大物复习刚体习题课课件.pptx

1、第六章第六章 刚体力学刚体力学习题课习题课 1 .描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式角位置角位置 tdd 角运动方程角运动方程 = (t)角位移角位移 角速度角速度22ddddtt 角加速度角加速度 rs角量与线量的关系角量与线量的关系 rv rat 2 ran 内容提要内容提要 2 .力矩和转动惯量力矩和转动惯量(1)力矩力矩2021tt 匀角加速转动公式匀角加速转动公式 = 0 + t 2 = 0 2 +2 FrM (2)转动惯量转动惯量 2iirmJ mr d2组合体的转动惯量组合体的转动惯量 iJJ平行轴定理平行轴定理正交轴定理正交轴定理yxzJJ

2、J 2mdJJc 3 .刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律dtdJJM 4. 力矩的功力矩的功 21d ZMA转动动能转动动能 iiiKvmE)21(2221 J刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理KZEJJMA 21222121d21 机械能守恒定律机械能守恒定律:只有保守力做功时：只有保守力做功时：常量常量 kpEE5. 角动量和冲量矩角动量和冲量矩 JLZ 刚体的角动量刚体的角动量tMZ 21ttdtMZtLMZZdd 恒力矩的冲量恒力矩的冲量变力矩的冲量变力矩的冲量6. 角动量定理和角动量守恒定律角动量定理和角动量守恒定律角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律:当合外力

3、矩为零或远小于内力矩时当合外力矩为零或远小于内力矩时1221d JJtMttZ 常量常量 ZJ 7 .质点直线运动和刚体的定轴转动物理量对比质点直线运动和刚体的定轴转动物理量对比 21d ZMA 质点直线运动质点直线运动 刚体的定轴转动刚体的定轴转动tdd 位移位移 x速度速度22ddddtxtva 加速度加速度 xFAd功功 角位移角位移 角速度角速度txvdd 22ddddtt 角加速度角加速度质量质量 m 2iirmJ 转动惯量转动惯量功功动能动能221mvEK 转动动能转动动能221 JEK mv动量动量 J角动量角动量FvP 功率功率 MP 角功率角功率 1 .当两个力作用在一个有固

4、定转轴的刚体上当两个力作用在一个有固定转轴的刚体上,下列说法下列说法正确吗正确吗? (1)这两个力都平行于轴作用时这两个力都平行于轴作用时它们对轴的合力矩一定为零它们对轴的合力矩一定为零; (2)这两个力都垂直于轴作用时这两个力都垂直于轴作用时它们对轴的合力矩可能为零它们对轴的合力矩可能为零;(4)这两个力对轴的合力矩为零时这两个力对轴的合力矩为零时,它们的矢量和一定为零它们的矢量和一定为零;(3)这两个力矢量和为零时这两个力矢量和为零时,它们它们对轴的合力矩一定为零对轴的合力矩一定为零; (正确正确) (正确正确) (不正确不正确) (不正确不正确)练习题 2. 一水平均质圆盘可绕垂直于盘面

5、且通过盘心的中一水平均质圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴转动心轴转动, 盘上站着一个人盘上站着一个人, 开始开始时时人人和和盘盘整个系统处整个系统处于静止状态于静止状态.当人在盘上任意走动时当人在盘上任意走动时, 忽略轴的摩擦忽略轴的摩擦, 对对该系统下列各物理量是否守恒该系统下列各物理量是否守恒?原因何在原因何在?(1)系统的动量系统的动量;(2)系统的机械能系统的机械能;(3)系统对轴的角动量系统对轴的角动量. (不守恒不守恒) (不守恒不守恒) (守恒守恒) 3. 一圆盘可绕垂直于盘面一圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴且通过盘心的中心轴OO以以角速度角速度 沿顺时针方向沿顺时针方

