优选欧氏几何的公理化方法A课件.ppt

1、xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn优选欧氏几何的公理化方法A 欧氏几何的欧氏几何的公理化方法公理化方法 一、公理化思想方法的内涵与价值一、公理化思想方法的内涵与价值二、直观公理化时期二、直观公理化时期几何原本几何原本三、思辨性的公理化时期三、思辨性的公理化时期非欧几何非欧几何四、形式主义的公理化时期四、形式主义的公理化时期希尔伯特的希尔伯特的几

2、何基础几何基础五、结构主义的公理化时期五、结构主义的公理化时期布尔巴基的布尔巴基的数学原本数学原本六、张景中公理几何体系六、张景中公理几何体系五、中学数学教材中的公理系统五、中学数学教材中的公理系统 一、公理化思想方法的内涵与价值一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是什么是“公理公理”？ 公理公理 ：在一个系统中已为反复的实：在一个系统中已为反复的实践所证实而被践所证实而被 认为不需要证明的真理，认为不需要证明的真理，是可以作为证明中的理论依据。是可以作为证明中的理论依据。 什么是什么是“公理化方法公理化方法”？ 公理化方法：从某些基本概念和基公理化方法：从某些基本概念和基本命题出发，依据特定

3、的演绎规则，推本命题出发，依据特定的演绎规则，推导是系列定理，从而构成一个演绎系统导是系列定理，从而构成一个演绎系统的方法。的方法。公理的自明性公理的自明性 公理化体系所依赖的公理化体系所依赖的“演绎推理演绎推理”规则规则 公理化方法的目标：形成一个演绎的科公理化方法的目标：形成一个演绎的科学体系学体系 公理的选取必须符合：公理的选取必须符合：相容性相容性独立性独立性完备性完备性公理化思想方法的作用公理化思想方法的作用 (1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 (2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性公理化方法有利于比较各门数学的实质性 异同。异同。

4、 (3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。数学公理化方法在科学方法上有示范作用。 (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性 和结构和谐性确实符合数学美的要求。和结构和谐性确实符合数学美的要求。公理化方法的发展经历了以下几个时期公理化方法的发展经历了以下几个时期1、直观公理化时期、直观公理化时期2、思辨性的公理化时期、思辨性的公理化时期3、形式主义的公理化时期、形式主义的公理化时期4、结构主义的公理化时期、结构主义的公理化时期二、直观公理化时期二、直观公理化时期几何原本几何原本 几何原本几何原本 公元前公元前3世纪，世纪， 1607年年 前前6卷译成

5、中文卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已而已”徐光启徐光启 几何原本几何原本的主

6、要内容的主要内容 共共13卷卷 第一卷：提出第一卷：提出23个定义、个定义、5条公设、条公设、 5条公理、条公理、 48个命题个命题 第一卷从定义、公设、公理开始，接第一卷从定义、公设、公理开始，接着用着用 48个命题讨论了关于直线和由直个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形。线构成的平面图形。1）点是无大小的；）点是无大小的；2）线是有长度而无宽度的；）线是有长度而无宽度的；3）线的界线是点；）线的界线是点； 4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样放置着的；放置着的；5）面只有长度和宽度；）面只有长度和宽度；6）面的界线是线；）面的

7、界线是线；7）平面是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的；）平面是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的；8）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度；）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度； 公设公设.从任意点到另一点可以作直线从任意点到另一点可以作直线. 一条直线可以无限延长一条直线可以无限延长.以任意点为中心，任意长为半径可以作圆周以任意点为中心，任意长为半径可以作圆周 IV.凡直角都相等凡直角都相等V. 平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于两直角，则此两直线必相交于截内角之和小于两直角，则此两直线必相交于截线的这一侧。线的这一侧。公

8、理公理.等于同一量的量彼此相等；等于同一量的量彼此相等；.等量加等量，其和仍相等；等量加等量，其和仍相等；.等量减等量，其差仍相等；等量减等量，其差仍相等；IV.互相合同的就是相等的；互相合同的就是相等的； V. 全量大于部分。全量大于部分。 欧几里得证明方法思路清晰，整个证明欧几里得证明方法思路清晰，整个证明建立在严密的公理化基础上，使几何学成建立在严密的公理化基础上，使几何学成 为为了真正的科学了真正的科学 几何原本几何原本中的命题有两种类型中的命题有两种类型 一种是根据假设、公设、公理和定义利一种是根据假设、公设、公理和定义利用逻辑推理得出结论用逻辑推理得出结论 另一类是作图题，由已知的

