二随机变量及其分布课件.pptx

1、一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 在实际问题中，人们往往只关心随机试验的结在实际问题中，人们往往只关心随机试验的结果的某一方面的数量特征，于是将随机试验结果与果的某一方面的数量特征，于是将随机试验结果与数量联系起来，由此就产生了随机变量的概念数量联系起来，由此就产生了随机变量的概念. 1、有些试验结果本身具有某种数量特征、有些试验结果本身具有某种数量特征. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 七月份厦门的最高温度；七月份厦门的最高温度；每天进入一号楼的人数；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；随机选一名班级同学，考察其数随机选一名班级同学

2、，考察其数学课成绩；学课成绩；从一批产品中抽取从一批产品中抽取10件，考察其件，考察其中的次品数；中的次品数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就也就是说，是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. 例如，在考察产品检查结果时，记正品为例如，在考察产品检查结果时，记正品为1，次品为，次品为0；又如，在考察天气状况时，记晴天为又如，在考察天气状况时，记晴天为1，阴天为阴天为2；雨天为；雨天为3.例 将一枚均匀硬币抛掷将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三次。我们感兴

3、趣的是三次投掷中，出现次投掷中，出现H的总次数，而对的总次数，而对H，T出现的出现的顺序不关心。以顺序不关心。以X记三次投掷中出现记三次投掷中出现H的总次的总次数，那么，对样本空间数，那么，对样本空间S=e中的每一个样本中的每一个样本点点e，X都有一个值与之对应，即有都有一个值与之对应，即有样本点样本点 X X的值的值HHH THH HHT HTH HTT THT TTH TTT 3 2 2 2 1 1 1 0 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数单值函数.e.X(e)sR称这种定义在样本空间称这种定义在样本空间S上的实值单值函数上的实值单值

4、函数X= X(e)为为随随量量机机变变简记为简记为 r.v. 而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母一般采用小写字母 x, y, z, w, n等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N 等表示等表示 随机变量的取值具有随机性。随机变量的取值具有随机性。 随机变量的值随机变量的值落在某一给定的范围，就构成了一个随机事件。落在某一给定的范围，就构成了一个随机事件。 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量. 收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1没有

5、收到呼叫没有收到呼叫 X= 0 例 将一枚均匀硬币抛掷将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三次。我们感兴趣的是三次投掷中，出现次投掷中，出现H的总次数，而对的总次数，而对H，T出现的出现的顺序不关心。以顺序不关心。以X记三次投掷中出现记三次投掷中出现H的总次的总次数，那么，对样本空间数，那么，对样本空间S=e中的每一个样本中的每一个样本点点e，X都有一个值与之对应，即有都有一个值与之对应，即有样本点样本点 X X的值的值HHH THH HHT HTH HTT THT TTH TTT 3 2 2 2 1 1 1 0 第二节第二节 离散型随机变量及其离散型随机变量及其分布律分布律 从中任取从中任

6、取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量 .(1) X 可能取的值是可能取的值是0,1,2 ; (2) 取每个值的概率为取每个值的概率为:看一个例子看一个例子一、离散型随机变量分布律的定义一、离散型随机变量分布律的定义35101033P X 定义定义1 ：某些随机变量：某些随机变量X的所有可能取值是有限多的所有可能取值是有限多个或可列无限多个个或可列无限多个, 这种随机变量称为这种随机变量称为离散型随机离散型随机变量变量 .3256110213P X 3253210123P X 其中其中 (k=1,2, ) 满足：满足：kp, 0kp k=1,2, （1）kkp1（

7、2） 定义定义2 ：设：设 xk (k=1,2, ) 是离散型随机变量是离散型随机变量 X 所所取的一切可能值，称取的一切可能值，称为为离散型随机变量离散型随机变量 X 的分布律的分布律.1 2, ,kkP Xxpk二、离散型随机变量表示方法二、离散型随机变量表示方法（1）公式法）公式法（2）列表法）列表法1 2, ,kkP XxpkXkp12kxxx12kppp例例: : 设随机变量设随机变量 X X 具有分布律具有分布律 (),1,2,3,4,5P Xkak k（1 1）确定常数）确定常数a, ,（2 2）计算）计算15()22PX. 解解（1）由分布律的性质由分布律的性质, ,得得 55

8、1156()12kkP Xkaka 115a .(2)15()22PX 从而从而(1)(2)P XP X12115155例例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是他每发命中的概率是p，求，求所需射击发数所需射击发数X 的分布律的分布律.解解: 显然，显然，X 可能取的值是可能取的值是1,2, ， PX=1=P(A1)=p, 为计算为计算 PX =k ， k = 1,2, ，Ak = 第第k发命中发命中，k =1, 2, ，设设于是于是pp )1 ()() 2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 (, 2 ,