6、向转动转动. (1) 在同一水平直线以相在同一水平直线以相反方向同时射入两颗质量反方向同时射入两颗质量相同相同,速率相等的子弹速率相等的子弹,并并留在盘中留在盘中,盘的角速度如何盘的角速度如何变化变化?vv OO (2)两大小相等两大小相等,方向相反但方向相反但不在同一直线上的力沿盘面不在同一直线上的力沿盘面同时作用在盘上同时作用在盘上,盘的角速度盘的角速度如何变化如何变化?盘的角速度增大盘的角速度增大,因为转盘受到同向的力矩因为转盘受到同向的力矩盘的角速度减小盘的角速度减小,因为角因为角动量动量L=J 不变不变,但转动惯但转动惯量量J加大了加大了.vv OO 1010A 2020O O1 1

7、O O2 2R1 1R2 2B 1 1A 2 2O O1 1O O2 2R1 1R2 2B4. 质量分别为质量分别为M1、M2, R1、R2的两个均匀圆柱体可分别的两个均匀圆柱体可分别绕它们本身的轴转动绕它们本身的轴转动,二轴平行二轴平行.开始时它们分别以角速开始时它们分别以角速度度 1010 、 20 20 匀速转动匀速转动, 然后平移两轴使他们的边缘互相然后平移两轴使他们的边缘互相接触接触.试分析在此过程中以两圆柱为系统试分析在此过程中以两圆柱为系统,对对O1或或O2的角的角动量是否守恒动量是否守恒?如何求解当两圆柱的接触点无相对滑动如何求解当两圆柱的接触点无相对滑动时时,它们的角速度它们

8、的角速度 1 1和和 2 2 ? 在此过程中以两圆柱为系统在此过程中以两圆柱为系统,对对O1或或O2的角动量不守的角动量不守恒恒. 因为轴因为轴1上的力对轴上的力对轴 2力矩不为零力矩不为零;反之亦然反之亦然. 求解它们的角速度求解它们的角速度 1 1和和 2 2 方法如下方法如下: 两滑轮边缘线速度相同两滑轮边缘线速度相同,所以所以2211RR )(21d1012111 RMtFR 设两滑轮边缘相互作用力为大小设两滑轮边缘相互作用力为大小F,根据角动量定理根据角动量定理)(21d2022222 RMtFR 求解上述方程可得求解上述方程可得 1 1和和 2 2 . 1 1A 2 2O O1 1

9、O O2 2R1 1R2 2B 5. 两个质量均为两个质量均为m，半径均为半径均为R的球，一个空心，一的球，一个空心，一个实心。从粗糙的斜面上同时由静止无滑的滚下。问个实心。从粗糙的斜面上同时由静止无滑的滚下。问是否同时到底端，那个先到？摩擦力是否做功？是否同时到底端，那个先到？摩擦力是否做功？解：定量计算那个球先到底端，因为无滑动，解：定量计算那个球先到底端，因为无滑动，所以摩擦力不做功，机械能守恒。所以摩擦力不做功，机械能守恒。动能：动能：空心球：空心球：实心球：实心球：mghvRJmJmv 2222212121)( ghvmRJ56,322121 ghvmRJ710,522221 h结论

10、结论 实心球先到。实心球先到。刚体的平面运动刚体的平面运动, ,可看作是质心的平动加上刚体对可看作是质心的平动加上刚体对通过质心且垂直于运动平面的轴的转动。通过质心且垂直于运动平面的轴的转动。tvmmaFccdd 外外tLMccdd ccJM刚体的转动动能为刚体的转动动能为: : 2/2/22 cckJmvE利用以上四式可求解刚体的平面运动问题。利用以上四式可求解刚体的平面运动问题。 M.cv &刚体刚体的平面运动的平面运动一个圆柱体和一个圆环同时从有摩擦的斜面上无滑一个圆柱体和一个圆环同时从有摩擦的斜面上无滑动地滚下来。两者由不同的材料组成，质量相同，动地滚下来。两者由不同的材料组成，质量相

