湖南省岳阳市高三上学期数学教学质量监测及答案.pdf

1、 高三上学期数学教学质量监测试卷高三上学期数学教学质量监测试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，集合，则（ ） A B C D 2已知复数 z 满足，则复数 z 在平面内对应点所在象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知等差数列满足，则数列的前 5 项和为（ ） A10 B15 C20 D30 4已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为（ ） A B C D 5已知向量，向量，则与的夹角大小为（ ） A30 B60 C120 D150 6已知椭圆长轴 AB 的长为 4，N 为椭圆上一点，满足，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 7已

2、知函数，其中，函数的周期为，且时，取得极值，则下列说法正确的是（ ） A B C函数在单调递增 D函数图象关于点对称 8已知 a，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A6 B C8 D 二、多选题二、多选题 9下列叙述正确的是（ ） A命题“，”的否定是“，” B“”是“”的充要条件 C的展开式中的系数为-10 D在空间中，已知直线满足，则 10若随机变量 X 服从两点分布，其中，E（X） 、D（X）分别为随机变量 X 均值与方差，则下列结论正确的是（ ） AP（X1）E（X） BE（3X+2）4 CD（3X+2）4 D 11已知函数（且）的图象如下所示函数的图象上有两个不同的点，则

3、（ ） A， B在上是奇函数 C在上是单调递增函数 D当时， 12已知圆上两点 A、B 满足，点满足，则不正确的是（ ） A当时， B当时，过 M 点的圆 C 的最短弦长是 C线段 AB 的中点纵坐标最小值是 D过 M 点作圆 C 的切线且切线为 A，B，则的取值范围是 三、填空题三、填空题 13在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴，终边过点且，则 14已知抛物线的焦点为 F，P 为抛物线上一动点，点，当的周长最小时，点P 的坐标为 15有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有 种 （结果用数字作答） 16

4、已知函数，若且，则的取值范围是 四、解答题四、解答题 17数列满足， （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式 18D 为边上一点，满足，记， （1）当时，且，求 CD 的值； （2）若，求面积的最大值 19高压钠灯使用时发出金白色光，具有发光效率高、耗电少、寿命长、透雾能力强和不锈蚀等优点，广泛应用于机场、码头、船坞、车站、广场、街道交汇处等地方，现在某公园中心树立有一灯杆，杆上装有 6 盏高压钠灯，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为，寿命为 2 年以上的概率为从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换

5、工作，只更换已坏的灯泡，平时不换 （1）在第一次灯泡更换工作中，求： 不需要换灯泡的概率； 更换 2 只灯泡的概率； （2）当，时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换 5 只灯泡的概率（结果保留两个有效数字） 20如图，在三棱锥中， （1）证明：平面 SAB平面 ABC； （2）若，试问在线段 SC 上是否存在点 D，使直线 BD 与平面 SAB 所成的角为 60，若存在，请求出 D 点的位置；若不存在，请说明理由 21已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方程为，且双曲线经过点，过双曲线上的一点 P（P 在第一象限）作斜率不为的直线 l，l 与直线

6、交于点 Q 且 l 与双曲线有且只有一个交点 （1）求双曲线的标准方程； （2）以 PQ 为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由 22已知函数，其中 t 为实数 （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，若恒成立，求最大的整数 t 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】因为集合，又集合， 所以。 故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合 B，再利用交集的运算法则，进而求出集合 A 和集合 B 的交集。 【解析】【解答】因为，则，则复数 z 在平面内对应点坐标为，所以复数 z 在平面内对应点所在象限是第一象限

7、. 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而求出复数 z，再利用复数的几何意义得出复数 z 对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限。 【解析】【解答】在等差数列中，解得，于是得公差，所以数列的前 5 项和为。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合等差中项公式，得出等差数列第四项的值，再利用等差数列的性质得出公差的值，再结合等差数列的通项公式得出首项的值，再由等差数列的前 n 项和公式得出数列的前 5 项和。 【解析】【解答】设圆锥底面半径为 r，母线为 l，则圆锥的侧面积为， 由题意得，解得， 所以圆锥底面圆的周长即侧面展开图扇形的弧长为， 所以该扇形的圆心角

8、。 故答案为：C 【分析】设圆锥底面半径为 r，母线为 l，再利用圆锥的侧面积公式得出圆锥的侧面积为，由题意得，从而得出母线的长，进而得出圆锥底面圆的周长即侧面展开图扇形的弧长，从而结合弧长公式得出该扇形的圆心角。 【解析】【解答】向量，向量， ， ，且， 的夹角为。 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算得出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和两向量夹角的取值范围，从而得出 与的夹角大小。 【解析】【解答】不妨设椭圆的方程为，如图， 由题可知，又， ，代入椭圆方程可得， 解得， ，即， 。 故答案为：C. 【分析】不妨设椭圆的标准方程为，由题可知，再利用，结合三角函数的定

