2017课标 湘教版高中数学 选择性必修 第一册.pdf

湖南教育出版社普通高中教科书SHUXUE选择性必修 第一册数学普通高中教科书湖南教育出版社选择性必修 第一册S H U X U E数学定价：14.92 元?数学普通高中教科书湖南教育出版社选择性必修 第一册S H U X U E主编张景中黄步高执行主编李尚志副 主 编何书元 朱华伟本册主要编者朱华伟罗运纶李尚志成礼智彭翕成 胡旺邹伟华书 书 书人之初?学数数?一二三?四五六?先后顺序要背熟?按先后顺序排成的一列数就是数列?儿时的我们进入数学之门的第一课就是数列?每次加一?这是等差数列?芝麻开花节节高?如果每一节增长的高度相等?各节高度也组成等差数列?细胞的繁殖?不是每秒增加同样数目?而是细胞个数每秒增长同样倍数?这是等比数列?钢琴从左到右每个键发音频率依次升高?每次乘一个常数?也是等比数列?荀子说?不积跬步?无以至千里?等差?等比都是讲数列怎样?积跬步? ?每一个数加常数或者乘常数或者遵循其他规则变成下一个数?都是?积跬步?通项公式?则?可以至千里? ?由位置的编号?直接算出这个位置的数?从函数的观点来看数列?我们能更好地刻画现实世界的离散过程?数与形是数学的两大主角?几何研究图形?直观?形象?一看就懂但不易于计算?计算有规有矩?容易操作?但灵活多变的算法容易让人舍弃现实背景?陷入数的海洋中不知来龙去脉?不能自拔?我们不必拘泥于几何与代数各自的不足而止步不前?而应该让它们各显神通?取长补短?需要算的时候将几何转换成代数来计算?需要懂的时候就将代数转换成几何来帮助理解?解析几何就是这样一门体现?形?与?数?结合的学科?它将点?直线?曲线用坐标及方程来表示?用代数方法来研究它们的几何性质?再将计算结果转换成几何结论去解决问题?熟悉几何与代数之间的转换?特别是理解几何语言与代数语言的相互翻译?发挥向量这一集数与形于一身的桥梁作用?将有助于我们在数学世界的探索中挥洒自如?笛卡儿的坐标系开启了变量数学的大门?当我们用代数方法来理解圆锥曲线?古人用非凡智慧才能洞悉的圆锥曲线奥秘?就水落石出?真相大白了?我们还将学习解决计数问题最基本的原理和方法?解决计数问题的基本思路?是将整体问题分解为最简单的?零件? ?将这些?零件?的解决方案通过适当的方式组合起来?解决整体问题?分类加法计数原理和分步乘法计数原理?1书 书 书是实现这种组合的两种最基本的重要方法?它们为许多实际问题的解决提供了思想方法和工具?例如?可以用来解决排列?组合问题?得出在代数运算中非常有用的二项式定理?当然?在我们同行的路途中?数学建模?数学实验?数学文化?都不容错过?因为任何缜密的思维?只有在实践的过程中?才具备非凡的价值?在这里?我们将感受到数学的威力与无穷魅力?学好数学需要付出艰苦的努力?同时又能从数学的真与美中享受到快乐?让我们用理性之光照亮数学之旅?在艰苦和快乐中前进吧?2书 书 书? ? ? ?数列的概念? ? ? ?等差数列? ? ? ? ?等比数列? ?数学实验?用计算机探究无穷递减等比数列的和? ? ? ? ?数学归纳法? ?数学文化?中国古代数学中的数列? ?数学文化?从兔子问题引出的斐波那契数列? ?小结与复习? ?复习题一? ?数学建模?乐音频率与等比数列? ? ? ? ? ?直线的斜率? ? ? ? ?直线的方程? ? ? ? ?两条直线的位置关系? ? ? ? ?点到直线的距离? ? ? ? ?圆的方程? ? ? ? ?直线与圆?圆与圆的位置关系? ? ? ? ?用坐标方法解决几何问题? ?数学文化?解析几何的诞生与发展? ? ?小结与复习? ? ?复习题二? ? ?1书 书 书? ? ?数学实验?生活中的圆锥曲线? ? ? ? ? ?椭?圆? ? ? ? ? ?双曲线? ? ? ? ? ?抛物线? ? ? ? ? ?曲线与方程? ? ? ? ? ?圆锥曲线的应用? ? ?数学实验?用计算机探究圆锥曲线的光学性质? ? ?数学文化?圆锥曲线小史? ? ?小结与复习? ? ?复习题三? ? ?数学建模?冰川融化模型? ? ? ? ? ? ? ?两个计数原理? ? ? ? ? ?排?列? ? ? ? ? ?组?合? ? ? ? ? ?二项式定理? ? ?数学文化?中国古代的排列组合? ? ?数学文化?杨辉三角? ? ?小结与复习? ? ?复习题四? ? ?数学词汇中英文对照表? ? ?后?记? ? ?2书 书 书按照一定顺序排成的一列数叫作数列?数列可以看成定义在正整数集或其有限子集上的函数?它是刻画离散过程的重要数学模型?本章在学习数列的概念和表示方式的基础之上?重点研究两类特殊的数列? ? ?等差数列和等比数列的变化规律?探求这两类数列在数学建模和解决实际问题中的应用?并介绍用于研究与正整数有关数学命题的一种特殊证明方法? ? ?数学归纳法?数列选择性必修第一册书 书 书? ? ?