北京东城区高三数学一模及答案.pdf

1、 高三数学一模试卷高三数学一模试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 2下列函数中，定义域与值域均为 R 的是（ ） A B C D 3已知复数满足，则的虚部为（ ） A2 B2 C1 D1 4已知数列的前项和，则是（ ） A公差为 2 的等差数列 B公差为 3 的等差数列 C公比为 2 的等比数列 D公比为 3 的等比数列 5已知，则（ ） A B C D 6已知正方体的棱长为 1，为上一点，则三棱锥的体积为（ ） A B C D 7在中国农历中，一年有 24 个节气，“立春”居首.北京 2022 年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中

2、华智慧.墩墩同学要从 24 个节气中随机选取 3 个介绍给外国的朋友，则这 3 个节气中含有“立春”的概率为（ ） A B C D 8已知、，则“”是“”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ） A B C D 10李明开发的小程序在发布时已有 500 名初始用户，经过 天后，用户人数，其中为常数.已知小程序发布经过 10 天后有 2000 名用户，则用户超过 50000 名至少经过的天数为（ ） （本题取） A31 B32 C33 D34 二、填空

3、题二、填空题 11在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 12已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为 1，则 . 13某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图 1 所示，线段表示角楼的高，为三个可供选择的测量点，点，在同一水平面内，与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为 .（只需写出一种方案） ，两点间的距离； ，两点间的距离； 由点观察点的仰角； 由点观察点的仰角； 和； 和. 14已知抛物线过点，则 ；若点，在上，为的焦点，且，成等比数列，则 . 15已知函数若，则不等式的解集为

4、；若恰有两个零点，则的取值范围为 . 三、解答题三、解答题 16已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定 （1）求的解析式； （2）设，求函数在上的单调递增区间. 条件：； 条件：为偶函数； 条件：的最大值为 1； 条件：图象的相邻两条对称轴之间的距离为 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17如图，在三棱柱中，平面，为线段上一点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 18根据 Z 市 2020 年人口普查的数据，在该市 15 岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比

5、例（精确到 0.01）如下表所示： 受教育程度 性别 未上学 小学 初中 高中 大学专科 大学本科 硕士研究生 博士研究生 男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01 女 0.01 0.04 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00 合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01 （1）已知 Z 市 15 岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为 85%，从全市常住人口中随机选取 1 人，试估计该市民年龄为 15 岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率； （2）从 Z 市 15 岁及以上常住人口

6、中随机选取 2 人，记这 2 人中受教育程度为大学本科及以上的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （3）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为 0 年、6 年、9 年、12 年、16 年，设 Z 市 15 岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和年，依据表中的数据直接写出与的大小关系.（结论不要求证明） 19已知函数 （1）若曲线在点处的切线斜率为，求的值； （2）若在上有最大值，求的取值范围. 20已知椭圆的离心率为，焦距为 （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线 与椭圆交于，两点.是否存在常数 ，使得直线与直线 的交点在，之间，

7、且总有？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 21设数列.如果，且当时，则称数列 A 具有性质.对于具有性质的数列 A，定义数列，其中. （1）对，写出所有具有性质的数列 A； （2）对数列，其中，证明：存在具有性质的数列 A，使得与为同一个数列； （3）对具有性质的数列 A，若且数列满足，证明：这样的数列 A 有偶数个. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】因为，因此，. 故答案为：D. 【分析】由集合的并集运算即可求解。 【解析】【解答】A. 函数的定义域为，值域为 R； B. 函数的定义域为 R，值域为； C. 函数的定义域为 R，值域为 R； D. 函数的定义域为，值域为，

8、故答案为：C 【分析】由基本函数的性质，逐项判断即可。 【解析】【解答】由，所以的虚部为-2， 故答案为：B 【分析】由复数的乘除运算，及复数概念即可求解。 【解析】【解答】因为， 所以当时，有， ，得， 当时，适合上式， 因为， 所以该数列是以 2 为公差的等差数列， 故答案为：A 【分析】由，及 an=Sn-Sn-1，即可求解。 【解析】【解答】解：因为，所以 ； 故答案为：C 【分析】由诱导公式及同角三角函数的关系化简可得，即可求解。 【解析】【解答】如图： 由为正方体， 显然为到平面的距离， 所以， 故答案为：D 【分析】如图，易知为到平面的距离，再由即可求解。 【解析】【解答】这 3

