湖北省八市高三下学期数学3月联考及答案.pdf

1、 高三下学期数学联考试卷高三下学期数学联考试卷 一、单选题一、单选题 1设集合，集合，则（ ） A B C D 2已知双曲线 C：（，）的一条渐近线方程为，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 3从装有 2 个红球和 2 个黑球的袋子内任取 2 个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ） A“至少有 1 个红球”与“都是黑球” B“恰好有 1 个红球”与“恰好有 1 个黑球” C“至少有 1 个黑球”与“至少有 1 个红球” D“都是红球”与“都是黑球” 4若向量满足，则与的夹角为( ) A B C D 5将函数的图象沿 x 轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个

2、可能取值为（ ） A B C D 6设，为两个不同的平面，则的一个充要条件可以是（ ） A内有无数条直线与平行 B，垂直于同一个平面 C，平行于同一条直线 D，垂直于同一条直线 7已知的展开式中的系数为 80，则 m 的值为（ ） A-2 B2 C-1 D1 8各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制.通常我们用函数表示在 x 进制下表达 M（M1）个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是（ ） A二进制 B三进制 C八进制 D十进制 二、多选题二、多选题 9立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的 1000 名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照5

3、0，60）60，70）70，80）80，90）90，100分成 5 组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A图中的 x 值为 0.020 B这组数据的极差为 50 C得分在 80 分及以上的人数为 400 D这组数据的平均数的估计值为 77 102022 年 1 月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数 i 在量子力学中的必要性，再次说明了虚数 i 的重要性.对于方程，它的两个虚数根分别为（ ） A B C D 11我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥，称作直角三棱锥.在直角三棱锥 SABC 中，侧棱 SASBSC

4、 两两垂直，设 SA=a，SB=b，SC=c，点 S 在底面 ABC 的射影为点 D，三条侧棱 SASBSC 与底面所成的角分别为，下列结论正确的有（ ） AD 为ABC的外心 BABC为锐角三角形 C若，则 D 12已知函数，则( ) A的图象关于对称 B的最小正周期为 C的最小值为 1 D的最大值为 三、填空题三、填空题 13已知函数，则曲线在 x1 处的切线方程为 . 14某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为 32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空 0.5，各试验区之间也空 0.5.则每块试验区的面积的最大值为 . 15已知抛物

5、线的焦点为 F，点 M 是抛物线上异于顶点的一点，（点 O 为坐标原点） ，过点 N 作直线 OM 的垂线与 x 轴交于点 P，则 . 162022 年北京冬奥会开幕式中，当雪花这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在 1904 年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程 若第 1 个图中的三角形的周长为 1，则第 n 个图形的周长为 ；若第 1

6、个图中的三角形的面积为 1，则第 n 个图形的面积为 . 四、解答题四、解答题 17已知数列是等差数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 n 项和. 18在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知. （1）求角 B 的大小； （2）设 M，N 分别为 BC，AC 的中点，AM 与 BN 交于点 P，若，求 sinMPN的值. 19在三棱台 DEFABC 中，CF平面 ABC，ABBC，且 AB=BC=2EF，M 是 AC 的中点，P 是CF 上一点，且 CF=DF=CP（）. （1）求证：平面 BCD平面 PBM； （2）当 CP=1，且二面角 EBDC 的

7、余弦值为时，求三棱台 DEFABC 的体积. 202022 年 2 月日，中国女足在两球落后的情况下，以 3 比 2 逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇. （1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左中右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左中右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望； （2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲乙丙丁 4 名女足队员在某次

8、传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外 3 人中的 1 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外 3人中的 人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第 n 次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，. 试证明为等比数列； 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小. 21设椭圆 C：（）的左右顶点分别为 A，B，上顶点为 D，点 P 是椭圆 C 上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为 2. （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 AD 与直线 BP 交于点 M，直线 DP 与 x 轴交于点 N，求证：直线 MN 恒过某定点，并求出该定点. 22设函数.（为自然常数）

9、（1）当时，求的单调区间； （2）若在区间上单调递增，求实数 a 的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】根据题意，可得， 故 . 故答案为：C. 【分析】 求出集合 A, B，利用交集定义能求出 AB. 2 【答案】C 【解析】【解答】渐近线方程可化为，故， 故离心率为 . 故答案为：C. 【分析】先根据渐近线方程求得 a 和 b 的关系，进而求出 a 和 c 的关系，则离心率可得答案. 3 【答案】D 【解析】【解答】从装有 2 个红球和 2 个黑球的袋子内任取 2 个球，可能的结果为：1 红 1 黑2 红2黑， 对于 A：“至少有 1 个红球”包括 1 红