9、对象找出或另一类是作图题，由已知的对象找出或作出所求对象。作出所求对象。 第二卷：第二卷：14个命题个命题 包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。 第三卷：第三卷：37个命题个命题 包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论及圆幂定理等。及圆幂定理等。 命题命题16 在圆的直径的端点所作直径的垂线必在圆在圆的直径的端点所作直径的垂线必在圆外，不能有其它的直线插在这垂线与圆之间，外，不能有其它的直线插在这垂线与圆之间，而且半圆的角大于锐角，其余的角小于任意锐而且半圆的角大于锐角，其余的角小于任意锐角。角。 第四卷：第四卷：16个

10、命题个命题 包含圆的内接和外多边形的性质及包含圆的内接和外多边形的性质及正正5、6边形的作图等。边形的作图等。 第五卷：第五卷：25个命题个命题 内容为欧道克斯的比例论内容为欧道克斯的比例论 欧道克斯的比例论欧道克斯的比例论 18个定义。个定义。 如如 定义定义 1）小的量能量尽大的量时，小的量为）小的量能量尽大的量时，小的量为大的量的部分。大的量的部分。 2）大的量能被小的量尽时，大的量为小的）大的量能被小的量尽时，大的量为小的量的倍数。量的倍数。 3）比是两个同类量的大小之间的一种关系。）比是两个同类量的大小之间的一种关系。 4）可比的两个量，如果一个量的倍数大于）可比的两个量，如果一个量

11、的倍数大于另一个量，那么说，这两个量彼此之间构成了另一个量，那么说，这两个量彼此之间构成了比。比。 5）四个量形成第一个量与第二个量）四个量形成第一个量与第二个量之比以及第三个量与第四个量之比，我之比以及第三个量与第四个量之比，我们说这两个比是相同的：如果取第一、们说这两个比是相同的：如果取第一、第三两个量的任何相同的倍数，取第二、第三两个量的任何相同的倍数，取第二、第四两个量的任何相同的倍数后，从头第四两个量的任何相同的倍数后，从头两个量的倍数之间大于、等于、或小于两个量的倍数之间大于、等于、或小于可以推出后两个量的倍数之间的相应关可以推出后两个量的倍数之间的相应关系。系。 命命题题1 任任

12、意意多多个个量量，分分别别是是同同样样多多个个量量的的相相同同倍倍数数，那那么么不不管管那那些些个个量量的的倍倍数数是是多多少少，它它们们的的总总起起来来也也有有那那么么倍倍数数。 即即 mcmbmacbam)( 。 第第六六卷卷：33个个命命题题 包包含含平平行行截截定定理理论论、三三角角形形的的平平分分角角线线定定理理、相相似似三三角角形形定定理理、比比例例线线段段的的作作图图等等。 第七九卷：数论初步第七九卷：数论初步 第十卷：讨论不可公度量的分类，包第十卷：讨论不可公度量的分类，包括与整数的开方有关的几何运算。括与整数的开方有关的几何运算。 第十一十三卷：立体几何，分别由第十一十三卷：

13、立体几何，分别由40、18、19个命题组成。包含直线与平面个命题组成。包含直线与平面的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积之比及正多面体等之比及正多面体等三、思辨性的公理化时期三、思辨性的公理化时期非欧几何非欧几何 原本原本的成就：的成就： 集古代数学之大成，论证严密，影响深远，集古代数学之大成，论证严密，影响深远，是是2000千年来公认的第一部科学巨著。其中作千年来公认的第一部科学巨著。其中作了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。 原本原本的不足：的不足： 原本原本的逻辑体系是不严密、不完备的的逻辑体系是不严密、不完备的 1

14、、缺少连续公理、缺少连续公理 2、缺少合同公理、缺少合同公理 3、缺少顺序公理、缺少顺序公理 原本原本对一些基本元素（原始概念），如点、对一些基本元素（原始概念），如点、线、面等进行定义，这是不可能的。线、面等进行定义，这是不可能的。 原本原本中的公理体系作为几何学的中的公理体系作为几何学的逻辑推理基础是不够严密的，应该怎样逻辑推理基础是不够严密的，应该怎样修改、补充分理、定义才能使几何学成修改、补充分理、定义才能使几何学成 为逻辑上完美无缺的科学？为逻辑上完美无缺的科学？ 两方面的研究两方面的研究一方面增加或改换公理一方面增加或改换公理另一方面是试证第五公设另一方面是试证第五公设第第V公设的

