八省八校（T8联考）高三下学期数学第二次联考及答案.pdf

1、 高三下学期数学第二次联考试卷高三下学期数学第二次联考试卷 一、单选题一、单选题 1复数，则（ ） A0 B2i C-2i D 2设集合，则（ ） A B C D 3设为等差数列的前 n 项和，且满足，.则当取得最小值时，n 的值为（ ） A3 B6 C9 D12 4如图，在同一平面内沿平行四边形 ABCD 两边 AB、AD 向外分别作正方形 ABEF、ADMN，其中，则（ ） A B C0 D-1 5若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（ ） A B C D 6如图，已知正四面体 ABCD 的棱长为 1，过点 B 作截面分别交侧棱

2、 AC，AD 于 E，F 两点，且四面体 ABEF 的体积为四面体 ABCD 体积的，则 EF 的最小值为（ ） A B C D 7黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意 x 都有，当时，则（ ） A B C D 8已知椭圆：，过其左焦点作直线 l 交椭圆于 P，A 两点，取 P 点关于 x 轴的对称点 B.若 G 点为的外心，则（ ） A2 B3 C4 D以上都不对 二、多选题二、多选题 9下列命题正确的是（ ） A若事件 A 与 B 相互独立，且，则 B设随机变量 X 服

3、从正态分布，则 C在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近 1 时，样本数据的线性相关程度越强 D在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好 10作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系 xOy 下的一般方程为.某同学对情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是（ ） A曲线不经过第三象限 B曲线关于直线对称 C曲线与直线有公共点 D曲线与直线没有公共点 11已知 a，满足，则（ ） A B C D 12如图，在棱长为 1 的

4、正方体中，P 为棱的中点，Q 为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( ) A若平面，则动点 Q 的轨迹是一条线段 B存在 Q 点，使得平面 C当且仅当 Q 点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D若，那么 Q 点的轨迹长度为 三、填空题三、填空题 13在二项式的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数 . 14若在平面直角坐标系 xOy 中，直线与直线分别截圆所得弦长之比为 3：1，则 . 15某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动.现有甲乙丙丁四人，乒乓球篮球足球羽毛球网球五项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人

5、中恰有两人参加同一活动的概率为 . 16已知，若存在，使得，则的取值范围为 . 四、解答题四、解答题 17如图，在直角中，角 C 为直角，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且. （1）求角 B 的大小； （2）若，D 点为 AB 边上一点，且，求. 18如图，在直三棱柱中，E，F 分别为线段，的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为，求的长. 19设数列的前 n 项和为，且. （1）求； （2）证明：当时，. 202022 年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店

6、进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为 80 元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的 100 名消费者的心理价位整理如下： 心理价位（元/件） 90 100 110 120 人数 10 20 50 20 假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为 x（单位：元/件） ，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率. （1

7、）若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有 4 名消费者进店，X 为这一时段该纪念品的购买人数，试求 X 的分布列和数学期望； （2）假设共有 M 名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为 Y（单位：元） ，当该纪念品的销售价格 x 定为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 21已知双曲线：过点，且的渐近线方程为. （1）求的方程； （2）如图，过原点 O 作互相垂直的直线，分别交双曲线于 A，B 两点和 C，D 两点，A，D在 x 轴同侧.请从两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分. 求四边形 ACBD 面积的取值范围； 设直线 AD 与两渐近线分别交于 M，N 两

8、点，是否存在直线 AD 使 M，N 为线段 AD 的三等分点，若存在，求出直线 AD 的方程；若不存在，请说明理由. 22已知函数. （1）若 1 是函数的极值点，求 a 的值； （2）若，试问是否存在零点.若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由. （3）若有两个零点，求满足题意的 a 的最小整数值.（参考数据：，） 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】，所以. 故答案为：A 【分析】化简 z，即可求解。 【解析】【解答】 故答案为：C 【分析】由集合的交集运算即可求解。 【解析】【解答】设公差为 d，由于，即，即， 即，由于，所以，从而可得，所以当取得最小值时，n 的值为 6 故答

9、案为：B 【分析】由 可得，由，可知，从而解决问题。 【解析】【解答】 . 故答案为：C. 【分析】由向量的加法运算可得： ，代入即可求解。 【解析】【解答】的图象向左平移个单位长度得的图象, 向右平移 （ ）个单位长度得 的图象, 由题意得 （ ） 所以 （ ） 又 ,故 的最小值为 , 故答案为：A 【分析】通过平移分别得到 g(x)= ,进而由即可求解。 【解析】【解答】由题知，所以， 记 ，则 ，即 .则 ，当且仅当 ，即 时，取等号. 故答案为：C 【分析】由 可求，设，结合三角形面积公式可求，再由余弦定理即可求解。 【解析】【解答】由，得，则 ，所以 的周期为 ， 因为函数 是定义

10、在实数集上的偶函数， 所以 ， 为无理数，所以 ， ， 所以 . 故答案为：D. 【分析】由题意可确定 f（x）的周期，再结合偶函数的性质即可求解。 【解析】【解答】根据题意可得，显然直线的斜率存在，故可设其方程为， 联立椭圆方程可得： ，设 ， 故 ， ， ， 故 ， 设 的中点为 ，则其坐标为 ， 显然 轴垂直平分 ，故可设 ，又 直线方程为： ， 令 ，解得 ，故 ， 故 . 故答案为：C. 【分析】设 方程为，联立椭圆方程，由弦长公式可求，设的中点为，由韦达定理及中点坐标公式可得其坐标为，进而得到 GH 直线方程，即可求，从而解决问题。 【解析】【解答】对于 A 中，若事件 A 与 B

