初中数学建模课件.pptx

1、 所谓所谓数学模型数学模型，是指通过抽象和模拟，利用数学语言和方，是指通过抽象和模拟，利用数学语言和方法对所要解决的实际问题进行的一种刻画法对所要解决的实际问题进行的一种刻画 。一般地，通过建立一般地，通过建立数学模型来解决实际问题的过程称为数学模型来解决实际问题的过程称为数学建模数学建模。 数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和

2、发展。 教学中加强数学建模的教学，引领学生寻找解题的途径。教学中加强数学建模的教学，引领学生寻找解题的途径。针对一类问题，给学生一个模式，让学生有据可依，以不变应针对一类问题，给学生一个模式，让学生有据可依，以不变应万变，触类旁通，这样较为符合学生的心理特征，也有利于提万变，触类旁通，这样较为符合学生的心理特征，也有利于提高学生解决问题的能力。高学生解决问题的能力。 一、数学模型思想在初中数学中的意义 近几年，中考加强了应用题的考察，这些应用题以数学建近几年，中考加强了应用题的考察，这些应用题以数学建模为中心，考察学生应用数学的能力。但是学生在应用题中模为中心，考察学生应用数学的能力。但是学生

3、在应用题中的得分率远低于其它题，原因之一就是学生缺乏数学建模能的得分率远低于其它题，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此，教师应加强数学建模的教学，提力和应用数学意识。因此，教师应加强数学建模的教学，提高学生数学建模能力，培养学生应用数学意识和创新意识高学生数学建模能力，培养学生应用数学意识和创新意识二、解答数学模型问题的一般步骤二、解答数学模型问题的一般步骤（1 1）明确实际问题，并熟悉问题的背景；）明确实际问题，并熟悉问题的背景；（2 2）构建数学模型（例如：方程模型、不等式模型、函数模）构建数学模型（例如：方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、概率模型、统计模型等）型

4、、几何模型、概率模型、统计模型等）; ;（3 3）求解数学问题，获得数学模型的解答；）求解数学问题，获得数学模型的解答；（4 4）回到实际问题，检验模型，解释结果。）回到实际问题，检验模型，解释结果。1、建立“方程(组)”模型 2、建立“不等式(组)”模型3、建立“函数”模型4、建立“几何”模型5、建立“概率”与“统计”模型三、初中数学建模的几种题型三、初中数学建模的几种题型1818世纪在哥尼斯堡城世纪在哥尼斯堡城( (今俄罗斯加里宁格勒今俄罗斯加里宁格勒) )的普莱格尔河上的普莱格尔河上有有7 7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图所示。城中的居民经座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图所示。

5、城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍能否一次走遍7 7座桥，而座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点？这个问题看起来似乎？这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里，欧拉把它转化为了一个那里，欧拉把它转化为了一个数学模型数学模型，并且发现了一个问题，并且发现了一个问题ACDB 后来大数学家后来大数学家欧拉欧拉把它转化成一个把它转化成一个几几何何问题（如图）问题（如图）一笔画问题一笔画问题。ABC

6、D数学模型建立好之后，那么数学模型建立好之后，那么“七桥问题七桥问题” ” 也就也就转化成了转化成了 “ “一笔画问题一笔画问题”“一笔画”是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。 . . A AC CB BABCAABCA B BA AA A头部头部翅膀翅膀尾部尾部翅膀翅膀嘴嘴B B问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。有偶数条线相连的点叫偶点。如：有偶数条线相连的点叫偶点。如：有奇数条线相连的点叫奇点。如：有奇数条线相连的点叫奇点。如：一笔画指：一笔画指：1 1、下笔后笔尖不能离开纸。、下笔后笔尖不能离开纸。 2 2、每条线都只能画一次而不能重复。、每条线都只能画一

7、次而不能重复。 问题分析下列图形能否一笔画下列图形能否一笔画图1图5图4图3图2不连通的图形不能一笔画不连通的图形不能一笔画 连通的图形连通的图形有可能有可能一笔画一笔画 画的图形都有几个奇奇点？几个偶偶点？你能一笔画出下列图形吗？你能一笔画出下列图形吗？ 能够用一笔画的图形的特征是：能够用一笔画的图形的特征是：奇点的个数是奇点的个数是0或或2。1.当奇点个数是当奇点个数是0的时候，任何一个点都的时候，任何一个点都可作起点，终点也是这个点；可作起点，终点也是这个点；2.当奇点个数是当奇点个数是2的时候，起点一定是其的时候，起点一定是其中的一个奇点，终点一定是另一个奇点。中的一个奇点，终点一定是

