2021-2022学年第二学期福州市高一期中质量抽测-参考答案.doc

1、准考证号_ 姓名_（在此卷上答题无效）2021-2022 年第二学期福州市高一期中质量抽测数 学 试 卷（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 复数1+ i 的共轭复数为A -1+ i B -1- i C1+ i D1- i【答案】D【考查意图】本题考查共轭复数概念，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等，涉及的核心素养是数学运算.满分 5 分.【解析】根据定义，求出复数1+ i 的共轭复数为1- i ，选择 D 选项

2、.2. 已知向量 a = (1,m -1) ， b = (m, 2) ，若 a b，则实数 m 的值为A 2 B【答案】B23C -1 D -2【考查意图】本题考查平面向量的垂直关系，向量坐标运算等，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等，涉及的核心素养是数学运算、直观想象.满分 5 分.【解析】由a b得 ab=0，即1 m + (m -1) 2 = 0 ，解得2m = ，选择 B 选项.3 p 13. 已知a 为锐角，且 sin a - = 4 2 p ，则 cos -a = 4A121B - C232D -32【答案】C【考查意图】本题考查三角函数同角关系，三角恒等变换等基础知识，考查运

3、算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算满分 5 分【解析】方法一：利用所求角和已知角之间的关系,结合诱导公式进行化简即可求解.p p p p p 3因为a 为锐角,所以 - a - ,而 cos -a = cos a - = 4 4 4 4 4 2 ,选择 C 选项. p p p p方法二：由条件得,a - = ,即a = + , 4 6 4 6 p p p p p 3所以 cos a cos cos( )- = - + = - = 4 4 4 6 6 2.选择 C 选项.数学试题 (第 1页 共 13页)4. 在四边形 ABCD中，若 AB=DC ，且 AB - AD =

4、AB + AD ，则该四边形一定是A正方形 B菱形 C矩形 D等腰梯形【答案】C【考查意图】本题考查平面向量等基础知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是逻辑推理、直观想象.满分 5 分.【解析】由 AB + CD = 0 ，得 AB = DC ，所以四边形 ABCD 为平行四边形，又由AB - AD = AB + AD ，得 DB = AC ，所以 ABCD 为矩形选择 C 选项.5. 已知 a,bR ，“b 0”是复数“a + bi 为虚数”的A必要非充分条件 B充分非必要条件C充要条件 D既非充分条件也非必要条件【答案】C【考查意图】本题考查复数概念等基

5、础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是逻辑推理.满分 5 分.【解析】 b 0 是复数 a + bi (a,bR) 为虚数的充要条件.6. 多项式 x2 +2x+4 在复数集中因式分解的结果是A (x +1+ 3i)(x +1- 3i) B (x -1- 3i)(x +1- 3i)C (x -1- 3i)(x -1+ 3i) D (x +1- 3i)(x -1+ 3i)【答案】A【考查意图】本题主要考查因式分解，复数的乘法运算，一元二次方程虚根求解等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算.满分 5 分.【解析】因为 D = b2 - 4

6、ac = 4 -16 = -12 b c B a b c C a c b D c a b【答案】C【考查意图】本题考查对数函数的图像与性质，不等式比较大小等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理.满分 5 分.【解析】方法一：Qa = lg 2 log 2 =1， c = log 4 log 3 =1，2 2 3 3b = = c = = ，a c b .故选择 C 选项log 3 log 27 log 27 log 4 log 162 8 9 3 9lg3 lg 4方法二： b = log 3 = ， c = log 4 =

7、 ，2 3lg 2 lg 3bc=(lg 3)2lg2lg4，lg 2 + lg 4 lg 8 lg 9lg 2 lg 4 ( ) ( ) ( ) (lg 3) 2 = 2 ， c b ， a c 0， ，s(x) = 0，x = 0，则函数 h(x) = s(x) - x 的零点是- 0 的解集为 (-,-2) U(2,+) D存在实数 x 满足 f (x + 2)+ f (-x)= 0【答案】ACD【考查意图】本题考查函数的图像，函数的单调性、奇偶性、对称性，解一元二次不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉数学试题 (第 3页 共 13页)及

8、的核心素养是数学运算、逻辑推理、几何直观.满分 5 分.【解析】设 x 0 ，所以 f (-x) = (-x)2 - 2(-x) = x2 + 2x = f (x) ，综上，f (x)x2 + 2x,x 0 的解集为 (-,-2) U(2,+) ，选项 C 正确；存在实数 x = -2 、 x = 0 使得 f (x + 2)+ f (-x)= 0 ，选项 D 正确。11. 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)，B(2,3) ，C(3, 2) ，OP = m AB + nAC ，(m,nR) ,则A若 OP P BC ，则 m + n = 0B若点 P 在 BC 上，则 m + n

