2017课标 湘教版 高中数学 必修 第二册.pdf

湖南教育出版社SHUXUE普通高中教科书必 修 第二册湖南教育出版社数学普通高中教科书S H U X U E必 修 第二册数学定价：19.22 元?数学普通高中教科书必 修 第二册湖南教育出版社S H U X U E主 编 张景中 黄步高 执行主编 李尚志副 主 编 何书元 朱华伟本册主要编者 李尚志 郑志明 成礼智 罗运纶 何书元 罗培基 贺仁亮 罗 毅 邹楚林 甘 哲主 编 张景中 黄步高 执行主编 李尚志副 主 编 何书元 朱华伟本册主要编者 李尚志 郑志明 成礼智 罗运纶 何书元 罗培基 贺仁亮 罗 毅 邹楚林 甘 哲书 书 书有一个聪明的学生这样回答老师的提问?老师问?假如你在森林里遇险?前面有狼?背后有虎?你怎么办?学生答?我往旁边去?不必羡慕他比你聪明?只要你学了向量?也能想到地面上除了前进后退还有别的方向?可以向左或向右?地面上的运动有无穷多个不同方向?不能用一个实数表示?需要用向量表示?向量可以用几何线段来表示?向量运算代表图形的几何性质?同时向量运算受代数运算律指挥?由代数运算可得出几何结论?向量是沟通几何与代数的桥梁?在?轴和?轴正方向各取单位向量?组成基?就能将平面上每个向量写成? ? ?好比用两把尺子量出两个实数?组成坐标?来代表向量?并且用坐标运算代表向量运算?用坐标?表示向量有利于做代数运算?但向量的主要几何性质是大小和方向?由线段长度?和表示方向的角?刻画?因此需要将?与坐标?相互转换?三角函数是实现这种转换的桥梁?同一个角的不同三角函数需要转换?两个角的三角函数需要转换为它们的和?差?倍角的三角函数?三角恒等变换是实现这些转换的桥梁?轴正方向的?沿逆时针方向旋转? ? ?变成?轴正方向的?将这个旋转动作记作?则? ? ?表示旋转两个? ? ?即旋转? ? ? ?就是乘? ?可见? ? ?将?看成数?称其为虚数单位?它表示的旋转却很实在?平面向量? ?可以看成?的?倍?用复数?表示?复数加减法代表向量加减法?还可以用复数乘法代表向量旋转角?复数也是桥梁?我们生活在地面上?但并不是生活在平面里?而是生活在空间中?居住的房屋?使用的器具?都是几何体?本册将介绍立体几何初步知识?帮你初步了解一些简单几何体?主要是平面图形围成或者旋转而成的柱?锥?台?球?并?1书 书 书且了解这些平面图形所在平面或直线的相互位置关系?平行?垂直?我们以前学习的数学知识?大多数是根据确定的规律由事情的原因决定结果?天有不测风云?人有旦夕祸福?有大量现象不能由原因决定结果?具有偶然性?这些现象称为随机现象?随机现象也有一定的规律?概率是研究随机现象规律的学科?本册将结合具体的实例?对概率的基本性质做初步的介绍?数学知识是事物的普遍规律?从特殊现象总结规律?用普遍规律解决具体问题?都需要透过事物特殊性质发现共同规律?将具体问题转化为数学问题?利用数学工具求解?再将数学解转化为具体解决方案?整个过程就是架设实际问题与数学理论之间的桥梁?即数学建模?向量?三角函数?复数?立体几何?概率统计都是数学建模建造的桥梁?本册还将补充更多贴近生活的例子?当然?在我们同行的路途中?数学文化?数学实验?都不容错过?在这里?我们将了解数学的发展历程?认识数学在推动人类文明进程中所起到的作用?感悟数学的价值?而在数学实践中积极应用信息技术?将使我们的学习之路越走越宽?让我们在广阔的数学天地中踏步前行吧?2书 书 书? ? ? ?向?量? ? ? ?向量的加法? ? ? ?向量的数乘? ? ? ? ?向量的分解与坐标表示? ? ? ? ?向量的数量积? ? ? ? ?解三角形? ? ? ? ?平面向量的应用举例? ?小结与复习? ?复习题一? ? ? ? ? ?两角和与差的三角函数? ? ? ? ?二倍角的三角函数? ? ? ? ?简单的三角恒等变换? ?小结与复习? ?复习题二? ? ? ? ? ?复数的概念? ? ? ? ? ?复数的四则运算? ? ? ? ? ?复数的几何表示? ? ? ? ? ?复数的三角表示? ? ?数学文化?数系扩充简史? ? ?小结与复习? ? ?复习题三? ? ?1书 书 书? ? ? ? ? ?空间的几何体? ? ? ? ? ?平?面? ? ? ? ? ?直线与直线?直线与平面的位置关系? ? ? ? ? ?平面与平面的位置关系? ? ?数学实验?正四棱锥的截面? ? ? ? ? ?几种简单几何体的表面积和体积? ? ?数学文化?几何学的产生和发展? ? ?小结与复习? ? ?复习题四? ? ? ? ? ? ? ?随机事件与样本空间? ? ? ? ? ?概率及运算? ? ? ? ? ?用频率估计概率? ? ?