2022年陕西省西安市高考数学第二次质检试卷（理科）（学生版+解析版）.docx

1、2022年陕西省西安市高考数学第二次质检试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若集合Ax|（x+3）（x4）0，Bx|x0，则AB（）A4，+）B（0，4）C（3，0）D（3，02（5分）i为虚数单位，若复数a+i1+i=i，则实数a的值为（）A1B0C-12D13（5分）已知a，b都是实数，则“log21alog21b”是“|a|b|”的（）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D即不充分也不必要条件4（5分）已知双曲线C：y2a2-x2b2=1（a0，b0）的一条渐近线与x轴正半轴所成夹角为3，则C的

2、离心率为（）A233B2C3D35（5分）按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数y=0.05+e-t10(R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（）（参考数据：ln31.1）A8.8分钟B11分钟C13.2分钟D22分钟6（5分）如果函数y3cos（2x+）的图象关于点（43，0）中心对称，那么|的最小值为（）A6B4C3D27（5分）如图，点E为正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1的中点，用过点A，E

3、，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）ABCD8（5分）在区间2，2上随机取一个数x，则事件“y=2x(x0)x+1(x0)，且y12，2”发生的概率为（）A12B38C58D789（5分）已知f（x）2x（12）x，若f（m）+f（n）0，则（）Am+n0Bm+n0Cmn0Dmn010（5分）在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，ca+b+ba+c=1，则B+C（）A3B23C6D411（5分）有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（）A216B729C540D42012（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=

4、1（ab0）的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A3-1B3C12D22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角为60，则|m-n|= 14（5分）已知倾斜角为45的直线l与曲线ylnx-2x+1相切，则直线l的方程是 15（5分）已知函数f(x)=1-x，x0cosx，x0，若关于x的方程f（x+t）0在（，0）内有唯一实根，则实数t的取值范围是 16（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，以A为球心，22为半径的球面与面A1B1C1D1的交线长为 三、解

5、答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题（60分）17（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450950元之间根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示，将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”（1）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若样本中属于“高消费群”的女生有20

6、人，完成下列22列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男女合计（参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+d）P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818（12分）在公比为2的等比数列an中，数列an的前n项和为Sn，且a2，a3，a44成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn（n+1）log2an，求数列2bn的前n项和Tn19（12分）如图，

7、S为圆锥的顶点，O为底面圆心，点A，B在底面圆周上，且AOB60，点C，D分别为SB，OB的中点（1）求证：ACOB；（2）若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC与平面SOA所成的角的正弦值20（12分）已知定点F（0，1），定直线l：y1，动圆M过点F，且与直线相切（1）求动圆M的圆心轨迹E的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线E交于A、B两点，与圆N：x2+y22y0交于C、D两点（A，C在y轴同侧），求证：|AC|DB|是定值21（12分）已知函数f（x）alnx+1x-1(a0)（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）x1对x（0，1恒成立，求实数a的取值范围（二）选考

8、题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+tcosy=tsin（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2=124-cos2（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，点D是AB的中点，点F（1，0），求|DF|的取值范围选修4-5：不等式选讲23设不等式|2x1|1的解集是M，且a，bM（1）试比较ab+1与a+b的大小；（2）设maxA表示数集A中的最大数，h=max1ab，a2+b2ab，证明：h

9、22022年陕西省西安市高考数学第二次质检试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若集合Ax|（x+3）（x4）0，Bx|x0，则AB（）A4，+）B（0，4）C（3，0）D（3，0【解答】解：Ax|3x4，Bx|x0，AB（0，4）故选：B2（5分）i为虚数单位，若复数a+i1+i=i，则实数a的值为（）A1B0C-12D1【解答】解：a+i1+i=i，a+i（1+i）i1+i，解得a1故选：A3（5分）已知a，b都是实数，则“log21alog21b”是“|a|b|”的（）A充要条件B必要

10、不充分条件C充分不必要条件D即不充分也不必要条件【解答】解：由log21alog21b，可得1b1a0，ab0，|a|b|成立，故充分性成立；由|a|b|成立，不能推出ab0，例如当a4，b1时，故不能推出log21alog21b，故必要性不成立，故“log21alog21b”是“|a|b|”的充分不必要条件，故选：C4（5分）已知双曲线C：y2a2-x2b2=1（a0，b0）的一条渐近线与x轴正半轴所成夹角为3，则C的离心率为（）A233B2C3D3【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y=abx，由题意可得ab=tan3=3，则ba=33，所以，e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+(ba)

11、2=233故选：A5（5分）按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数y=0.05+e-t10(R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（）（参考数据：ln31.1）A8.8分钟B11分钟C13.2分钟D22分钟【解答】解：由题意可知当t0时，y0.2，即0.05+0.2，0.15，y0.05+0.15e-t10，由0.05+0.15e-t100.1得e-t1013，两边同时取自然对数得-t10ln13=-ln3