15、试证公设的试证 萨开里四边形萨开里四边形 如图四边形如图四边形ABCD中中 A、 B均为直角，均为直角，ADBC。AB、CD分别叫它的上底边和下底分别叫它的上底边和下底边，边， A 、 B叫下底角，叫下底角， C 、 D叫上叫上底角。底角。ABCDMN 有有1） C D 2）上底边中点和下底边中点连线）上底边中点和下底边中点连线垂直于上下底边。垂直于上下底边。ABCDMN 萨开里作了如下三个互不相容的假设。萨开里作了如下三个互不相容的假设。 1、上底角是直角、上底角是直角 2、上底角大于直角、上底角大于直角 3、上底角小于直角、上底角小于直角 伦培得四边形伦培得四边形 如图四边形如图四边形AB

16、CD中中 A、 B、 C均为直角。均为直角。ABCD 也作了三个互不相容的假设。也作了三个互不相容的假设。 1、 D是直角是直角 2、D大于直角大于直角 3、D小于直角小于直角 勒让德则研究三角形的内角之和勒让德则研究三角形的内角之和 否定了三角形内角和大于二直角，否定了三角形内角和大于二直角， 由三角形内角和等于二直角证明由三角形内角和等于二直角证明了第了第V公设成立，公设成立， 但也没能够证明三内角和小于二但也没能够证明三内角和小于二直角的直角的三角形不存在。三角形不存在。 高斯高斯 波尔约波尔约 罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基I IC CD DB BA AE E 平行公理：平行公理：有这样的直

17、线有这样的直线a和不在其上和不在其上一点一点A，过，过A至少两条直线与至少两条直线与a共面不相共面不相交。交。A Aa a。，记为平行于则称相交，均与射线内部任一之同侧且不相交，但在直线与若共面射线定义CEBACEBACEBDCABBCCEBA/1.C CD DE EA AB B 四、形式主义公理化时期四、形式主义公理化时期 希尔伯特的希尔伯特的几何基础几何基础 希尔伯特的公理系统，放弃了欧氏希尔伯特的公理系统，放弃了欧氏体系中公理的直观显然性，把初等几何体系中公理的直观显然性，把初等几何中有关基本概念的根本关系和性质抽取中有关基本概念的根本关系和性质抽取出来作为公理，给出了一个自然、简明、出

18、来作为公理，给出了一个自然、简明、全面而又严密的几何公理系统。全面而又严密的几何公理系统。 与欧氏公理系统不同的是，他对公理体与欧氏公理系统不同的是，他对公理体系中基本概念和公理不给予任何具体的称为系中基本概念和公理不给予任何具体的称为点、线、面。点、线、面。 在这三个集合中，引进用在这三个集合中，引进用“结合结合”、“顺顺 序序”、“合同合同”、“连续连续”、“平行平行”等词表示的五种关系，而关系的性质用相应等词表示的五种关系，而关系的性质用相应的五组公理来刻画。的五组公理来刻画。 希尔伯特的公理体系希尔伯特的公理体系 基本概念基本概念：基本元素和基本关系：基本元素和基本关系 基本公理基本公

19、理：关联公理、顺序公理、合同公理、：关联公理、顺序公理、合同公理、连续公理、平行公理连续公理、平行公理基本元素：点、直线、平面基本元素：点、直线、平面基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系 绝对几何绝对几何：以上公理体系去掉平行公理：以上公理体系去掉平行公理 绝对几何加上欧氏平行公理构成欧氏几何绝对几何加上欧氏平行公理构成欧氏几何 绝对几何加上罗氏平行公理构成罗氏几何绝对几何加上罗氏平行公理构成罗氏几何 结合公理结合公理 1 1 对于两个不同的点对于两个不同的点, ,恒有一直线结合其中恒有一直线结合其中的每个点；的每个点； 2 2 对于两个不同的点，至多有

20、一直线结合其对于两个不同的点，至多有一直线结合其中的每个点；中的每个点； 3.1 3.1 每直线上至少有两个点；每直线上至少有两个点； 3.2 3.2 至少有三点不在同一直线上；至少有三点不在同一直线上； 4.1 4.1 对于不在同一直线上的三点，恒有一平对于不在同一直线上的三点，恒有一平面通过它们中的每个点；面通过它们中的每个点； 希尔伯特几何公理体系希尔伯特几何公理体系 结合公理结合公理 4.24.2 每个平面上至少有一个点；每个平面上至少有一个点； 5 5 对于不在同一直线上的三点，至多有一平面对于不在同一直线上的三点，至多有一平面通过它们中的每个点；通过它们中的每个点； 6 6 如果直