在现实世界中?许多事物的数量可以排成一列数?例如?如图? ? ? ?在超市的货架上摆放有一些罐头?最顶上一层有?听罐头?其余每一层的罐头数都比它上面一层的罐头数多?共堆了?层?则从上到下每层的罐头数依次为? ? ? ? ? ?图? ? ? ?庄子?天下?有一句话?一尺之棰?日取其半?万世不竭?意思是?一尺长的木棒?每日取其一半?永远也取不完?这样?每日剩下的部分都是前一天的一半?如果把?一尺之棰?看成单位? ?那么每日剩下的部分依次为? ? ?某家庭一年内? ?月的用电量?单位? ?依次为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的正弦值依次为?正整数?被?除的余数依次为?把这些例子的共同特征抽象出来?得到数列的概念?按照一定顺序排成的一列数叫作数列?数列中的每一个数叫作这个数列的项?排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第?项?排在第二位的数叫作数列的第?项?排在第?位的数叫作数列的第?项?所以数列的一般形式可以写成?简记为?2第 1 章数列书 书 书项数有限的数列称为有穷数列?如数列?项数无限的数列称为无穷数列?如数列?上面的数列?中?每一项的序号?与对应项?有如下关系式? ?这样?根据以上公式我们可以求出数列?的任意指定的项?实际上?对任意的数列? ?其每一项的序号与该项都有如下对应关系?序号?项?因此?数列可以看成以正整数集?或它的有限子集? ?为定义域的函数? ?当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值? ? ? ?如果数列?的第?项?可以用关于?的一个公式表示?那么这个公式就称为数列?的通项公式?从函数的观点看?数列的通项公式就是数列的解析表达式?例如?数列?的一个通项公式分别是? ? ? ?与函数一样?数列还可以用列表法和图象法来表示?例如?对于数列?我们可以用如下列表的方法来直观地表示?月份?用电量? ? ? ? ? ? ? ? ?月份? ? ? ?用电量? ? ? ? ? ? ? ? ?数列?也可以用图象直观地表示?如图? ? ? ? ?3选择性必修第一册O图? ? ? ?从图象上可以清楚地看到?这个家庭哪个月用电量最多?哪个月用电量最少?哪些月用电量在增加?哪些月用电量在减少?用电量随月份的变化也一目了然?数列的图象是一系列孤立的点?根据数列?的通项公式?写出数列的前?项及第? ?项? ? ? ? ? ?分析?求数列的具体项?就是求函数值?解?在通项公式中依次取?得到数列的前?项分别为?用? ?代替通项公式? ? ?中的?得到数列的第? ?项是? ? ?即? ? ? ?依次取?得到数列的前?项分别为?槡?槡?槡?用?代替通项公式? ? ?中的?得到数列的第?项是? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ? ?观察下面各数列?试着找出它的一个通项公式? ? ? ? ? ? ? ?解?因为这个数列的前?项为?由此得到它的一个通项公式? ? ? ?4第 1 章数列书 书 书?因为这个数列的前?项为? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由此得到它的一个通项公式? ? ? ? ?因为这个数列的前?项为? ? ? ? ? ? ?由此得到它的一个通项公式? ? ? ?思考?根据数列的前若干项写出的通项公式是唯一的吗?试举例说明?例如本节开始所列举的数列? ?数?分别精确到? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的近似值?四舍五入?依次排列得到一个数列?试写出它的前?项?并判断此数列是有穷数列还是无穷数列? ?根据数列?的通项公式?写出它的前?项及第?项? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?根据下列数列的前?项?写出它的一个通项公式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知数列?的前?项分别为?则下列各式可作为数列?的通项公式的是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为奇数?为偶数5选择性必修第一册书 书 书某种生物细胞在实验室的培养过程中?每小时分裂一次?一个分裂为两个? ?经过? ?由?个这种细胞可以繁殖成多少个细胞?解?设经过?这种细胞由?个可繁殖成?个?细胞的个数形成一个数列?由题意?细胞每小时分裂一次?得? ? ? ?由? ?并根据? ? ?得? ?依此类推? ? ? ? ? ? ? ? ?因此经过? ?