9、 1kppkXPk1)1 ()(可见可见X的分布律为的分布律为三、三种常见分布三、三种常见分布1、（、（0-1）分布：）分布：（也称两点分布）（也称两点分布）随机变量随机变量X只可能取只可能取0与与1两个值，其分布律为：两个值，其分布律为： 101 , 0,11 pkppkXPkk ppX110或或看一个试验看一个试验 将将一枚均匀骰子抛掷一枚均匀骰子抛掷3次次. .X的分布律是：的分布律是：2.伯努利试验和二项分布伯努利试验和二项分布33150 1 2 366, , , .kkP Xkkk 令令X 表示表示3次中出现次中出现“4”点的次数点的次数 掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未

10、掷出未掷出4 4点点” 抽验产品：抽验产品：“是正品是正品”，“是次品是次品” 一般地，一般地，设在一次试验设在一次试验E E中我们只考虑两个互逆的中我们只考虑两个互逆的结果：结果：A 或或 .A 这样的试验这样的试验E称为称为伯努利试验伯努利试验 .“重复重复”是指这是指这 n 次试验中次试验中P(A)= p 保持不变保持不变. 将伯努利试验将伯努利试验E E独立地重复地进行独立地重复地进行n次次 , ,则称这一串则称这一串重复的独立重复的独立试验为试验为n重伯努利试验重伯努利试验 .“独立独立”是指各是指各 次试验的结果互不影响次试验的结果互不影响 . 用用X表示表示n重伯努利试验中事件重

11、伯努利试验中事件A发生的次数发生的次数，则则易证：易证：0)( kXP（1）称称 r.v. r.v. X 服从参数为服从参数为n和和p的二项分布的二项分布，记作，记作 Xb(n,p)kXP 10 1 , ,nn kkkppkn 1)(0nkkXP（2）007125. 0)95. 0()05. 0() 2(223CXP例例 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从中个次品，现从中有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1个，求在所取的个，求在所取的3个中恰有个中恰有2个次品的概率个次品的概率. 解解: 因为这是有放回地取因为这是有放回地取3次，因此这次，因此这3 次试验次试验的条件

12、完全相同且独立，它是的条件完全相同且独立，它是3重伯努利试验重伯努利试验.依题意，每次试验取到次品的概率为依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设设X为所取的为所取的3个中的次品数，个中的次品数，于是，所求概率为于是，所求概率为：则则X b(3,0.05)，若若将本例中的将本例中的“有放回有放回”改为改为”无放回无放回”, 那么各次那么各次试验条件就不同了试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验此试验就不是伯努利试验 . 此此时时, 只能用古典概型求解只能用古典概型求解.00618. 0) 2(310025195CCCXP请注意：请注意：3. 泊松分布泊松分布, 2 , 1 , 0,!)

13、( kekkXPk 设随机变量设随机变量X所有可能取的值为所有可能取的值为0 , 1 , 2 , , 且概率分布为：且概率分布为：其中其中 0 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记作记作X( ).泊松分布在实际中具有十分广泛的应用泊松分布在实际中具有十分广泛的应用, 例如例如下述随机变量均可用泊松分布来描述：下述随机变量均可用泊松分布来描述： 电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼唤次数电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼唤次数；某路段一个月内发生的交通事故的次数某路段一个月内发生的交通事故的次数； 车站某时段等车人数车站某时段等车人数； 医院每天的就诊

14、人数医院每天的就诊人数； 在一个时间间隔内某种放射性物质发出的、 经过计数在一个时间间隔内某种放射性物质发出的、 经过计数器的粒子数器的粒子数等等等等 泊松泊松分布也是概率论中分布也是概率论中一种重要一种重要的理论的理论分布分布. 第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、分布函数的定义一、分布函数的定义 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数布函数 F(x) 的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间 内的内的,(x概率概率.xoxXX 设设 X 是一个是一个 r.v，称称)()(xXPxF)(x为为 X 的分布函数的分布函数 , 记作

15、记作 F (x) . 对任意实数对任意实数 x1x2，随机点落在区间，随机点落在区间( x1 , x2 内内的概率为：的概率为：P x1X x2 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函数，的分布函数， 它它的统计特性就可以得到全面的描述的统计特性就可以得到全面的描述. =P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1)1x2xox X当当 x0 时时， X x = ， 故故 F(x) =0例例1设设 随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为当当 0 x 1 时时， F(x) = PX x = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解解0 x12x x X