9、义得出点 N 的坐标，再结合代入法得出的值，再利用椭圆中 a,b,c 三者的关系式得出 c 的值，再结合椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率。 【解析】【解答】对于 A，函数，其中， 因为函数的周期为，所以，A 不正确； 对于 B，时，取得极值， 所以为函数的对称轴方程，但是不能确定是取得极大值还是极小值， 所以，B 不正确； 对于 C，因为不能确定是函数的极大值还是极小值， 所以无法确定函数的单调性，C 不正确； 对于 D，因为为函数的对称轴方程， 则， 解得， 所以， 所以， 所以函数图象关于点对称，D 符合题意. 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，从而求出的值

10、，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值的方法，进而求出 A 和的值，从而求出函数的解析式，再利用代入法得出，再结合正弦型函数的图像判断正弦型函数在上的单调性和求出正弦型函数的图像的对称点，从而找出说法正确的选项。 【解析】【解答】设切点为（m，n） ， yln（x+b）的导数为， 由题意可得=1， 又 nm2a，nln（m+b） ， 解得 n0，m2a， 即有 2a+b1，因为 a、b 为正实数， 所以， 当且仅当时取等号， 故的最小值为 8。 故答案为：C 【分析】设切点为（m，n） ，再利用导数的几何意义结合已知条件得出=1，再利用 nm2a，nln（m+b） ，解得 n

11、和 m 的值，即有 2a+b1，再利用 a、b 为正实数结合均值不等式求最值的方法，进而求出的最小值。 【解析】【解答】对于 A，命题“，”为全称命题，其否定是“，”，A 符合题意. 对于 B，充分性：当时，显然不成立，故充分性不满足；必要性：当时，显然此时成立，故必要性满足.所以“”是“”的必要不充分条件，B 不符合题意. 对于 C，的展开式中的系数为，C 符合题意. 对于 D，若在空间中直线满足，则和相交或异面或平行，D 不符合题意. 故答案为：AC 【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系，进而写出命题“，”的否定；再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而推出 “”是“”

12、的必要不充分条件，再结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式求出 的展开式中的系数 ，再结合已知条件结合空间中两线的位置关系判断方法，从而判断出空间两线的位置关系，进而找出叙述正确的选项。 【解析】【解答】随机变量 X 服从两点分布，其中， P（X1）， E（X）， D（X）（0）2（1）2， 在 A 中，P（X1）E（X） ，A 符合题意； 在 B 中，E（3X+2）3E（X）+234，B 符合题意； 在 C 中，D（3X+2）9D（X）92，C 不符合题意； 在 D 中，D（X），D 不符合题意. 故答案为：AB. 【分析】 利用随机变量 X 服从两点分布，其中， 再结合数学期

13、望公式和方差公式，进而求出随机变量 X 的数学期望和方差，再结合概率的基本性质和数学期望和方差的性质，进而找出结论正确的选项。 【解析】【解答】对于 A，由图像可知，函数（且）在上单调递增，所以，因为经过，所以，所以，A 不符合题意. 对于 B，定义域关于原点对称，所以在上是奇函数，B 符合题意. 对于 C，对于，由题意不妨令，则，因为，所以，即，所以在上是单调递增函数，C 符合题意. 对于 D，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，即当时，成立，D 符合题意. 故答案为：BCD 【分析】由函数图像可知，函数（且）在上的单调性，进而结合指数型函数的单调性，从而求出实数 a 的取值范围单调递增，

14、再利用函数经过，结合代入法得出 k 的值；再结合 k 和 a 的值求出函数 f(x)的解析式，再利用奇函数的定义判断出函数在上是奇函数；再利用已知条件结合增函数的定义，从而判断出函数在上是增函数，再利用代入法和作差法，得出，再结合，从而利用构造法得出，即当时，成立，进而找出正确的选项。 【解析】【解答】圆的圆心，半径，令圆心 C 到直线 AB 距离为， 对于 A，令直线 AB：，即，显然有， 线段 AB 的垂直平分线平行于 x 轴，此时点 M 不存在，即不存在，A 不正确； 对于 B，当时，点在圆 C 内，而圆 C 的直径长为 2，则过 M 点的圆 C 的最短弦长小于 2，而，B 不正确； 对

15、于 C，令线段 AB 的中点，则， 则，即，解得，当且仅当时取等号， 所以，C 不正确； 对于 D，依题意及切线长定理得：， ，解得，即， 解得或， 所以的取值范围是，D 符合题意. 故答案为：ABC 【分析】利用圆得出圆心坐标和半径长，令圆心 C 到直线 AB 距离为，令直线AB：，再利用点到直线的距离公式得出 d 的值，再结合弦长公式得出 AB 的长，再利用线段 AB 的垂直平分线平行于 x 轴，此时点 M 不存在，即不存在；当时，点在圆 C内，而圆 C 的直径长为 2，则过 M 点的圆 C 的最短弦长小于 2；令线段 AB 的中点，再利用弦长公式结合几何法得出的最大值，则，即，再解一元二