10、 1 黑2 红，与“都是黑球”是对立事件，不符合； 对于 B：“恰好有 1 个红球”和恰好有 1 个黑球”是同一个事件，不符合题意； 对于 C：“至少有 1 个黑球”包括 1 红 1 黑2 黑，“至少有 1 个红球”包括 1 红 1 黑2 红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于 D：“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，符合题意； 故答案为：D. 【分析】 利用对立事件、互斥事件的定义直接求解可得答案. 4 【答案】C 【解析】【解答】由题可知， ， 向量 与 的夹角为 . 故答案为：C. 【分析】 根据条件可得出 ，然后即可求出的值，从而得出答案. 5 【答案】B 【解

11、析】【解答】函数的图象沿 x 轴向右平移个单位后， 得 ，因为其为偶函数， 故可得 ，得 ， 取 ，可得 . 故答案为：B. 【分析】 先求出平移后的函数解析式，再根据三角函数为偶函数的性质求解即可. 6 【答案】D 【解析】【解答】对于 A，内有无数条直线与 平行不能得出内的所有直线与 平行才能得出，A 不符合题意； 对于 B、C， 垂直于同一平面或 平行于同一条直线，不能确定 的位置关系，B、C 不符合题意； 对于 D， 垂直于同一条直线可以得出 ，反之当 时，若 垂于某条直线，则 也垂于该条直线. 故答案为：D. 【分析】利用线面平行和线线平行的判定和性质，面面平行的判定和性质的应用判定

12、 A、B、C、D的结论. 7 【答案】A 【解析】【解答】， 在 的展开式中，由 ， 令 ，得 r 无解，即 的展开式没有 的项； 在 的展开式中，由 ， 令 ，解得 r=3， 即 的展开式中 的项的系数为 ， 又 的展开式中 的系数为 80， 所以 ，解得 . 故答案为：A. 【分析】 将原式拆开成 的形式，然后再结合组合的知识表示出含的项，进而列出 m 的方程求解可得 m 的值 . 8 【答案】B 【解析】【解答】因为， 令 ，得易知 在 上单调递增，在 上单调递减， 故只需比较 与 的大小，而 ， 故可得 . 则效率最高的是三进制. 故答案为：B. 【分析】根据效率的定义，结合 的单调性

13、，即可判断出答案。 9 【答案】A,C,D 【解析】【解答】由，可解得，A 符合题意； 频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，B 不正确； 得分在 80 分及以上的人数的频率为 ， 故人数为 ，C 符合题意； 这组数据的平均数的估计值为： ，D 符合题意. 故答案为：ACD. 【分析】根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为 1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项逐一进行分析判断，可得答案。 10 【答案】C,D 【解析】【解答】对于方程，移项因式分解可得：为实数根， 要求虚数根，解方程 即可，解得 . 故答案为：CD. 【分析】根据已知条件，x = 1 或 解出 x 的复数

14、根，即可求解得答案. 11 【答案】B,C,D 【解析】【解答】连接并延长交于，连接，因为平面，平面， 所以 ，因为 SASBSC 两两垂直，所以 平面 ，因为 平面 ， 所以 ，因为 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，即 ，同理可证得 ，D 应为 的垂心，A 不正确； 由勾股定理可得， ， 在 中，由余弦定理得， ，所以 为锐角，同理可得 都为锐角，所以 为锐角三角形，B 符合题意； 设 ，则由题意得 ， 若 ，则 ，因为 都为锐角，所以 ，C符合题意； 由 A 可知， 平面 ，因为 平面 ，所以 ，由等面积法可得 ，得 ， 故 .D 符合题意. 故答案为：BCD 【分析】 分别根据三棱

15、锥的性质，以及空间直线的位置关系进行判断，即可得到结论. 12 【答案】A,C,D 【解析】【解答】，A 符合题意； ， 故 为 的一个周期. 当 时， ， 此时 ， 令 ，得 ，故 . 当 时， ；当 时， ， 故 在 上单调递增，在 上单调递减，故 的最小正周期为 ，B 不符合题意； 由上可知 在 上的最小值为 ，最大值为 ，由 的周期性可知，CD 均正确. 故答案为：ACD. 【分析】验证 与 是否相等，可判断 A 的正误；验证 与 相等，从而可知 为的一个周期，再验证在上的单调性，即可判断为最小正周期；由B 选项即求最大值和最小值。 13 【答案】3x-y-2=0 【解析】【解答】，

16、故 在(1，1)处的切线的方程为： ，即 3x-y-2=0. 故答案为：3x-y-2=0. 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x=1 处的导数，再求出 f (1)的值，利用直线方程的点斜式得答案. 14 【答案】6 【解析】【解答】设矩形空地的长为m，则宽为m， 依题意可得，试验区的总面积 ， 当且仅当 即 时等号成立， 所以每块试验区的面积的最大值为 . 故答案为：6 【分析】设矩形空地的长为 m，根据图形和矩形的面积公式表示出实验区的总面积，利用基本不等式即可求出每块试验区的面积的最大值。 15 【答案】3 【解析】【解答】依题意，设，由，得 N 为的中点且， 则 ，易得直线 的垂线

