微分方程模型1基础知识课件.pptx

1、微分方程模型 当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立对象的动态模型。 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型微分方程模型的方法来研究该问题。 在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求解微分方程。 微分方程的实质： 实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，是一个动态模型。 作用： 1、分析它的变

2、化规律； 2、预测它的未来形态； 3、研究它的控制手段。与统计方法的区别： 机理；事件发生的数量统计规律建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 理学院理学院（3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，

3、检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。理学院理学院 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数常微分方程建模常微分方程建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程求解常微分方程有三种方法：求解常微分方程有三种方法： 1 1）求精确解；）求精确解；2 2）求数值解（近似解）；）求数值解（近似解）；3 3）定性理论方法。）定性理论方法。理学院理学院简单例子简单例子R( ) tiiEL在电感上的电压降为 ( )di tLdt由Kirchhoff回路电压定律知： 沿着任一闭

4、合回路的电压降的代数和为零。 我们得到电流 ( )i t所满足的微分方程为：(1)(1)：RL串联电路由电阻、电感、关闭合后电路中的电流强度 电源组成的串联电路，求开).(ti解解：当电路中电流为 时，在R上的电压降为 )(ti)(tRi ( )( )di tLRi tEdt取开关闭合时刻为0，则 (0)0i故当开关闭合后，电路中的电流强度为：( )1exp()ERi tCtRL(2) (2) 湖泊的污染湖泊的污染设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每

5、小时, 湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。解解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为考虑 ,ttt内湖泊中盐酸的变化。( )x t( )()( )20 3.08-1000400000020 x tx ttx tttt 因此有. 0)0(, 6 .612400000100 xtxdtdx该方程有积分因子50)02.04000()2400000100exp()(tdttt两边同乘以)(t后,整理得5050)02. 04000(6 .61)02. 04000(ttxdtd积分得Ctxt5150)02. 0400(513080)02. 04000

6、(利用初始条件得51)4000(513080C.)02. 040004000(400002. 04000513080)(50tttx).kg(223824)8760(x（3） （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图从图3-1中不难看出，小球所受的合力为中不难看出，小球所受的合力为mgsin，根据根据牛顿第二定律牛顿第二定律可得：可得： ( ),( ),sinmx tFx tlmlmg 从而得出两阶微分方程：从而得出两阶微分方程： 0sin0(0)0, (0)gl（3.1）

7、这是理想单摆应这是理想单摆应满足的运动方程满足的运动方程 （3.13.1）是一个两阶非线性方程，不是一个两阶非线性方程，不易求解。当易求解。当很小时，很小时，sin，此时，此时，可考察（可考察（3.13.1）的近似线性方程：）的近似线性方程： MQPmgl图图3-1 00(0)0, (0)gl（3.2）由此即可得出由此即可得出2gTl （3.23.2）的解为）的解为: : (t)= 0cost gl其中其中 当当 时时,(t)=04Tt 42g Tl故有故有MQPmgl图图3-1 （3.13.1）的）的近似方程近似方程一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设

8、水从小孔流出的速度为 ，求在任一时刻的水面高度和将水放空所需的时间。ghv2例例1 流水问题流水问题BAhh h第一步列方程等量关系：水面1水面2设时刻 的水面高度为th 时的水面高度为tt hh 时间由水面1 降到水面2所失去的水量等于从小孔流出的水量。t sBhA s 是水在 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离。t sBhA tsBthA limlimdtdsBdtdhAghABdtdh2初始条件Hh)(0可分离变量的方程。理学院理学院-第二步解方程：ghABdtdh2dtgABhdh2thHdtgABhdh02tgABHh222tgABHh22222tgABHh222tgABHh

9、水面高度与时间的函数关系水流空所需时间为（令 h=0 ）gHBAt2- -理学院理学院-例例2 2：古尸年代鉴定问题：古尸年代鉴定问题在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，与的比例仅仅是活年代测定，分析表明，与的比例仅仅是活组织内的组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？，能否判断此人生活在多少年前？c14c12背景背景年代测定方法是年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比年美国芝加哥大学利比（W.F.Libby）建立的，是

10、考古工作者研究断代的）建立的，是考古工作者研究断代的重要手段之一。重要手段之一。c14-理学院理学院-宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有放射性的应而生成具有放射性的 。从古至今，碳。从古至今，碳 不断产不断产生，同时其本身又在不断的放出生，同时其本身又在不断的放出 射线而裂变为氮。射线而裂变为氮。大气中大气中 处于动态平衡状态，处于动态平衡状态， 经过一系列交换过经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体活体中，的数

