Chapter曲线曲面积分课件.pptx

1、xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧AB上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点 BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段iiMM1 都都缩缩向向一一点点时时， 此折线的长此折线的长|11 niiiMM的极限存在，则称此极限为的极限存在，则称此极限为曲线弧曲线弧AB的弧长的弧长.1、平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念重温曲线的弧长重温曲线的弧长11lim|niiilMM 设曲线弧为设曲线弧为,)()( tytx )( t其中其中)(),

2、(tt 在在, 上具有连续导数上具有连续导数. .22( )( )dstt dt弧长弧长.)()(22dttts 2 2 参数方程情形参数方程情形类似的三维情形空间曲线！类似的三维情形空间曲线！定理定理 光滑曲线弧是可求长的光滑曲线弧是可求长的。上册。上册P319定理定理7.4.1弧长元素弧长元素 设设曲曲线线弧弧为为)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一阶阶连连续续导导数数xoyabxdxx dy弧长元素弧长元素弧长弧长.12dxysba 3 直角坐标情形dxyds21 曲线弧为曲线弧为)( )( rr 其中其中)( r在在, 上具有连续导数上具有连续导数. . s

3、in)(cos)(ryrx由由)( ds,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22 drrs 4 4 极坐标情形极坐标情形.),(lim),(,)(),(,),(10 niiiiiLLLsfdszyxfdsPfdsyxfLyxf 即即或或记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧称此极限为函数称此极限为函数被积函数被积函数积分路径积分路径积分和式积分和式问题思考问题思考（1） 对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？的符号可能为负吗？iS （2） 对弧长的曲线积分是否与曲线方对弧长的曲线积分是否与曲线方向有关？向

4、有关？（3） 对弧长的曲线积分的几何意义是什么？对弧长的曲线积分的几何意义是什么？思考题解答思考题解答iS 的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度.由第一型曲线积分的定义知，其积分与积分路由第一型曲线积分的定义知，其积分与积分路径方向无关。径方向无关。几何意义是表示以几何意义是表示以L为准线，平行于为准线，平行于z轴的直轴的直线为母线，且在线为母线，且在(x,y)处母线高度为处母线高度为f(x,y)的柱面的柱面的面积。的面积。思考思考:(1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧

5、长曲线积分的特例 ? 否否! 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.szyxfd),() 1 ( （ , 为常数为常数)szyxfd),()2( 由由 组成组成) 21,则上设在),(),()3(zyxgzyxf),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),( ,iiif xyzfx ty tz tsxyOxdydsd说明说明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必须满足因此积分限必须满足!(2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(2

6、2x因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. .,),().3(而而是是相相互互有有关关的的不不彼彼此此独独立立中中yxyxf( , )x y且是满足L的曲线方程。L：x=(t), y=(t), ttttsd)()(d22tttttfsyxfLd)()()(),(d ),(22( ) 计算：计算：曲线积分曲线积分定积分定积分.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc . .),(:dycyyyxL . )(12dyyds 特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL . ).(,:bxaxyxxL . )(12dxxds .)(

7、1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL ()ab（以（以x为参数）为参数）（以（以y为参数）为参数）例例1.1. 计算计算.dsyL其中其中 L 为为y2=2x自点自点(0, 0)到点到点(2, 2)的一段弧的一段弧.xxxsyLd2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220) 155(31解解2 2：0y2,2 :2yxLyyysyLd1d 202yyxsddd1d2yy d12) 155(31022yx22yx 例例2.2. 计算计算Lsyxd)(L: 连接连接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的

8、闭折线的闭折线OABO.解：解：L分段光滑分段光滑BOABOAL ds=dx21d)0(d)(10 xxsyxOAOA: y=0, 0 x1O2AByx110d5)22(d)(xxxsyxABAB: y=2 2x, 0 x1xysd1d2xd552320dd)(yysyxBOBO: x=0, 0y2 ds=dy=2252321d)( Lsyx)535(21O2AByx1例例3cos , :()sin.,LxatIxydsLybt求其中椭圆第 象限解解dttbtatbta2220)cos()sin(sincos 222220sin cossincosabtt atbtdt2222220()sin (sin)2ababtb dt,cos)(tatx .sin)(tbty xyoab,sin)(tat .cos)(tbt .20 t Lxyds.)(3)(22bababaab sin)( sin)()( 2222220222222btbadbtbabaab 2023222222sin)(32)(2 btbabaabdttbtatbta2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin )(sin sin)(22202222tdbtbaab LxydsvP308v1.(1)(4)v2.