21、如果直a a上的两个点在平面上的两个点在平面上，则上，则a a上的每个点在上的每个点在上；上； 7 7 如果两个平面有一个公共点，则至少如果两个平面有一个公共点，则至少有另一个公共点；有另一个公共点； 8 8 至少有四个点不在同一平面上。至少有四个点不在同一平面上。 建立在结合建立在结合公理上的结论公理上的结论 定理定理1 1 （1 1）两直线至多有一个公共点；）两直线至多有一个公共点；（2 2）一个平面和不在其上的一直线有一）一个平面和不在其上的一直线有一个公共点；个公共点； （3 3）两个平面或者既无公共点又无公共）两个平面或者既无公共点又无公共线，或者有一条公共直线，它们的所有线，或者有

22、一条公共直线，它们的所有点都在这条直线上。点都在这条直线上。 定理定理2 过不共线三点恰有一平面；过一直线过不共线三点恰有一平面；过一直线及不在其上的一点恰有一平面及不在其上的一点恰有一平面；过有公共；过有公共点的两直线点的两直线恰有一平面。恰有一平面。 定理定理3 3 每个平面上至少有三个不在同一直每个平面上至少有三个不在同一直线上的点。线上的点。 结合公理结合公理 保证了：保证了： 直线、平面的存在性；直线、平面的存在性； 空间是三维的。空间是三维的。 至少有四个点、六条直线、四个平面。至少有四个点、六条直线、四个平面。 顺序公理顺序公理 1 1 若点若点B B在点在点A A与点与点C C

23、之间，则之间，则A A、B B、C C是一条是一条直线上的三个不同的点，且点直线上的三个不同的点，且点B B也在也在C C与与A A之间。之间。 2 2 对于任意两点对于任意两点A A和和B B，直线，直线ABAB上至少有一点上至少有一点C C，使得，使得B B在在A A和和C C之间。之间。 3 3在一直线上任意三点里，至多有一点在其在一直线上任意三点里，至多有一点在其余两点之间。余两点之间。 顺序公理顺序公理 定义定义2 2 直线上无序两点直线上无序两点A A、B B间的集合叫线段。间的集合叫线段。 A A、B B之间所有点的的集合叫开线段。记（之间所有点的的集合叫开线段。记（ABAB）

24、定义定义3 3 不共线的点不共线的点A A、B B、C C和三开线段（和三开线段（ABAB）、）、（BCBC）、（）、（ACAC）的集合称为三角形。）的集合称为三角形。 4 4 设设A A、B B、C C不在同一直线上，直线不在同一直线上，直线a a在平面在平面ABCABC上但不过上但不过A A、B B、C C中任意一点，若中任意一点，若a a过过（ABAB），则它必过（），则它必过（ACAC）的点或（）的点或（BCBC）的点。）的点。 1 1）公理）公理1 13 3是直线上的点的顺是直线上的点的顺序公理，序公理， 4 4是平面顺序公理；是平面顺序公理； 2）2 2保证线段外部有点，保证线段外

25、部有点，3 3断言断言共线三点至多有一点在其余两点之间；共线三点至多有一点在其余两点之间； 线段内部有点，共线三点是必存在线段内部有点，共线三点是必存在一点在其余两点之间的都要途径到巴士一点在其余两点之间的都要途径到巴士公理公理4 4 。 定理定理1 对于任意两点对于任意两点A、C ，直线，直线AC上至少有一点上至少有一点F在在 A、C之间。之间。 顺序公理及重要结论顺序公理及重要结论 定理定理2 在一直线上的三点中，必有且只有在一直线上的三点中，必有且只有一点在其余两点之间。一点在其余两点之间。 定理定理3 直线直线a与与ABC共面而不过其顶点，共面而不过其顶点，若若a交其一边，则必交其另一

26、边，但不得再交第交其一边，则必交其另一边，但不得再交第三边。三边。 证明）证明） 由由3.2 知直线知直线AC外有点外有点B，由，由1 、2 和和2知直线知直线CB上有点上有点P，且，且B在在P和和C之间，之间，同理直线同理直线A P外有点外有点Q，使，使P在在A和和Q之间。由之间。由4直线直线QB在平面在平面APC上，但不过上，但不过A、P、C中中任意一点，且任意一点，且QB过（过（PC），则它必过（），则它必过（AC）的点或（的点或（AP）的点。若）的点。若QB过（过（AP）的点，由）的点，由1 、2知知Q在在A和和P之间，与使之间，与使P在在A和和Q之间之间矛盾（矛盾（3）。所以）。所以