9、 个节气中含有“立春”的概率为, 故答案为：B 【分析】由组合数，及古典概型概率公式即可求解。 【解析】【解答】若，由基本不等式可得，则， 所以，“”“”； 若，可取，但， 所以，“”“”. 因此，“”是“”的充分不必要条件， 故答案为：A. 【分析】由即可得，可证充分性，取，即可说明必要性不成立。 【解析】【解答】由得 ， 故 由得， 由得，设 ，则 ， 即，即点 C 轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为 ，则， 整理得 ，代入到中， 得： ，即 C 轨迹的圆心在圆上， 故点（1,1）与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为 ， 故答案为：B 【分析】由由即可得，设，

10、再结合，可得，再设动圆圆心为，易知，进而可解决问题。 【解析】【解答】经过 天后，用户人数 又小程序在发布时已有 500 名初始用户 又小程序发布经过 10 天后有 2000 名用户 即，可得 当用户达到 50000 名时有 即，可得 联立和可得，即 故 用户超过 50000 名至少经过的天数为 34 天 故答案为：D. 【分析】由题意易得，再结合小程序发布经过 10 天后有 2000 名用户，可得，再由当用户达到 50000 名时可得，联立即可求解。 【解析】【解答】二项式的通项公式为， 令，所以常数项为， 故答案为：64 【分析】由通项公式即可求解。 【解析】【解答】设网格中方向向右，向上

11、的单位向量分别为，且， 则, 所以， 故答案为：5 【分析】由图可得,代入即可求解。 【解析】【解答】经分析可知，若选， 在中， 所以 ， 所以， 所以，其中各个量均已知； 若选， 已知和，则， 由， 所以， 所以 其中各个量均已知. 其他选择方案均不可求得长. 故答案为：或 【分析】选，在中，由正弦定理可得，进而可得 AB；选，再三角形 ACE 中，由正弦定理可得 AC,进而可求得 AB。即可解决问题。 【解析】【解答】由抛物线过点， 可得，所以， 根据抛物线定义可得， ， 由，成等比数列， 所以， 可得， 所以. 故答案为：4，7. 【分析】由代入抛物线方程即可求 p，再结合抛物线性质可求

12、得，进而由等比数列性质列出方程即可求解。 【解析】【解答】当时， 则不等式可转化为或 解得或， 所以，则不等式的解集为； 由题意可知的零点个数可转为与的零点个数之和， 当时，没有零点，没有零点， 此时没有零点； 当时，没有零点，有且仅有一个零点， 此时只有一个零点； 当时，没有零点， 由可得，令， 则， 易知在上单调递减，在单调递增， ； 此时要有两个零点则必有； 综上所述若恰有两个零点，则的取值范围为. 故答案为： （-1，ln2） ， （e,+） 【分析】由分段函数解析式可得或即可求解；由题意可将问题转换成与的零点个数之和，然后分，和，逐项讨论即可求解。 【解析】【分析】 （1）化简函数得

13、，易知当时为奇函数，故可判断， 对于，由最大值为 ，可得，再结合，可得，即可判断，对于，由图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可得，再结合，可得，即可判断；对于，由图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可得，再结合有最大值为 ，可得，即可解决问题； （2）化简 g(x)可得 ，再有，即可求解。 【解析】【分析】 （1）如图建立空间直角坐标系，求得两直线的方向向量，由向量的数量积即可求证； （2）先求得平面的法向量，再由点到面的距离公式即可求解。 【解析】【分析】 （1）由 15 岁及以上常住人口所占比例及 15 岁及以上常住人口中，受教育程度为硕士研究生的人口所占比例即可求解； （2）由题意易知 X

14、 的可能取值为 0，1，2， 借助二项分布即可求解； （3）结合表格数据判断即可. 【解析】【分析】 （1）由导数的几何意义即可求解； （2）求出导函数，令 . 通过，讨论二次函数的正负区间，从而确定 f(x)的单调性，从而解决问题。 【解析】【分析】 （1）由题意易得，从而解决问题； （2）由题意可知 ， 设，可得,，再结合 化简可得 ， 再联立直线 l 和椭圆方程，结合韦达定理，代入即可的，从而解决问题。 【解析】【分析】(1)由已知条件易知 n=4，再结合 ，可确定 a1，a2，a3，a4，大小关系，即可确定答案； （2） 不妨设数列恰有 s 项为 1，分，三类情况讨论即可； （3）讨论 n 为奇数时，可知符合题意，并且与 A 不同，即可判断；再讨论 n 为偶数时，交换 n 与得到数列符合题意，进而可证。