这种细胞由?个可繁殖成? ? ?个?像这样?如果数列?的任一项? ?与它的前一项?之间的关系可用一个公式来表示?即? ? ? ?那么这个公式就叫作数列?的递推公式?称为数列?的初始条件?由递推公式和初始条件可确定数列? ?这是表示数列的又一种重要方法?许多与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型?而且这种方法便于计算机编程进行计算?根据递推公式和初始条件? ? ? ? ? ? ?写出数列?的前?项?解?反复利用递推公式?列表如下? ? ?于是?数列?的前?项分别是? ? ? ? ? ?多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时?喜欢把数描述成沙滩上的小石子?他们发现? ? ?这些数量的石子?都可以排成三角形?如图? ? ? ? ?并称这样的数为?三角形数?记图中小圆的个数依次构成数列? ?试写出数列?的一个递推关系?6第 1 章数列图? ? ? ?解?由图? ? ? ?可知? ? ? ? ? ?而且?在第?个?三角形数?图案的下面添加?个小圆?即得到第?个?三角形数?图案?因此? ? ? ? ? ?为数列?的一个递推关系? ?写出下列数列的前?项? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?观察下图?写出点数所成数列的一个通项公式?第?题?单调性是函数的重要性质?数列也是函数?也有类似的性质?下面?我们以本节开头给出的?个数列展开分析?可以发现?对于数列?从第?项起?每一项都大于它的前一项?对于数列?从第?项起?每一项都小于它的前一项?对于数列?从第?项起?有些项大于它的前一项?有些项小于它的前一项?对于数列?它的每一项都相等?一般地?对于一个数列? ?如果从第?项起?每一项都大于它的前一项?即? ?那么这个数列叫作递增数列?如果从第?项起?每一项都小于它的前一项?即? ?那么这个数列叫作递减数列?如果从第?项起?有些项大于它的前一项?有些项小于它的前一项?那么这个数列叫作摆动数列?各项都相等的数列叫作常数列?7选择性必修第一册书 书 书从数列的图象上看?图? ? ? ? ?递增数列的图象是一系列从左至右上升的孤立点?递减数列的图象是一系列从左至右下降的孤立点?摆动数列的图象是一系列从左至右有升有降的孤立点?常数列的图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点?递增数列? ?递减数列?摆动数列?常数列图? ? ? ?判断下列数列? ?的单调性? ? ? ? ? ? ?解?因为? ? ? ? ? ?所以? ?即数列?是递减数列?因为? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ?即数列?是递增数列?已知数列?的通项公式为? ? ?判断该数列是否有最大项?若有?指出第几项最大?若没有?试说明理由?书 书 书?解?因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以当?时? ?当?时? ?即?当? ?时? ?所以数列?有最大项?即第?项和第?项?其取值为? ? ?判断下列数列? ?的单调性? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ?已知数列?的通项公式为? ? ? ? ? ?画出数列?的图象?并求数列的最小项?8第 1 章数列书 书 书习题? ? ? ?分别写出下面的数列?在区间? ? ? ? ?内?能被?整除的整数按从小到大的顺序构成的数列?槡?分别精确到? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的近似值?四舍五入?依次排列构成的数列? ?根据通项公式? ? ? ? ?填写下表? ? ? ? ? ? ?观察下面数列的变化规律?用适当的数填空?并写出每个数列的一个通项公式? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ?槡? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ?观察下图?写出点数所成数列的一个通项公式? ?第?题? ?数列?的通项公式为? ? ?写出它的前?项及第?项? ?写出下面数列的前?项? ? ? ? ? ? ? ?9选择性必修第一册书 书 书? ?满足? ? ? ?的数列?一定是递增数列吗?为什么? ?已知数列?的通项公式为? ? ? ? ?画出该数列的图象?并判断该数列是否有最大项?若有?指出第几项最大?若没有?试说明理由? ?已知无穷数列? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求这个数列的第? ?项和第? ?项? ? ?是不是这个数列中的项?如果是?是第几项?证明? ?不是这个数列中的项? ? ?对于任意数列? ?等式? ?都成立?试根据这一结论?求解?已知数列?满足? ? ? ?求通项公式? ? ?一列火车从?城驶往?城?铁路上设有? ?个车站?包括起点站?和终点站?火车上附有一节邮政车厢?每停靠一站都要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个?同时又装上该站发往后面各站的邮袋各一个?设从第?站出发时?邮政车厢内的邮袋数为? ? ? ?写出?的前?项? ? ?某人于某年初在银行存入一年期定期储蓄?万元?到期后把本息续存一年期定期储蓄?以后每次到期后都按上述方式续存?设银行一年期定期储蓄的年利率为? ? ? ?该储户存满?年后所能得到的本利为?万元?试写出?的前?项? ? ?已知?槡? ?槡? ?求该数列前? ?项中的最大项和最小项?10第 1 章数列书 书 书? ? ? ? ? ? ?等差数列及其通项公式在现实生活中?我们会遇到下面的特殊数列?全国统一鞋号中?成年女鞋的各种尺码?单位? ?由大至小可组成数列? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?某住宅小区? ? ? ? ? ? ?年的绿化建设有如下数据?年?份? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?绿化覆盖率? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?年各年的绿化覆盖率组成数列? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?黄白两种颜色的正六边形按如图? ? ? ?的规律拼成一系列图案?图案中白色正六边形的个数依次构成数列? ? ?第?个? ?第?个?第?个图? ? ? ?这些数列有什么共同的特点呢?研究这些数列的特征及变化规律?我们可以发现?对于数列?从第?项起?每一项与前一项的差都等于? ? ? ?对于数列?从第?项起?每一项与前一项的差都等于? ?对于数列?从第?项起?每一项与前一项的差都等于? ?也就是说?这些数列有一个共同的特点?从第?项起?每一项与前一项的差都等于同一个常数?11选择性必修第一册书 书 书一般地?如果一个数列从第?项起?每一项与它的前一项之差都等于同一个常数?那么这个数列称为等差数列?这个常数叫作等差数列的公差?公差通常用字母?表示?数列?均为等差数列?它们的公差分别为? ? ? ? ? ?数列的通项公式决定了数列的每一项?也就决定了数列的全部性质?因此通项公式是研究数列的重要依据?你能找出数列?的通项公式吗?一般地?如果数列?的首项为?公差为?那么根据等差数列的定义?可以得到? ? ?把这? ?个等式相加得? ?由此得到? ?当? ?时?该等式的两边均是?这表明该等式对任意?都成立?因而它就是等差数列?的通项公式?据此?我们可以得到数列?的通项公式分别为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知数列?是等差数列?如果? ? ?求公差?和?如果? ? ?求公差?和?解?由等差数列的定义?可知?公差? ? ? ?公差? ? ? ?证明?三数成等差数列的充要条件是?证明?如果?成等差数列?由等差数列的定义得?那么?12第 1 章数列书 书 书反过来?如果?那么?由等差数列的定义知?成等差数列?因此?三数成等差数列的充要条件是?在两个数?之间插入数?使?成等差数列?则?称为?与?的等差中项?已知等差数列?求该数列的第? ?项?试问? ? ? ?是不是该等差数列的项?如果是?指明是第几项?如果不是?试说明理由?该数列共有多少项位于区间? ? ? ?内?解?记该等差数列为? ?公差为?由? ? ?得数列的通项公式是? ? ? ? ? ? ? ? ?该数列的第? ?项? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?如果? ? ? ?是这个数列的项?则方程? ? ? ? ? ? ? ?有正整数解?解这个方程?得? ? ?故? ? ? ?是该等差数列的第? ?项?解不等式? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得? ? ? ?因此?该数列位于区间? ? ? ?内的项从第?项起直至第? ?项?共有? ?项? ?已知数列?是等差数列?如果? ? ?求公差?和?如果? ? ?求公差?和? ?求证? ? ?的三个内角的度数构成等差数列的充要条件是? ? ?