27、QB必过（必过（AC）的点）的点F。即。即直线直线AC上至少有一点上至少有一点F在在 A、C之间。之间。 定理定理4 线段线段AB内部的点有无穷多个，线段内部的点有无穷多个，线段AB外部的点有无穷多个。外部的点有无穷多个。 定理定理5 直线直线a上任意一点上任意一点O,把把a上所有点分上所有点分成两类，使得点成两类，使得点O在异类两点之间，而不在同在异类两点之间，而不在同类两点之间。类两点之间。 顺序公理及重要结论顺序公理及重要结论 定理定理6 平面平面a上任意直线上任意直线a，把平面，把平面a上不属上不属于于a的所有点分成两类，在直线的所有点分成两类，在直线a的同侧任意两的同侧任意两点属于同

28、一类，在直线点属于同一类，在直线a的异侧任意两点属于不的异侧任意两点属于不同类。同类。 在顺序公理基础上在顺序公理基础上 对直线上的点的顺序做出了规定，对平面和对直线上的点的顺序做出了规定，对平面和空间也做了相应的划分。空间也做了相应的划分。 如，任意一个平面如，任意一个平面a把空间内不在把空间内不在a上的所有上的所有点分成两类，属于不同类的两点连成的线段点分成两类，属于不同类的两点连成的线段一定与一定与a有交点，而属于同一类的两点连成的有交点，而属于同一类的两点连成的线段与线段与a无交点。无交点。 还给出折线，多边形，多边形的内部、外部还给出折线，多边形，多边形的内部、外部等概念。等概念。

29、合同公理合同公理 1 1 设设A A、B B是直线是直线a a上两点，上两点，AA是同一直线或是同一直线或另一直线另一直线aa上一点，则在上一点，则在aa上上AA的已知一侧恒的已知一侧恒有一点有一点BB，使线段，使线段ABAB合同于合同于ABAB。 2 2 若两线段都合同于第三线段，则这两线段若两线段都合同于第三线段，则这两线段也合同。也合同。 3 3 开线段（开线段（ABAB）、）、(BC(BC）均在直线）均在直线a a上而无公上而无公共点，开线段（共点，开线段（ABAB）、）、(BC(BC）均在同一直）均在同一直线或另一直线线或另一直线aa上，也无公共点，上，也无公共点， 若若ABAB A

30、BAB， BCBC BCBC则则ACAC ACAC 合同公理合同公理 4.1 4.1 已知平面已知平面上的一角上的一角（k,h），平面），平面 的一直线的一直线aa的一侧，以及的一侧，以及aa上以点上以点OO为原为原点的一条射线点的一条射线hh，则，则aa上恰有一射线上恰有一射线kk， 使使（k,h）合同于）合同于（k,h） ，且，且kk在在aa的的已知一侧。已知一侧。 4.2 4.2 （k,h）（h, k）。 5 5 对于两个三角形对于两个三角形ABCABC和和ABCABC。 若若ABAB ABAB， ACAC ACAC，BAC BAC 则则ABCBCABCABC合同公理及重要结论合同公理及

31、重要结论 定理定理1 线段移法的唯一性。线段移法的唯一性。 定理定理2 （减线定理）设点（减线定理）设点B在点在点A、C之间，点之间，点B 、C在直线在直线A B上上A 的同侧，的同侧，且且AB AB， AC AC则设点则设点B在点在点A、C之间且之间且BC BC 三角形全等的判定定理。三角形全等的判定定理。 （1）边角边；）边角边； （2）角边角；）角边角； （3）边边边）边边边合同公理及重要结论合同公理及重要结论 定理：（角的可加、减性定理）设定理：（角的可加、减性定理）设h、l、k和和h、l、k分别是从分别是从O和和O点出发点出发的三条射线，每一组的三条射线都在同的三条射线，每一组的三条

32、射线都在同一个平面上，并且一个平面上，并且h、l、k中有一条在其中有一条在其它两条之间时，射线它两条之间时，射线h、l、k中也对应中也对应有同样的关系。有同样的关系。若若( h,l) (h,l ), (l,k) (l, k),则则 ( h,k) (h,k ).合同公理及重要结论合同公理及重要结论 定理：三角形的每一个外角都大于其任意定理：三角形的每一个外角都大于其任意一个不相邻的内角。一个不相邻的内角。 证明：设证明：设CAD是是ABC的一个外角，的一个外角， 下证下证CAD ACB ，CAD ABC 。ABDCE 假假设设CAD ACB ，在直线，在直线AB上取点上取点D，使，使ADBC，且