数学实验?用计算机模拟掷质地均匀的硬币试验? ? ? ? ? ?随机事件的独立性? ? ?数学文化?概率论发展简史? ? ?小结与复习? ? ?复习题五? ? ? ? ? ? ? ?走进异彩纷呈的数学建模世界? ? ? ? ? ?数学建模? ? ?从自然走向理性之路? ? ? ? ? ?数学建模案例?一? ?最佳视角? ? ? ? ? ?数学建模案例?二? ?曼哈顿距离? ? ? ? ? ?数学建模案例?三? ?人数估计? ? ?数学词汇中英文对照表? ? ?后?记? ? ?2书 书 书几何和代数是数学的两个重要组成部分?几何研究图形?直观形象易懂?但不易于计算?代数研究数的运算?有现成规则可以遵循?但容易陷入数的海洋而不易理解算式的实际意义?向量既可以画作几何图形?又可以进行代数运算?还可以通过坐标转化为数的运算?兼具几何与代数的优点?向量的出现将发挥沟通几何与代数的桥梁作用?本章我们将从物理?几何?代数三个角度来学习平面向量及其运算的几何意义和代数意义?并尝试运用向量来刻画和解决现实生活?数学和物理中的一些问题?平面向量及其应用必修第二册书 书 书? ? ?我们已经学了很多量?并且知道这些量可用实数?带单位?来表示其大小?如一个物体的质量?两点之间的距离?一个图形的面积等等?书 书 书? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?很多时候只描述量的大小还不够?例如?一艘船或一架飞机要去某地?除了需知道到目的地的距离外?还需知道目的地的方向?又如?要描述一个物体的运动速度?作用在物体上的力?除了需知道它们的大小之外?还需知道它们的方向?这些量都需要从大小和方向两方面来描述?现实世界存在许多需要从大小和方向两方面来刻画的量?下面我们来学习一个基本的数学工具? ? ?向量? ?图? ? ? ?我们从物理学中的位移出发?在物理学中?研究物体运动时?常常忽略物体的大小?把它当作一个质点?用点来表示它的位置?质点从位置?运动到位置?位置的改变称为位移?位移只刻画起点?与终点?的位置的差别?如图? ? ? ?从?到?虽然有不同的路线?但只要是从?到?其位移就都是相同的?都用带箭头的线段? ?表示?其中箭头表示这条线段的方向是从?到?与质点实际运动的路线无关?像? ?这样具有方向的线段?称为有向线段?位移的大小就是?到?的直线距离?记作? ?也就是有向线段? ?的长度?也记作? ? ?像位移这样既有大小又有方向的量?在数学中称为向量?物理学中许多需要考虑大小和方向的量?如速度?加速度?力等?都可以用向量来描述?为了区别向量与实数?我们将实数用普通的字母表示?如实数?而向量用粗体字母?印刷?或在字母上方标箭头?书写?来表示?如向量?向量?的大小?也就是向量?的长度?称为?的模?记作? ?2第 1 章平面向量及其应用?图? ? ? ?每个向量?都可以用有向线段? ?来表示?如图? ? ? ?从任一点?出发画射线?其方向与?的方向相同?在?上截取线段? ?使? ? ?则? ?的方向和长度分别代表了向量?的方向和大小?因而可以记为? ? ?图? ? ? ?由物理学知识知道?如果一个质点沿如图? ? ? ?所示的? ? ? ?的边从?运动到?或者从?运动到?这两次位移虽然起点不同?但方向相同?长度相等?就称它们是相等位移?或相同位移?类似地?我们把方向相同?长度相等的向量称为相等向量?例如?在图? ? ? ?中? ? ? ? ? ? ?与? ?虽然长度相等?但方向相反?因此? ? ?类似于相反数的定义?我们把长度相等?方向相反的向量?称为相反向量?记作?如果?则同样也有?图? ? ? ?中? ?与? ? ?与? ? ?分别互为相反向量?已知?为正六边形? ? ? ? ? ?的中心?在图? ? ? ?所标出的向量中?找出与? ? ?相等的向量?找出几组相反向量?解? ? ?与? ? ?方向相同且长度相等?故? ? ? ? ? ?与? ? ? ?与? ? ? ? ?与? ?分别互为相反向量?图? ? ? ?图? ? ? ?如图? ? ? ?已知向量?和点?以点?为起点?分别画有向线段表示下列向量?的相等向量?的相反向量?解?如图? ? ? ?作有向线段?使?与?同向且长度相等?则?即为?的相等向量?3必修第二册书 书 书?如图? ? ? ?作有向线段? ?使? ?与?反向且长度相等?则? ?即为?的相反向量?图? ? ? ?观察图? ? ? ?图? ? ? ?和图? ? ? ?可以发现?若两个向量相等或相反?则表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行?如果向量?