16、XXkp0121 31 61 2求求 X 的分布函数的分布函数 F (x) 并求并求113(),(),(12).222P XPXPX当当 1 x 2 时时， F(x) = PX=0+ PX=1= + =316121当当 x 2 时时， F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 10 x12 XxxX故故注意右连续注意右连续下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF31211202161OOO1)(xF的分布函数图的分布函数图xy2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF1()2P X 1()2F 13 13()2

17、2PX31()()22FF111236(12)PX(2)(1)(1)FFP X1121263设离散型设离散型 r .v X 的分布律是的分布律是P X=xk = pk , k =1,2,3, F(x) = P(X x) = xxkkp即即F(x) 是是 X 取取 的诸值的诸值 xk 的概率之和的概率之和.x则其分布函数则其分布函数 解解 设设 F(x) 为为 X 的分布函数，的分布函数，当当 x a 时时，F(x) =1 例例 在区间在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在设这个质点落在 0, a中意中意小区间内

18、的概率与这个小区间的长度成正比小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求，试求 X 的分布函数的分布函数.当当 0 x a 时时， P(0 X x) = kx (k为常数为常数 ) 由于由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / a0,0( ),01,xxF xxaaxa 故故 这就是在区间这就是在区间 0，a上服从均匀分布的上服从均匀分布的连续型连续型随机变量的分布函数随机变量的分布函数.二、分布函数的性质二、分布函数的性质 ,上是一个不减函数上是一个不减函数在在 xF(1) ;,212121xFxFxx

19、xx 都有都有且且即对即对 21F xF x1x2xox XX 120P xXxXX(3) F(x) 右连续，即右连续，即 )()(lim00 xFxFxx(2) xoXxx x()F limxF x limxF x()F 0 1 第四节第四节 连续型随机变量及其连续型随机变量及其概率密度概率密度 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一所有可能取值充满一个区间个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不能象离不能象离散型随机变量那样散型随机变量那样, 以指定它取每个值概以指定它取每个值概率的方式率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通过而是通过给出所谓给出所

20、谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法描述方法.则称则称 X为连续型随机变量为连续型随机变量, 称称 f (x) 为为 X 的的概率密概率密度度函数函数，简称为，简称为概率密度概率密度 .一、一、 连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义 xF xf t dt 有有,使得对任意使得对任意实数实数 , x 对于随机变量对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f (x) , ,x 连续型随机变量的分布函数在连续型随机变量的分布函数在 上连续上连续R二、概率密度的性质二

21、、概率密度的性质1 o0)(xf2 o1)(dxxf f (x)xo面积为面积为1这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r .v X 的的概率密度的充要条件概率密度的充要条件利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围内的概率范围内的概率对于任意实数对于任意实数 x1 , x2 , (x1 0 )都是常数都是常数, 则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的的正态分布正态分布或或高斯分布高斯分布. 2( ,)XN :fx验验证证确确为为密密度度函函数数 ;12 dxxf ;01 xf事实上事实上 , 22212x fx dxedx 22

22、212x edx ,2xt 令令则有则有 fx dx 202tedt 1 21tedt 202tedt xexfx,21)(222)( 正态分布的概率密度曲线图正态分布的概率密度曲线图: :曲线曲线 关于关于 轴对称；轴对称； fx易易知知：函数函数 fx在在 取得最大值取得最大值x 1.2 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中决定了图形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N正态分布的重要性正态分布是概率论与数理统计中最重要的分布，这正态分布是概率论与数理统计中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：可以由以下情形加以说明：正态

23、分布是自然界及工程技术中最常见的分布正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布则该随机指标一定服从或近似服从正态分布正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的许多分布所不具备的正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布 设

24、设 X ,),(2NX 的分布函数的分布函数是是正态分布正态分布 的分布函数的分布函数),(2N 2 22()21,2txF xedtx 1, 0的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x标准正态分布标准正态分布 221,2txxedtx 221,2x xex )(x )(x 10.2于于是是 ,1.xRxx dtexxt 2221 事实上事实上 ,22112uxedu 1.x2212uxutedu 2212uxedu 标准正态分布的重要性标准正态分布的重要性在于，任何一个一在于，任何一个一般的正态

25、分布都可以通过线性变换转化为标准般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布正态分布. .定理定理1 .1 ,0,2NXZNX 则则若若证：证： dtexXPxXPxZPxt 22221, tu令令则有则有 duexZPxu 2221 x 根据上述定理根据上述定理, ,只要将标准正态分布的分布函数只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题. . .1 ,0 NXZ 故故 xxXPxXPxFNXX2,于是于是 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计