中有一个内角为? ? ? ? ? ? ?是不是等差数列?的项?如果是?是第几项?如果不是?试说明理由? ?已知等差数列?中? ? ? ? ? ?求首项?与公差? ?设?是等差数列?的项?且?求证?13选择性必修第一册书 书 书? ? ? ? ?等差数列与一次函数数列可以看成以正整数集?或它的有限子集? ?为定义域的函数? ?因而可以利用函数知识来研究数列的性质?我们先看两个具体例子?求下列等差数列?的通项公式?并画出这个数列的图象?判断数列的单调性? ? ? ? ? ?不难求得?等差数列?的通项公式分别为? ? ? ? ? ?上述通项公式可以看成自变量?取正整数值的函数?将通项公式中的正整数自变量?换成实数自变量?得到一次函数? ? ?和? ? ?它们的图象都是直线?当?取正整数值?时?就得到?等差数列的图象由直线上横坐标为正整数?的孤立点?组成?如图? ? ? ? ?所示?图? ? ? ?由于一次函数? ? ?的一次项系数? ? ?函数递增?因此数列? ? ?也递增?而一次函数?的一次项系数?函数递减?因此数列? ? ?也递减?对于一般的等差数列? ?其通项公式为? ?将其中的正整数自变量?换成实数自变量?得到? ? ? ?当? ?时?是一次函数?其中一次项系数为等差数列的公差? ?当?时?为常数? ?这两种情形的函数图象都是直线?等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数?的孤立点?组成?当? ?时?直线? ?从左至右上升?等差数列?递增?当?时?直线? ?从左至右下降?等差数列?递减?当?时?为水平方向的直线?数列为常数列?14第 1 章数列书 书 书已知数列?的通项公式为? ?其中?为常数?且?那么这个数列一定是等差数列吗?解?取数列?中任意相邻两项?与? ? ? ?作差得? ? ? ?它是一个与?无关的常数?所以数列?一定是等差数列?且一次项系数?为该等差数列的公差?已知? ? ? ?是等差数列?的图象上的两点?求数列?的通项公式?画出数列?的图象?判断数列?的单调性?解?设等差数列?的首项为?公差为?因为? ? ? ?是等差数列?的图象上的两点?所以? ? ?即? ? ? ?解得? ? ?因此? ? ? ? ?等差数列?的图象是均匀分布在直线? ? ?上的一系列孤立点?如图? ? ? ? ?图? ? ? ?因为公差? ? ? ?所以等差数列?为递减数列?15选择性必修第一册书 书 书已知等差数列?满足? ?求?的值?解?方法一?设等差数列的首项为?公差为?则? ? ?解得? ? ?因此? ? ? ? ? ?方法二?设等差数列的首项为?公差为?则? ? ?得?则?式从函数的观点看?等差数列?的任意两项的函数值之差与相应自变量之差的比为公差?于是将?与?分别代入?式得?解得? ? ? ?已知? ? ? ?为等差数列?的图象上的两点?求数列?的通项公式?画出数列?的图象?判断数列?的单调性? ?已知等差数列?的公差? ?则下列四个命题中真命题为?数列?是递增数列?数列?是递增数列?数列?是递增数列?数列? ? ?是递增数列16第 1 章数列书 书 书? ? ? ? ?等差数列的前?项和书 书 书高斯? ? ? ? ? ? ? ?著名数学家?近代数学奠基者之一?与阿基米德?牛顿并列为历史上最伟大的数学家?被世人誉为?数学王子?的德国数学家高斯在幼年就显示出过人的数学天赋?他的老师布置了一道看上去很难的题?计算? ? ? ? ? ? ? ? ? ?高斯经过细致的观察?迅捷地报出了得数? ? ? ?在老师与同学露出惊讶之色时?他解释了自己的思考过程?将这? ? ?个数分成? ?个数对?其中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于是? ? ?个数的和就是? ?个? ? ?即? ? ? ? ? ? ? ? ? ?高斯的算法实际上解决了求等差数列?前? ? ?项之和的问题?事实上?古代的中国人和希腊人也是这么求等差数列之和的?例如?我国南宋数学家杨辉提出了这样一个问题?今有圭垛草一堆?顶上一束?底阔八束?问共几束?答? ?束?他的计算方法可以用图? ? ? ?来表示?图? ? ? ?设想有另外一堆同样的草?将其倒置?并和原来的草堆拼在一起?这就得到? ? ?的草堆?一共? ?束?因此原来的草堆共有? ?束?前人计算等差数列前?项和的方法的确巧妙?那么这种方法能推广到求一般等差数列的前?项和吗?设等差数列?的前?项和为?即?根据等差数列的通项公式?上式可以写成? ? ?再将项的次序反过来?又可以写成? ? ?将?式的两边分别相加?得?17选择性必修第一册书 书 书由此得到等差数列?的前?项和的公式?书 书 书?这个公式表明?等差数列的前?项和可由首项?末项和项数唯一确定?又因为? ?