2022年广州市普通高中毕业班综合测试（二）答案及评分标准 -评卷说明.doc

1、2022 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学试题参考答案及评分标准评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C B D

2、B C B D二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分9. BCD 10. AD 11. AC 12. ABD三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分13.12 14.y - x = 15. 9 16. 32 2124 6 12，5p说明: 第(14)题答案可以为:y x2 2- = ( )2 2 1 b2 5 .4b b四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (10分)解：若选条件.a = S = ，a + + a ，得a 0. 1 分1 1 1 0 1 1 由于n n n由a + = ( S + + S )，得 ( )n n

3、n n n n n1 2 1 S +1 - S = 2 S +1 + S ，2 分得( )( ) ( )S +1 + S S +1 - S = 2 S +1 + S ， 3 分n n n n n n因为S +1 + S 0，n n所以S +1 - S = 2. 4 分n n所以数列 S 是首项为nS = ，公差为2 的等差数列. 5 分1 1所以 S =1+ 2(n-1)= 2n-1.n1所以 ( )2S = 2n -1 . 6 分n当n 2时，a = S - S - = ( n - ) -( n - ) = n - ， 7 分2 2n n n1 2 1 2 3 8 8a1 =1不满足上式，由

4、于所以an1, n =1,= 8n -8, n 2.8 分a = ，2 8 1+ a = 2 ，满足a2 1+ a1 因为1当n 2时，a +1 - (1+ a ) = 7 0，满足n na +1 1+ a 缺验证扣1分9 分n n所以选择时问题中的数列 a 存在，此时an n1, n =1,= 8n -8, n 2.10 分若选条件由于a = S - + n(n )，得1 2 a2 = S1 + 2 = 3 . 1 分 n n当n 2 时，a = S - + n ，n n 1a +1 = S + n +1， 2 分n n两式相减得an+1 - an = Sn - Sn-1 +1 1= a +

5、 ， 3 分n得an+1 = 2an +1， 4 分得a + + = (a + )(n ). 5 分n n1 1 2 1 2由于 ( )a2 +1= 4 = 2 a1 +1 ， 6 分则数列 1a + 是首项为a1 +1= 2 ，公比为2 的等比数列. 7分na + = -1 ，即 2n 11 2 2n a = - . 8分 故n n因为 ( ) ( )a a n+1 n n+1 -(1+ ) = 2 -1 - 1+ 2 -1 = 2 -1 0 ， 缺验证扣1分9 分 n na +1 1+ a ，符合题意所以n n所以选择时问题中的数列 a 存在，此时a = 2n -1 10 分n n若选条件

6、a = S = . 1 分1 1 1a +1 = 2a + n -1，得a +1 + (n +1)= 2(a + n)， 3 分因为n n n na1 +1= 2 0 ，则 0a + n . 4 分 由于n2则a n1 1+ + ( + ) =na + nn2. 5 分所以 a + n 是首项为2 ，公比为2 的等比数列. 6 分n所以a + n = 2n ，即a = 2n - n 7 分n n因为 ( ) ( ) ( )a a + n n+1 - 1+ = 2n 1 - +1 - 1+ 2n - = 2n - 2 0 ， 8 分 n na +1 1+ a 缺验证扣1分9 分满足n n所以选择

7、时问题中的数列 a 存在，此时a = 2n - n 10 分n n18. （12分）（1）解：根据题意，这60 名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数为7+11 =18，1分成绩等级为合格或不合格的人数为42 . 2分则P(X =1)C C 1261 1= 18 42 = . 4分C 295260（2）解法1：从该校的学生中随机抽取3名，相当于进行了3次独立重复试验，设所抽取的3名学生中耐力跑成绩为优或良的人数为x ，则x 服从二项分布B(3, p)5分由题意得任取1名学生耐力跑成绩为优或良的频率为7 11+ = 0.3， 6分60将样本频率视为概率得 p = 0.37分根据二项分布的均值公

8、式得Ex = 3p = 0.9 有期望=3P给1分 9分根据题意得Y =100x ， 10分Y EY =100Ex = 90所以 的数学期望为 有第一个等式给1分12分解法2：从该校的学生中随机抽取3名，相当于进行了3次独立重复试验，设所抽取的3名学生中耐力跑成绩为优或良的人数为x ，则x 服从二项分布B(3, p) 5分由题意得任取1名学生耐力跑成绩为优或良的频率为7 11+ = 0.3， 6分60将样本频率视为概率得 p = 0.37分而Y =100x ，则Y 的所有可能取值为0 ，100，200 ，300. 8分且P(Y = 0) = C0 0.30 0.73 = 0.343，P(Y =

9、100) = C1 0.31 0.72 = 0.441，3 3P(Y = 200) = C2 0.32 0.71 = 0.189，P Y = = 3 3 0 = ( 300) C 0.3 0.7 0.027 3 3310分所以Y 的分布列为：Y 0 100 200 300 P 0.343 0.441 0.189 0.027P的值错一个或两个扣1分11 分所以Y 的数学期望为EY = 00.343+1000.441+ 2000.189+3000.027 = 9012分19. （12分）（1）解: 在ACD 中，D = 60o ，AC = 6 ，CD = 3 3 ，由余弦定理得AC2 = AD2