12、，t10ln311，即该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为11分钟，故选：B6（5分）如果函数y3cos（2x+）的图象关于点（43，0）中心对称，那么|的最小值为（）A6B4C3D2【解答】解：函数y3cos（2x+）的图象关于点(43，0)中心对称243+=k+2=k-136(kZ)由此易得|min=6故选：A7（5分）如图，点E为正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）ABCD【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C故选：C8（5

13、分）在区间2，2上随机取一个数x，则事件“y=2x(x0)x+1(x0)，且y12，2”发生的概率为（）A12B38C58D78【解答】解：事件“y=2x(x0)x+1(x0)，且y12，2”由题可知，该分段函数是一个增函数，y12，2，此时x1，1，所以该事件发生的概率P=1-(-1)2-(-2)=12故选：A9（5分）已知f（x）2x（12）x，若f（m）+f（n）0，则（）Am+n0Bm+n0Cmn0Dmn0【解答】解：由f（x）2x（12）x，xR；所以f（x）2x-(12)-x=(12)x-2xf（x），所以f（x）是定义域R上的奇函数，且是增函数；又f（m）+f（n）0，所以f（m

14、）f（n）f（n），所以mn，所以m+n0故选：A10（5分）在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，ca+b+ba+c=1，则B+C（）A3B23C6D4【解答】解：因为ca+b+ba+c=1，整理可得b2+c2a2bc，所以由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又A（0，），所以A=3，所以B+CA=23故选：B11（5分）有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（）A216B729C540D420【解答】解：根据题意，分2步进行计算：先将6名医生分为3组，若分为1、1、4的三组，有C6415种分组方法，

15、若分为1、2、3的三组，有C63C3260种分组方法，若分为2、2、2的三组C62C42C22A33=15种分组方法，则有15+60+1590种分组方法；将分好的三组对应三个医院，有A336种情况，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为906540种；故选：C12（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A3-1B3C12D22【解答】解：设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，由题设条件知AF1ABBF2c，F1AF290，AF1=c，AF2=3c，2a=(3+1)c，e=ca=

16、c3+12c=3-1故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角为60，则|m-n|=27【解答】解：根据题意，若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角为60，则mn=4612=12，则|m-n|2=m2+n22mn=36+162428，则|m-n|27，故答案为：2714（5分）已知倾斜角为45的直线l与曲线ylnx-2x+1相切，则直线l的方程是 xy+ln220【解答】解：直线的倾斜角为45，则直线的斜率为tan451，由ylnx-2x+1，得y=1x+2x2，由y=1x+2x2=1，解得x1（舍去）或x2切点坐标为（2，ln2

17、），则直线l的方程为yln21（x2），即xy+ln220故答案为：xy+ln22015（5分）已知函数f(x)=1-x，x0cosx，x0，若关于x的方程f（x+t）0在（，0）内有唯一实根，则实数t的取值范围是 (2，32【解答】解：令f（x）0，得x01-x=0或x0cosx=0，解得x=2+k，且kN，所以较小的实数根为2、32，因为x（，0），所以x+t（，t），若关于x的方程f（x+t）0在（，0）内有唯一实根，则2t32，即实数t的取值范围是(2，32故答案为：(2，3216（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，以A为球心，22为半径的球面与面A1B1C1D1的交

18、线长为 【解答】解：由题意知AB1=AD1=22+22=22如图，在平面A1B1C1D1内任取一点P，使A1P2，则AP=AA12+A1P2=22，故以A为球心，22为半径的球面与面A1B1C1D1的交线是以A1为圆心，以2为半径的圆，故该交线长为：故答案为：三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题（60分）17（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布

19、在450950元之间根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示，将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”（1）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若样本中属于“高消费群”的女生有20人，完成下列22列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男女合计（参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+d）P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.

20、7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】解：（1）由题意知100（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）1，解得a0.0035，样本平均数为x=5000.15+6000.35+7000.25+8000.15+9000.10670元（2）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下22列联表：属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男生53540女生204060合计2575100计算K2=100(540-2035)240602575=5095.024，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性

21、别”有关18（12分）在公比为2的等比数列an中，数列an的前n项和为Sn，且a2，a3，a44成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn（n+1）log2an，求数列2bn的前n项和Tn【解答】解：（1）设q2，由a2，a3，a44成等差数列，可得2a3a2+（a44），即2（4a1）2a1+（8a14），解得a12，所以an22n12n；（2）bn（n+1）log2ann（n+1），2bn=2n(n+1)=2（1n-1n+1），则数列2bn的前n项和Tn2（1-12+12-13+.+1n-1n+1）2（1-1n+1）=2nn+119（12分）如图，S为圆锥的顶点，O为底面圆心，点A