26、算以解决一般正态分布的概率计算. .正态分布表正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(当当 x 0 时时, (x)的值的值.3),(2NX若若若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(abXYN(0,1) 则则例例: 设设 X X(50,100)N, , 计算计算(4562)PX, , (5010)P X . . 解解: (4562)PX(1.2)( 0.5)(1.2)1(0.5) 0.884910.69150.5764 (5010)(4060)P XPX(1)( 1)(1)1(1)2 (1)1 20.841310.68264550506250()1

27、01010XP4050506050()101010XP50(0,1)10XN 解解P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h . . 例例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在碰头机会在 0.01 以下来设计的以下来设计的. .设男子身高设男子身高XN( (170, ,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求因为因为 XN( (170, ,62),),故故 P(X h)=查表得查表得 ( (2.33)=)=

28、0.99010.996170h因而因而 = = 2.33, ,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01. .P(X h ) 0.99求满足求满足的最小的的最小的 h .) 1 , 0(6170NX 所以所以 . .17017066XhP 1706h 第五节第五节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.42d求截面面积求截面面积 A= 的分布的分布.比如，已知圆轴截面直径

29、比如，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，再比如再比如 ，已知，已知 t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V 的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R ( R 为电阻为电阻）的分布等的分布等.t0t0 设随机变量设随机变量 X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (设设g 是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的的分布？分布？下面进行讨论下面进行讨论.二、离散型随机变量二、离散型随机变量函数的分布函数的分布解：解： 当当 X 取值取值 1，2，3 时时， Y 取对应值取对应值 2，0，2，例例1设设X1230.50.20.3求求 Y= 2(X-2)2

30、的概率函数的概率函数. 020.20.8Y故故三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布解解 设设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，例例2设设 X 其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y = P (2X+8 y )=P X = FX( )28y28y于是于是Y 的密度函数的密度函数21)28()()(yfdyydFyfXYY故故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY注意到注意到 0 x 4 时，时， 0)(xfX即即 8 y 0 时时,)()(yYPyFY)(2yXP

31、注意到注意到 Y=X2 0 ，故当，故当 y 0 时，时， .0)(yFY)(xFX)(yFY解解 设设Y 和和 X 的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，)()(yFyFXX YFyP Yy则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为： 1221,0( )20,0yYyfyyye 1()() ,0( )2( )0,0XXYYfyfyydFyyfydyy 求导可得求导可得若若exxfX2221 )(,x 从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求P(Yy) 的过程中，的过程中，关键的一步是设法关键的一步是设法从从 g(X) y 中解出中解出X, 从而得到与从而得到与 g(X) y

32、等价的等价的X 的不等式的不等式 .例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 82y 用用 代替代替 X2 y yXy 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出的分布，从而求出相应的概率相应的概率.这是求这是求r.v的函数的分布的一种常用方法的函数的分布的一种常用方法. 下面给出一个定理，在满下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度随机变量函数的概率密度 . ( )( ) ,( )0,Yf h yh yyfy 其其它它其中其中，inf( ),a x bg x sup( ),a x bg x x=h (y) 是是

33、 y=g (x) 的反函数的反函数 .定理定理 设设 X是一个取值于区间是一个取值于区间(a,b)，具有概率密度，具有概率密度 f(x)的连续型的连续型 r.v,又设又设y=g(x)处处可导，且对于任意处处可导，且对于任意x (a, b), 恒有恒有 或恒有或恒有 ，则，则Y=g(X)是一个是一个连续型连续型r.v，它的概率密度为，它的概率密度为0)( xg0)( xg此定理的此定理的证明与前证明与前面的解题面的解题思路类似思路类似 xexfxX,21)(222)( 解解baxxgy )(的概率密度为的概率密度为随机变量随机变量 X ( )ybxh ya 解解得得ayh1)( 的概率密度为的概

34、率密度为所以所以baXY 1( )(),YXybfyfyaa 例例4 设随机变量设随机变量 服从正态分布，证明服从正态分布，证明 ),(2 NX(0)YaXba 也也服从正态分布服从正态分布. 2222()2()211( )212y baYyb aafyeaeya 即即 2)( , abaNbaXY 所以所以.),2,2(,sin的概率密度的概率密度试求电压试求电压且有且有是一个随机变量是一个随机变量相角相角常数常数是一个已知的正是一个已知的正其中其中设电压设电压VUAAV 解解上恒有上恒有在在因为因为)2,2(sin)( Agv, 0cos)( Ag,arcsin)(Avvh 所以反函数为所以反函数为,1)(22vAvh 例例5的概率密度为的概率密度为知知又由又由U),2,2( ., 0,22,1)(其他其他f的概率密度为的概率密度为由定理得由定理得AVsin ., 0,11)(22其他其他AvAvAv