所以上述公式又可以写成? ? ?这个公式表明?等差数列的前?项和可由首项?公差和项数唯一确定?某体育场一角的看台共有? ?排?每一排都比前一排多两个座位?第一排有? ?个座位?问体育场这一角里共有多少个座位?解?设第?排的座位有?个?则得到的数列? ? ? ?是首项为? ?公差为?的等差数列?根据等差数列前?项和公式? ? ?这一角里总共的座位数为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知一个等差数列的前? ?项和是? ? ?前? ?项和是? ? ?求该数列的前?项和?解?记该数列为? ?公差为?由等差数列前?项和公式? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解这个关于?与?的方程组?得? ? ?因此?该数列的前?项和为? ? ? ? ? ?18第 1 章数列书 书 书设数列?的前?项和? ?求证?是等差数列?证明?根据? ?与? ? ? ?可知?当? ?时?有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当? ?时? ?也满足上式?所以数列?的通项公式为? ? ?当? ?时?有? ? ? ? ? ? ? ?所以数列?是以?为首项?以?为公差的等差数列?已知?为等差数列?的前?项和?且? ? ? ?求数列?的通项公式?求?的最大值及对应的?值?解?记数列?的公差为?由? ?得? ? ? ? ? ? ? ? ?又? ? ?解得? ?所以书 书 书? ? ? ? ? ?因为? ? ? ? ? ? ? ?所以当? ? ?时?取最大值? ? ? ? ? ? ?根据下列各题中的条件?求相应的等差数列?的前?项和? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知等差数列?的前?项和为?且? ? ? ?求? ?已知数列?的前?项和?求?的通项公式? ?已知等差数列?的前?项和为?且? ?求?取得最大值时对应的?值?19选择性必修第一册书 书 书习题? ? ? ?在等差数列?中?已知? ? ?求? ?已知? ? ?求?已知? ? ? ? ? ?求? ?已知等差数列? ?是小于?的正整数?是?和?的等差中项吗? ?在等差数列?中? ? ? ?求? ?的值? ?在等差数列?中? ? ? ? ?求?的值? ?在数列?中? ? ? ?通项公式? ?其中?为常数? ? ?求?的通项公式? ?是否是数列?中的项? ?已知数列?为等差数列?前?项和为?求解下列问题?若? ? ? ? ?求?若? ? ? ? ? ? ? ?求? ?若? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求? ?已知等差数列?的公差?且? ? ?求它的前? ? ?项之和? ? ? ?中国古代数学问题? ?张丘建算经?有如下问题?今有女善织?日益功疾?初日织五尺?今一月日织九匹三丈?问日益几何?其意思是?有一位女子很会织布?一天比一天织得快?而且每天增加的长度都是一样的?已知第一天织?尺?经过一个月? ?天?后?共织布?匹?丈?问每天多织布多少尺? ?注?匹? ?丈?丈? ? ?尺? ?已知等差数列?的前?项和为?从结构特征看?有何数学含义?数列? ?是等差数列吗? ? ?已知数列?的前?项和? ? ? ?20第 1 章数列书 书 书?求数列?的通项公式?求?的最小值及对应的?值? ? ?一个梯形两底边长分别为? ? ?和? ? ?将梯形一腰? ?等分?过每一分点作平行于梯形底边的直线?求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度之和? ? ?甲?乙两物体分别从相距? ?的两处同时相向运动?甲第?分钟走?以后每分钟比前?分钟多走?乙每分钟走?甲?乙开始运动后几分钟相遇?如果甲?乙到达对方起点后立即返回?甲继续每分钟比前?分钟多走?乙继续每分钟走?那么开始运动几分钟后第二次相遇? ? ?已知直角三角形的三边成等差数列?求证?三边之比为? ? ? ? ? ? ? ?已知等差数列?的首项为?公差为?若以第?项为首项?每隔两项取出一项组成一个新的数列? ?那么这个数列是等差数列吗?若是?求其公差?其中?为数列?的第几项? ? ?已知平面凸?边形? ?的内角和为? ? ? ? ? ?若一凸?边形各内角的度数成等差数列?公差是? ? ?最小内角是? ? ? ?求? ? ?如果一个数列?的前?项和? ? ?其中?为常数?且? ?那么这个数列是等差数列吗? ? ?等差数列?中? ? ?公差?令? ?求数列?的前?项和? ? ?已知等差数列?的前?项和为?求证?成等差数列?求证?成等差数列?试推广?和?的结果?