的大小?就称?是零向量?记作? ?若? ?则这个 ? 有向线段? ? ?它实际上是一个点?即停留在起点不动?所表示的位移为零?我们约定?所有的零向量相等?当? ? ?时? ? ? ?从?到?只能有唯一的方向?而零向量? ?表示从?到?可以是任意方向? 第?题? ?在如图所示的坐标纸中? 每个小正方形的边长均为? ?用直尺和圆规画出下列向量? ? ? ?点?在点?北偏西? ? ?方向? ? ? ? ?槡?点?在点?正南方向? ?下列条件中能得到?的是? ? ? ?与?的方向相同? ?为任意向量? ?且? ? 第?题? ?如图?是正六边形? ? ? ? ? ?的中心?且? ? ? ? ? ?在以?这七个点中任意两点为起点和终点的向量中?问?与?相等的向量有哪些?的相反向量有哪些?与?的模相等的向量有哪些?4第 1 章平面向量及其应用书 书 书习题? ? ? ?某人从点?出发向西走?个单位长度到达点?然后改变方向朝西北方走?个单位长度到达点?最后又向东走?个单位长度到达点?试分别作出向量? ? ? ?和? ? ?在等边? ? ?中?分别是? ? ? ?的中点?在向量? ? ? ? ? ? ? ? ?中?与? ?相等的向量有哪些? ?的相反向量有哪些? 第?题? ?如图?在方格纸中?取两个格子的格点? 为起点和终点作向量?分别写出满足下列条件的向量?与? ?相等的向量? ?的相反向量?与? ?的模相等的向量? ?如图?在矩形? ? ? ?中? ? ?分别为? ?和? ?的中点?以?为起点和终点作向量?回答下列问题?在模为?的向量中?相等的向量有多少对?在模为槡?的向量中?相等的向量有多少对? 第?题? 第?题? ?如图?点?为正六边形? ? ? ? ? ?的中心?以?七点中的任一点为起点?以与起点不同的另一点为终点的所有向量中?设与向量? ?相等的向量个数为?与向量? ?的模相等的向量个数为?求?5必修第二册书 书 书? ? ?由线段围成的多边形是基本的几何图形?我们已经会用向量来表示多边形各边的方向和长度?还需要用向量的运算来刻画各边之间的关系? ?图? ? ? ?如图? ? ? ?一艘船从码头?出发先往东行驶? ? ?到达位置?再往北行驶? ? ?到达位置?总的位移是多少?这艘船先从?到?再从?到?总的效果是从?到?因而其总位移是? ? ?如图? ? ? ? ?是? ? ? ? ?的斜边?由勾股定理得书 书 书两段位移? ? ? ? ?分别是? ? ? ? ?相加得到总位移? ? ?是? ? ?这样的运算有资格称为加法吗? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ?槡? ? ? ?总位移? ? ?是两段航程的位移? ? ?的总效果?很自然地把它定义为两次位移之和? ? ? ? ?从位移求和?我们引出下述向量的加法法则?如图? ? ? ?已知两个非零向量?在平面上任取一点?分别作? ? ?则定义从?到?的向量? ? ?为?的和?记作?即? ? ? ? ?书 书 书? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?图? ? ? ?求向量和的运算称为向量的加法?将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则?6第 1 章平面向量及其应用书 书 书如果两个向量?的方向相同或相反?对于这种特殊情况?我们用图? ? ? ?来表示它们的和?图? ? ? ? ?图? ? ? ?如图? ? ? ?若作用于同一点?的两个力?可用由?出发的有向线段? ? ? ?来表示?则两个力的合力?可用? ? ? ? ? ?表示?从?出发作? ? ? ? ?则由三角形法则可得? ? ? ? ? ? ? ? ?因为? ?与? ?平行且相等?所以四边形? ? ? ?是平行四边形?因此?以上作出的? ?是以? ? ?为一组邻边的? ? ? ?的对角线?对于方向既不相同也不相反的非零向量?还有一种求和的作图方法?书 书 书? ? ?平行四边形法则?如图? ? ? ?从同一点?出发作有向线段? ? ? ?以? ? ?为邻边作平行四边形? ? ? ?则对角线? ? ?就是?与?的和?即? ? ?图? ? ? ? ?数的运算和运算律紧密联系?运算律可以有效地简化运算?类似地?向量的加法又有哪些运算律呢?图? ? ? ?如图? ? ? ?设? ? ?以? ? ?为邻边作? ? ? ?则? ? ? ? ?因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以?7必修第二册?图? ? ? ?