专升本《高等数学》复习第一章课件.ppt

1、第一章 函数、极限和连续第一节 函数 函数函数 有界性有界性 单调性单调性 周期性周期性 奇偶性奇偶性 初等函数初等函数 分段函数分段函数 复合函数复合函数 集合集合 映射映射 第一节第一节 函数函数一、函数概念以点以点a 为中心的任何为中心的任何开区间开区间称为点称为点a 的邻域的邻域, ,记为记为U(a). aa+ a- U（a, ）=（a- , a+ ） 0, ,称集合称集合 (a-,a+)为为点点a 的的邻域邻域, ,记为记为U(a,). ., axxaUaa+ a- axx 0集合集合 称为称为点点a 的去心的去心邻域邻域, , 记为记为 ., aU.0, axxaU即即 。叫叫做做

2、邻邻域域的的半半径径。叫叫做做邻邻域域的的中中心心； a1 1、邻域、邻域 因变量因变量自变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW 定定义义 设设x和和y是是两两个个变变量量, ,D是是一一个个给给定定的的数数集集，数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 如如果果对对于于每每个个数数Dx ,2 2、函数的定义、函数的定义()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法

3、则对应法则.xyDW约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D定义定义: :.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数例如，例如，222ayx 3 3、函数的表示法、函数的表示法解析法解析

4、法：用解析表达式表示函数关系：用解析表达式表示函数关系表格法表格法：用列表的方法来表示函数关系：用列表的方法来表示函数关系图示法图示法：用平面直角坐标系上的曲线来：用平面直角坐标系上的曲线来表示函数关系表示函数关系 (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有

5、理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数狄利克雷函数(4) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数. 显函数显函数：函数关系用解析式 表示的称为显函数，如 . 分段函数分段函数：有些函数，对于其定义域内自变量 的不同值，函数不能用一个统一的公式表示，而要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分

6、段函数. 隐函数隐函数：函数 与自变量 的对应法则用一个方程 表示的函数，如 .( )yf x2,lgyxyx2210 xy y( , )0F x y 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xyxx4 4、显函数，分段函数，隐函数、显函数，分段函数，隐函数二、函数的性质1函数的单调性函数的单调性,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数, 2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ),()( )1(21xfxf 若恒有若恒有则称函数则称函数 f (x)在在区间区间I上是上是单调增加单调增加的的 .),()( )2(21x

7、fxf 若恒有若恒有则称函数则称函数 f (x)在在区间区间I上是上是单调减少单调减少的的 .单调性的判定方法单调性的判定方法：（1）用函数单调的定义判定。）用函数单调的定义判定。 （2）用函数的导数符号判定，在某区间内导数大于）用函数的导数符号判定，在某区间内导数大于 零，则函数在该区间内单调增加。零，则函数在该区间内单调增加。2函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数偶函数若有若有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf图象关于图象关于 y 轴对称轴对称称称 f (x)为为偶函数偶函数。)()( xfxf 若若有有称称 f (x)为

8、为奇函数奇函数奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 图象关于图象关于原点原点对称对称性质性质(1) 若若 f (x) 在在 x = 0 有定义有定义 ,f ( (x) )为奇函数时为奇函数时, ,必有必有f (0)=0 .则当则当xyoxx(2) 有时有时利用利用f (x)+f (- -x)=0 是判断一个函数为奇函数的是判断一个函数为奇函数的 有效方法有效方法.(3) 偶偶+偶偶=偶，奇偶，奇+奇奇=奇，偶奇，偶偶偶 =偶，偶， 奇奇奇奇=偶，奇偶，奇偶偶=奇奇.(4) 定义在关于原点对称的区间上的函数定义在关于原点对称的区间上的函数=奇函数奇函数+偶函偶函数数(5) 具有

9、奇偶性的函数具有奇偶性的函数, 可简化微积分的运算可简化微积分的运算(后续后续).3函数的周期性函数的周期性（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的)()(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立to)(tf22xo2y2周期为周期为 周期为周期为 2注注 (1)周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期 .例如例如 常量函

10、数常量函数Cxf )(狄里克雷函数狄里克雷函数 )(xfx 为有理数为有理数x 为无理数为无理数,1,0注注 (2)周期函数还有一些有用的微积分性质，周期函数还有一些有用的微积分性质， 以后逐渐学到以后逐渐学到. , 2使得使得若若 K 1)(Kxf 4. .函数的有界性函数的有界性有有若数集若数集,1XxKDX 2)( Kxf ) ( )( 1是其中的一个是其中的一个上有上界上有上界在在称函数称函数KXxf上界上界 ) ( )( 2是其中的一个是其中的一个上有下界上有下界在在称函数称函数KXxf下界下界 (1)定义定义有有若数集若数集, 0,XxMDX 则称函数则称函数 f (x)在在X上上

