（文数-参考答案）南宁市2022届高中毕业班第二次适应性测试.doc

1、南宁市 2022 届高中毕业班第二次适应性测试数 学（文科）参考答案1. 设集合 A =x N | 0 x 9, B =-1, 2,3, 6,9,10,则 A （ ）A. 1, 4,5, 7,8 B.0,1, 4, 5, 7,8 C. D.2, 3, 6, 9【答案】D【解析】依题意 A =0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9, B =-1, 2, 3, 6, 9,10，所以 A 2, 3, 6, 9，故选 D .2. 已知i 是虚数单位，若zz1 =1+ 2i, z2 = -1+i,则复数 1z2在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答

2、案】D【解析】依题意z1z21+ 2i 1 3= = -i -1 2 2i,复数z1z21 3( ,- ) ，故选 D.对应的点是2 23. 若a 是钝角且sin 1 a = ，则 tana = （ ）3A.2- B.4242C. - D.222【答案】A 【解析】因为a 是钝角，所以 cosa = - 1- sin2 a2 1 2 2= - 1- = - 3 3.tana则= sin = 2a- .cosa44先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（ ）1 3A5B12C49D12【答案】B【解析】不妨用(x, y)表示两次投掷的基本事

3、件，其中 x 代表第一次投掷的点数， y 代表第二次投掷的点数.故所有投掷的结果所包含的基本事件有：(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(1, 5),(1, 6)，(2,1),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(2, 5),(2, 6)，(6,1),(6, 2),(6, 3),(6, 4),(6, 5),(6, 6)共 36 种，其中满足第一次点数大于第二次点数基本事件(2,1),(3,1),(3, 2),(4,1),(4, 2),(4,3), (5,1),(5, 2),数学（文科）参考答案第 1 页 （共 15 页）(5,3),(5, 4),(6,1),(6, 2

4、),(6,3),(6, 4),(6,5)共 15 种.所以第一次点数大于第二次点数的概率15 5P = = .故选 B.36 125. 若正四棱锥 P - ABCD的所有棱长均相等， E 为 PD 中点，则异面直线 PB 与CE 所成角的余弦值为（ ）A63B.66C.55D.33【答案】D【解析】如图，连接 AC ， BD ，交于点O，则O为 BD 中点.又 E 为 PD 中点所以OE / /PB .因此CEO或其补角为所求角.3设正四棱锥棱长为 2，则OE =1，OC = 2 ，CE = 3 ，所以 = ，故选 D.cos CEO36.孙子算经一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十

5、颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其大意为“有5个人分 60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的己知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子个数为（ ）A.15 B.16 C.18 D. 2154【答案】C【解析】设第一个人分得橘子最少的人分到的橘子个数为 a ，则 S 5a 3= + = 60. 1 5 12解得 a 6, 5 = a + (5-1)3 = 6 +12 =181 =a 故分得橘子最多的人所得的橘子个数是181a-b7. 设 a,bR ，则“a 1”的（ ） 3 A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件x

6、a-b 01 1 1 = 【答案】A 【解析】 ( ) 在 R 上递减.若a b ，则a -b 1 1 1 ，故a -b 0，故a b .故必要性成立，即“a 1 若 1，则 ”的充 3 3 3 3 要条件，故选 C.8已知圆 2 2 2 :( 1) 1O x + + y = ，圆 2 21 :( 3) 1 O x - + y = ，过动点 P 分别作圆O 、圆 O 的切线1 2PA, PB （ A, B 为切点），使得| PA|= 2 | PB |，则动点 P 的轨迹方程为（ ）数学（文科）参考答案第 2 页 （共 15 页）Ax + y = B2 2(x -5) + y = 33 C2 2

7、19 5x23- y2 =1 D x2 = 4y【答案】B【解析】由| PA|= 2 | PB |得| PA|2 = 2 | PB |2 .因为两圆的半径均为 1，则( )PO - = PO - ，则 (x + 3)2 + y2 -1= 2(x -1)2 + y2 -1 即2 21 1 2 2 1 (x -5)2 + y2 = 33.所以点 P 的轨迹方程为(x -5)2 + y2 = 33.9. 执行如图所示的程序框图，若输出的 S 是 30，则判断框内的条件可以是（ ） A n10 B n 10 C n 6 D n 8【答案】A 【解析】 由程序框图，其执行结果如下: (1) S = 0,