33、，且A在在B、D之间。之间。 设设E为直线为直线BC上的一点，上的一点， 且且C在在B、E之间，之间， 有有ACE CAB， 由公理知由公理知ACD CAB。ABDCE 假设假设CADCD，ABCD.合同公理及重要结论合同公理及重要结论 定理定理: 三角形合同的角角边定理三角形合同的角角边定理. 定理定理: 三角形中较大的边所对角较大三角形中较大的边所对角较大,反之反之亦然亦然. 定理定理:每条线段有且只有一个中点每条线段有且只有一个中点; 每个角有且只有一条角平分线每个角有且只有一条角平分线. 定理定理:在一平面上在一平面上,通过已知点通过已知点A可作直线可作直线a的一条且只有一条垂线的一条

34、且只有一条垂线. 任何三角形至少有两个锐角任何三角形至少有两个锐角; 垂线短于斜线垂线短于斜线; 等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一. 连续公理连续公理 VV1 1 设设ABAB和和CDCD是任意的两条线段，则在是任意的两条线段，则在ABAB上上存在有限多个点存在有限多个点A A1 1、A A2 2、A An n，使得，使得A A1 1在在A A和和A A2 2 之间，之间， A A2 2在在A A1 1和和A A3 3之间，之间，A An-1n-1在在A An-2n-2和和B B之间，之间， B B在在A An-1n-1在在A An n和和B B之间，并且线段之间，并且线段A A1 1A

35、A2 2 A A2 2A A3 3 A An-1n-1 A An n都合同于线段都合同于线段CD。 VV2 2 直线上所成的点集，连同其顺序关系和合直线上所成的点集，连同其顺序关系和合同关系，不能再行扩充，使得扩充后，仍满足同关系，不能再行扩充，使得扩充后，仍满足公理公理、和和VV1 1 。 连续公理连续公理 VV2 2 设任意直线设任意直线a a上有一个由线段上有一个由线段A A1 1B B1 1 ，A A2 2B B2 2 ，所组成的无穷序列，其中后面的每一，所组成的无穷序列，其中后面的每一个线段都落个线段都落在前一个线段内部；又设对于预先在前一个线段内部；又设对于预先给定的线段都可以找到

36、自然数给定的线段都可以找到自然数n n使得线段使得线段A An nB Bn n，那么在直线那么在直线a a上存在着一个点上存在着一个点P P落在年有线段内落在年有线段内部。部。 戴德金分割戴德金分割 设线段设线段ABAB及其内部的所有点能被分成两类，且具及其内部的所有点能被分成两类，且具有下列性质。有下列性质。 （1）每点恰属于一类，）每点恰属于一类，A属于第一类，属于第一类，B属于第二属于第二类；类； （2）第一类中异于）第一类中异于A的每个点，在的每个点，在A和第二类点之和第二类点之间间。 则必存在一点则必存在一点C C，使，使A A、C C间的点都属于第一类，而间的点都属于第一类，而C

37、C、B B间的点都属于第二类，点间的点都属于第二类，点C C称为戴德金分割点或界称为戴德金分割点或界点。点。 角的戴德金分割角的戴德金分割 如果把如果把（a,b)内部的过顶点内部的过顶点O的所有射线分成两类的所有射线分成两类，使得使得 （1）每条射线属于一类，且只属一类，并且每类不空；）每条射线属于一类，且只属一类，并且每类不空； （2）第一类的每条射线都第二类射线的前面）第一类的每条射线都第二类射线的前面。 则或者在第一类存着一条则或者在第一类存着一条射线射线，使第一类的其它每，使第一类的其它每条射线都在它前面，或者在第二类存着一条条射线都在它前面，或者在第二类存着一条射线，射线，它在它在第

38、二类所有射线的前面。第二类所有射线的前面。连续公理及重要结论连续公理及重要结论 定理：如果选定了长度单位以后，每条线段定理：如果选定了长度单位以后，每条线段有唯一的长度。有唯一的长度。 定理：对于任意给定的正实数定理：对于任意给定的正实数a，在给定单，在给定单位长度后，存在一线段，它的长度等于位长度后，存在一线段，它的长度等于a。 定理：取定一角度单位，每个角必有且只有定理：取定一角度单位，每个角必有且只有一个角度。一个角度。 定理：通过圆内部一点的直线一定和圆相交定理：通过圆内部一点的直线一定和圆相交于两点。于两点。 定理：若一个圆通过另一个圆内部一点和外定理：若一个圆通过另一个圆内部一点和