写出你的结论并加以证明?21选择性必修第一册书 书 书? ? ? ? ? ? ?等比数列及其通项公式在现实生活中?我们还会遇到下面一类特殊数列?计算机的内存容量通常是指随机储存器? ?的容量?是内存条的关键性参数?进入? ?世纪以来?计算机中主流采用的内存容量?单位? ?从小到大组成数列? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若某张报纸的厚度记为?面积记为?将其重复对折?次?可得到如下表所示的数据?对折次数报纸厚度报纸面积? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?对折过程中报纸厚度和报纸面积分别组成数列?图? ? ? ?中的三角形图案称为谢宾斯基三角形?图案中绿色三角形的个数依次组成数列? ?22第 1 章数列图? ? ? ?这些数列有什么共同的特点呢?研究这些数列的特征及变化规律?我们可以发现?对于数列?从第?项起?每一项与前一项的比都等于?对于数列?从第?项起?每一项与前一项的比都等于?对于数列?从第?项起?每一项与前一项的比都等于?对于数列?从第?项起?每一项与前一项的比都等于? ?也就是说?这些数列有一个共同的特点?从第?项起?每一项与前一项的比都等于同一个常数?一般地?如果一个数列从第?项起?每一项与它的前一项之比都等于同一个常数?那么这个数列称为等比数列?这个常数叫作等比数列的公比?公比通常用字母?表示? ?数列?均为等比数列?它们的公比分别为? ?数列?存在通项公式吗?如果存在?分别是什么呢?一般地?如果数列?的首项为?公比为?那么根据等比数列的定义?可以得到? ? ? ?把这? ?个等式的两边分别相乘得? ?当? ?时?该等式的两边都是?这表明该等式对任意?都成立?因而它就是等比数列?的通项公式?据此?我们可以得到数列?的通项公式分别为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?23选择性必修第一册书 书 书已知数列?是公比为?的等比数列?若? ? ? ?求?的通项公式?若? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求?解?由等比数列的通项公式可知? ? ? ?这是一个关于?和?的方程组?得? ? ?即? ? ?因此?因此?这个数列的通项公式是? ? ? ? ? ? ?由等比数列的通项公式?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因此? ? ? ?即? ? ?证明?非零实数?成等比数列的充要条件是? ?证明?如果非零实数?成等比数列?由等比数列的定义得?那么? ?反过来?如果非零实数?满足? ?那么?由等比数列的定义知?成等比数列?因此?非零实数?成等比数列的充要条件是? ?在两个数?之间插入数?使?成等比数列?则?称为?与?的等比中项?某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时?还能生产出有用的肥料和清洁用水?在处理过程中?每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的? ? ?一天后污染物含量降低到什么程度?使污染物含量减半至少要多少小时?结果保留整数? ?解?设污水中污染物的初始含量为?又设?后残留在池中的污染物含量为?这个问题的数学模型是数列? ?它满足24第 1 章数列书 书 书? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因此?数列?是以? ? ? ?为首项?以? ? ? ?为公比的等比数列?利用通项公式?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以一天后污染物含量大约降低到原来的? ?为求何时污染物含量会减半?从? ? ? ? ? ? ? ?解出?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故使污染物含量减半至少要? ?已知数列?是公比为?的等比数列?试根据所给条件填写下表?题号? ? ? ? ? ? ? ? ?求出下列等比数列中的未知项? ? ? ?设?是等比数列?的项?且? ?求证? ?在自然界?死亡生物体中的? ?有持续稳定的衰变现象?已知? ?的半衰期为? ? ?年?设? ?的衰变率为?试建立一个用? ?确定生物体死亡时间的模型?考古学家发现一个古人猿的颅骨?测得该颅骨仅残留原? ?含量的? ?那么古人猿的颅骨已存在了大约多少年?25选择性必修第一册书 书 书? ? ? ? ?等比数列与指数函数类比等差数列?下面我们从函数的角度来研究等比数列?先看几个例子?已知等比数列?