11、量与稳定的的数量成定比，生物体死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂放射性元素裂变规律变规律衰减。衰减。c14c12基本原理基本原理从星际空间射到地球的射线从星际空间射到地球的射线c14c14c14c14-理学院理学院- C14的蜕变规律的蜕变规律 C14是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使大气层产生中子，中子与氮气作用生成的具有放射性的物质。这种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作为动物的食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内。 C14是放射性的，无论在空气中还是在生物体内他都在不断衰变，这种衰变规律我们可以求出来。通常假定其

12、衰变速度与该时刻的存余量成正比。-理学院理学院-裂变速率与剩余量成正比。裂变速率与剩余量成正比。 c14=1/8000设在时刻t（年），生物体中C14的存量为x(t),生物体的死亡时间记为t0=0,此时C14含量为x0,由假设，初值问题的数学模型为： 00 xxxdtdx)(textx0)(已知：已知： c14=1/8000-理学院理学院-解为规律：规律：裂变速率与剩余量成正比。裂变速率与剩余量成正比。 80000texx时06240当0 x.x yrt22400062408000 .ln求得此即所求死亡年数。 1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓

13、时，对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-C14的量约为大气中的的量约为大气中的0.7757倍，采用该方法计算得倍，采用该方法计算得该墓距离今天有该墓距离今天有21302130年左右。年左右。通过历史文献考证，该古墓的年代为西汉早期，约在通过历史文献考证，该古墓的年代为西汉早期，约在21002100年年前，两者符合得很好。前，两者符合得很好。思考：如何求半衰期？2)(0 xTxktextx0)(代入得21lnT由由 c14=1/8000 可得碳可得碳14的半衰期为的半衰期为5568年-理学院理学院-思考：假设已知思考：假设已知C14的半衰期，不知道物质

14、中的半衰期，不知道物质中C14的数量，可的数量，可以测出单位时间衰变放射出的以测出单位时间衰变放射出的C14分子数，如何确定生物体分子数，如何确定生物体的年龄？的年龄？textx0)(ln2T1tTextx2ln0)(由：可得：)(ln2ln0txxTt 即：由于x(0),x(t)不便于测量，我们可把上式作如下修改.)()(txextxt0000 xxx)()( -理学院理学院-)()()0(0txxtxx)()0(ln2lntxxTt将上式代入，可得： 这样由上式可知，只要知道生物体在死亡时体内C14的衰变速度 和现在时刻t的衰变速度 ,就可以求得生物体的死亡时间了，在实际计算上，都假定现代

15、生物体中C14的衰变常数与生物体死亡时代生物体中C14的衰变常数相同。)0(x )(tx -理学院理学院-马王堆一号墓年代确定的第二种方法 马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的木炭标本的C14平均原子蜕变数为29.78/s,而新砍伐木头烧成的木炭中C14平均原子蜕变数为38.37/s,又知C14的半衰期为5568年，这样，我们可以把sx/37.38)0(stx/78.29)(代入)()0(ln2lntxxTt203678.2937.38ln2ln5568t得年这样就估算出马王堆一号墓大约是在2000多年前的西汉时代。 任何生物体内都含有一定量的碳14。当生物活着的时候，它不断和外界

16、进行物质交换，所以生物体内碳14的含量和自然界中碳14的含量是相平衡的。可是，一旦生物死亡，就不再与外界进行物质交换，他们体内的碳14就不断减少，并且得不到任何补充。由于碳14是放射性碳，它的半衰期为5730年，所以每过5730年放射性碳原子数目就减少一半。自然界没有任何力量可以使这个过程减慢或加快，于是测定它在有机体残骸中的含量，就可以准确地确定生物体死亡的年龄。美国化学家李比，根据碳14的这一特性，创立了一种崭新的化学分析法放射性碳14断代法。由于这种方法应用广泛，准确无误，具有重大的科学价值，因此，他于1960年获得了诺贝尔化学奖。 -理学院理学院-例例3 3 范范. . 梅格伦（梅格伦

17、（Van MeegrenVan Meegren）伪造名画案）伪造名画案 第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Van.Meegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了此人。 Van.Meegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画耶稣在学者中间。当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。-理学院理学院- 为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术

18、史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。 这样，伪造罪成立， Van meegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。 但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Van meegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。-理学院理学院-原理原理著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出： 物质的放射性正比于现存物质的原子数。设 时刻的原子数为 ，则

19、有t)(tNNdtdN为物质的衰变常数。初始条件00NNtt)()(00tteNtNNNtt001ln-理学院理学院-NNtt001ln半衰期21lnT年5568T碳-14亿年45T铀-238年1600T镭-226年22T铅-210能测出或算出，只要知道 就可算出)(,tN0N这正是问题的难处，下面是间接确定 的方法。0N断代。-理学院理学院-油画中的放射性物质油画中的放射性物质 白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取

20、出来时， Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速衰变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的衰变正好等于镭衰变所补足的为止。-理学院理学院-铀238镭226铅210钋210铅206亿年45T年1600T年22T天138T（无放射性）-理学院理学院-假设假设（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用 表示。（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。r-理