8、n = 0: n = 2,S = 2 ，执行循环体；(2) S = 2,n = 2 : n = 4,S = 6，执行循环体；(3) S = 6,n = 4：n = S = ，执行循环体；(4) S =12,n = 6： n = 8,S = 20 ，执行循环体；6, 12(5) S = 20,n = 8 ： n =10,S = 30 ，跳出循环体，输出 S = 30 ；则框内条件应为 n10 .x y2 210已知 F 是椭圆 E ： ( )2 + 2 =1 a b 0 的左焦点，经过原点O的直线l 与椭圆 E 交于 P ，Q 两a b点，若 PF = 5 QF 且PFQ =120 ，则椭圆 E

9、 的离心率为（ ）A 76B1 3C 216D 215【答案】C【解析】设椭圆右焦点 F，连接 PF，QF，根据椭圆对称性可知四边形 PFFQ 为平行四边形，则 QF = PF .因为PFQ =120 ，可得 = .所以 PF + PF = 6 PF = 2a ，则 PF = 1 a ， 5FPF PF = a .由余弦定603 3理可得(2c) = PF + PF - 2 PF PF cos 60 ( ) = + - 即2 2 2 PF PF 2 3 PF PF2 2 5 2 7 24c = 4a - a = a ，故椭圆的离心率e3 3c 7 212= = = ，故选 Ca 12 6211

10、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0 ，则经过一定tT -T = T -T1( )时间t 后的温度T 将满足 ，其中Ta 是环境温度， h 称为半衰期.现有一杯ha 0 a 2 85 C 的热茶，放置在 25 C 的房间中，如果热茶降温到55 C ，需要 分钟，则欲降温到 45 C ，数学（文科）参考答案第 3 页 （共 15 页）大约需要多少分钟？（ ） (lg 2 0.3010, lg 3 0.4771)A. 12 B. 14 C. 16 D. 18【答案】C【解析】依题意可令 ， ， ， ，代入式子得：，解得 .又把 代入式子得 ，则 ， 故选 Cf

11、x = x x - x + cos 2 sin12. 已知函数 ( ) , x0,p )，则函数 f (x)的最大值是（ ） 4 A. - cos1 B. - sin1 C. -1 D. - 2【答案】B【解析】依题意函数 ( ) ， f (x)= cos x - xsin x -cos 2 sin 4 2 cos( ) (1 ) sinx + = - x x ，则函数 f (x)在 (0,1) 上递增，在(1,) 上递减.因此在0,p )上，4f (x) = f ( )= - .故选 Bmax 1 sin113. 已知向量 a = (1，2) ，b = ( 2，- 2) ，c = (1,l)

12、 ，若 c 0 ，则实数l =_【答案】12【解析】易得 a - 2b = (-3, 6).因为 c 0 所以 -31+6l = 0解得 1 = .2p14若函数 f (x) = 3 cos 2wx +(sinwx -coswx)2 , (w 0）的最小正周期为2w =_.，则正实数【答案】 2 【解析】 f (x)= wx + wx + wx - wx wx = 3 cos 2wx +2 23 cos 2 sin cos 2 sin cosp 2 pp = 1-sin 2wx 2 cos 2wx 1= + + T = 解得w = 2.故答案为:2，所以 2 2w 6 115. 已知数列 n

13、aa 的前 n 项和为 Sn ，满足 S = 1 - 2 ， a2 =12 .则 =S . nn+ 42a 1 1【答案】160【解析】因为 Sn a 2 ,当 n 2 时， n 1 = a - 2= n1 - S 两式相减化简得： +1 = 3.n+ - na 2 2n1 4(1-34 )当 n =1时 S1 = a - 2 ， a2 =12 ，解得 a1 = 4.则 S4 = =160.2 1-3216. 已知圆台的上、下底面半径分别为 1 和 2，母线长为 2， AB 是下底圆面直径，若点C 是下底面圆周上的动点，点 D 是上底面内的动点，则四面体C - ABD的体积最大值为 .数学（文

