北京市房山区高三数学一模及答案.pdf

1、 高三数学一模试卷高三数学一模试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合 A=2，1，0，1，2，则（ ） A2，1，0，1，2 B1，0，1 C2，2 D0，1 2在复平面内，复数 z 对应的点的坐标为（2，1） ，则（ ） A5 B3 C54i D34i 3若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A B C D 4若的展开式中的常数项为20，则 a=（ ） A2 B2 C1 D1 5已知为抛物线上一点，到抛物线的焦点的距离为 4，到轴的距离为 3，则（ ） A B1 C2 D4 6数列是等差数列，若，则（ ） A B9 C10 D20 7大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游

2、速（单位：m/s）可以表示为，其中 Q 表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以 1.5m/s 的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（ ） A2600 B2700 C2 D27 8已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9已知直线 l 被圆 C：所截的弦长不小于 2，则下列曲线中与直线 l 一定有公共点的是（ ） A B C D 10已知 U 是非实数集，若非空集合 A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合 U 的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合 U 的同一种真分拆 A1A2=0A1A2

3、=U的元素个数不是中的元素. 则集合 U=1，2，3，4，5，6的真分拆的种数是（ ） A5 B6 C10 D15 二、填空题二、填空题 11若双曲线的一条渐近线方程为，则 . 12函数的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为= . 13如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 O 为底面 ABCD 的中心，点 P 在侧面 BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论： D1OAC； 存在一点 P，D1OB1P； 若 D1OOP，则D1C1P面积的最大值为； 若 P 到直线 D1C1的距离与到点 B 的距离相

4、等，则 P 的轨迹为抛物线的一部分. 其中所有正确结论的序号是 . 14已知、是单位向量，且，则= ， . 15将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数 g（x）的图象，g（x）= ；若 g（x）在区间0，m上的最小值为 g（0） ，m 的最大值为 . 三、解答题三、解答题 16如图，在三棱柱中，平面， （1）求证：平面； （2）若，求 与平面所成角的正弦值； 直线与平面的距离. 17在ABC中， . （1）求B的大小； （2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得ABC存在且唯一，求ABC的面积 条作； 条件； 条件：AB 边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分

5、；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分. 18良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防止以来，在经济快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021 年经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碎式突破.下表是 2021 年每个月空气质量优良和污染的天数统计. 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 合计 空气质量优良天数 24 18 11 27 23 21 26 29 27 29 23 30 288 空气质量污染天数 7 10 20 3 8 9 5 2 3 2 7 1 77 （1）从 20

6、21 年中任选 1 天，求这一天空气质量优良的概率； （2）从 2021 年的 4 月、6 月和 9 月中各任选一天，设随机变量 X 表示选出的 3 天中质量优良的天数，求 X 的分布列； （3）在 2021 年的 1 月、3 月、5 月、7 月、8 月、10 月、12 月中，设空气质量优良天数的方差为，空气质量污染天数的方差为，试判断，的大小关系.（结论不要求证明） 19已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在区间（0，e存在极小值，求 a 的取值范围. 20已知椭圆 C 的离心率为，长轴的两个端点分别为，. （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点的直线与椭圆 C 交于 M

7、，N（不与 A，B 重合）两点，直线 AM 与直线交于点 Q，求证：. 21若无穷数列满足如下两个条件，则称为无界数列： （n=1，2，3.） 对任意的正数，都存在正整数 N，使得. （1）若，（n=1，2，3.） ，判断数列，是否是无界数列； （2）若，是否存在正整数 k，使得对于一切，都有成立？若存在，求出 k 的范围；若不存在说明理由； （3）若数列是单调递增的无界数列，求证：存在正整数 m，使得. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】因为集合 A=2，1，0，1，2，所以 1，0，1. 故答案为：B. 【分析】化简集合 B，再根据交集的定义可求出答案。 2 【答案

8、】A 【解析】【解答】由题意知，. 故答案为：A. 【分析】 根据已知条件，结合复数的运算法则，以及共轭复数的定义，即可求解出答案. 3 【答案】C 【解析】【解答】取满足，且，此时，A 不符合题意； 取满足，且，此时，B 不符合题意； 可得，C 符合题意； 取满足，且，此时，D 不符合题意. 故答案为：C. 【分析】 直接利用赋值法和作差法和不等式的基本性质的应用判断 A、B、C、D 的结论，可得答案. 4 【答案】D 【解析】【解答】已知的展开式中的通项公式为：，令，求得：，可得展开式的常数项为：，解得：. 故答案为：D. 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出