39、外部一点，则两圆恰的两个交点。部一点，则两圆恰的两个交点。连续公理及重要结论连续公理及重要结论 在绝对几何中可以建立坐标系，但不是在绝对几何中可以建立坐标系，但不是我们习惯的直角坐标系。我们习惯的直角坐标系。 绝对几何是罗氏几何与欧氏几何的部分。绝对几何是罗氏几何与欧氏几何的部分。 平行公理平行公理 欧氏平行公理：对于任何直线欧氏平行公理：对于任何直线a和不在其上和不在其上的任何点的任何点A，至多有一直线过，至多有一直线过A且与且与 a共面而不共面而不和和a相交。相交。 平行公理的等价命题平行公理的等价命题 1.共面不交的两直线被第三直线所截成的同位角相等。共面不交的两直线被第三直线所截成的同

40、位角相等。 2.欧氏行五公设。欧氏行五公设。 3.在一平面上，一直线的垂线和斜线必相交。在一平面上，一直线的垂线和斜线必相交。 4.过不共线的三点恒有一圆。过不共线的三点恒有一圆。 5.三角形的三条高线共点。三角形的三条高线共点。 6.过任何角内一点，必可引直线和这个角的两边都相过任何角内一点，必可引直线和这个角的两边都相交。交。 7.任意三角形的内角和等于任意三角形的内角和等于1800。 8.有两个三角形其对应角合同而本身不合同有两个三角形其对应角合同而本身不合同 9.锐角一边上的垂线必与另一边相交。锐角一边上的垂线必与另一边相交。 五、五、 结构主义的公理化时期结构主义的公理化时期 布尔巴

41、基的布尔巴基的数学原本数学原本。 19世纪末世纪末20世纪初世纪初希尔伯特建立了严密的几何公理希尔伯特建立了严密的几何公理皮亚诺建立了自然数公理皮亚诺建立了自然数公理戴德金建立了实数公理戴德金建立了实数公理策梅洛和弗伦克尔创立了集合公理策梅洛和弗伦克尔创立了集合公理豪斯多夫提出了拓扑空间的公理公定义豪斯多夫提出了拓扑空间的公理公定义勒贝格提出了可列可加的测度公理勒贝格提出了可列可加的测度公理柯尔莫哥洛夫创建了概率的公理化定义柯尔莫哥洛夫创建了概率的公理化定义 布尔巴基学派布尔巴基学派 从最一般的集合论公理开始，然后在从最一般的集合论公理开始，然后在各种集合上添加各种结构（主要是代数结各种集合上

42、添加各种结构（主要是代数结构、序结构的拓扑结构）。通过这三种母构、序结构的拓扑结构）。通过这三种母结构的不断增加、组合和变化，形成一个结构的不断增加、组合和变化，形成一个个有机关联的公理体系，最后希望把全部个有机关联的公理体系，最后希望把全部的数学作为一个公理化的统一体。的数学作为一个公理化的统一体。六六、张张景景中中欧欧氏氏几几何何公公理理体体系系 公公理理1（距距离离公公理理）两两点点A、B决决定定一一个个距距离离AB,AB是是非非负负实实数数。BAAB ，且且0AB当当且且仅仅当当BA 时时成成立立。 公公理理 2（线线段段连连续续公公理理） ，若若 A、B 是是不不同同两两点点，则则对

43、对任任意意给给定定是是非非负负实实数数r，有有唯唯一一的的一一个个点点 P，使使得得下下列列两两条条件件同同时时成成立立。 1）rAP ； 2）当当ABr 时时，有有ABPBAP,当当ABr 时时，有有APBPAB. 定定义义1（线线段段的的定定义义）设设A、B是是两两个个任任意意点点，一一切切满满足足条条件件ABPBPA的的点点P组组成成的的集集合合, A、 B分分别别叫叫做做AB的的端端点点，当当BA 时时，说说线线段段AB退退化化为为一一点点。 定义定义 2（延长线定义）（延长线定义） 设设 A、B 是不同两点，一切则满是不同两点，一切则满足条件足条件APBPAB的点的点 P 的集合，叫