分别满足? ? ? ? ? ? ?不难求得这四个等比数列的通项公式分别为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?上述通项公式可以看成自变量?取正整数值的函数?它们的公比都是正数?将通项公式中的正整数自变量?换成实数自变量?得到函数? ? ?它们都是一个非零常数?与指数函数?指数函数的底数为公比?的乘积? ?由指数函数?的图象可以得出? ?的图象?而? ?的图象上横坐标为正整数?的孤立点?组成上述等比数列的图象?如图? ? ? ? ? ?图? ? ? ?我们由指数函数的图象得到等比数列的图象?接下来就可以借助函数? ?的性质来分析等比数列的单调性?显然?当? ?时?指数函数?递增?当? ? ?时?指数函数?递减?若? ? ?那么? ? ?则当? ?时?函数? ?递增?数列? ?递增?如数列? ?当? ? ?时?函数? ?递减?数列? ?递减?如数列?若? ? ?那么? ?则当?时?函数? ?递减?数列? ?递减?如数列? ?当? ?时?函数? ?递增?数列? ?递增?如数列?26第 1 章数列书 书 书值得指出的是?当等比数列的公比? ?时?等比数列的各项都为常数?其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点?而当等比数列的公比?时?例如等比数列的通项公式为? ?图? ? ? ?此时如果将?换成实数?得到? ?当?不为整数时没有意义?因此这样的等比数列不能通过指数函数来研究?当?为奇数时? ? ? ?当?为偶数时? ? ? ?可见该数列是摆动数列?既不递增也不递减?反映在图象上是一系列上下波动的孤立的点?如图? ? ? ?已知数列?的通项公式为?其中?均为非零常数?那么这个数列一定是等比数列吗?解?取数列?中任意相邻两项?与? ? ? ?作商得? ? ?它是一个与?无关的非零常数?所以?一定是等比数列?且指数幂的底数即为等比数列的公比?已知? ?是项数相同的等比数列?求证?也是等比数列?证明?设数列? ?的公比分别为?那么数列?的第?项与第?项分别为? ? ?与? ? ?书 书 书? ?因为? ? ? ? ? ?它是一个与?无关的常数?所以?是一个以? ?为公比的等比数列?特别地?如果?是等比数列?是非零常数?那么? ?是等比数列?已知? ?是项数相同的数列?若数列?是公差为?的等差数列?数列?满足? ?证明数列?是等比数列?27选择性必修第一册书 书 书?若数列?是公比为?的正项等比数列?数列?满足? ? ?证明数列?是等差数列?证明?因为? ?所以? ? ? ? ? ? ?因此?数列? ?是公比? ? ?的等比数列?因为? ?所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因此?数列? ?是公差? ? ?的等差数列? ?设?是公比为?的等比数列?则? ?是? ?为递增数列?的?充分不必要条件?必要不充分条件?充要条件?既不充分也不必要条件? ?已知等比数列?是递减数列?若?是方程?的两个根?求?和? ?已知?是各项均为正数的等比数列?数列?槡?是等比数列吗? ? ? ? ?等比数列的前?项和相传?古印度的舍罕王准备奖赏国际象棋的发明者? ? ?达依尔宰相?达依尔对国王说?我有一个简单的愿望?请您在棋盘的第一个方格放一粒小麦?在第二个方格放两粒?第三个方格放四粒?以此类推?每一方格的麦粒数都是前一方格麦粒数的两倍?这就是我想要的?国王觉得要求不高?就慷慨地答应了宰相的要求?国王真的能兑现他对宰相许下的诺言吗?我们来计算一下所需麦粒数?每一个方格内的麦粒数依次为? ?其总和记为? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?式右边每一项的?倍是它的后一项?因此? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由?可得? ? ? ? ? ?这是一个二十位数?将这个数字的小麦折算成质量?假设千粒麦子重? ? ?超28第 1 章数列书 书 书过? ? ?亿吨?据统计? ? ? ?年全世界小麦总产量约为? ? ?亿吨?由此看来?国王根本不可能兑现他的诺言?仿照上面的计算方法?我们来寻求等比数列前?项和的计算公式?一般地?设公比为?的等比数列?的前?项和是? ?将?式两端同时乘以公比?由? ? ?得? ? ?由?得? ? ? ? ?当? ?时? ? ?当? ?时? ?由此得到等比数列?的前?项和的公式? ? ? ? ? ? ?这个公式表明?等比数列的前?项和可由首项?公比和项数唯一确定?又因为? ?所以上述公式又可以写成? ? ? ? ? ?这个公式表明?等比数列的前?项和可由首项?公比和末项唯一确定?求等比数列? ? ? ?