9、= 1C若 PA + PB + PC = 0 ，则 m - n = 0D若 AP 在 AC 方向上的投影向量是 (2,1) ，则 m - n =1【答案】AC【考查意图】本题考查平面向量基本定理，投影向量的坐标表示，向量的几何性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理、直观想象.满分 5 分.【解析】 AB = (1, 2), AC = (2,1) ，因为 OP = m AB + nAC ，所以 OP = (m + 2n,2m + n) ，由OP = (m + 2n, 2m + n) ， BC = (1,-

10、1) ，得 m + n = 0 ，选项 A 正确；若 P 在 BC 上，则 AP = OP - OA ，uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur1 1 1 1AP = (m AB + nAC) - OA = (m AB + nAC) - ( AB + AC) = (m - )AB + (n - )AC3 3 3 3， 1 1 5所以 (m - ) + (n - ) =1，即 m + n = ，选项 B 错误； 3 3 3由 PA + PB + PC = 0 ，解得 OP = (2, 2) ，由 m + 2n = 2, 2m + n =

11、2，得 m - n = 0，选项 C正确；对于选项 D，若 AP 在 AC 方向上的投影向量是 (2,1) ，则 AP = AC ，此时点 P 与点 C 重合,且5m + n = ，解得31m = .选项 D 错误.3112. 在 ABC 中，三个角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ， A B C = ， ABC 的面sin sin sin8积为 2 ，则数学试题 (第 4页 共 13页)A abc =16 2 B若 a = 2 ，则A =3C ABC 外接圆半径 R = 2 2 D2 1 1 + sin A sin B32sinC【答案】ACD【考查意图】本题考查三角恒等变换,正弦定

12、理、余弦定理、三角形面积公式，均值不等式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理、直观想象.满分 5 分.1【解析】由 S = bcsin A = 2R2 sin BsinC sin A ，得 R2 = 8 ，R = 2 2 ，故选项 C 正确；2a由正弦定理 = 2R ，而 sin A2psin3 4 2所以选项 B 错误；所以 abc = 8R3 sin Asin BsinC =16 2 ，故选项 A 正确；1 1 1 1 + = + = +8 sin sin sin 8 sin sin sin sinA

13、 B C ( B C A C )sin A sin B sin A sin B 8 2 sin Asin Bsin C sin C = 4 2 sin C所以2 1 1 + sin A sin B ，故选项 D 正确.32sinC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知 a,b R ,i 是虚数单位，若 a + i =1- bi ,则 (a + bi)2 =_.【答案】 -2i【考查意图】本题主要考查复数四则运算以及复数相等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算.满分 5 分.【解析】 a + bi = 1 - i ，则 (a

14、+ bi) = (1-i) = -2i .2 214. 已知向量 a ， b 的夹角为 60， a + 2b = 2 3 ， b =1，则 a _.【答案】 2【考查意图】本题主要考查平面向量的运算法则，数量积，模及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，涉及的核心素养是数学运算、直观想象.满分 5 分.r r r r【解析】由 a + 2b = 2 3 ，得 (a + 2b)2 =12 ，2 2a + 4b +4a b =12，设 a = x ，则 x2 + 2x - 8 = 0 ，解得x ，1=2x =- ， a = 2 .2 415. 在A

15、BC 中，三个角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 a = A = 则ABC 周长的最2, ,3数学试题 (第 5页 共 13页)大值为_.【答案】 6【考查意图】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，三角形周长及基本不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理满分 5 分【解析】由正弦定理得：a b c= = ，sin A sin B sinCasin B 4 3 asinC 4 3 4 3 2pb = = sinB ， c = = sinC = sin( - B) ，sin A 3 sin A 3 3 34 3 2p 1

16、 3 pb + c = sinB + sin( - B)= 4( cosB + sinB) = 4sin(B + ) ，3 3 2 2 6当Bp p+ = ，即6 2Bp= 时， b + c 取得最大值 46 D 周长的最大值 4 + 2 = 6 ABC16. 如图，半圆O的半径为 1， A为直径所在直线上的一点，且OA = 2 ， B 为半圆弧上的动点.将线段 AB 绕点 A顺时针旋转2得到线段 AC ，则线段 OC 长度的最大值是_.【答案】 3【考查意图】本题主要考查三角函数的简单应用等知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、数学抽象满分 5 分【解析】解法