44、做的集合，叫做 AB（在（在 B 侧）侧）的延长线。的延长线。 定义定义 3 设设 A、 B 是不同两点， 线段是不同两点， 线段 AB 和和 AB （在（在 B 侧）侧）的延长线的并集，叫做以的延长线的并集，叫做以 A 为端点，沿为端点，沿 AB 方向的延长线方向的延长线。 定义定义 4 设设 A、B 是不同两点，是不同两点，AB 的延长线、的延长线、BA 的的延长线和延长线和 AB 之并，叫做由之并，叫做由 AB 确定的一条直线确定的一条直线。 点点 P 在在直直线线 AB 上上的的充充要要条条件件是是下下列列三三式式之之一一成成立立 BPAPBAAPBPABABPBAP 公公理理3 （面

45、面积积公公理理） 三三点点A、 B、 C决决定定一一个个面面积积ABC，ABC是是非非负负实实数数，且且BACACBABCBCA CABCBA, 当当 A、B、C不不在在同同一一直直线线上上时时0ABC。 公公理理 4（非非退退化化公公理理） 平平面面上上至至少少有有三三点点 A、B、C 使使0ABC。 公理公理 5（线性公理）（线性公理） 若若 A、B、C 三点在一直线上，三点在一直线上， ACAB，P 是平面上任一点则是平面上任一点则 PACABC。 七、中学数学教材中的公理系统七、中学数学教材中的公理系统。 不以欧几里得的几何公理体系为主线，不以欧几里得的几何公理体系为主线，不严格按照知

46、识的逻辑顺序呈现不严格按照知识的逻辑顺序呈现“图形与几图形与几何何”领域的教学内容，而以领域的教学内容，而以“图形的性质、图形的性质、图形的变化、图形与坐标图形的变化、图形与坐标”等三条线索展开，等三条线索展开，并根据学生的心理特征，把并根据学生的心理特征，把“空间与图形空间与图形”的内容均衡地安排在三个学段。的内容均衡地安排在三个学段。 义务教育数学课程标准义务教育数学课程标准（2011版）版） 第三第三学段目标中要求：探索并掌握相交格、学段目标中要求：探索并掌握相交格、平行线、三角形、四边形和圆的基本的基本性质平行线、三角形、四边形和圆的基本的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图

47、技能；与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图；探索并理解平面直角坐标系及其识投影与视图；探索并理解平面直角坐标系及其应用。学生应在研究图形性质和运动、确定物体应用。学生应在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中进一步学发展空间观念；经历借助位置等过程中进一步学发展空间观念；经历借助图形思考的过程，初步建立几何直观。体会通过图形思考的过程，初步建立几何直观。体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中发展合情推理的过

48、程，在多种形式的数学活动中发展合情推理与演绎推理能力。与演绎推理能力。 应把证明作为探索活动的自然延续和必要应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理和演绎推理是相辅发展，使学生知道合情推理和演绎推理是相辅相成的两种推理形式。使学生在探索图形性质、相成的两种推理形式。使学生在探索图形性质、与他人合作交流等活动中，发展合情推理，进与他人合作交流等活动中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；积累一定的活一步学习有条理地思考与表达；积累一定的活动经验与掌握一定的图形性质，从而体会证明动经验与掌握一定的图形性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合的必要性，理

49、解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。法证明的格式，初步感受公理化思想。 在几何课程中在几何课程中“图形与几何图形与几何”的三条线索的三条线索都都 以图形为载体，以培养空间观念、几何直觉、以图形为载体，以培养空间观念、几何直觉、推理能力，以及更好地认识与把握我们生存的推理能力，以及更好地认识与把握我们生存的现实空间为目标自然展开，不仅仅着眼于学生现实空间为目标自然展开，不仅仅着眼于学生理解和掌握一些必要的事实，而且强调经历自理解和掌握一些必要的事实，而且强调经历自主探索和合作交流的过程，形成积极的学习态主探索和合作交流的过程，形成积极的学习态度和情感。度和情感。 提倡以

50、提倡以“问题情境问题情境建立模型建立模型解释、解释、应用与拓展、反思应用与拓展、反思”的基本模式展现学习内容，的基本模式展现学习内容，让学生经历让学生经历“数学化数学化”和和“再创造再创造”的过程，的过程，而不采用而不采用“公理、定义公理、定义定理，性质定理，性质例例题题习题习题”的结构形式。的结构形式。 感性材料感性材料实例、背景实例、背景 设置公理设置公理定义、概念定义、概念 引进并证明引进并证明定理、公式定理、公式 应用举例应用举例 命题命题1 在一定直线上作等边三角形。在一定直线上作等边三角形。 命题命题4 若一个三角形两边和其夹角相若一个三角形两边和其夹角相应地等于另一个三角形的两边