最新沪科版九年级数学下24.5三角形的内切圆ppt公开课优质课件.ppt

1、导入新课讲授新课当堂练习课堂小结24.5 三角形的内切圆第24章 圆学习目标1.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.2.掌握三角形内心的性质并能加以应用.(重点)3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.（难点）导入新课导入新课问题引入小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？讲授新课讲授新课三角形的内切圆及作法一问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ 互动探究OOOO最大的圆与三角形三边都相切三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？

2、 (1) 如果半径为r的I与ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2) 在ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.为什么呢？已知：ABC.求作：和ABC的各边都相切的圆.ABCOMND作法：1.作B和C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作ODBC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.O就是所求的圆.做一做1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.B

3、ACI I是ABC的内切圆，点I是ABC的内心，ABC是I的外切三角形.知识要点三角形的内心的性质一BACI问题1 如图，I是ABC的内切圆，那么线段OA，OB ,OC有什么特点？互动探究线段OA，OB ,OC 分别是A，B，C的平分线.BACI问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？EFGIE=IF=IG知识要点u三角形内心的性质三角形内心的性质三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.BACIEFG IA，IB，IC是ABC的角平分线，IE=IF=IG.典例精析例1 如图，ABC中， B=43

4、，C=61 ，点I是ABC的内心，求 BIC的度数.解：连接IB，IC.ABCI点I是ABC的内心，IB，IC分别是 B，C的平分线，在IBC中，180()BICIBCICB 1180()2BC 1180(4361 )2128 .例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.该木模可以抽象为几何如下几何图形.CABrOD解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.圆O是ABC的内切圆,AO、BO是BAC、ABC的角平分线 ABC是等边三角形, OA

5、B=OBA=30oODAB，AB=3cm，AD=BD= AB=1.5(cm)12OD=AD tan30o= (cm)32答:圆柱底面圆的半径为 cm.32例3 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ACBEDFO解: 设AF=xcm，则AE=xcm.CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).方法小结：

6、关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得 x=4.比一比名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部ABOABCO解析：先画草图，由等腰三角形底边上的中垂线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.解：如图，由题意可知BC=6cm,ABC=60，ODBC，OB平分ABC.OBD

7、=30，BD=3cm,OBD为直角三角形.tan303cm.ODBD2 3cm.cos30BDBD 内切圆半径外接圆半径变式：求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.sinOBD sin30rR ODOB .12ABCODEFABCDEFO设ABC的面积为S，周长为L， ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？想一想：要求出三角形的面积需要哪些量?根据三角形内心的性质,可以如何添加辅助线?111222SAB OFAC OEBC OD11().22ABACBC rLrABCOcDEr如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为_（以含

8、a、b、c的代数式表示r）.2abcr解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.F则AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以.2abcr当堂练习当堂练习（2）若A=80 ，则BIC = 度.130201.如图，在ABC中，点I是内心， （1）若ABC=50， ACB=70，BIC=_.ABCI（3）若BIC=100 ，则A = 度.（4）试探索： A与BIC之间存在怎样的数量关系？120190.2BICA2.九章算术是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何

9、”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步”该问题的答案是_步6解析：先由勾股定理得出斜边的长，再根据公式 求出该直角三角形内切圆的半径，即可得起至今的长度.2abcr3.如图， O与ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（）A点O是ABC的内心 B点O是ABC的外心 CABC是正三角形 DABC是等腰三角形 解析：过O作OMAB于M，ONBC于N，OQAC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，即点O是ABC的内心.故选4.如图，ABC中，I是内心，

10、A的平分线和ABC的外接圆相交于点D.求证：DIDB.证明：连接BI.I是ABC的内心，BAD=CAD，ABI=CBI，CBD=CAD，BAD=CBD，BID=BAD+ABI，IBD=CBI+CBD，BID=IBD，BD=ID拓展提升：直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：（1）它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？（2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围.ABCEDFO51解：如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.ABODCOBBC3，半径r的取值范围为0r3.课堂小结课堂小结三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内心概念及性质应 用见本课时练习课后作业课后作业