11、同，半径相同（并设质量分布都是均匀的）半径相同（并设质量分布都是均匀的） 。哪一个会。哪一个会先到达底端？先到达底端？圆柱圆柱圆环圆环A. 圆柱体圆柱体B. 圆环圆环C. 两者同时到达底端两者同时到达底端D. 信息不足，无法判断信息不足，无法判断#1a0302018aA两个质量和尺寸都不相同的圆柱体两个质量和尺寸都不相同的圆柱体(（并设质量分布都（并设质量分布都是均匀的）是均匀的）)从有摩擦的斜面顶端同时滚动下来。哪一从有摩擦的斜面顶端同时滚动下来。哪一个会先到达底端？个会先到达底端？A. 大圆柱体大圆柱体B. 小圆柱体小圆柱体C. 二者同时到达底端二者同时到达底端D. 信息不足，无法判断信息

12、不足，无法判断#1a0302018bCx:平动平动y:CmaFmg sin0cos gmFN转动转动 221mRRF 纯滚动纯滚动CaR 约束方程约束方程例：一质量为例：一质量为M，半径为，半径为R的均匀圆柱体沿倾角为的均匀圆柱体沿倾角为 的粗糙斜面的粗糙斜面无滑无滑滚下滚下.求静摩擦力，质心加速度以及求静摩擦力，质心加速度以及保证圆柱体做无滑滚动所需要的条件保证圆柱体做无滑滚动所需要的条件. mgFNF xcmaF 外外 ccJM四个方程联立解：四个方程联立解： mgFNF x sin31mgF tan31 cosmgF 静静摩擦力摩擦力 sin32gaC要保证圆柱体做无滑滚动，所需的静摩擦

13、力不能大要保证圆柱体做无滑滚动，所需的静摩擦力不能大于最大静摩擦力于最大静摩擦力:保证圆柱体做无滑滚动所需要的条件保证圆柱体做无滑滚动所需要的条件: 6. 如图所示，长为如图所示，长为L的均匀直棒，质量的均匀直棒，质量M，上端用上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹m，一水平一水平速度速度v0射入杆的悬点下距离为射入杆的悬点下距离为d处而不复出。处而不复出。问：（问：（1）一子弹和杆为系统，动量是否守恒？）一子弹和杆为系统，动量是否守恒？ （2）作用力是水平还是竖直？）作用力是水平还是竖直？ （3）此力可能为零吗）此力可能为零吗? (4) 子弹射入过程什

14、么量守恒子弹射入过程什么量守恒?（2）都有）都有（3）由于击中点位置不同，水平分）由于击中点位置不同，水平分力有可能为零力有可能为零（4）对轴的角动量守恒。）对轴的角动量守恒。mv0M.lO(1) 轴承力是外力，外力不为零，系统动量轴承力是外力，外力不为零，系统动量不守恒不守恒！ )31(220mlMlmlvlvmMmlv)(0 lvMmm033 计算题计算题1 如图所示，长为如图所示，长为L的均匀直棒，质量的均匀直棒，质量M，上端用光上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹m，一水平速一水平速度度v0从杆的中点穿过，穿出速度为从杆的中点穿过，穿出速度为v。

15、（。（1）杆开始转杆开始转动时的角速度（动时的角速度（2）杆的最大摆角）杆的最大摆角解解（1）杆和子弹为研究对象，角动量守恒）杆和子弹为研究对象，角动量守恒210lmvL JlmvL 22Om0v231MlJ )(vvMlm 023 （2）转动动能定理）转动动能定理2210 JdMAG )(力矩的功：力矩的功： 0122)cos(sinlMgdlMg所以将所以将J , 代入：代入： 20221431)(cosvvlgMm 另外，机械能守恒另外，机械能守恒：)cos( 12212lMgMghJ讨论讨论)cos1 (22210lMgMVMVmvmv:如图如图,已知已知A: m, l, 质量均匀质量

16、均匀,开始时水平静止开始时水平静止B : m , , A竖直时被竖直时被碰碰,然后滑行距离然后滑行距离s.试试求求 :碰后碰后A的质心可达高度的质心可达高度 h.A由水平下摆至垂直由水平下摆至垂直, ,机械能守恒机械能守恒. .以地面为零势点以地面为零势点mglJmgl212121 A与与B碰撞对碰撞对O点点角动量角动量守恒守恒.21mvlJJ B向右滑动向右滑动, ,根据根据动能定理动能定理gsmmv 221A向上摆动向上摆动机械能机械能守恒守恒mghJlmg 222121 可解得可解得2)61(2121lsllh 思考思考:几个过程几个过程,各有何特点各有何特点?mOABlmo:大圆盘大圆