如图? ? ? ?设? ? ? ? ?因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以?由上可知?向量的加法满足交换律和结合律?加法交换律?对任意两个向量?成立?加法结合律? 对任意三个向量?成立?求证?对角线互相平分的四边形是平行四边形?已知?如图? ? ? ?四边形? ? ? ?的两条对角线? ? ?的交点为?且?是?图? ? ? ? ? ?的中点?求证?四边形? ? ? ?是平行四边形?证明?由题知? ? ? ? ? ? ?因此? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由于? ?与? ?不在同一条直线上?所以? ? ?平行且相等?因此四边形? ? ? ?是平行四边形? ?已知任意向量?求? ?与? ?若两个向量?满足? ?试探究?之间的关系?书 书 书? ? ? ? ?解?作? ?由? ? ?得? ? ? ? ?由? ? ? ?得? ? ? ? ?再作? ?则? ? ? ? ?即? ? ?又? ?则? ? ? ? ?于是点?与点?重合?因此? ? ?与? ?长度相等?方向相反?即?与?互为相反向量?于是?对任意向量?有? ? ?8第 1 章平面向量及其应用书 书 书? ? ?如果两个向量之和为?即?则?与?大小相等?方向相反?即?是?的相反向量?记作?当然?也是?的相反向量?因此?三个力?大小相等?作用于同一点?要使它们的合力为零?应满足什么条件?图? ? ? ?解? 三角形法则? 如图? ? ? ?作? ? ? ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?以?为起点?作? ? ? ?则? ? ? ?要使? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ?与? ? ?互为相反向量?又? ? ? ? ?因此? ? ?是等边三角形?又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因此?使三个大小相等?作用于同一点的力的合力为零的条件是?这三个力两两之间的夹角为? ? ? ? ? 平行四边形法则? 如图? ? ? ?作? ? ? ? ? ?以? ? ? ?为邻边作平行四边形? ? ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ?所以?共线且? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由于? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?且? ? ? ? ?因此? ? ?是等边三角形?与它全等的? ? ? ?也是等边三角形?于是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因此?这三个力两两之间的夹角等于? ? ? ? ?设?是等边三角形? ? ?的中心?求? ? ? ? ? ?图? ? ? ? ?解?设? ? ? ? ? ?如图? ? ? ? ?将等边三角形绕点?逆时针旋转? ? ? ?使顶点?分别转到点?的位置?则?跟着旋转? ? ? ?变成了? ? ? ? ? ? ?由向量加法的交换律可知?向量?旋转? ? ? ? 之后仍是其自身?由于只有零向量在旋转? ? ? ? 后仍是其自身?于是? ? ? ? ? ? ? ?9必修第二册书 书 书? ?如图?已知下列各组向量?求作? 第?题? ?有下列三个命题?若? ? ?则? ? ?的等价条件是点?与点?重合?点?与点?重合?若? ?且? ?则? ? ?其中正确的命题有? ?点?是平行四边形? ? ? ?对角线的交点?下列结论正确的是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?与数的减法一样?向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入?图? ? ? ? ?已知两个向量?求?满足?这样的运算叫作向量的减法?记为?称为?与?之差?如图? ? ? ? ? ? ? ? ?是? ? ?的三边?则? ? ? ? ?因此? ? ? ? ?也可以由? ? ? ?经过加法得到? ? ? ? ? ? ? ? ?书 书 书?于是?我们有减去一个向量?等于加上它的相反向量?即?如图? ? ? ? ?任取一定点?从?分别观测?两点的方向和距离?则点?的位置由点?分别到?