8、另一个奇点。 3 3 .凡是图形中奇点奇点的个数大于2个时，此图肯定是不能一笔画成的。下列图形能一笔画吗？判断下列图形能否一笔画判断下列图形能否一笔画图5图4图3图2图6图1CDBA 欧拉在草纸上勾画出示意欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问题是否有图。在他看来，问题是否有可行的方案，与岛、半岛的可行的方案，与岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的长度无关。的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将半岛、两侧河岸因而不妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将各个和小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线。小桥代之以线。 由于七桥问题中的A、B、C、D四个点都是奇点，因此可以

9、判断它是无法一笔画出来的 ，也就是说根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！一、建立一元一次方程及二元一次方程组的模型一、建立一元一次方程及二元一次方程组的模型例例1、利用两块长方体木块测量一张桌子的高、利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按左图的方式放置。再交换木块的度，首先按左图的方式放置。再交换木块的位置，按右图的方式放置。测量数据。如图。位置，按右图的方式放置。测量数据。如图。求桌子的高度。求桌子的高度。设：木块长为设：木块长为a、宽为、宽为b、桌子的高为、桌子的高为x，依题，依题意有：意有： 解得：解得：X=75axb80bxa70 例2： 根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）

10、放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水面升高 cm；（2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得3x=3226，解得x=2；设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y=3226，解得：y=3所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm；（2）设应放入大球m个，小球n个由题意，得： 解得： 答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个方法归纳：本题考查了列一元一次方程和列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组及一元一次方程的解法的运用，解答时弄清图画的含义是解答本题的关键。64nm例例3、玲玲

11、家准备装修一套新住房，若甲、乙两个、玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需装饰公司合作，需6周完成，共需装修费周完成，共需装修费5.2万元；万元；若甲公司单独做若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还周后，剩下的由乙公司来做，还需需9周才能完成，共需装修费周才能完成，共需装修费4.8万元。玲玲的爸爸万元。玲玲的爸爸妈妈商量后决定，只选一个公司单独完成。妈妈商量后决定，只选一个公司单独完成。（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？（2）如果从节约开支的角度考虑呢？说明理由。）如果从节约开支的角度考虑呢？说明理由。解析：利用二元一次方

12、程组数学模型，节约时间久解析：利用二元一次方程组数学模型，节约时间久应考虑效率、节约开支就得计算总费用，通过这两应考虑效率、节约开支就得计算总费用，通过这两方面的计算得到决策。方面的计算得到决策。解析：利用二元一次方程组数学模型，节约解析：利用二元一次方程组数学模型，节约时间久应考虑效率、节约开支就得计算总费时间久应考虑效率、节约开支就得计算总费用，通过这两方面的计算得到决策。用，通过这两方面的计算得到决策。例例4、（2004年山东省枣庄市中考题）某家庭新购住房需要装修，如果甲、乙两个装饰公司合做，12天可以完成，需付装修费1.04万元；如果甲公司先做9天，剩下的由乙公司来做，还需16天完成，

13、共需付装修费1.06万元。若只选一个装饰公司来完成装修任务，应选择哪个装饰公司？试说明理由解：设甲公司单独做x天完成，乙公司单独做y天完成。根据题意，得 解之，得设甲公司单独完成装修工程需装修费a万元，乙公司单独完成装修工程需装修费b万元。则解之，得 所以，甲公司完成装修工程需21天，装修费0.98万元；乙公司完成装修工程需28天，装修费1.12万元。从节约时间、节省开支的角度考虑，应选择甲公司来完成此项装修任务。 二、建立分式方程模型解决实际问题。二、建立分式方程模型解决实际问题。例例5、 2013年4月20日，我省雅安市芦山县发生了里氏7.0级强烈地震。某厂接到在规定时间内加工1500顶帐

14、篷支援灾区人民的任务。在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，求原来每天加工多少顶帐篷？解：设该厂原来每天生产顶帐篷 据题意得： 解这个方程得x=100 经检验x=100是原分式方程的解 答：该厂原来每天生产100顶帐篷方法归纳：本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据生产过程中前后的时间关系建立方程是关键。1500300120041.5xxx三、建立一元二次方程模型解决实际问题三、建立一元二次方程模型解决实际问题。例例6、某市某楼盘准备以、某市某楼盘准备以5000元元/的均价对外销售，的均价对外销售，由于国务院有关房地产

15、的新政策出台后，购房者持由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平米经过两次下调后，决定以每平米4050元的均价开盘元的均价开盘销售。销售。（1）求平均每次下调的百分率。）求平均每次下调的百分率。（2）某人准备以开盘均价购买一套）某人准备以开盘均价购买一套100平米的房子，平米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择。打开发商还给予以下两种优惠方案以供选择。打9.8折销售；不打折，送两年物业管理费，物业管理折销售；不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平米每月费是每平米每月

