利用导数证明不等式课件.pptx

1、利用导数证明不等式利用导数证明不等式v(1) 函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式利用导数式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式利用导数得出函数单调性来证明不等式。得出函数单调性来证明不等式。 v 我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导

2、数证明该函数的单调性证明该函数的单调性,然后再用：然后再用：方法：方法：直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。大，函数值越大（小），来证明不等式成立。例1、证明：当x0时，xln(1+x)01111)(,0 xxxxfx时当解：设f(x)=x-ln(1+x).即xln(1+x).所以f(x)在x0上单调递增，从而当x0时，有f(x) f(0)=0即f(x) 0例2:当x1时,证明不等式:.132xx 证:设 ,

3、132)(xxxf ).11 (111)(2xxxxxxf 显然,当x1时, ,故f(x)是（1,+)上的增函数.0)( xf所以当x1时,f(x)f(1)=0,即当x1时, f(x)0.132xx 例3已知：x0，求证：xsinx证明设f(x)xsinx(x0) f(x)1cosx0对x(0，)恒成立 函数f(x)xsinx在(0，)上是单调增函数 f(x) f(0)0 f(x)0即xsinx0对x(0，)恒成立 即：xsinx(x0)有时把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。 v方法方法2：利用导数求出函数的最值（或值域）：利用导数求出函数的最值（

4、或值域）后，再证明不等式。后，再证明不等式。v 导数的另一个作用是求函数的最值导数的另一个作用是求函数的最值. 因而因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。等式问题转化为函数求最值问题。 1 , 0,21xxxf 1 , 0,2xxxxf证明：设0, 1042xxx求证：已知例 列表得：得令210 x

5、xf x 0 (0,0.5) 0.5(0.5，1) 1 + f(x)f(0)单调递增极大值f(0.5)单调递减 f(1)(xf 01,4121,00fff 0100002xxxxffxf时即当xexx105时、证明例 列表得：得令证明：设00101xxfexfxxexfxxx0 +f(x)单调递减f(0)单调递增)(xf0，0 10000, 00000 xexxffxfxfxfxxxx时，即当取最小值时，取极小值且为唯一极值时，当xexxxln, 06求证已知例 xxfxffxfxxfxxfxxfxxxfxxxxfxxxfln0011110101010111ln即取最大值时极值，即取极大值，且

6、为唯一时，时，当时，当得由证明：设 000001010 xexgxgxxgxgexexgxexxgxxxx时为减函数在即设xexxxln0时综上例7、求证22) 1(2) 1(1xxxx32)1 (321) 1(211lnxxxx)0() 1(321) 1(211ln)(32xxxxxxf证明：设)1( 211)1(2xxx22) 1( 2) 1(11)(xxxxxf)1(21)1(22xxxx)12() 1(22xxx2321) 1(xxx在x=1附近 由负到正)(xf令 =0,解得x=1,)(xf当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值所以当x0时，f(x) f(1)=032)1 (321) 1(211lnxxxx从而小小 结结:求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值); 将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下