的两个向量? ? ? ?唯一表示? ? ? ?分别称为点?的位置向量?也即分别代表了?两点的位置?因而等式? ? ? ?10第 1 章平面向量及其应用书 书 书? ?的物理意义就是?位置的改变量?终点位置?起点位置?因此?向量? ?等于终点向量? ? ?减起点向量? ?图? ? ? ? ?如图? ? ? ? ?已知? ? ? ?用? ? ?分别表示向量? ? ? ?解?由向量求和的平行四边形法则?有? ? ? ? ?由减法定义有? ? ? ?书 书 书如果向量?方向相同或相反?怎样作出?如图? ? ? ? ?已知向量?求作?图? ? ? ? ?图? ? ? ? ?解?如图? ? ? ? ?在平面内任取一点?从同一点?出发作? ? ? ?作? ?则? ? ? ? ?图? ? ? ? ?如图? ? ? ? ?已知点?是平行四边形? ? ? ?两条对角线的交点?若? ? ? ? ?求证? ?证明?因为四边形? ? ? ?为平行四边形?所以? ? ? ?因为点?是平行四边形? ? ? ?对角线的交点?所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ?书 书 书你还可以用其他方法来证明本例吗? ? ? ? ? ?所以? ?因此? ?11必修第二册书 书 书? ?如图?已知向量?求作向量? 第?题? 第?题? ?如图?四边形? ? ? ?中?设? ? ? ? ?试用?分别表示? ? ? ? ?化简? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?习题? ? ?G? 第?题? ?如图?根据图示填空? ?在? ? ? ?中?求? ? ? ? ? ? 第?题? ?如图?已知?为两个非零向量?求作向量?及?向量?成什么位置关系时? ? ? ? 不要求证明?12第 1 章平面向量及其应用书 书 书? ?如图?为平行四边形? ? ? ?外一点?且? ? ? ?试用?分别表示? ? ? ? ? ? ?及? ? ? 第?题? 第?题? ?如图?在梯形? ? ? ?中? ? ? ?与? ?交于点?化简? ? ? ? ? ? ? ?化简? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求证?对任意向量? ? ? ? ?和? ? ? ? ?成立? ?已知非零向量?满足? ?问?表示?的有向线段能否构成三角形? ?设?是正五边形? ? ? ? ?的中心?求? ? ? ? ? ? ? ? ?设?是正?边形?的中心?求? ? ? ? 第?题?13必修第二册书 书 书? ? ?我们可用一把尺子去度量所有线段的长度?也就是把每条线段的长度写成这把尺子的非负实数倍?如果把某个向量看作一把尺子?能用这把向量尺子去度量平面上的所有向量吗?如果不能?它可以度量平面内哪些向量呢? ?已知? ?在? ?的延长线上作? ?如图? ? ? ?则? ? ? ? ?于是?很自然地将? ? ?定义为?的?倍?记作?图? ? ? ?我们还可在图? ? ? ?中作? ? ?的相反向量? ? ?则? ? ? ? ? ?同样可将? ? ? ?定义为?的? ?倍?记作? ?由上可知? ?的长度都是?的?倍?与?的方向相同?与?的方向相反?一般地?实数?与向量?的乘积是一个向量?记作? ?称为?的?倍?它的长度? ? ? ? ? ?当? ?且? ?时? ?的方向当? ?时?与?同向?当? ?时?与?反向?当? ?或? ?时? ? ? ?或? ? ? ?求向量的实数倍的运算称为向量的数乘?向量数乘的几何意义就是把向量?沿着?的方向或?的反方向放大或缩小?我们把向量的加法?减法?数乘运算统称为向量的线性运算?向量线性运算的结果仍是一个向量?14第 1 章平面向量及其应用?图? ? ? ?如图? ? ? ?在? ? ?中?分别是? ? ?的中点?设? ?试用?表示? ?并比较?与? ?的长度和方向?解? ? ? ? ? ? ? ? ?故? ?与?方向相同?且? ? ? ? ? ?例?的结论就是三角形中位线定理? ?已知? ?在直线? ?外任取一点? ?从点? ?出发作? ? ? ? ?如图? ? ? ? ?图? ? ? ?观察图? ? ? ?和图? ? ? ?可以发现?向量?与? ?可分别用同一条直线上的有向线段表示?也可分别用相互平行的有向线段表示?一般地?如果非零向量?方向相同或相反?则可以将它们用同一条直线上的有向线段或相互平行的有向线段表示?因此?当非零向量?方向相同或相反时?我们既称?共线?也称?平行?并且用符号?来表示它们共线?或平行? ?记作?由于零向量的方向是任意的?