14、科）参考答案第 4 页 （共 15 页）【答案】4 33【解析】由题意得圆台高为 3 ，所以动点 D 到圆面O 的距离为定值 3 ，11 1因为动点C 到 AB 的最大距离为 2, 则V - =V - = ABh C ABD D ABC AB3 23 1 1 4 3 42 3 = . 3 2 317.（本小题满分 12 分）在 sin(A C) cos A b 3a+ = ；b(2 - 3 cos A) = asin B ；从中选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题. 已知ABC 中内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c. 若 . (1)求内角 A 的大小；(2) 设 a =

15、 4 ， b = 4 3 ,求ABC 的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【说明】若考生选择两种或者3种条件依次作答的按照第一个选择条件判定分数考生若不写清楚选择条件但是写了具体三个条件中的一个具体等式，请正常阅卷判分。解:（1）若选由正弦定理a b c= = 及 sin(A C) cos A+ = 1分sin A sin B sinCb 3a【说明】写出正弦定理正确形式，判 1分正弦定理形式错误 0分得 sin( + ) = 1分 sin B 3 sin AA C cos A【说明】直接得到边角互化的正确等式判 1分，边角互化的其他错误结论判 0 分 则 sin B co

16、s A= .1 分(3 分)sin B 3 sin A【说明】写清楚sin(A+ C) = sin B 判 1 分，边角互化的其他错误结论判 0 分得tan A=sin A 3= . 2 分cos A 3sin A 3 3【说明】写清楚tan A= = ，tan A= 判 2 分， tan A= 3 或者其他错误结论判 0 分cos A 3 3因为 A(0,) ,所以 A = . .1 分(6分)6【说明】结论正确得到A = ，判结论分 1 分，6 结论正确得到A = 等其他错误答案判结论分 1 分.3若选由b(2 - 3 cos A) = asin B 得 2b = asin B + 3bc

17、os A .a b c由正弦定理= = .1 分sin A sin B sinC 【说明】写出正弦定理正确形式，判 1分不写b(2 - 3 cos A) = asin B 得 2b = asin B + 3bcos A ，只写正弦定理判1分。数学（文科）参考答案第 5 页 （共 15 页）得 2sin B = sin Asin B + 3 sin Bcos A . 1 分【说明】边角互化得到 2sin B = sin Asin B + 3 sin Bcos A . 判 1分边角互化错误判 0分因为sin B 0 所以sin A + 3 cos A = 2 . 1 分(3 分)【说明】不写清楚，

18、 sin B 0 或者 sin B 0 ，只要化简得到 sin A + 3 cos A = 2 ，判 1分化简得不到 sin A + 3 cos A = 2 或者等价形式判 0分 + =即 sin A 1. 2 分 3 + = + = 【说明】能体现辅助角公式得到 sin A 1，判 2分 ；得其他形式例如sin A 1或者其 3 6 他错误结论判 0 分。因为 0 A p ,所以 A + = 得 A = . . 1 分(6 分)3 2 6【说明】 书写规范：因为 0 A p ,所以 A + = 得 A = .判 1 分；不写因为 0 A p ,所以3 2 6A + = 直接下结论得到 A =

19、 .判 1分；只写 A = .判 1分3 2 6 6（2）由 a = 4 ， b = 4 3 及正弦定理b a= 且sin B sin AA= p ,得 4 3 4 = p ,得 4 3 4p6 Bsin sin6. 1 分【说明】第二问只写对正弦定理公式不带入具体数据，判 0 分；直接带入数据得到正确表达式4 3 4=psin sinB6，判 1分化简得sin3B = . . 1 分2B = ，判 1分；化简得到其他非 sin 33【说明】化简得到 sin B = 的正确等价形式判 0分2 2= p 或 2Bp因为 0 B p 则 B = .1分(9分)3 3【说明】 不写因为 0 B p