17、盘M,R. 人人m.二者最初都相对地面静止二者最初都相对地面静止.当人沿当人沿盘边缘行走一周时盘边缘行走一周时,求盘对地面转过的角度求盘对地面转过的角度?解解: : 盘盘+ +人人 系统系统对竖直轴的外力矩对竖直轴的外力矩=0=0系统对轴的系统对轴的角动量守恒角动量守恒. .2221MRJmRJ 与与 分别表示人和盘对地面发生的角位移分别表示人和盘对地面发生的角位移tdd tdd tMRtmRdd21dd22 tMRtmRdd21dd2020 Mm21 人在盘上走一周时人在盘上走一周时 2 222 Mmm 这是一道角动量守恒这是一道角动量守恒+ +相对运动的题型，请大家注相对运动的题型，请大家

18、注意方法，并与动量守恒意方法，并与动量守恒+ +相对运动题型的比较。相对运动题型的比较。解解: :杆与球的系统对轴的杆与球的系统对轴的角动量守恒角动量守恒mv 0o vl,m: : 杆杆( (m m, ,l l ) )与球与球( (mm, ,v v0 0) )弹性碰撞弹性碰撞求碰后的球速度和杆的角速度求碰后的球速度和杆的角速度 2012122mllvmlvm 弹性碰撞弹性碰撞机械能守恒机械能守恒22220121212121 mlvmvm 转动动能转动动能解上二式解上二式lmmvm)3(120 033vmmmmv 2.如图如图,两均质圆盘两均质圆盘 A和和B , m ,R.;20 JJA与与B盘

19、在一起转动时受空气摩擦盘在一起转动时受空气摩擦阻阻力矩力矩作用作用. .单位面积上的摩擦力单位面积上的摩擦力fr=kv，求求A,B粘在一起后能转多少粘在一起后能转多少圈？圈？将盘面分为半径为将盘面分为半径为r,宽为宽为dr的圆环带的圆环带. . 则则: frMd2d M( (变力矩变力矩) )圆盘圆盘A以初角速度以初角速度 0 0 落在落在B 上上, RrKr03d4 4RK srKvd2rrrKrd22 021 解解: A下落与下落与B粘合粘合, ,以以A和和B为系统对为系统对定轴的角动量守恒定轴的角动量守恒. . 0 0RORBAO由转动定律由转动定律 JM2 002ddRKm转过的圈数转

20、过的圈数22042RKmN dddd2tmR dd2mR4RKM 2RKm202 RKm3. 如图如图: :空心环空心环B: :R, ,初角速度初角速度 0 0 , ,对轴转动惯量为对轴转动惯量为J0 . . 0 0bORBAOac小球小球 A: :质量为质量为m .求求: :小球小球A无摩擦滑到无摩擦滑到b, c点时的速率点时的速率 .（1 1）小球和环系统运动过程中所受相对于）小球和环系统运动过程中所受相对于轴的合外力矩为零，故轴的合外力矩为零，故角动量守恒角动量守恒。（2 2）地球、小球和环）地球、小球和环系统机械能守恒系统机械能守恒。bmRJJ )(2000 环心为环心为势能零点势能零

21、点ab: mgRJ20021 )(222202121bbbRvmJ ac:mgRmvJmgRJc 2200200212121 可解出可解出;)2(21202200mRJRJgRvb gRvc2 解解: :小球下落过程小球下落过程, ,球与环组成的系统对轴球与环组成的系统对轴OOOO角动量守恒角动量守恒a b:bmRJJ )(2000 a c:,000cJJ 2000mRJJb 小球小球A在在b点的速率为点的速率为;222bbRv c点的速率为点的速率为.cv下滑过程中下滑过程中, ,小球小球, ,环环, ,地球为系统地球为系统机械能守恒机械能守恒. . mgRJ20021 mgRmvJmgRJ