可以看成与任何一个向量方向相同?因此我们规定?零向量与所有的向量平行?由向量平行和向量数乘的定义可以推知?两个向量平行?其中一个向量是另一个向量的实数倍?即?存在实数?使得? ?或? ?根据上述结论?可以将平面几何中的共线或平行关系用向量的数乘运算来描述?对于线段? ?与? ?如果存在实数?使得? ? ? ?则? ?与? ?共线或平行?设?三点不共线?将下列几何语言用向量语言来描述?四边形? ? ? ?是梯形?其中? ? ?是梯形的两底?15必修第二册书 书 书?是? ?的中点?图? ? ? ?在线段?上?且? ? ? ? ? ? ? ?在?的延长线上?解?如图? ? ? ? ?存在正实数? ?使? ? ? ? ?或? ? ?或? ? ? ?等? ? ?或? ?或?等?其中? ?或? ?其中? ?等等?两个向量是否共线?也可从它们的夹角来判断?如图? ? ? ?设?是两个非零向量?任选一点?作? ? ? ?则射线? ? ?所夹的最小非负角? ? ?称为向量?的夹角?记作? ?取值范围规定为?在这个规定下?两个向量的夹角被唯一确定了?并有?图? ? ? ?当? ?时?方向相同?当?时?方向相反?这两种情形下?所在直线重合?即?共线?当? ?时?所在直线相交于点?即?不共线?特别地?当?时?与?垂直?记作?可以规定零向量?与?的夹角为?零向量与任一向量平行?也可以规定?与?的夹角为?零向量与任一向量垂直? ?如图?将线段? ?等分为三段?则?第?题? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在? ? ?中?已知? ? ? ?求作? ? ? ?已知四边形? ? ? ?中? ? ?试判断四边形? ? ? ?的形状?16第 1 章平面向量及其应用书 书 书? ?我们把长度为?的向量称为单位向量?它的长度等于单位长度?对于任一非零向量?都可得到与它方向相同的唯一单位向量?如图? ? ? ?在一条笔直的马路上?张明从家?点?出发?往东走? ? ?到公交站?点?乘车?乘车往西行? ? ? ?到达另一公交站?点? ?下车后往东走? ? ?到达学校?不乘公交车?张明从家走到学校应往什么方向走?走多远?图? ? ? ?解?以往东为正方向?为单位长度?则张明每次移动的效果可分别用实数? ? ? ? ? ? ? ?表示?由于? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因此?不乘公交车?张明从家走到学校应往西走?并走? ? ?在例?中?若记方向往东?长度为?的向量为单位向量?则三个位移向量? ? ? ? ?分别为? ? ? ? ? ? ? ?且三次行走的总效果? ? ? ? ? ?于是?三个位移向量? ? ? ? ?相加的结果等于? ? ?也就是说? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?对比?可以发现?正负数的加法可看作是计算这些正负数代表的向量的和?一般地?在一条直线上任取单位向量?则直线上任何向量?都可写成? ?其中实数?的绝对值?代表向量?的模?的正负代表?与?的方向相同或相反?反过来?任意给定一个实数?我们总能作一个向量? ?使它的长度等于这个实数?的绝对值?方向与实数?的符号一致?于是?实数与共线向量之间可以建立起一一对应关系?也就是说?我们可用数值来表示向量?这将为平面向量的数量化奠定基础?下面我们用向量的观点来重新认识初中学过的数轴?在给定直线上任取一点?作为原点?其表示实数? ?取单位向量? ? ?则点?表17必修第二册书 书 书示?如图? ? ? ? ?图? ? ? ?因此?在数轴上?任意一点?对应的实数?由? ? ?决定?所表示的实际上是原点?到点?的位移向量? ?因而代表数轴上任意两点?之间的位移向量? ? ? ? ? ? ?中的实数?就等于分别代表?的实数?之差?进一步?我们可以推出由实数?代表的共线向量的加?减?数乘运算法则为? ? ? ? ? ?一般地?设?是任意向量?是任意实数?则如下运算律成立?对实数加法的分配律? ? ?对实数乘法的结合律? ? ?对向量加法的分配律? ? ?运算律? ?中的向量都是同一个向量? ?的实数倍?因此运算律? ?均可直接由实数运算律? ? ? ? ?得出?对于运算律? ?当向量?共线时?即均可写成? ? ?其中?为单位向量?则可由实数运算律? ? ?得到?当?不共线时?作? ? ? ? ? ? ?如图? ? ? ?则? ? ?图? ? ? ?由于? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ?则? ?且? ? ? ? ? ?因此? ?即? ? ?特别地?当?时?运算律?就是三角形中位线定理?18第 1 章平面向量及其应用书 书 书已知? ? ? ? ? ? ? ?求证?三点共线?书 书 书如何应用向量知识判断三点共线?证明?因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ? ?因此?三点共线?图? ? ? ?如图? ? ? ? ? ?中? ?边的中点为?重心为?在? ? ?外任取一点?作向量? ? ? ? ? ? ? ? ?试用? ? ? ?表示? ? ?试用? ? ? ? ? ?表示? ? ?解? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由例?的计算结果可知?表示线段? ?中点?位置的向量? ? ?等于表示线段两个端点?位置的向量? ? ? ?的平均值? ? ? ? ?表示? ? ?的重心?的位置的向量? ? ?等于表示三角形三个顶点?位置的向量? ? ? ? ? ?的平均值? ? ? ? ? ?例?的? 还可以这样计算?由? ? ? ? ? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ? ? ?19必修第二册书 书 书? ?已知? ? ? ?求?与? ? ?化简? ? ? ? ? ? ? ? ?已知?与?不共线? ? ? ? ? ? ? ?求证?三点共线? ?已知? ? ? ?的对角线相交于点?若? ? ? ?试用?分别表示? ? ? ? ? ? ?习题? ? ? ?已知? ? ?设? ? ? ?求作? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?向量? ? ? ? ?分别与? ? ?有什么关系? ?已知线段? ?试根据下列描述说出?的位置? ? ?其中? ? ? ? ?已知任意两个非零向量?试作? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?猜想?三点之间的位置关系?并证明你的猜想? 第?题? ?如图? ? ? ?求证? ? ?且? ? ? ?已知数轴上三点?分别代表实数? ? ?求分别代表? ? ? ? ? ?的实数?书 书 书? ?已知? ? ? ?求?与? ? ?化简? ? ? ? ? ? ? ? ?已知?与?不共线? ? ? ? ? ? ? ?求证?三点共线? ?已知? ? ? ?的对角线相交于点?若? ? ? ?试用?分别表示? ? ? ? ? ? ?习题? ? ? ?已知? ? ?设? ? ? ?求作? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?向量? ? ? ? ?分别与? ? ?有什么关系? ?已知线段? ?试根据下列描述说出?的位置? ? ?其中? ? ? ? ?已知任意两个非零向量?试作? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?猜想?三点之间的位置关系?并证明你的猜想? 第?题? ?如图? ? ? ?求证? ? ?且? ? ? ?已知数轴上三点?分别代表实数? ? ?求分别代表? ? ? ? ? ?的实数?20第 1 章平面向量及其应用? 第?题? ?如图?在? ? ?中?为直线? ?上一点?且? ? ? ? ?求证? ? ? ? ? ? ? ?已知四边形? ? ? ?分别是四边? ? ? ? ?的中点?依次连接? ?记? ? ? ? ?用?分别表示向量? ? ?试判断四边形? ?的形状? ?已知? ? ?及其两边长? ? ? ? ?若点?在? ? ?的平分线上?如何用向量语言描述点?的位置? ? 提示?菱形的每一条对角线平分一组对角? ?如图?在? ? ? ?中?点?是? ?的中点?点?在对角线? ?上?且? ? ? ? ?求证?三点共线? 第?题? 第? ?题? ? ?如图?已知?为? ? ?的外心?求证?为? ? ?的垂心的充要条件是? ? ? ? ? ? ? ?已知?为? ? ?内一点?若点?满足条件? ? ? ? ? ?求证?点?是? ? ?的重心?21必修第二册书 书 书? ? ? ? ? ? ?向量分解及坐标表示? ?数学的任务就是把万事万物用数来刻画?用运算来研究?我们知道?一条直线上所有的向量都可以写成该直线上单位向量?的实数倍?如? ? ?并且用实数?来代表?这就好比用?作为?尺子?来度量? ?得到量数?同样的道理?该直线上的向量? ? ?的和或差?可用?代表? ? ?