10、+CD2 -2 ADCDsinD， 1分即36 2 27 2 3 3 1= AD + - AD ，2AD2 -3 3AD -9 = 0 ， 2分 整理得( ) ( ) 3 3 + 7 3 3 - 7解得AD = 或AD = （舍去）， 3分2 2( ) 3 3 + 7所以AD = . 4 分2( ) 27 3 + 71所以ACD的面积为S AD CD sin 60= o = . 只看结论5 分2 8 CD AC（2）解法1: 在ACD中，由正弦定理得 = sin CAD sin D，3得sin CAD = . 6分4因为BAC = A- CAD = 90o - CAD ，则sin cos 1

11、sin2 7BAC = CAD = - CAD = ，正弦值或余弦值有一个正确就给分7分4 3cosBAC = sin CAD = .4因为cos ACB = - = . 只看结果8分 = 9 ，则sin 1 cos2 5 7ACB ACB16 16 因为BAC + ACB+ B = ,则sin B = sin(BAC + ACB) = sinBACcosACB+cosBACsinACB3 7= . 只看结果9分8 AC AB BC在ABC 中，由正弦定理 = = sin B sin ACB sin BAC，得AB = 5，BC = 4. 一个值1分11分3所 以AB + C=8 . 12分4

12、4CD AC解法 2: 在 ACD中，由正弦定理得 =，sin CAD sin D 3sin CAD = . 6分 得4因为BAC = A- CAD = 90o - CAD ，则cos cos(90 ) sin 3 = o - = = . 有正弦等于余弦给1分8分BAC CAD CAD4 9在 ABC 中， cosACB = ，由余弦定理得16 AB2 = AC2 + BC2 -2 ACBCcosACB，BC2 = AB2 + AC2 -2 AB ACcosBAC ，即 2 36 2 27AB = + BC - BC ， 9分4BC2 = AB2 +36-9AB ， 10分 + 得 3AB +

13、 C=8 . 12分4 另法（1）解：如图，作CE AD 于 E ，D在 RtCED 中， D = 60o ，CD = 3 3 ， CE3 9则CE = CD o = = ， 1 分sin 60 3 3F 2 21 3 3DE = CD o = = . 2 分cos 60 3 32 2A B在 Rt AEC 中， AC = 6 ,则 AE = AC2 -CE2 = 3 7. 3 分2( ) 3 3 + 7故 AD = AE + DE =. 4 分2( ) 27 3 + 71所以 ACD的面积为 S = ADCE = . 5 分2 8CE 3（2）解: 在 Rt AEC 中，得sin CAE =

14、 = . 6分 AC 4因为BAC = A- CAE = 90o - CAE ，则cos cos(90 ) sin 3 = o - = = . 有正弦等于余弦给1分8分BAC CAE CAE4 在 ABC 中，作 BF AC 于 F ， 则 AC = AF +CF ， 9分得6 = ABcosBAC + BCcosACB . 10分9因为cosACB = ，16 3 9所以 ，得 . 一一个等式1分 12 分6 AB BC AB + C=8= + 34 16 4 20.（12分）（1）证明：因为四边形 ABCD是菱形，所以 BD AC . 1分5因为 BD 平面 ABCD，平面 AEFC 平面

15、 ABCD，平面 AEFC I 平面 ABCD = AC， 所以 BD 平面 AEFC . 2分因为 BD 平面 BDE ，所以平面 BED 平面 AEFC . 3分（2）解法 1: 设 AC I BD = O ，连接OF ，由 BD 平面 AEFC ， AE 平面 AEFC ，得 AE BD . 4 分因为 AE AC ， AC 平面 ABCD， BD 平面 ABCD，z所以 AE 平面 ABCD. 5分EF因为 EF AC ，1AO = AC = EF ，2AD所以四边形 AEFO 是平行四边形.OB C所以 AE OF .x y所以OF 平面 ABCD 6分以OB ，OC ，OF 分别为

16、 x ， y ， z 轴建立如图所示空间坐标系O- xyz ，由于 AE = AB = 2 ，则 B( 3, 0, 0),C(0，1，0),D( - 3, 0, 0), F(0,0, 2)， 7分则CuuDur = (- 3,-1, 0) ， Bu uDur = (-2 3, 0, 0)，CuuFur = (0,-1, 2). 8分设平面CDF 的法向量为 n = (x, y, z)，uuur =- - = n CD 0, 3 0, 3x yuuur ，令 x =1，解得 n = 1,- 3,- 由 ，即 ， 9分 2-y + 2z = 0,n = CF 0, 由于 BD 平面 AEFC ，则