20、，写对了B= 或 2p pB = ，判 1分3 3只写B= p 或 2p B = 其中一个判 0分.= p 或 2p3 3若Bp= 则C3= .则 1 sinpSD = ab C .1 分ABC2 2= 8 3 .1 分若B2p= 则C3= .则 1 sin 4 3pSD = ab C = .ABC6 2所以 DABC 的面积为8 3 或 4 3 . 1 分(12 分)数学（文科）参考答案第 6 页 （共 15 页）【说明】写对了三角形面积公式1SD = ab C 判 1 分；分类讨论后能得到两个正确答案并作答sinABC2正确判 3分分类讨论过程正确，结论正确，未作答 DABC 面积为8 3

21、 或 4 3 .扣结论分 1分，判 2分。18（. 本小题满分 12 分）我国是一个水资源严重缺乏的国家， 2021 年全国约有 60%的城市供水不足，严重缺水的城市高达 16.4%. 某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民节约用水，即确定一户居民月均用水量标准 x(单位：t)，用水量 不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费. 现通 过简单随机抽样获得了 100 户居民用户的月均用水量数据(单 位：t)，并将数据按照0，4)，4，8)，16，20)分成 5 组，制成了如下频率分布直方图.（1）设该市共有 20 万户居民用户，试估计全市居民用户 月均用水量

22、不高于 12(t)的用户数；（2）若该市政府希望使 85%的居民用户月均用水量不超 过标准 x (t)，试估计 x 的值（精确到 0.01）；（3）假设该市最终确定三级阶梯价制如下： 级差 水量基数 x (单位：t) 水费价格 (元/t)第一阶梯 x 14 1.4第二阶梯 14 20 2.8小明家上个月需支付水费共 28 元，试求小明家上个月的用水量.解:（1）由频率分布直方图可得（a+0.06+0.11+ a +0.02）4 =1.1 分解得a = 0.03.1 分(2 分)【第1、2分说明】写清楚 （频率/组距）*组距 之和等于1或体现概率和为1的其他等价形式，结果正确判2分概率之和为1的

23、式子列正确，结果错误判1分。1- (0.02 + 0.06 + 0.11)4 =若以“ a = 0.03”形式书写：列式和结果都正确判2分；列式正确8 结果错判1分，列式错结果错判0分。居民用户月均用水量不超过 12 (t)的频率为（0.03+0.06+0.11）4 = 0.80 .1 分(3 分)所以估计全市 20 万居民用户中月均用水量不高于 12 (t)的用户数为：200.80 =16 （万）；.1 分(4 分)【第3、4分说明】第一个列式结果0.8正确，结果写了16 不写单位判2分若书写为：“（0.03+ 0.06 + 0.11）420 =16”结果正确判2分，列式对结果错判1分第一个

24、结果“0.8”正确，“16”的结果错判1分第一个结果“0.8”错误判0分（2）由频率分布直方图知居民用户月均用水量不超过12 (t)的频率为：0.80.月均用水量不超过 16 (t)的频率为 0.92. .1 分(5 分)【第5分说明】过程中只体现正确答案“0.92”或其正确的分式形式，不体现“0.8”判1分。过程中只体现正确答案“0.8”，不体现“0.92”判0分。则 85%的居民用户月均用水量不超过的标准 x （12,16）.1 分(6 分)故 0.80 + 0.03(x -12) = 0.85.1 分(7 分)【第6、7分说明】数学（文科）参考答案第 7 页 （共 15 页）过程中不说明

25、“ x(12,16) ”.直接列出“ 0.8+ 0.0（3 x -12) = 0.85”、“0.85 0.8- 12 + 0.85- 0.8 x =12 + ”、“ x = 4”等正确式子判2分。0.03 0.12过程中体现了“ x(12,16) ”，列式错误判1分。过程中不体现“ x(12,16) ”，列式错误判0分。解得 x 13.67 即 x 的值为 13.67 (t).1 分( 8 分)【第8分说明】答案不写单位不扣分。“13.67 (t)，13.67”以外的其他结果判0分。(3)因为 19.6=141.428141.4+(2014)2.132.2. .1 分( 9 分)【第9分说明】