11、有界有界.否则称否则称无界无界.Mxf )(M-MyxoX0 xM-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界结论结论上有界上有界在在Xxf)(界界上既有上界又有下上既有上界又有下在在 )(Xxff (x) 在在X上上无界无界MxfXxM )( , , 0 11使得使得注注具有具有“有界有界”性质的函数是一类重要的函数性质的函数是一类重要的函数.因为有因为有界是数列收敛的必要条件界是数列收敛的必要条件, 是各类积分存在的必要条件是各类积分存在的必要条件.三、反函数0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(1yfx 反函数反函数oy = f (x) 直接函数直接函数直接反函数直接

12、反函数)(1yfx )(xfy1矫形反函数矫形反函数)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对对称称.xy 四、基本初等函数1、幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2、指数函数、指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 3、对数函数、对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 4、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin

13、 xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 正割函数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数xycsc 5、反三角函数、反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc五、复合函数 初等

14、函数1、复合函数、复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义: 设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域fD, 而函数而函数)(xu 的值域为的值域为 Z, 若若 ZDf, 则称则称函数函数)(xfy 为为x的的复合函数复合函数.,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y 定义定义 说明说明 通常通常 f 称为外层函数，称为外层函数，g 称为内层函数称为内层函数.1),(Duufy ,),(2Dxxgu12)(DDg且且则则Dxxgfy , )(称为由称为由, , 确定的确定的复合函数复合函数, , u 称为称为中间变量中间变量. . 自然定义域自然定义域注意注意: :1.不

15、是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 2、初等函数、初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxe

16、xfx 求求设设解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 第一章 函数、极限和连续第二节 极限 一、概念的引入一、概念的引入二、数列的定义二、数列的定义三、数列的极限三、数列的极限四、数列极限的性质四、数列极限的性质42 42一、概念的引入单击任意点开始观察单击任意点开始观察1.割圆术割圆

17、术 “割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽观察完毕观察完毕引例引例2.截丈问题截丈问题 “一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”;21 1 X第第一一天天截截下下的的杖杖长长为为;2121 22 X为为第第二二天天截截下下的的杖杖长长总总和和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1二、数列的定义例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n的的。单单调调减减少少是是则则称称数数列列nx。单单调调数

18、数列列的的数数列列统统称称为为单单调调增增加加的的或或单单调调减减少少的的；单单调调增增加加是是则则称称数数列列nx, 1321nnnxxxxxx满足：满足：若数列若数列, 1321nnnxxxxxx满满足足：若若数数列列 单调性单调性 单击任意点开始观察单击任意点开始观察.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限观察结束观察结束. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: :直观定义直观定义当当n无限增大时，无限增大时，xn无限接近于一个确定的无限接近于一个确定的常数常数a，称，称

19、a是是数列数列xn的的极限极限. 或者称数列或者称数列xn 收敛于收敛于a, 记为记为 axnn lim)( naxn或或 发散发散 如果数列没有极限如果数列没有极限, ,就说数列是就说数列是发散发散的的. .说明说明 发散有发散有 不存在不存在( (非无穷大非无穷大) )； ；+； . . 常用结论公式常用结论公式 1. .常数列的极限等于它本身常数列的极限等于它本身. . 1 , 0lim . 2的常数的常数其中其中 qqnnCCn lim注注 当当 时，时， 不存在不存在.)1(1| qq或或nnq lim., 1lim . 3为正常数为正常数其中其中aann 1.唯一性唯一性 定理定理

20、1 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.四、收敛数列的性质1.唯一性唯一性 定理定理1 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.四、收敛数列的性质2.有界性有界性 例如例如 ;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列有界有界无界无界1x2x3x4xnxM Mo(2) 定理定理2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .注意注意 逆否命题必成立：逆否命题必成立：无界列必定发散无界列必定发散. .逆命题不成立：逆命题不成立：有界列不一定收敛有界列不一定收敛. .数列数列有界有界是收敛的是收敛的必要条件必要条件( (不充分不充分).).1)1( nnx如如,1nnxx第第一一次次抽抽取取中中在在数

21、数列列,21nnxx后后抽抽取取第第二二次次在在,32nnxx后后抽抽取取第第三三次次在在得得到到：这这样样无无休休止止地地抽抽取取下下去去,21knnnxxx.的的一一个个子子数数列列就就是是数数列列数数列列nnxxk.,项项中中是是第第在在原原数数列列项项是是第第在在knnnnnxxkxxkkk. knk显然显然,中中的的先先后后次次序序nx,中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项在在数数列列nx并并保保持持这这些些项项在在原原数数列列.子子数数列列的的数数列列这这样样得得到到的的数数列列称称为为原原nx收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系: .a并并且且极极限限也也是是,收收敛