17、一：以 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，设AOB = q ，则 B(cosq,sinq )，( 2,0)A ，AB = (cosq - 2,sinq)，所以 AC = (sinq, 2 - cosq )，从而OC = ( 2 + sinq, 2 - cosq )，uuurOC p 2 2( ) ( )= + + - = + - 2 sinq 2 cosq 5 4sin q 43p，所以，当q = 时，线段OC 的长4取得最大值 3.解法二：由托勒密定理,得 AB OCOA BC + OB AC ，且ABC 为等腰直角三角形，AB = AC, BC = 2AB ，OA = 2,OB =1，OA

18、 BC + OB AC所以 OC = 3 ，此时AOB = 135 ， AC = 5 ，AOC = 45 .AB四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （10 分）数学试题 (第 6页 共 13页)如图，在 ABC 中，已知 AB = 2 ，AC =5，BAC = 60o ，BC 、AC 边上的中线 AM 、BN 相交于点 P .设 AB = a ， AC = b .（1）用 a，b表示 BN ；（2）求 AP .【考查意图】本题主要考查平面向量基本定理，平面向量的三角形法则，平行四边形法则，向量的模等基础知识，考查向量方法解决平面几何问题的

19、能力，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、数学抽象满分 5 分【解析】（1）方法一：因为 N 是 AC 的中点，所以uuur uuur uuur1BN = AN - AB = b - a . 4 分2方法二：因为 BN 是 ABC 边上的中线，所以uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur1 1 1 1 1BN = (BA+ BC) = BA+ (AC - AB) = AC - AB = b - a . 4 分2 2 2 2 2（2）方法一： AP = AB + BP ，5 分uuur uuur2 2 1 1 2又 BP = BN

20、 = ( b - a) = b - a3 3 2 3 36 分，所以uuur1 2 1 1AP = a + ( b - a) = a + b.3 3 3 37 分于是uuur1 1 1 1 2 1 39 13 2AP = ( a + b) = ( a + b + ab) = (4 + 25+ 225cos 60 ) = = ，2 2 2 03 3 9 9 9 9 9 39 分所以uuurAP =393，故 AP 的长为393. 10 分方法二：uuur uuur uuur uuur uuur1 2 1 1 1 1AP = AB + AN = AB + AC = +a b . 7 分3 3 3

21、3 3 3因为uuur uuuur2AP = AM3，又uuuuruuuur1 1 1 392a b a b + ab ，所以 39AM = ( + ) = ( + 2 ) = AM =2 2 22 2 4 4 2，9 分数学试题 (第 7页 共 13页)所以uuurAP =393，故 AP 的长为393. 10 分方法三：（坐标法）以点 A 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴，过点 A 的垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0) ， C(5, 0) ， B(1, 3) ， 6 分由重心性质，得点 P 的坐标为0 +1+ 5 0 + 3 + 0 3( , ) (2, )= ，7

22、分3 3 3uuur所以 22 ( 3)2 39 AP = + =3 3， 9 分故 AP 的长为393. 10 分方法四：（利用正余弦定理解三角形）在 ABN 中，已知 AB = 2 ，5AN = ， BAC = 60o ，2由余弦定理得 2 2 2 cos 600 21 BN = AB + AN - AB AN = ，2所以2 21 21BP = = ，3 2 31 21 21PN = = ，3 2 6由 cosAPB+cosAPN = 0，即PA2 + PB2 -2PAPBcosAPB PA2 + PN2 -2PAPN cosAPN+ =2PAPB 2PAPN0，解得39AP = ，3故

23、 AP 的长为393. 10 分18. （12 分）在复平面内，已知正方形 ABCD 的三个顶点 A, B ,C 对应的复数分别是1+ i , 2 - 3i , 6 - 2i .（1）求点 D 对应的复数；（2）已知 ，求TA + TB + TC 对应的复数.在以下、中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果、都做，则按给分点T 是 ABC 的垂心.数学试题 (第 8页 共 13页)点T 是 ABC 的外心.【考查意图】本题主要考查复数加减运算及其几何意义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是直观想象、数学运算.满分 12 分.【解析】（1）方法一：设O