17、 的方程为 . 令 ，得 ，故 ， 由抛物线的定义易知 ， 故 . 故答案为：3 【分析】设 则，易得直线的方程为，求得，结合抛物线的定义即可求出的值。 16 【答案】； 【解析】【解答】记第个图形为，三角形边长为，边数，周长为，面积为 有 条边，边长 ； 有 条边，边长 ； 有 条边，边长 ； 分析可知 ，即 ； ，即 当第 1 个图中的三角形的周长为 1 时，即 ， 所以 由图形可知 是在 每条边上生成一个小三角形，即 即 ， ， ， 利用累加法可得 数列 是以 为公比的等比数列，数列 是以 为公比的等比数列，故 是以 为公比的等比数列， 当第 1 个图中的三角形的面积为 1 时， ，即

18、，此时 ， ， 有 条边， 则 所以 ， 所以 故答案为： ， 【分析】 根据前面几个图形找到相邻周长之间的关系，再进一步得到和第一个图形的周长之间的关系，数列 是以为公比的等比数列，数列是以为公比的等比数列，故是以为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式即可求出第 n 个图形的面积。 17 【答案】（1）解：设数列的公差为 d，依题意可得：，解得， 故有，故. （2）解：由（1）中所求可得：， 故. 即数列的前 n 项和 【解析】【分析】(1) 设数列的公差为 d ，由，求得 d 的值，进而知数列的通项公式，从而得解； (2)采用裂项求和法，即可求解出数列的前 n 项和. 18 【答案】（1

19、）解：在中，由余弦定理可得， 代入中，化简可得， 由正弦定理可得：，得， B 为的内角，故. （2）解：由和，根据余弦定理得， 故，易知. ， 由分别为的中点可得， 在中，易知， 故 【解析】【分析】(1)根据正弦定理和余弦定理，代入即可求出角 B 的大小； (2)在ABC中由余弦定理求出 ，再由 ，在BAN中，求出 sinBNA，cosBNA，代入即可求出答案. 19 【答案】（1）证明：在中，因为，且为中点，故可得， 由平面，且面，可得， 又面，故平面， 又面，故. 由可得，又， 故，可得，又 故，故可得， 又面，故可得平面， 又平面，故平面平面. （2）解：由可得，连接， 由（1）所知，

20、两两垂直， 故以 M 为原点，分别以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 易知， 由，可得， 设平面的法向量为， 则令，得， 设平面的法向量为， 则，令，得， 依题意可得，解得. 故， 易得和的面积分别为和 2， 故三棱台的体积为. 【解析】【分析】 (1)由线面垂直推证，再结合三角形相似证明，即可由线线垂直推证线面垂直； (2) 以 M 为原点，分别以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，根据已知二面角大小，求得，再由棱台的体积计算公式即可求出三棱台 DEFABC 的体积. 20 【答案】（1）解：依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为， 门将在前三次扑出点球的个数可能

21、的取值为 0，1，2，3 ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 期望. 另解：依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为， 门将在前三次扑出点球的个数可能的取值为，易知， ，. 的分布列为： 0 1 2 3 期望. （2）解：第次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则 ，从而， 又， 是以为首项，公比为的等比数列. 由可知， ，故. 【解析】【分析】(1)根据题干求得每次扑出点球的概率，进而可得的分布列和期望； (2)由题意可得的递推公式，进而得证； 令 n= 10，计算与 比较大小. 21 【答案】（1）解：由已知可得，解得，

22、故椭圆 C 的方程为 （2）解：设直线的方程为（且） ， 直线的方程为（且） ， 则直线与 x 轴的交点为， 直线的方程为，则直线与直线的交点为， 将代入方程，得， 则点 P 的横坐标为，点 P 的纵坐标为， 将点 P 的坐标代入直线的方程， 整理得， ， 由点坐标可得直线的方程为： ， 即， 则直线过定点. 【解析】【分析】 （1）利用椭圆的离心率及其短轴长联立方程组，求解即可得出椭圆 C 的方程； （2）设直线和直线的方程，并求出直线 AD 的方程，再求出点 M、N 的坐标，及其直线MN 的方程，即可求出直线 MN 恒过某定点。 22 【答案】（1）解：当时，定义域为， ，令，解得：，令，解得：，故此时的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）解：在区间上有意义，故在上恒成立，可得， 依题意可得：在上恒成立， 设， ，易知在上单调递增，故， 故在上单调递减，最小值为， 故只需，设，其中， 由可得：在上为减函数， 又，故. 综上所述：a 的取值范围为. 【解析】【分析】(1)求定义域，求导，解不等式，求出的单调区间； (2)先根据定义域得到 ，二次求导，结合极值、最值，列出不等式，求出实数 a 的取值范围.