16、1.5元。请问哪种方案更优惠？元。请问哪种方案更优惠？解析：模型解析：模型“a（1+x）n =b”其中其中a为原来量，为原来量，x为平均增长率，为平均增长率，n为增长次数，为增长次数，b为增长后的为增长后的量。量。“+”表示增长，表示增长，“-”表示下降（减少）。表示下降（减少）。本题由模型本题由模型a（1+x）n=b列方程，分别计算两列方程，分别计算两种方程的总花费，比较大小得出结论。种方程的总花费，比较大小得出结论。例例7、山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专

17、卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？（1）解：设每千克核桃应降价x元 根据题意，得 （60 x40）（100+ 20）=2240 化简，得 x210 x+24=0 解得x1=4，x2=6答：每千克核桃应降价4元或6元 （2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元 此时，售价为：606=54（元）答：该店应按原售价的九折出售方法归纳：解一元二次方程应用题的基本步骤：设，列，解，答，验。解题的关键是关键题目中的

18、等量关系列出方程，切记根的取舍要根据根在实际问题中的意义。 2x例8、如图3(1)，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向一条横向且横向与纵向互相垂直)把耕地分成大小相等的六块作实验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？ (1997年安徽省中考题)简析如图3(2)作整体思考，设道路的宽为x，则问题转化为求方程(20 x)(322x)570的解，解得x11，x235(不合题意，舍去)。方程模型的考试要求1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。（会找等量关系）2.能根据具体问题的实际意义和数量关系，列一个一元一次方

19、程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程，解决实际问题，并检验方程解的合理性。四、建立“不等式(组)”模型 现实生活中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。如市场营销、生产决策、统筹安排、核定价格范围等问题,可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。例例9、小明准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶。已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小明最多能买多少瓶甲饮料？考点：不等式的应用设小明能买甲饮料x瓶，则买乙饮料（10-x）瓶。根据题意的：7x+4（10-x）50解得：x 331例例10、开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用、开学初，小芳

20、和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用品，小芳用18元钱买了元钱买了1支钢笔和支钢笔和3本笔记本；小亮本笔记本；小亮用了用了1元钱买了同样的钢笔元钱买了同样的钢笔2支和笔记本支和笔记本5本。本。（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格。）求每支钢笔和每本笔记本的价格。（2）校运会后，班主任拿出）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金给元学校奖励基金给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本班长，购买上述价格的钢笔和笔记本48件，作为奖件，作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？不少于钢笔数，共有多少种购买方案？例例11：

21、我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3米米/秒的时间共约秒的时间共约160天，其中日平均风速不小于天，其中日平均风速不小于6米米/秒的时间约占秒的时间约占60天。天。为了充分利用为了充分利用“风能风能”这种这种“绿色能源绿色能源”，该地拟建一个小型风力发电厂，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用决定选用A、B两种型号的风力发电机。根据产品说明，这两种风力发电机两种型号的风力发电机。根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：根据上面数据回答：

22、根据上面数据回答：（1）若这个发电厂购）若这个发电厂购x台台A型风力发电机，则预计这些型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电量型风力发电机一年的发电量至少为至少为 千瓦千瓦时。时。（2）已知）已知A型风力发电机每台型风力发电机每台0.3万元，万元，B型风力发电机每台型风力发电机每台0.2万元，该发电厂拟购万元，该发电厂拟购置风力发电机共置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的发电厂每年发电总万元，而建成的发电厂每年发电总量不少于量不少于102000千瓦千瓦时，请你提供符合条件的购机方案。时，请你提供符合条件的购机方案。方程与不等式组的综合

23、例题方程与不等式组的综合例题例例12、随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量、随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加。据统计，某小区逐年增加。据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车年底拥有家庭轿车64辆，辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到年底家庭轿车的拥有量达到100辆。辆。（1）若该小区）若该小区2006年底到年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均年底家庭轿车拥有量的年平均增长率相同，求该小区到增长率相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造

24、若干万元再建造若干个停车位。据测算，建造费用分别为室内车位个停车位。据测算，建造费用分别为室内车位5000元元/个，个，露天车位露天车位1000元元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案。小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案。不等式（组）模型的考试要求能根据具体问题中是数量关系列出一元一次不等式或一元一次不等式组，解决简单的问题。在列的过程中一定要注意题目中的关键词，如：多于、超过、不到、最大

25、、至少等等。五、 建立函数模型 对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如造价用料最少，利润产出最大等，可透过实际背景、建立变量之间的目标函数，转化为函数最值问题 例13、某商店如将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润 简析设每件售价提高x元，则每件得利润(2x)元，每天销售量变为(20020 x)件，所获利润y(2x)(20020 x)20(x4)2720故当x4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润720元 例14、如图，在