16、次不等式得出 s 的取值范围，进而求出 s 的最小值；依题意及切线长定理得：，所以，再结合几何法得出，解得，即，再利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出实数的取值范围，进而找出不正确的选项。 【解析】【解答】因为终边上一点， 所以， 又， 所以可得， 所以。 故答案为：。 【分析】利用已知条件结合三角函数的定义得出，再利用诱导公式得出，从而求出 y 的值，再利用正弦函数的定义结合勾股定理，从而得出角的正弦值。 【解析】【解答】如图，设是抛物线的准线，过 P 作于 H，作于， 则， ，易知当三点共线时，最小，且最小值为， 所以的周长最小值为 3，此时，即。 故答案为：。 【分析】设直线是抛物线

17、的准线，过 P 作于 H，作于，则，再利用抛物线的定义得出，再结合几何法易知当三点共线时，最小，进而求出最小值，再利用三角形的周长公式得出三角形的周长最小值，进而得出此时对应的点 P 的坐标。 【解析】【解答】先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个大元素， 然后再将这个“大元素”与其它三个节目进行排序，共有种排法. 接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑， 其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其它两个节目进行排序， 此时共有种排法， 综上所述，由间接法可知，共有种不同的排法. 故答案为：36。 【分析】利用已

18、知条件结合排列数公式和间接法，进而求出小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单共有的种数。 【解析】【解答】画出的图象如下图所示， 由图可知， 当时，且， 因为， 所以， 当时， 所以的取值范围是。 故答案为：。 【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，由图可知，当时，且，再利用结合对数型函数的单调性，得出，进而结合构造法得出，当时，从而求出的取值范围。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合 的关系式，再利用分类讨论的方法结合等比数列的定义，进而证出数列是首项为 4，公比为 2 的等比数列 。 （2） 由（1）结合等比数列的通项公式，进而得出，两边同除以，得出，再利用代入法得出的值

19、，再结合等差数列的定义，所以数列是首项为，公差为 1 的等差数列，再结合等差数列的通项公式，进而求出数列的通项公式。 【解析】【分析】 （1） 设 CD 长为 x，当时，再结合正切函数的定义得出，再利用结合正切函数的图像得出，再利用二倍角的正切公式得出，从而得出 x 的值，进而求出 CD 的长。 （2） 在中，再结合三角形内角和为 180 度的性质，从而求出的值，由正弦定理结合，所以，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积，再利用，再结合两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，所以，再利用结合构造法得出，再利用正弦型函数的图像求最值的方法，从而得出

20、S的最大值，再利用三角形的面积等于，从而求出三角形的面积的最大值。 【解析】【分析】 （1）由已知该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为， 利用独立事件乘法求概率公式得出在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率；利用二项分布求概率公式得出在第一次更换灯泡工作中，需要更换 2 只灯泡的概率。 （2） 利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用对立事件求概率公式和二项分布求概率公式，再结合互斥事件求概率公式得出在第二次灯泡更换工作，至少需要更换 5 只灯泡的概率。 【解析】【分析】利用两种方法证明。法一，取 AB 的中点 E，连接 SE，CE，利用结合等腰三角形三线合一，所以，再利用，所以三角形 A

21、CB 为直角三角形，所以，再利用，所以，所以，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以平面 ABC，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面 ABC；法二，作平面 ABC，连 EA，EC，EB，EA，EC，EB 都在平面 ABC 内，所以，再利用，所以，再利用，所以三角形 ACB 为直角三角形，所以 E 为 AB 的中点，进而证出平面平面 ABC。 （2） 以 E 为坐标原点，平行 AC 的直线为 x 轴，平行 BC 的直线为 y 轴，ES 为 z 轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公式，进而得出，再利用结合判别

22、式法判断出方程无解，所以不存在点 D，使直线 BD 与平面 SAB 所成的角为 60。 【解析】【分析】 （1) 依题意可设双曲线的标准方程为，再利用双曲线经过点结合代入法得出的值，再结合转化的方法得出双曲线的标准方程。 （2） 利用已知条件得出直线 l 的斜率显然存在且不为 0，设直线 l 的点斜式方程为，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程得出（*） ，再利用且直线 l 与双曲线有且只有一个交点，再结合两函数交点的横坐标与方程的根的等价关系，所以（*）方程有且只有一个实数根，再利用判别式法得出，进而得出点 P 的坐标为，再联立两直线方程求出直线 l 与直线的交点 Q 的坐标，将为直径的圆方程为化为，当且得出上述方程恒成立，从而解方程组求出 PQ 为直径的圆恒过一个定点坐标，即。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。 （2） 记，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的的极大值也是最大值，所以，所以恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，只要即可，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，即，再利用代入法得出，所以，进而求出最大的整数 t 的值，从而得出当时，若恒成立时的最大的整数 t 的值。