合切线只有一条，得出的值唯一，进而得出 a 的值。 【解析】【解答】由题意可知时锐角，且, 而， 所以， 而 ，当且仅当 ，即时取等号， 所以当时，此时最大。 故答案为：D. 【分析】由

12、题意可知时锐角，且,再利用正切函数的定义结合两角差的正切公式，得出，再利用均值不等式求最值的方法，得出的最大值，进而得出此时最大，从而求出此时的 c 与 a,b 的关系式。 【解析】【解答】均为正实数，且， ， 若，则，不合题意，故， 减函数，又， 所以，BC 不可能； 若，则，又在上为增函数， 符合题意，A 可能； 若，则，所以，不合题意，D 不可能. 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，进而找出 a,b,c 的大小关系。 【解析】【解答】， ，即， ，又因为， 。 故答案为：0。 【分析】利用已知条件结合两向量共线的坐标表示得出 m 的值，从而得出向

13、量的坐标，再利用数量积的坐标表示得出的值。 【解析】【解答】 。 故答案为：。 【分析】利用已知条件结合两角和的余弦公式，再结合同角三角函数基本关系式，从而得出的值。 【解析】【解答】不妨设点为第一象限内的点，则， ，可得，则，即点， 因此，即，故， 因此，双曲线的离心率为。 故答案为：。 【分析】不妨设点为第一象限内的点，则，再利用三角形的面积公式结合已知条件得出，再利用代入法得出，从而得出点 P 的坐标，再结合两点距离公式得出OP 的长，再结合已知条件的长 a,b 的关系式，再利用双曲线中 a,b,c 三者的关系式得出 a,c 的关系式，再由双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。 【解

14、析】【解答】等边三角形的高为， 等边三角形的外接圆半径为， 三角形的外接圆半径为， 设分别是等边三角形、等边三角形的中心， 设是三棱锥的外接球的球心，是外接球的半径， 则， 所以外接球的体积为。 故答案为：。 【分析】利用已知条件结合正弦函数的定义得出等边三角形的高，再利用正弦定理的性质得出等边三角形的外接圆半径和三角形的外接圆半径，设分别是等边三角形、等边三角形的中心，设是三棱锥的外接球的球心，是外接球的半径，再利用勾股定理得出外接球的半径，再结合球的体积公式，进而求出三棱锥的外接球的体积。 【解析】【分析】 （1） 设等比数列的公比为 q，再利用结合等比数列的通项公式，得出公比的值，再结合

15、等比数列的通项公式，进而求出数列的通项公式； 由得出的值，再利用结合代入法得出的值，再利用等差中项公式得出，因此，再结合等差数列的定义得出数列是等差数列，公差，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式。 （2） 利用（1）中数列 和的通项公式求出数列的通项公式，再利用错位相减的方法得出数列的前项的和。 【解析】【分析】 （1）利用 ，结合勾股定理得出，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，从而证出平面。 （2) 过点作，交于点，过点作且，再利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，则，再利用结合线线垂直证出线面垂直，故平面，

16、以点为空间直角坐标系原点，以、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式得出二面角的正弦值 。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于 1，从而求出 a 的值。 （2） 由频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率可知产品为一等品的概率、二等品概率和三等品概率，由题知随机抽取 3 件是一等品的件数 X 可能的取值，再利用已知条件得出随机变量 X 服从二项分布，再利用二项分布求概率公式得出随机变

17、量 X 的分布列，再结合随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量 X 的数学期望。 由题结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率可得产品为一等品的概率、 ，二等品的概率和三等品的概率；产品为一等品的概率、二等品的概率和三等品的概率，再利用数学期望公式得出产品的收益：和产品的收益：,再利用作差法得出，再利用 p 的取值范围比较出的大小，从而得出投资产品A 的收益更大。 【解析】【分析】 （1） 利用椭圆：的左顶点为，右焦点为，离心率为，再结合双曲线的离心率公式得出 a,c 的关系式，再结合为椭圆上一点，轴，且的面积为，从而结合三角形的面积公式和椭圆中 a,b,c 三者的关

18、系式，进而求出 a,b,c 的值，从而求出椭圆的标准方程。 （2） 利用分类讨论的方法，当直线 斜率存在且不为 0 时，设直线 ：（） ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出交点 M 的坐标，再利用两点求斜率公式得出直线 OM 的斜率，再结合点斜式求出直线 OM 的方程，再将直线 OM 方程与 ：联立得出点 N 的坐标，再将直线：与椭圆：联立出点 R的坐标，再利用结合两点距离公式得出，从而得出，再利用点斜式得出直线 的方程为：，再利用点斜式得出直线恒过点， 当时，易知，由得出 m 的值，从而得出直线 ：过点；当斜率不存在时，设直线，易知，由得出 t 的值，从而得出直线 ：过点, 进而证出 直

19、线 过定点，并求出此定点的坐标 。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性。 （2）利用 ，结合代入法得出，再利用作差法得出，再证：，即。令，则，再利用均值不等式求最值的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的值域，进而证出，所以，再利用函数为增函数，进而证出不等式成立。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合参数方程和普通方程的转化方法，从而得出曲线的普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式得出直线 的极坐标方程。 （2） 利用直线（）与曲线交于两点，联立二者方程求出交点 A,的坐标，再利用直线（）与直线 交于点，联立二者方程求出交点 M 的坐标，再结合两点距离公式得出的值 。 【解析】【分析】 （1）利用 m 的值求出函数的解析式，再利用零点分段法得出绝对值不等式 的解集。 （2）利用二次函数的图像求出二次函数的最小值，再利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，再结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分类讨论的方法结合分段函数的图像得出分段函数的值域，进而求出分段函数的最大值，所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，从而利用两函数的图象得出实数 m 的取值范围。