22、c 2200200212121 可解出可解出;)2(21202200mRJRJgRvb ab:ac:gRvc2 0 c)(212122220bbbRvmJ环心为环心为势能零点势能零点（3 3）小球在）小球在B B点对地的速度可分解为竖直点对地的速度可分解为竖直和水平方向，和水平方向，小球相对于环的速度小球相对于环的速度竖直竖直水平水平 vRv 一长为一长为L，质量为质量为m的匀质杆竖直立在地面，下端点的匀质杆竖直立在地面，下端点由一水平轴由一水平轴O固定固定.在微扰动作用下以在微扰动作用下以O为轴倒下为轴倒下:当杆与竖址方向成当杆与竖址方向成 角时，对轴的角速度角时，对轴的角速度 = ？解：解

23、：先求在任意角先求在任意角 时杆对时杆对O点的力矩点的力矩(重力矩重力矩)质量元：质量元：xLmmdd gmG dd对轴的力矩元：对轴的力矩元： sind)sin(ddxgLmxGxM sin21dsin0mgLxxgLmML .Lcodmx Gd M是变力矩且与质量集中在质心是变力矩且与质量集中在质心 c 对轴的力矩相同对轴的力矩相同由由 sin23lgJM (变角加速度变角加速度) dddddddd tt 00dsin23dlg)cos1(3 Lg进而可由进而可由 00)(ddtt积分求出积分求出)(t 解：解：先求在任意角先求在任意角 时杆对点的力矩时杆对点的力矩( (重力矩重力矩) )

24、质量元：质量元：xLmmdd gmG dd对轴的力矩元：对轴的力矩元： sind)sin(ddxgLmxGxM LxxgLmM0dsin 由转动动能定理由转动动能定理 KEMd 021dsin21220 JmgL.Lcodmx Gd sin21mgL 又解又解cpmghE Lco hc)cos1(21 mgLhc021cos1(212 JmgL） hcL/2L/2填空题填空题1.1.刚体对轴的转动惯量取决于刚体的刚体对轴的转动惯量取决于刚体的，和和。2.2.一个质量为一个质量为M M，半径为半径为R R的圆盘，可绕通过中心垂的圆盘，可绕通过中心垂直与盘面的光滑轴转动，原来处于静止。现有一质直与

25、盘面的光滑轴转动，原来处于静止。现有一质量为量为m m，速度为速度为v v的子弹，沿圆周切线方向射入圆盘的子弹，沿圆周切线方向射入圆盘边缘。那么，子弹嵌入圆盘后，圆盘与子弹一起转边缘。那么，子弹嵌入圆盘后，圆盘与子弹一起转动动 的角速度的角速度 = =。圆盘与子弹系统损失的机械能。圆盘与子弹系统损失的机械能为为。3. 3. 一刚体以一刚体以6060r/minr/min绕绕z z轴做匀速转动。轴做匀速转动。以轴上任意点为坐标原点，某时刻刚体以轴上任意点为坐标原点，某时刻刚体上上P P点的位矢为点的位矢为kjir243则该点的速度为则该点的速度为。由由 ， 与与 的方向相同。的方向相同。tLMdd

26、 MLdMLdLLLd 旋进现象旋进现象外力矩不为零情况外力矩不为零情况飞轮不下落，而是其自旋飞轮不下落，而是其自旋轴绕竿顶在水平面内转动轴绕竿顶在水平面内转动五五 刚体定点运动刚体定点运动 进动进动 进动现象是自旋物体在外力矩进动现象是自旋物体在外力矩作用下沿外力矩方向改变其角动量作用下沿外力矩方向改变其角动量矢量的结果矢量的结果旋进实例旋进实例: :陀螺的进动陀螺的进动 sinLM 枪炮膛线枪炮膛线进动是刚体定点转动的一种特例：外力矩进动是刚体定点转动的一种特例：外力矩与角动量垂直，外力矩只改变角动量的与角动量垂直，外力矩只改变角动量的 向而不改变它的大小。向而不改变它的大小。作业：作业：6.7；6.9；6.10；6.12；6.15 作业：作业： 习题册：习题册：P20-3 4 6 7 9