21、学院理学院-建模建模设 时刻每克白铅中含铅210的数量为 ，t)(ty0y为制造时刻 每克白铅中含铅210的数量。0t为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量00ytyrydtdy)(-理学院理学院-变化的数学模型为：求解求解)()()(0001tttteyerty)()()(1000tttteretyyrty ),(,均可测出。可算出白铅中铅的衰变率 ，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。0y矿石中铀的最大含量可能 23%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过 4%。-理学院理学院-测定结果与分析测定结果与分析画名画名钋钋210衰变原子数衰变原子数镭镭226衰变原子数

22、衰变原子数Emmaus的信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人1.51.4欢笑的女孩5.26.0-理学院理学院-若第一幅画是真品，3000tt)()()(1000tttteretyy)(1300300erety222ln111502223002300lnee)(.1282058211150111500y每分钟每克个/98050每分钟每克个/30000铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。Emmaus的信徒们-理学院理学院-此例的含义：此例的含义：1 1、微分方程模型的作用；、

23、微分方程模型的作用；2 2、模型假设与简化的作用。、模型假设与简化的作用。碳定年代法的不足碳定年代法的不足 现在，现在，C14年代测定法已受到怀疑，在年代测定法已受到怀疑，在2500-10000年前这年前这段时间中与其他断代法的结果有差异。段时间中与其他断代法的结果有差异。1966年，耶鲁实验室的年，耶鲁实验室的Minze Stuiver 和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的Hans E.Suess在一份报告中指出了这一时期使在一份报告中指出了这一时期使C14年代测定产生误差的根本年代测定产生误差的根本原因。在那个年代，宇宙射线的放射强度减弱了，偏差的峰值原因。在那个年

24、代，宇宙射线的放射强度减弱了，偏差的峰值发生在大约发生在大约6000年以前。这两位研究人员的结论出自对年以前。这两位研究人员的结论出自对Brist/econe松树所作的松树所作的C14年代测定的结果，因为这种松树同时年代测定的结果，因为这种松树同时还提供了精确的年轮断代。他们提出了一个很成功的误差公式，还提供了精确的年轮断代。他们提出了一个很成功的误差公式，用来校正根据用来校正根据C14断代定出的断代定出的2300-6000年前这期间的年代：年前这期间的年代： 真正的年代真正的年代=14C年年1.4900。42例例4、人、人 口口 模模 型型1. 问题的提出问题的提出2. 假设和定义假设和定义

25、3. 模型的建立模型的建立4. 分析和求解分析和求解5. 结论和讨论结论和讨论431. 问题的提出问题的提出 人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一，一些发人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一，一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科学技术和生产动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数力飞速发展的推动下，世界人

26、口以空前的规模增长，统计数据显示：据显示：年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口（亿）5 10 20 30 40 50 60 44 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表：快，如下表：年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000 人口（亿）人口（亿）3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.95 认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较认识人口

27、数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。准确的预报，是有效控制人口增长的前提。下面介绍两个最基本的人口模型：下面介绍两个最基本的人口模型： Malthus模型、模型、Logistic模型模型452. 模型模型1 (Malthus模型模型) 18世纪末，英国人世纪末，英国人Malthus在研究了百余年在研究了百余年的人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程的人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程中，中，净相对增长率净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长（出生率减去死亡率为净增长率）是常数。率）是常数。46 123(1)2.1.2rN trN 设时刻t的人口为N

28、 t净相对增长率为把当作连续的变量 按照Malthus的理论,在t到t+ t时间内人口的增长量为: N(t+ t)-N(t)=rN(t) t令 t0,则得到微分方程dN dt模型假设:2建立模型4700,(2)(3)2.32.4trtdNrNdtNNe 00若记初始时刻(t=0)的人口为N则有 解得 N(t)=N 如果r0 (3)式表明人口将以指数规律无限增长,特别地,当t时,N(t)+ ,这似乎不太可能.模型求解模型分析48000000ln( ):rt crttrtrdtNrtcNeNCeANNNCeCNNN e解法如下:dN 由 N又即49r=0.2743/10年，xm=4.188数据拟合

29、：r=0.2022/10年， xm=6.045050指数增长模型的应用及局限性：指数增长模型的应用及局限性： 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) )51 分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人分析表明，

30、以上这些现象的主要原因是随着人口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口增口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。因此，我们将对指数模型关于少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长率净相对增长率是常数的基本假设进行修改。是常数的基本假设进行修改。2.5 模型修改模型修改52,( ),3.2()3.1N tLogisticmmm 荷兰生物学家V