24、为复平面内的原点，由题意OA = (1,1),OB = (2,-3),OC = (6,-2) ， BC = (4,1) ，设 OD = (x, y) ， 2 分则 AD = OD - OA = (x, y) - (1,1) = (x -1, y -1) ， 3 分由题意知 BC = AD ，4 分x -1= 4,所以y -1=1.x解得y= 5, = 2.5 分故点 D 对应的复数为 5 + 2i .6 分方法二：依题意得，在复平面内，点 A、 B 、C 对应的坐标分别为 (1,1), (2,-3), (6,-2) ，7 1所以 AC 的中点 E 的坐标是 ( ,- ) ， 2 分2 2又由平

25、行四边形对角线互相平分知，点 E 也是 BD 的中点， 3 分7 1从而点 D 的坐标为 ( 2 - 2, - 2 - (-3) ，即为 (5, 2) ， 5 分2 2故点 D 对应的复数为 5 + 2i .6 分方法三：依题意得，在复平面内，点 A、 B 、C 对应的坐标分别为 (1,1), (2,-3), (6,-2) ，设点D 的坐标为 (x, y) ，则 AB = (2,-3) - (1,1) = (1,-4) , AD = (x, y) - (1,1) = (x -1, y -1)2 分由 AB AD 且 AD = AB 得，(x -1) - 4(y -1) = 0,(x -1) +

26、 (y -1) = 1 + (-4)2 2 2 2.4 分 x解得，y=5, x = -3, 或 结合图形可知，点 D 的坐标为 (5, 2) ，2, y = 0.故点 D 对应的复数为 5 + 2i .6 分（2）若选择，因为点T 是三角形 ABC 的垂心，所以点T 位于直角顶点 B 处，8 分则TA+TB +TC = BA+ 0 + BC = (1,1) - (2,-3) + (6,-2) - (2,-3) = (3, 5) ，10 分故向量TA + TB + TC 对应的复数是 3 + 5i . 12 分若选择，因为点T 是三角形 ABC 的外心，所以点T 为直角三角形 ABC 斜边 A

27、C 的中点，8 分数学试题 (第 9页 共 13页)点T 坐标为 (7 , 1)- ，2 2uur uur uuur uur uuur uur uur7 1 3 5则TA+TB +TC = (TA+TC) +TB = 0 +TB = (2,-3) - ( ,- ) = (- ,- )2 2 2 2，10 分3 5故向量TA + TB + TC 对应的复数是 - - i .12 分2 219. （12 分）3 1已知向量 a ， b = (sin 2x,- ) ，设 f (x) = a b . = ( ,cos(2x - )2 32（1）求 f (x) 的单调递增区间；（2）若关于 x 的不等式

28、 f (x) - m 0 在 - , 恒成立，求 m 的取值范围 12 2【考查意图】本题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数恒等变换，三角函数的图像与性质，不等式恒成立问题，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理、直观想象.满分 12 分.【解析】r r3 1 f (x) = a b = sin 2x - cos(2x - )2 2 31 分3 1 1 3= sin 2x - ( cos 2x + sin 2x) 2 分2 2 2 23 1= sin 2x - cos 2x 3 分4 41 3 1= ( sin 2x - cos

29、 2x)2 2 21 = sin(2x - ). 4 分2 62（1）T = = ；5 分2 由 2k - 2x - 2k + ,k Z ，得 k - x k + ,k Z ，- 6 分2 6 2 6 3 所以 f (x) 的单调递增区间为k - ,k + ,(k Z) . 8 分6 3（2）当 x ,- 12 2 5时， - 2x - ，9 分3 6 6由不等式 f (x) - m 0 恒成立，得 m f (x) ， 10 分max因为1f (x) = ，11 分max21所以 m .12 分2数学试题 (第 10页 共 13页)20. （12 分）在锐角ABC 中，角 A,B,C 所对的边

30、分别为 a,b,c ，已知 ( )cos 2A + 2B + 2 cos C = 0 ，2a + b = ，且ABC 的外接圆半径为 2 3 .2 15（1）求角C ；（2）求 AB 边上的高 h .【考查意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理，三角函数求值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理、抽象概括、直观想象.满分 12 分.【解析】（1）由已知 ( )cos 2A + 2B + 2 cos C = 0 ，得2cos 2(A + B)+ 2 cos C = cos 2 (p - C )+ 2 cos C2 2= cos 2C + 2 cos C = 4 cos C -1 = 0 3 分2 21解得 cosC = ， 4 分2因为 C 为锐角，所以 C = ；5 分3p（2）由正弦定理，得 c = 2 2 3 sin = 6 7 分3p2由余弦定理，得 2 2 2 2 cos ( ) 3 36c = a + b - ab = a + b - ab = ，又 a + b = 2 15