11、 相互独立，且， 可得 ，则 ，所以 A 符合题意； 对于 B 中，设随机变量 X 服从正态分布 ，可得 ， 根据正态分布曲线的对称性，可得 ，所以 B 不符合题意； 对于 C 中，在回归分析中，对一组给定的样本数据 而言，根据相关系数的含义，可得当样本相关系数 越接近 1 时，样本数据的线性相关程度越强， 所以 C 符合题意； 对于 D 中，在回归分析中，对一组给定的样本数据 而言，根据残差的含义，可得残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，所以 D 符合题意. 故答案为：ACD 【分析】由独立事件概率计算，正态分布对称性。相关系数的意义及残差意义逐项判断即可。 【

12、解析】【解答】当时，故第三象限内的点不可能在曲线上，A 选项正确； 将点 代入曲线有程得 ，故曲线关于直线 对称，B 选项正确； 联立 其中 ， 将 代入得 ，即 ，则方程组无解，故曲线与直线 无公共点，C 选项错误，D 选项正确. 故答案为：ABD. 【分析】当 a=1 时，可得 ，逐项判断即可。 【解析】【解答】A：由，即，当且仅当时等号成立，正确； B：由 ，则 且 ， 令 且 ，则 ， 递减， 所以 ， ，即 成立，正确； C： 当 时， ，错误； D：由 ，当且仅当 时等号成立，正确. 故答案为：ABD 【分析】由 可判断 A；由，得到，构造函数，由其单调性即可判断 B；取特殊值，可

13、判断 C；由重要不等式得：，即可判断 D. 【解析】【解答】取、中点，连接、PF， 由 PF 且 PF 知 是平行四边形， ，平面 ， 平面 ， 平面 ， 同理可得 EF平面 ，EF F， 平面 平面 ，则 点的轨迹为线段 ，A 选项正确； 如图，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ，设 ， 则 ， ， 设 为平面 的一个法向量， 则 即 得 取 ，则 . 若 平面 ，则 ，即存在 ，使得 ，则 ，解得 ，故不存在点 使得 平面 ，B 选项错误； 的面积为定值， 当且仅当 到平面 的距离 d 最大时，三棱锥 的体积最大. ， ， ，则当 时，d 有最大值 1； ， ，则当 时，d 有最大值 ；

14、综上，当 ，即 和 重合时，三棱锥 的体积最大，C 选项正确； 平面 ， ， ， ，Q 点的轨迹是半径为 ，圆心角为 的圆弧，轨迹长度为 ，D 选项正确. 故答案为：ACD. 【分析】如图建立空间直角坐标系，逐项判断即可。 【解析】【解答】二项式的展开式的通项公式为， 前三项的系数 成等差数列， 所以 ，即 ， 解得 或 故答案为： 或 【分析】由二项展开式的通项公式得到前三项系数，由等差数列列出方程，即可求解。 【解析】【解答】圆的圆心为，半径为. 直线 即 ， 到直线 的距离为 ， 所以直线 截圆 所得弦长为 . 同理可求得直线 截圆 所得弦长为 ， 依题意 . 故答案为： 【分析】由直线

15、与圆相交，弦长公式分布计算弦长，由 弦长之比为 3：1 ，得到方程，求解即可。 【解析】【解答】每个人有种选择，四人共有种选择， 其中恰有两人参加同一拓展活动共有 种选法， 所以四人中恰有两人参加同一活动的概率为 . 故答案为： 【分析】由题意总的基本事件由 ，四人中恰有两人参加同一活动有种，再由古典概型概率计算公式即可求解。 【解析】【解答】当 时，则 ， ， 又由 ，得 ， 所以 ，则 ； 当 时，因为 ， ， 所以不存在 ，使得 ； 当 时，则 ， ， 又由 ，得 ， 则 ， ， 令 ，则 在 上单调递增， 所以 ，则 ； 综上所述， 的取值范围为 . 故答案为： . 【分析】由分段函数

16、区间，当 ，可得 ，进而可得 ，即可求出范围；当 ， ，可判断 不成立；当 ，由又由 ，得 ，进而可得 ，构造函数 ，确定其单调性即可求解。 【解析】【分析】 （1）由 ABC为直角三角形 ，可得，联立，即可求解； （2） 在中，由余弦定理可求 CD，进而由正弦定理， 即可求解。 【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系， 设 ， （1）利用向量法说明 ， 即可求证； （2）求出两平面法向量，由向量的夹角公式列出等式，即可求出 h,从而求解。 【解析】【分析】 （1），代入化简可得即可求证； （2）由（1）求出 an,代入可得，令构造函数，由其单调性即可求证。 【解析】【分析】 （1）确定 X

17、服从二项分布，计算出 消费者购买该纪念品的概率 ，即可求解； （2）分别得到 时，时，时，求出最值，即可求解。 【解析】【分析】 （1）由渐近线方程可得，再结合点 P 在双曲线上即可求解； （2） 若选， 设， 联立双曲线方程，由弦长公式可得，从而得到，求出的范围，即可求解； 若选，先考虑 在 轴上方，且 在第一象限， 在第二象限， 设，其中， 由 ，可求得 D 点坐标，同理可求A，代入曲线方程化简即可得 ，再结合，得到 ，方程无解，即可确定答案。 【解析】【分析】 （1）求出导函数， 由，即可求 a； （2）易证 a=1 时，没有零点； 当， 由 ，构造函数 ，通过讨论h(x)没有零点，即可说明 f(x)没有零点； （3）由题意 f(x）零点问题可转化成 有两解， 研究函数的单调性，确定极小值，即可求解。