22、敛那那末末它它的的任任一一子子数数列列也也收收敛敛于于如如果果数数列列axn.,那那么么该该数数列列就就发发散散同同的的极极限限值值有有两两个个子子数数列列收收敛敛于于不不如如果果数数列列nx 其逆反定理用于其逆反定理用于 证明数列的发散证明数列的发散一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质三、函数极限的性质四、极限运算法则四、极限运算法则【数列极限数列极限】axnn 时，时，)(nfxn 整标函数整标函数【函数的极限函数的极限】)(xfy 有有 0 xxx两两大类情形大类情形 0)1(x

23、x 0)2(xxx)3(x)4(单击任意点开始观察单击任意点开始观察.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量x时, f (x)的极限1. .【引例引例】单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察 观察完毕观察完毕. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: :即即x时时, f (x)0.2.【直观定义直观定义】在在x时

24、，函数值时，函数值f (x)无限接近于一无限接近于一 个确定的常数个确定的常数A ,称称A为为f (x)当当x时的极限时的极限.记作记作Axfx )(lim)()( xAxf当当或或x1x11oyxxxgxxf 11)(,1)(直线直线 y = A 仍是曲线仍是曲线 y = f (x) 的渐近线的渐近线 .4.两种特殊情况几何意义几何意义例如例如都有水平渐近线都有水平渐近线;0 yAxfx )(limAxfx )(lim. )( ,)(lim 水平渐近线水平渐近线的图形的的图形的是函数是函数则直线则直线如果如果xfycycxfx 3.水平渐近线水平渐近线又又如如. 0sinlim xxx.)(

25、lim)(limAxfAxfxx 且且定理定理 Axfx)(lim故有水平渐近线故有水平渐近线;0 y例例如如.arctanlim xx 考查极限考查极限.2arctanlim xx.2arctanlim xx. arctanlim 不存在不存在故故xx xxysin 二、自变量xx0有限值时,函数 f(x) 的极限1. .【引例引例】 函数函数1)( xxf在在1 x处的极限为处的极限为函数函数11)(2 xxxf在在1 x处的极限为处的极限为函数函数 131112x,x,xx)x(f在在1 x处的极限为处的极限为yAxxx0时函数时函数f( (x) )的极限是否存在的极限是否存在,与与f

26、(x)在在x0处是否有定义并无关系处是否有定义并无关系.结论结论2.【直观定义直观定义】在在x x0时，函数值时，函数值f (x)无限接近于一无限接近于一 个确定的常数个确定的常数A ,称称A为为f (x)当当x x0 时的极限时的极限.记为记为).()()(lim00 xxAxfAxfxx 或或3.【单侧极限单侧极限】【例如例如】. 1)(lim :0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx, 0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近 00 ; 0 xxxx或或记作记作, 0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近 00 ; 0 xxxx或

27、或记作记作yox1xy 112 xy 右极限右极限左极限左极限右极限右极限 当当xx0且且x x0时，函数值时，函数值f (x)无限接近于无限接近于一个确定的常数一个确定的常数A ,称称A为为f (x)当当x x0 时的右极限时的右极限.)()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作注意注意 函数的函数的左、右极限左、右极限与函数的与函数的极限极限是三个不同的概念是三个不同的概念, 但三者之间有如下但三者之间有如下重要定理重要定理: 左极限左极限 当当xx0且且x x0时，函数值时，函数值f (x)无限接近于无限接近于

28、一个确定的常数一个确定的常数A ,称称A为为f (x)当当x x0 时的左极限时的左极限.)()()(lim000AxfxfAxfxx .lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限左右极限存在存在但但不相等不相等, ,.)(lim0不存在不存在xfx例例1证证1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x极限存在定理极限存在定理注注 一般而言一般而言, 分段函数的极限要分左右极限考察分段函数的极限要分左右极限考察.三、函数极限的性质 注注 以下仅以以下仅以 形式为代表给出函数极形式为代表给出函数极 限的一些定理，其它形式类推之。限的

29、一些定理，其它形式类推之。)(lim0 xfxx1.唯一性唯一性定理定理2 )(lim 0，如果如果Axfxx 00 和和则则 M 0 0，时时使得当使得当 xx . )( Mxf 有有2. 有界性有界性局部局部, 0 , )(lim0 AAxfxx且且若若3. 保号性保号性几何解释几何解释 0 的情形的情形设设 A容易推得下面更强的结论：容易推得下面更强的结论：定理定理30)(,),(, 00 xfxUx时时当当则则 0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 定理定理3* * )0( )(lim 0，如果如果 AAxfxx 那么存在那么存在 )( 00，的某去心邻域的某去心邻域xUx )( 0