9、r 的值，令其等于-20，求解可得 a的值. 5 【答案】C 【解析】【解答】由题意可知点的纵坐标为 3，抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得，解得. 故答案为：C. 【分析】 由抛物线的性质可得到焦点的距离代入到准线的距离，列出方程，可得 p 的值. 6 【答案】B 【解析】【解答】因为数列是等差数列，所以， 因为，所以， 故答案为：B 【分析】 由已知利用等差数列的性质求得，再把已知等式左边通分求解. 7 【答案】D 【解析】【解答】解：因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中 Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数， 当一条鲑鱼静止时，此时，则，耗氧量为； 当一条鲑鱼以的速度游动时，此时， 所

10、以，则，即耗氧量为， 因此鲑鱼以 1.5m/s 的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为. 故答案为：D. 【分析】 根据题中函数关系式，令 v = 0 和 1.5，分别求出对应的 Q，即可得出答案. 8 【答案】A 【解析】【解答】因为， 若函数为奇函数，则，解得， 因为， 因此，“”是“为奇函数”的充分而不必要条件. 故答案为：A. 【分析】 根据题意，由余弦二倍角公式可得，结合余弦函数的性质，可得答案. 9 【答案】C 【解析】【解答】解：直线 被圆所截的弦长不小于 2，圆心到直线 的距离小于或等于 1， 故直线 一定经过圆面内的点，在平面直角坐标系中分别画出， 、的图象如下所示：

11、对于 A： 对于 B： 对于 C 对于 D： 结合图象可知，在四个选项中只有这个点一定在椭圆内或椭圆上， 与椭圆一定有公共点 故答案为：C 【分析】由题意知可以得到原点到直线的距离小于等于 1，即直线上有一点到原点的距离小于等于1，逐项进行分析，可得答案。. 10 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意，集合 U=1，2，3，4，5，6的真分拆有； ；，共 5 种， 故答案为：A. 【分析】由真分拆的定义及规定即可得答案。 11 【答案】2 【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为，所以，解得. 故答案为：2. 【分析】由双曲线的渐进方程即可求出 a 的值。 12 【答案】（答案不唯一） 【解析】

12、【解答】函数的图象在区间（0，2）上连续不断，且“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题，可知函数满足在（0,2）上存在零点，且，所以满足题意的函数解析式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 【分析】由题中命题为假命题，可知函在区间上存在零点，且，进而举例即可得答案。 13 【答案】 【解析】【解答】对于，连接，由正方体的性质知三角形为等边三角形，由于为底面的中心，故为中点，故，正确； 对于，将 D1O 进行平移到过 B1点，使之与 B1P 具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足平行或重合于 B1P，所以 D1O 不可能平行于，错误； 对于，取 B1B 的中点 E，连接，证明

13、平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，此时面积最大为：.所以正确. 对于，P 到直线 D1C1的距离为线段的长度，所以，判定出 P 点位置为直线的垂直平分线，故错误. 故正确的序号是： . 故答案为： . 【分析】对于，连接，由三角形为等边三角形，可判断； 对于，将 D1O 进行平移到过 B1点，使之与 B1P 具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足 D1OB1P； 对于，连接，证明平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，可求得 D1C1P面积的最大值，可判断； 对于 ，P 到直线 D1C1的距离为线段的长度，所以，判定出 P 点位置即可。 14 【答案】； 【解析

14、】【解答】因为且，则，可得， ，故. 故答案为：；. 【分析】由已知可得出，可求得的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值。 15 【答案】； 【解析】【解答】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数 g（x）的图象，则.则在区间0，m上，要使 g（x）在区间0，m上的最小值为 g（0） ，则，解出. 则 m 的最大值为. 故答案为：；. 【分析】利用函数的图像变换规律求得 g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，即可求得 m 的最大值。 16 【答案】（1）证明：在三棱柱中，四边形为平行四边形. 所以，因为平面，平面，所以平面. （2）解：因为平面，平面，所以，又，所以两两互相垂

15、直.如图建立空间直角坐标系， 则，所以，设平面的法向量为，则 ，即 令，则，于是. 设直线与平面所成的角为，则 . 所以与平面所成角的正弦值为. 因为面，所以直线与平面的距离就是点到平面的距离 设 A 到面的距离为，则 【解析】【分析】(1)推导出四边形 是平行四边形，得 ， 由此能证明 平面； (2)以 B 为坐标原点， BA 所在直线为 x 轴，BB1所成直线为 y 轴，以 BC 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量利用向量法能求出 与平面所成角的正弦值； 利用向量法能求出直线与平面的距离. 17 【答案】（1）解：由正弦定理及. 得，因为，所以 因为，所以. （2）解