26、过程中体现了“19.6”及“32.2”或正确的分式形式，判1分。只体现“19.6”或“32.2”的单边数据的判0分“19.6”、“32.2”两个数据都没有的判0分所以小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费. .1 分( 10 分)设小明家上个月的用水量为 m (t)，由 28=141.4+(m14)2.1.1 分( 11 分)【第10、11分说明】过程中不说明“在第二阶梯收费”.直接列出正确式子的判2分。过程中体现了“在第二阶梯收费”，但列式错误判1分。过程中不说明“在第二阶梯收费”，且列式错误判0分。得 m=18 (t). 所以小明家上个月的用水量为 18 (t). .1 分(12 分)【第1

27、2分说明】答案正确得小明家上个月的用水量为18 (t) ，18，判1分；结果错误，判0分。19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD是矩形， PA 平面 ABCD，且 AB =1， AD = 2 ， PA = 4 ， E 为 PD 的中点.(1)求证: PB / / 平面 ACE ；(2)求四棱锥 P - ABCD 的侧面积.解:(1)证明：连接 BD，交 AC 于点O，连接OE ， 1 分【说明：作图，给 1 分】因为底面 ABCD是矩形，所以O为 BD 中点. 1 分【说明：说出O为 BD中点，给 1 分】又 E 为 PD 中点，所以 PB / /O

28、E .2 分(4 分)【说明：能写出 PB / /OE 即可给这 2 分】又OE 平面 ACE ， PB 平面 ACE ，.1 分 所以 PB / / 平面 ACE .1 分(6 分) 【说明：如果没有写出 PB 平面 ACE ，扣 1 分；只缺OE 平面 ACE ，不扣分】数学（文科）参考答案第 8 页 （共 15 页）(2)因为 PA 底面 ABCD，所以 PA CB，又底面 ABCD是矩形， AB CB，且 PA ，所以 CB 平面 PAB .1分所以CB PB .同理，CD 平面 PAD .1分所以CD PD.所以侧面均为直角三角形. 1分(9分)【说明：只要考生能说清楚这几个侧面三角

29、形是直角三角形，有 过程（不一定完整）即可给这3分；如果不能全对，写对两个给1分，写对三个给2分】因为 AB =1， AD = 2 ， PA = 4 ,所以 PB = 17 .1分PD = 2 5 .1分【说明】这两条线段长求对1条给1分，如果考生没直接写出，但是在计算面积时用对了也不扣分。所以四棱锥 P - ABCD 侧面积S = SD + SD + SD + SDPAB PAD PBC PDC1 1 1 1= 14 + 24 + 2 17 + 12 5 = 6+ 17 + 5 1分(12分)2 2 2 2【说明：结论正确，给1分】【第（2）问另一写法】(2)因为 PA 底面 ABCD，所以

30、 PA CB，又底面 ABCD是矩形， AB CB，且 PA ，所以 CB 平面 PAB .1分所以CB PB .同理，CD 平面 PAD .1分所以CD PD.所以侧面均为直角三角形. 1分(9分)【说明】只要考生能写清楚这四个侧面三角形是直角三角形，有过程（不一定完整）即可给这3分；如果不能全对，写对两个给1分，写对三个给2分。 因为 AB =1， AD = 2 ， PA = 4 ,1SD = 14=2，所以PAB2 1SD ， 1分= 2 4=4 PAD 21SD = 2 17= 17 ，PBC2 1SD = 12 5= 5 ， 1分PCD2【说明】如果考生分别求4个侧面的面积，对两个或