30、，时时当当xUx . 2)( Axf 就有就有局部局部),0( A或或).0)( xf或或常用于证明有关定理或证明题常用于证明有关定理或证明题. 0, 0)(,),(, 0,)(lim00 AxfxUxAxfxx则则时时当当且且若若 推论推论证明证明利用定理利用定理3反证之（反证之（略略）. .思考思考若推论若推论 中的条件为中的条件为是否必有是否必有?0 A不一定不一定! 成立；成立； , 01)1(lim20 xx如如 , 0)( xf0)(lim ),0(0)( 02 xfxxxfx而而但若取但若取)0)( xf)0( A或或四、极限运算法则定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(

31、lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2 一、无穷小量一、无穷小量二、无穷大量二、无穷大量三、无穷小量与无穷大量的关三、无穷小量与无穷大量的关系系四、无穷小量的比较四、无穷小量的比较70七、求极限方法举例七、求极限方法举例五、极限存在准则五、极限

32、存在准则六、两个重要极限六、两个重要极限 1、无穷小量的定义、无穷小量的定义一、无穷小量（简称无穷小）一、无穷小量（简称无穷小） 定义定义 1 若函数若函数 f (x) 当当 x x0 (或或 x ) 时的时的极限为零极限为零, 则称函数则称函数 f (x) 为当为当 x x0 (或或 x ) 时时的的无穷小量无穷小量 . 特别地特别地, 以零为极限的数列以零为极限的数列 xn 称为称为 n 时时的的无穷小量无穷小量 .例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn

33、.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,它不是表示量的大小，而是表示它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势为零变量的变化趋势为零;（4）零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.（2） 一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的；趋势紧密相关的；（3）很小很小的数不是无穷小量，越变越小的变量）很小很小的数不是无穷小量，越变越小的变量也不一定是无穷小量；也不一定是无穷小量；2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系: 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxf

34、Axfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);).(,)()(20 xAxfxxf 误差为误差为式式附近的近似表达附近的近似表达在在）给出了函数）给出了函数（ 3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn定理定

35、理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小二、无穷大量（简称无穷大）无穷大量的定义：无穷大量的定义：( )f x0( )xx如果当自变量如果当自变量 的过程中，经过某一的过程中，经过某一时刻后时刻后 的绝对值可以大于事先任意给的绝对值可以大于事先任意给

36、定的充分大的正数定的充分大的正数M，则称在该变化过程，则称在该变化过程中，中， 为为无穷大量无穷大量.( )f x特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim20认为极限存在认为极限存在）切勿将）切勿将（ xfxx三、无穷小与无穷大的关系定理定理 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷大的倒数为无穷小无穷小; ;

37、恒恒不为零的无穷小的倒数为无穷大不为零的无穷小的倒数为无穷大. .意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在观察各极限观察各极限型）型）（00四、无穷小量的比较；记作记作高阶的无穷小高阶

38、的无穷小是比是比，就说，就说如果如果)(,0lim)1( o定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;, 0lim)3(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 C;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地，低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 lim)(意义意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,),(sinxoxx ).(21cos122xoxx ,0时时当当 xxycos1 221yx 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x

39、)0(1)1(,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax.21cos1,sin2xxxx 例例解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有时时则当则当uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 . 1),1ln(0 xexxxx时，时，即，当即，当等价无穷小代换等价无穷小代换定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设证证 lim)lim( limlimli

40、m.lim 例例.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 若若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换. .注意注意例例.a

41、rcsinsin)1(lim0 xxxx 求求解解.arcsin,sin,0 xxxxx时时当当xxxx)1(lim0 原式原式. 1 )1(lim0 xx例例.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 一、一、 填空题：填空题：1 1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2 2、mnxxx)(sinarcsinlim0=_.=_.3 3、xxx)21ln(l

42、im0 =_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim =_.=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 =_.=_.练练 习习 题题7 7、当、当0 x时，时，)0(3 aaxa 对于对于x是是_阶无穷小阶无穷小 . .8 8、当、当0 x时，无穷小时，无穷小xcos1 与与nmx等价，则等价，则 ._,nm 二、求下列各极限：二、求下列各极限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；一、一、1 1、23； 2 2、

43、nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ； 5 5、x； 6 6、na； 7 7、3 3； 8 8、21, , 2.2.二、二、1 1、21； 2 2、 e； 3 3、 ； 4 4、a2sec. .练习题答案练习题答案五、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及nz满满足足下下列列条条件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn lim. .准则准则 如果当如果当)(00 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有,)(lim,)(lim

44、)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .注意注意: :.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy准则准则 I和和准则准则 I称为称为夹逼准则夹逼准则.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnx

45、1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,21

46、31 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx六、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx例例.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(lim对数列有对数列有ennn )11(lim例例.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e ; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 小结：小结：._3cotlim40 xxx

47、、._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arc七、求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小结小结: :则有则有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)li

48、m()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim2

49、21 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法

50、)小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.例例6 6.sinlimxxx 求