《数学归纳法》公开课-完整版PPT课件.ppt

1、 11,11,2,.1nnnnaaaana 1 1. .对对于于数数列列已已知知，（1 1）写写出出此此数数列列的的前前三三项项（2 2）猜猜想想其其通通项项公公式式111a 212a 1nan 313a 课前小练习课前小练习一定正一定正确吗？确吗？这和你们小时候玩过的什么游这和你们小时候玩过的什么游戏比较类似？戏比较类似？ 你玩过多米诺骨牌吗？如何才能保证骨牌一一倒下？需要满足哪些条件就能做到？情境创设情境创设 演示1 演示2演示3（1）第一块骨牌倒下想一想想一想（2）任意相邻的两块骨牌，前一 块倒下一定导致后一块倒下 类似地，把关于自然数类似地，把关于自然数n n的的命题看作多米诺骨牌，产

2、生一种命题看作多米诺骨牌，产生一种符合运行条件的方法：符合运行条件的方法：类比应用 对于由归纳推理得到的某些与自然数有关自然数的数学对于由归纳推理得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n0(n0(例如例如 n0=1)n0=1)时命题成立时命题成立; ;数学归纳法【归纳递推】【归纳递推】（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN* * ,k n0) ,k n0)时命题时命题成立证明当成立证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立. . 这种证明方法叫

3、做这种证明方法叫做 数学归纳法数学归纳法【归纳奠基】【归纳奠基】 11,11,2,.1nnnnaaaana 1 1. .对对于于数数列列已已知知，（1 1）写写出出此此数数列列的的前前三三项项（2 2）猜猜想想其其通通项项公公式式111a 212a 1nan 313a 课前小练习课前小练习一定正一定正确吗？确吗？例例1：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明 1+3+5+(2n1)=n2 典型例题典型例题例例1：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明1+3+5+(2n1)=n2 证明证明: (1) 当当n=1时时 左左1，右，右121 n=1时，等式成立时，等式成立(2) 假设假设n=k(kN* ,k

4、1)时，等式成立，时，等式成立， 即即 1+3+5+(2k1)=k2 那么，当那么，当n=k+1时时 左左1+3+5+(2k1)2(k+1)-1 =k2+2k+1=(k+1)2=右右 即即n=k+1时命题成立时命题成立由由(1)、(2)可知等式对任何可知等式对任何nN*都成立都成立递推基础递推基础递推依据递推依据典型例题典型例题1.1.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1+2+3+n=n(n+1)/2 1+2+3+n=n(n+1)/2 (nN (nN* * ) )；你掌握了吗？来试试变式吧你掌握了吗？来试试变式吧1.1.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1+2+3+n=n(n+1)/2 1

5、+2+3+n=n(n+1)/2 (nN(nN* * ) )；证明证明:(1)当当n=1时时,左边左边=1,右边右边=1,等式是成立的。等式是成立的。 (2)假设当假设当n=k时等式成立，就是时等式成立，就是 1+2+3+k =k(k+1)/2那么，那么， 1+2+3+k+(k+1)= k(k+1)/2+ (k+1) =(k+1)(k+1)+1/2这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立。时，等式也成立。因此因此,根据根据(1)和和(2)可断定可断定,等式对于任何等式对于任何nN*都成立。都成立。6)12)(1(3212222 nnnn 例例2：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：典型例

6、题典型例题11(11)(21)162证明：(1)当n=1时，左边=1右边，等式成立222222211231(1)(21)(1)6(1)(21)6(1)6(1)(2)(23)(1)(1)121)166nkkkk kkkk kkkkkkkkk那么当时左边（2222(2(kN* ,k1)(1)(21)1236nkk kkk）假设当时成立，即 用数学归纳法证明用数学归纳法证明1nk*即当时等式也成立由（1）和（2）可知等式对任何nN 都成立本节课你收获了什本节课你收获了什么？请告诉我吧！么？请告诉我吧！所学知识你能解决哪类所学知识你能解决哪类问题？如何解决？问题？如何解决？1.1.数学归纳法是一种证明

7、与正整数有关的数数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法学命题的重要方法. .主要有两个步骤一个结论主要有两个步骤一个结论: : 【归纳奠基】【归纳奠基】（1）证明当）证明当n取第一个值取第一个值n0（如（如 n0=1或或2等）等）时结论正确时结论正确（2）假设）假设n=k时结论正确，证明时结论正确，证明n=k+1时结论时结论也正确也正确（3）由（）由（1）、（）、（2）得出结论）得出结论【归纳递推】【归纳递推】找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整重点：两个步骤、一个结论；重点：两个步骤、一个结论；归纳小结归纳小结注意：递推基础不可少，注意：递推基础不可少，归纳假设要用

8、到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。 2. 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1+2+22+2n-1=2n-1 (nN*)课后小测试课后小测试已知数列已知数列 计算计算 ,根据计算的结果根据计算的结果,猜想猜想 的表达式的表达式,并用数学归纳法进行证明并用数学归纳法进行证明.n nS S12341234S ,S ,S ,SS ,S ,S ,S1 12121323243431111解：当n =1时，s =解：当n =1时，s =1441441212 当n =1时，s =s +=当n =1时，s =s +=4774771313 当n =1时，s =s +=当n =1时，s =s +=71010710101414 当 当n =1n =1时，s =s +=时，s =s +=101313101313n nn n猜想：s =猜想：s =3n+13n+1思考思考