可用? ?代表?于是?共线向量运算? ?可转化为实数运算? ?平面上的向量并不都共线?即不能写成同一个向量?的实数倍?但可以取两个不共线的向量?作为?尺子? ?将平面上任一向量表示成?的实数倍之和?如图? ? ? ?以?为起点作? ? ?过平面上任意一点?作?与? ?平行或共线?则?不与? ?平行或共线?否则? ?与? ?就会共线? ?因此?与直线? ?交于一点?则? ? ? ?于是? ? ? ? ? ?图? ? ? ?这说明对平面上任一个向量? ? ?均可分解为两个不共线向量?的实数倍之和?下面我们来证明?式中的系数?唯一确定?假设实数? ? ?满足? ? ? ? ? ? ?若? ?则? ? ?这说明?与?共线?与已知矛盾?因此? ?同理可证? ?22第 1 章平面向量及其应用书 书 书由此可得平面向量基本定理?设?是平面上两个不共线向量?则?平面上每个向量?都可以分解为?的实数倍之和?即? ? ?其中?是实数?实数?由? ? ?唯一决定?也就是?如果? ? ? ? ? ? ?则? ? ?我们称不共线向量?组成平面上的一组基? ?分解式? ? ?中的系数?组成的有序数组? ?称为?在这组基下的坐标?取定了平面上一组基? 之后?可以将平面上每个向量?用它在这组基下的坐标来表示?记为?如图? ? ? ?平行四边形? ? ? ?的边? ?和? ?的中点分别是?取? ? ? 为平面的一组基?分别求向量? ? ? ? ? ? ? ? ?在基? ? ?下的坐标?图? ? ? ?解? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因此? ? ? ? ? ? ? ? ?在基? ? ? 下的坐标分别为? ? ? ? ? ? ?在不共线的两个向量中?垂直是一种重要的情形?把一个向量分解为两个互相垂直的向量?叫作把向量正交分解?图? ? ? ?如图? ? ? ?设? ? ? ? 是平面直角坐标系中的?个点?且? ? ?求? ? ?在基? 下的坐标?解? ? ?分别是?轴和?轴上的单位23必修第二册书 书 书向量?并且相互垂直?因此不共线?则?组成平面上的一组基?在?轴上取与?横坐标相同的点? ?则?与?轴平行或共线?在?轴上取与?纵坐标相同的点? ?则?与?轴平行或共线?因此? ? ? ? ?由?的坐标可知? ? ? ? ?因此? ? ? ? ?即? ? ?在基?下的坐标为?平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基?记作?显然? ?建立平面直角坐标系?若平面向量?的坐标是? ?我们视其为?在?轴?轴正方向上的单位向量?组成的基下的坐标?即? ? ? ? ?其中点?的坐标为?反过来?在平面上任取一组标准正交基? ?取定一个原点?作? ? ?以有向直线? ?为?轴? ?为?轴? ? ?为单位长度?建立平面直角坐标系?则任意一点?的坐标?就是向量? ? ? ? ?在基?下的坐标?如图? ? ? ?设单位向量?的夹角? ? ?非零向量?的模? ?且?求?在基?下的坐标?图? ? ? ?解?建立平面直角坐标系?其中?是原点?的方向分别为?轴?轴的正方向?的模为单位长度?设? ? ?则?的坐标就是点?的坐标? ?且? ? ? ? ?由角?的三角函数的定义可知? ? ? ? ?从而? ? ? ? ?因此? ? ? ? ? ? ? ?即?在基?下的坐标为? ? ? ? ?24第 1 章平面向量及其应用书 书 书例?的结论可以作为公式来应用?设单位向量?的夹角? ? ?非零向量?的模?且?则? ? ? ? ?图? ? ? ?如图? ? ? ?设? 为一组标准正交基?用这组标准正交基分别表示向量?并求出它们的坐标?解?由图可知? ? ? ? ?所以?同理? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设? 为一组标准正交基?已知? ? ? ? ? ?若? ? ?求?在基? 下的坐标?解?因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又? ? ?所以? ?因此?在基? 下的坐标为? ? ?已知? ? ? ?不共线? ? ?试用? ? ? ?表示? ? 第?题? ?如图?设? 为一组标准正交基?用这组标准正交基分别表示向量?并求出它们的坐标? ?设? 是平面内的一组基? ? ?试确定?平行的充要条件?求?在基? 下的坐标?25必修第二册书 书 书? ? ? ? ?向量线性运算的坐标表示用坐标表示向量后?向量的和?差?数乘等线性运算又如何用坐标来表示呢?如图? ? ? ?设