26、平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k0）的图象与反比例函数y= 的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tanAOE=（1）求反比例函数的解析式；（2）求AOB的面积34归纳：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，三角函数值，以及三角形的面积公式的运用，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法，我们要熟练的掌握好这种方法。二次函数的例题 如图，在平面直角坐标系xoy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部

27、分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”已知点C的坐标为（0，- ），点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m （m0）的顶点（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM为直角三角形时，求m值23第28题图MCBOADBB解：（1）A（1，0），B（3，0）；（2） PBC 的最大面积为 （3）y=mx22mx3m=m（x1）24m，顶点M坐标（1，4m），当x=0时，y=3m，D（0，3m），B（3，0），DM2=（01）2+（3m+4m）2=m2+1，MB2=

28、（31）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（30）2+（0+3m）2=9m2+9，当BDM为Rt时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2 DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4， 解得m=1（m0，m=1舍去） DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=19m2+9，解得m=（m=舍去）综上，m=1或 时，BDM为直角三角形2222归纳：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度。函数模型的考试

29、要求能通过对所给问题条件的分析或从实际问题的情境分析，从所给题目中提炼数学信息，从而构建函数模型能根据已经构建的函数模型，运用函数的性质解决实际问题。四、建立“几何”模型 几何与人类生活和实际需要密切相关,诸如航海、建筑、测量、工程定位、裁方案、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时,常需建立“几何”模型,把实际问题转化为几何问题加以解决. 三角形模型的典型例题 例： 如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45；小红眼睛与

30、地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）求出旗杆MN的高度？解：过点A作AEMN于E，过点C作CFMN于F，则EF=ABCD=1.71.5=0.2（m），在RtAEM中，AEM=90，MAE=45，AE=ME设AE=ME=xm，则MF=（x+0.2）m，FC=（28x）m在RtMFC中，MFC=90，MCF=30，MF=CFtanMCF，x+0.2=（28x），解得x10.0，MN=ME+EN10+1.712米答：旗杆MN的高度约为12米归纳：本题考查了解直角三角形的问题该题是一个比较常规的解直角三角形问题，

31、建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些 线段最短模型线段最短模型 例：如图，例：如图，A、B是直线同旁的两个定点。是直线同旁的两个定点。问题：在直线上确定一点问题：在直线上确定一点P，使，使PA+PB的值最小。的值最小。方法：作点方法：作点A关于直线的对称点关于直线的对称点A，连结，连结AB交于点交于点P，则则PA+PB=AB的值最小（不必证明）。的值最小（不必证明）。模型应用：模型应用：（1）如图）如图1，正方形，正方形ABCD的边长为的边长为2，E为为AB的中点，的中点，P是是AC上一动点。连结上一动点。连结BD，由正方形对称性可知，由正方形对称性可知，B与与D关于

32、直线关于直线AC对称。连结对称。连结ED交交AC于于P，则，则PB+PE的最小值是的最小值是 。（2）如图）如图2， O的半径为的半径为2，点，点A、B、C在在 O上，上，OAOB，AOC=60，P是是OB上一动点，求上一动点，求PA+PC的最小值；的最小值；图1图2图3DPP2P1P555归纳：根据轴对称的性质把不同线段转归纳：根据轴对称的性质把不同线段转化在同一直线上，依据化在同一直线上，依据“两点之间，线两点之间，线段最短段最短”求解。求解。解（1）（2）2（3）10中点的模型线段的中点把线段分成相等的两部分，是几何图形中一个特殊的点，只要图形中出现中点，就可以引发我们丰富的联想：中线倍

33、长是常用的辅助线，直角三角形斜边中线是斜边的一半，作直角三角形斜边中线是常用辅助线，三角形中位线在数量上是第三边的一半，在位置上涉及到平行，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明与计算中有广泛的应用。例例:（1）已知梯形）已知梯形ABCD的面积为的面积为4， M是腰是腰CD的中点，求的中点，求ABM的面积。的面积。例例:（2）已知）已知AD是是ABC的中线，的中线，AB=7，AC=5,求求AD的取值范围。的取值范围。见中点造全等根据题意可得：根据题意可得：SABE= S梯形梯形ABCD的面积，而的面积，而M是腰是腰CD的的中点中点，所以所以S ABM= SABE的一半的一半，所以是所以是2.根据题意可得：根据题意可得： ADC EBD，所，所AD=ED,AE=2AD,2AE 12,1 AD 6例：如图，在例：如图，在ABC中，延长中，延长BC到到D，使，使BC=CD，取，取AB的中点的中点F，连结，连结FD交交AC于于点点E，求，求AE:AC的值。的值。见中点作平行，用相似见双中点，找它们所在三角形见双中点，找它们所在三角形