31、erhulst引入常数N 表示自然资源和环境条件所能容许的最大人口,并假定净相对N(t)增长率等于r 1-即净相对增长率随着增N长而减少.当N(t)N 时 净相对增长率趋于零.与模型1相同,增加的条件为N 表示自然资源m和环境条件所能容许的最大人口.模型模型模型假设 530,( )1(4)(5)3.2mN tNrNNNmt=0N(t) 并假定净相对增长率等于r 1-N即净相对增长率随着增加而减少). 这样,Malthus模型中的方程(1)变为dN dt仍给出与Malthus模型相同的初始条件 N模型的建立540.mdNrNrNdtNdNrNdt rt这是一个非齐线性常微分方程容易求得它对应的齐

32、线性常微分方程 的通解为 N(t)=e根据常数变易法易求得其解255(6)13.33.4rtmeN mm0 (4)在初始条件为(5)下的解为N N(t)=N1+N容易看出,当t+ 时,N(t)模型的求解模型分析56参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r, xm 利用统计数据用利用统计数据用最小二乘法最小二乘法作拟合作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3

33、204.0 226.5 251.4阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.157x txxxemmrt( )()110r=0.2557, xm=392.158模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx实际为实际为281.4 (百万百万)5 .274)2000(x模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数阻滞增长模型阻滞增

34、长模型( (Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.03.06188亿（亿（2009年，世界国家和地区第年，世界国家和地区第3名，次于中国、印度）名，次于中国、印度）人口密度人口密度31人人/平方公里（世界国家和地区第平方公里（世界国家和地区第177名）。名）。 例例5. 传染病模型传染病模型问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方

35、法建立模型用机理分析方法建立模型 已感染人数已感染人数 (病人病人) i(t) 每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设ttititti)()()(若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?指数指数模型模型sidtdi1)()(tits模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变

36、，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为)(),(tsti 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为 , 且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接触率接触率SI 模型模型0)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率) tm 1itLogistic 模型?t=tm, di/dt 最大最大SI 模型模型teiti1111)(0模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康

37、人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/ 日接触率日接触率1/ 感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值/1)(ti形曲线增长按Sti )(感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数小01i1-1/ i0i

38、iidtdi)1 (模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 0模型模型4传染病有免疫性传染病有免疫性病人治愈病人治愈后即移出感染系统，称后即移出感染系统，称移出者移出者SIR模型模型假设假设1）总人数）总人数N不变，病人、健康人和移不变，病人、健康人和移出者的比例分别为出者的比例分别为)(),(),(trtsti2）病人的日接触率）病人的日接触率 , 日日治愈率治愈率 , 接触数接触数 = / 建模建模1)()()(trtits需建立需建立 的两个方程的两个方程)(),(),(trtsti

39、()( )( )( )( )N i tti ts t Ni ttNi tt 模型模型4SIR模型模型很小）通常000)0(1rrsi无法求出无法求出 的解析解的解析解)(),(tsti ()( )( )( )N s tts ts t Ni tt 00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi采用数值方法计算采用数值方法计算例例6 Volterra 捕食捕食-被捕食模型被捕食模型 设有捕食种群和食饵种群生活在同一小环境中,建立微分方程组来研究两种群个体数量随时间的变化趋势.设 t 时刻食饵和捕食者的数量或密度分别为),(),(tytx假设个体不区分大小, 而且没有个体向环境输入或从环境输出

40、, 当环境中不存在捕食者时, 食饵种群的增长规律用下述Logistic方程来描述上式左端表示被捕食者的相对增长率; 右端的常数1r称为内禀增长率,1k为环境的容纳量, 由 (4.1.6) 可以看出,.),(111kraaxrxdtdx.),1 (111111dbrkxrdtdxx(4.1.6)因此当1kx 时,种群规模增长, 1kx 时, 种群规模减小.1k反映了环境能保证食饵个体数量变化时最合适的容量, 把(4.1.6) 改写形式是其出生率 减去死亡率1b,1d(4.1.7)其中项ax反映了以下事实: 即在容纳量ark11一定的条件下,x的增大, 将使每一个体平均的生活条件降低, 从而影响种

41、群的相对增长率, 因此 ax或2ax称为密度制约项.由于捕食者的存在, 将使食饵的增长率减少, 设单位总量成正比, 注意到 t 时刻有y(t) 个捕食者, 它们在时间内每个捕食者吃掉的食饵数量与该时刻食饵的单位时间内吃掉食饵的总数量应为0,bbxy为常数,).(1byaxrxdtdx对于捕食种群, 当不存在食饵种群时, 仍用Logistic).(2dyrydtdy于是(4.1.7) 变为方程来描述增长规律, 即当存在食饵种群时, 被捕食者吃掉的食饵将转化为能量去生育后代, 设转化系数为, k则捕食种群的增长规律为2d().yyrcxdydt其中, 0, 0, 02kbcrd式中项yr2反映了捕食者仅以食饵 x为生.这样我们得到一个Volterra 捕食-食饵系统)()(21dycxrydtdybyaxrxdtdx(4.1.10)