16、：选择条件，ABC存在且唯一，解答如下： 由，及，得. 由正弦定理及 得，解得. 方法 1：由，得 . 所以. 方法 2：由余弦定理，得 即，解得 所以 选择，ABC存在且唯一，解答如下： 由，及，得. 因为 AB 边上的高为，所以. 由正弦定理及， 得，解得：. （以下与选择条件相同） 【解析】【分析】(1)由正弦定理可得 ，从而得到 ，即可求解出 B的大小； (2)选择条件，ABC存在且唯一，由 可求A，由正弦定理及 b 解出 a 的值，由两角差的正弦公式求出 sinC，最后由面积公式计算即可； 选择，ABC存在且唯一，由，可求出A，由于 AB 边上的高，可求出 b，再由正弦定理求出解出

17、a 的值，以下与选择条件相同。 18 【答案】（1）解：记事件 A 为“从 2021 年中任选 1 天，这一天空气质量优良”， 由统计数据可知； （2）解：X 的所有可能取值为 0，1，2，3. 方法 1：记事件 B 为“从 4 月任选 1 天，这一天空气质量优良”，事件 C 为“从 6 月任选 1 天，这一天空气质量优良”，事件 D 为“从 9 月任选 1 天，这一天空气质量优良”.由题意知，事件 B，C，D 相互独立， 且， 所以， ， ， . 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 方法 2： 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P （3）解：. 【解析】【分析】 (1)

18、根据统计数据可直接求解出这一天空气质量优良的概率； (2)X 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3，再根据相互独立求出每一种情况下的概率，从而可得 X 的分布列； (3)这些月份的和为定值 31，这两个量的方差相等. 19 【答案】（1）解：当时， 则， 所以， 所以曲线在处的切线方程为； （2）解：， 令， 则， 解，得， 与的变化情况如下： x （0，1） 1 （1，e） 0 + 极小值 所以函数在区间（0，e上的最小值为， 方法 1： 当时，.所以恒成立，即恒成立， 所以函数在区间（0，e上是增函数，无极值，不符合要求， 当时，因为， 所以存在，使得 x （1，） （，e） 0 + 极

19、小值 所以函数在区间（1，e）上存在极小值，符合要求， 当时，因为 所以函数在区间（1，e）上无极值. 取，则 所以存在，使得 易知，为函数在区间（0，1）上的极大值点. 所以函数在区间（0，e）上有极大值，无极小值，不符合要求 综上，实数 a 的取值范围是. 方法 2： “在区间（0，e上存在极小值”，当且仅当，解得. 证明如下： 当时， 因为，所以存在，使得 x （1，） （，e） 0 + 极小值 所以函数在区间（1，e）上存在极小值. 所以实数 a 的取值范围是. 【解析】【分析】(1)代入 a 的值， 求出函数的导数，计算 f (1)，f (1)，求出 在处的切线方程； (2)求出函数

20、的导数 ， 令， 易得函数 在区间（0，e上的最小值为，方法 1： 分， ， 讨论求解出 a 的取值范围； 方法 2：根据函数在区间（0，e上存在极小值，由求解出 a 的取值范围. 20 【答案】（1）解：由长轴的两个端点分别为，可得， 由离心率为，可得，所以， 又，解得， 所以椭圆 C 的标准方程为； （2）解：设直线 l 的方程为， 由得 设，则， 所以，直线的方程为，所以 所以， 所以 ，即， 所以、三点共线，所以； 【解析】【分析】 (1)依题意可得 a = 2，再根据离心率求出 c，最后根据 ，求出 b，即可求出椭圆 C 方程； (2) 设直线 l 的方程为， ，联立直线与椭圆方程，

21、消元、列出韦达定理，表示出直线 AM 的方程，即可求出 Q 点坐标，再表示出 kNB、kBQ，即可得到 ， 即N、B、Q 三点共线，即可得证 . 21 【答案】（1）解：是无界数列，理由如下： 对任意的正整数，取为大于的一个偶数，有，所以是无界数列. 不是无界数列，理由如下： 取，显然，不存在正整数，满足，所以不是无界数列. （2）解：存在满足题意的正整数 k，且. 当时，不成立. 当时，不成立 当时，不成立 当时，将变形为： . 即取，对于一切，有成立. （3）证明：因为数列是单调递增的无界数列，所以， 所以 . 即 因为是无界数列，取，由定义知存在正整数，使所以. 由定义可知是无穷数列，考察数列，显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可知存在正整数，使得 . 故存在正整数，使得 . 故存在正整数，使得成立 【解析】【分析】(1) 对任意的正整数，取为大于的一个偶数，有，符合无界数列的定义；取 ，显然 ，不符合无界数列的定义； (2)讨论 n= 1,n= 2, n= 3 都不成立，当 n4 时，将变形为：，从而求得 k 的范围； (3)观察要证的不等式结构与(2)相似，故应用(2)变形后，再由 是单调递增的无界正数列证明.