31、三个给1分，对四个给2分。 所以四棱锥 P - ABCD 侧面积数学（文科）参考答案第 9 页 （共 15 页）S = SD + SD + SD + SD = 6+ 17 + 5 .1分(12分)PAB PAD PBC PDC【说明】结论正确，给1分。20.（本小题满分 12 分）已知函数f (x) = ln x + ax - (2a + b +1)x ，曲线 y = f (x) 在点(1, f (1)处2的切线斜率为 0.（1）求b 的值；（2）若函数 y = f (x) 的极大值为 -3，证明： e 2e a 0；当 x(1,+) 时 f (x) 0 故 f (x) 在 (0,1) 单调递

32、增在 (1,+)单调递减. .1 分【说明】单调区间和对应的单调性全对就得 1 分，没有写 a0不扣分.此时 f (x) 有唯一极大值 f (x) = f (1) = -a -1.极大值令 -a -1= -3，解得 a = 2与 a0矛盾，故舍去.1 分(6 分)【说明】这一分给在能利用函数的极大值说明矛盾.不一定要出现“ a = 2”. 1 10 a 1 当 x(0,1)时 f (x) 0； 若2 2a ,1 时 f (x) 0x2a 2a 1 1故 f (x) 在 (0,1) 上单调递增，在 ( ,+) 2a 2a(1, )上单调递减，在 上单调递增. .1 分10 a 不扣分. 【说明】

33、单调区间和对应的单调性全对就得 1 分，没有写2此处不能出现并集符号，如(0,1) 1 、“(0,1)或 2 a 1 1,2 a此时 f (x) 有唯一极大值 f (x) = f (1) = -a -1.极大值数学（文科）参考答案第 10 页 （共 15 页）令 -a -1= -3，解得 a = 2与01 a 矛盾，故舍去.1 分(8 分)2【说明】这一分给在能利用函数的极大值说明矛盾.不一定要出现“01 a ，则 0 0；若 ,当x (0, )2 2a 2a 1当x( ,1)时， f (x) 02a 1 1故 f (x) 在(0, ) ( ,1) 2a 2a上单调递增，在上单调递减，在 (1

34、,+)上单调递增.1 1 1此时 f (x) 有唯一极大值 f (x) = f ( ) = ln - -1.1 分(10 分)极大值2a 2a 4a1 1 1【说明】这一分给在能得到函数的极大值“ 极大值 ”f (x) = f ( ) = ln - -1 2a 2a 4a1 1 1 1令 ，化简得ln - -1= -3 ln - + 2 = 0.(*) .1 分(11 分) 2a 4a 2a 4a1 1【说明】这一分给在建立方程“ln - + 2 = 0 ”.2a 4a解法一：令x a .= 1 ，若 e 2e ，则 1 1 12a 2 4e 2a e x 1 1 2 - x 1 1记函数 g

35、 (x)= x - + x ， ( )= 0 在其定义域上恒成立，所以 g (x)在其定义域上单调递增，g = - + ， ，因为 ln 2 0 ln 2 0 4e 4e 8e e e 2e所以 g (x)在区间 1 , 1 1 = 使得方程 (*) 成立.x 内存在零点0 4e e 2a1 1 1 ,所以 e 2e 所以 a .1 分(12 分)4e 2a e 2【说明】这一 分给 判断 g (x)的单调性及判定两个端点函数值的符号正确.解法二：令x a = 1 ，若 e 2e ，则 1 1 12a 2 4e 2a ex 1 1 2 - x 1 1记函数 g (x)= x - + x ， (

36、 )= 0 在其定义域上恒成立，所以 g (x)在其定义域上单调递增，g = - + 1 1 1 1 1 1ln 2 0 ， ，ln 2 0 因为 9 9 18 e e 2e所以 g (x)在区间 1 , 1 1内存在零点x= 使得方程 (*) 成立 0 2a9 e1 1 1 1 所以 e 2e 所以 a 0) 的焦点为 F ，点 M 在C 上，MF = 2 ，若以MF为直径的圆过点 (1, 0) ，(1)求抛物线C 的方程；(2)过曲线C1 :x24+ y2 =1(y 0) 上一点 P 引抛物线的两条切线，切点分别为 A, B ，求 DOAB 的面积的取值范围(O为坐标原点).p解:（1）依题意得 F(0, ) .1 分2【说明】只要在解答过程中