17、 uBuDur = (-2 3, 0, 0)是平面 AEFC 的法向量. 10分uuuruuurn BD 2 19cos = uuur = -则 ， 11分19 n BD所以二面角 A-CF - D的余弦值为2 1919. 12分解法 2：过O 作OG FC ，垂足为G ，连接 DG ，4分由 BD 平面 AEFC ，得OD FC ， 5分EF又OD IOG = O ，OD 平面 DOG ，OG 平面 DOG ，则 FC 平面 DOG . 6分AGD因为 DG 平面 DOG ，则 FC DG . 7分BOC故 DGO 为二面角 A-CF - D的平面角. 8分因为 AE AC ， EF AC

18、， AC = 2EF ，则平面四边形 AEFC 为直角梯形.62 OG = ， 9分在直角梯形 AEFC 中，求得519在 Rt DOG 中， DG = OG2 + OD2 = ， 10分52OG 2 195cosDGO = = = . 11分 DG 19 195所以二面角 A-CF - D的余弦值为 2 1919. 12分21.（12分）（1）解：由题意得 2b = 4 ，e2 2c b = = 1- = a a 2， 2分所以 a = 2 2 ，b = 2 . 3分所以C 的方程为x + y = . 4分2 218 4（2）解法 1：由题意，直线l1 斜率存在且不为 0 ,设直线l1 的方

19、程为 y = k (x +3)，且 A( )， B( )， ( )x 2, y Q x y ，1, y x 0 , 01 2将 y = k(x + 3) 代入 x2 + 2y2 = 8，整理可得(1 2 ) 12 18 8 0+ k x k x k ， 5分2 + 2 + 2 - =2D =144k4 - + k2 k2 - ，解得 -2 k 1 或 1 由 D = 36t2 - 4(t2 + 2)1= 32t2 -8 0 ，得 t 等号成立.2所以 PQR 面积的最小值为1. 12分解法 3：由题意，直线l1 斜率存在且不为 0 ,设直线l1 的方程为 x = ty -3，A(x , y )

20、 ，1 1B(x , y )，Q(x , y )2 2 0 0 = -x ty 3由 2 2 消去 x得 (t2 + 2)y2 - 6ty +1= 0， 5分x y+ =1 8 4t 1 或 1 由 D = 36t2 - 4(t2 + 2)1= 32t2 -8 0 ，得 t 等号成立2所以 PQR 面积的最小值为1. 12分22.（12分）（1）解: 函数 f (x)的定义域为(0,+)， 1分由于 m = 0，则 ( )f x = x x - x2 + .2 ln 1f (x) = 2ln x + 2 - 2x ， 2分令 h(x) = f (x) = 2ln x + 2 - 2x ，2 2

21、(1- x) ( )= - = ，h x 2x x当 0 x ， f (x)在区间(0,1)上单调递增；x当 x 1时， h (x) 2 (1 x) 0- = ， f (x)在区间(1,+)上单调递减.x则 f (x) f (1)= 2 ln1+ 2 - 2 = 0 . 3分所以函数 f (x)的单调递减区间为(0,+). 4分（2）证法 1：由（1）得 f (x)= 2 ln x + 2 - 2x - m 在区间(0,1)上单调递增，m-1当 m 0 ，0 e2 1， 5分 m m m m-1 -1 -1 = - + - - = - f me 2 2 1 2 2e 2 2e 2 0 2 ，

22、6分则 $ ( )，使 f (x ) = ，即 f (x ) = x + - x - m = ，7分x 0 0 0 2ln 0 2 2 0 00 0,110得m = 2ln x + 2 - 2x .0 0当0 x x 时， f (x) 0 ， f (x)在区间( )0, x 上单调递减； 0 0当x x 0， f (x)在区间( )0 1 x0 ,1 上单调递增.则f (x) f (x ) = 2x ln x - x -mx +1 8分20 0 0 0 0= 2x ln x - x - x 2ln x + 2 - 2x +1= (x -1) 0 .2 2( )0 0 0 0 0 0 09分所以

23、 2xln x - x2 -mx +1 0 . 10分令 a -b =a +bx，由于 0 b a ，则 0 x 0， 11分a +ba 4ab -+ b整理得 2 ln m . 12分a -b-b a22a ab -+ b 4证法 2：欲证 2 ln m ，a -b a -b2 2只要证2 lna b a + b - a -b+ -( ) ( )2 2ma -b (a + b)(a -b)，5分a + b b 0 ，则 x 1. 7分 令a -b12ln x x m - - , 即证 2xln x -x2 +1 +mx 1) .只要有一个等式就给分8分故只要证x由(1)可知，函数 h(x)= x x - x + 在区间(0,+)上单调递减，22 ln 1故 x 1时， h(x) h(1)= 0，即2xln x - x2 +1 0. 9分由于 m 1，则 mx 0. 此处为mx0 10 分所以 2xln x -x2 +1 +mx 0成立. 11分a b -+ 4ab所以 2 ln m . 12分a -b a -b2 21112