22、，B在底面圆周上，且AOB60，点C，D分别为SB，OB的中点（1）求证：ACOB；（2）若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC与平面SOA所成的角的正弦值【解答】（1）证明：OAOB，AOB60，AOB是等边三角形，D是OB的中点，ADOB，C，D分别是SB，OB的中点，CDSO，SO平面AOB，SOOB，CDOB，又CDADD，OB平面ACD，又AC平面ACD，CDOB（2）解：SO平面AOB，SOCD，CD平面AOB，以D为原点，以DA，DB，DC所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示：则A（3，0，0），O（0，1，0），S（0，1，4），C（0，0，2），AC=（-3

23、，0，2），OA=（3，1，0），OS=（0，0，4），设平面SAO的法向量为n=（x，y，z），则nOAnOS，即3x+y=04z=0，令x1可得n=（1，-3，0），cosn，AC=nAC|n|AC|=-327=-2114，设直线AC与平面SOA所成的角为，则sin|cosn，AC|=2114，故直线AC与平面SOA所成的角的正弦值为211420（12分）已知定点F（0，1），定直线l：y1，动圆M过点F，且与直线相切（1）求动圆M的圆心轨迹E的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线E交于A、B两点，与圆N：x2+y22y0交于C、D两点（A，C在y轴同侧），求证：|AC|DB|是定值【解答

24、】（1）解：由题意，得动圆的圆心M到点F（0，1）的距离等于到直线y1的距离，所以M的轨迹是以点F（0，1）为焦点的抛物线，其轨迹方程为E：x24y；（2）证明：设经过焦点F的直线为l：ykx+1，联立y=kx+1x2=4y，得x24kx40；设A（x1，y1），B（x2，y2），则16（k2+1）0，且x1+x24k，x1x24；因为圆N：x2+y22y0的圆心为N（0，1）（即抛物线的焦点），半径为1，由抛物线的定义，得|AF|y1+1，|BF|y2+1，则|AC|AF|1y1，|BD|BF|1y2，所以|AC|DB|y1y2（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k(x1+x2)+1

25、=-4k2+4k2+1=1，即|AC|DB|是定值，定值是121（12分）已知函数f（x）alnx+1x-1(a0)（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）x1对x（0，1恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）当a0时，f（x）alnx+1x-1的定义域为（0，+），且f（x）=ax-1x2=ax-1x2，当a0时，对任意的x0，f（x）0，此时函数f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，由f（x）0，可得0x1a，当f（x）0，可得x1a，此时，函数f（x）的单调递减区间为（0，1a），单调递增区间为（1a，+）综上所述，当a0时，函数f（x）在（0，+）上单调递减；当

26、a0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，1a），单调递增区间为（1a，+）（2）令g（x）f（x）x+1alnx+1x-x，g（x）=ax-1x2-1=-x2+ax-1x2，令h（x）x2+ax1，对称轴为x=a2，因为h（0）10，又h（1）a2，当a0时，h（x）0，g（x）0在（0，1上恒成立，所以g（x）在（0，1上单调递减，g（x）g（1）0成立；当0a2时，a240，h（x）0，g（x）0，所以g（x）在（0，1上单调递减，g（x）g（1）0成立；当a2时，h（1）0，所以h（x）在（0，1）上有唯一零点，记为x0，且g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，1）上单调递增，所

27、以当x（x0，1）时，g（x）g（1）0，不成立综上，实数a的取值范围是（，0）（0，2（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+tcosy=tsin（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2=124-cos2（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，点D是AB的中点，点F（1，0），求|DF|的取值范围【解答】解：（1）由题意可得，12422cos24（x2+y2）x23x2+4y2，所

28、以曲线C的直角坐标方程为x24+y23=1（2）联立方程x=1+tcosy=tsinx24+y23=1，得到（3+sin2）t2+6cost90，设A，B对应的参数t分别为t1，t2，则t1+t2=-6cos3+sin2因为D是A，B的中点，所以|DF|=|t1+t22|=|3cos3+sin2|=|3cos4-cos2|当cos0时，|DF|0当cos0时，|DF|=3|4cos-cos|，因为cos1，1，所以|DF|（0，1综上所述，|DF|0，1选修4-5：不等式选讲23设不等式|2x1|1的解集是M，且a，bM（1）试比较ab+1与a+b的大小；（2）设maxA表示数集A中的最大数，h=max1ab，a2+b2ab，证明：h2【解答】解：由|2x1|1，得12x11，解得0x1，Mx|0x1（）由a，bM，得0a1，0b1，（ab+1）（a+b）（a1）（b1）0，故ab+1a+b（）由h=max1ab，a2+b2ab，得h1ab，ha2+b2ab，h21aba2+b2ab=a2+b2ab2，又0a1，0b1，h2，当且仅当ab时等号成立第18页（共18页）