2022年山西省吕梁市高考数学一模试卷（文科）（学生版+解析版）.docx

1、2022年山西省吕梁市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑.1（5分）已知集合Ax|x25x60，B2，1，4，8，则AB（）A2，1B1，4C1，8D4，82（5分）若zi+2i2+3i3，则z=（）A2+2iB22iC22iD2+2i3（5分）已知圆C：x2+y24x0，过点M（1，1）的直线被圆截得的弦长的最小值为（）A2B22C1D24（5分）已知sin(+6)=35，则cos(2+3)=（）A725B-725C2125D-21255（5分）如图，已知正方

2、体ABCDA1B1C1D1，依次连接正方体相邻面的中心，组成一个正八面体，则该正八面体的体积与正方体的体积之比为（）A13B14C16D186（5分）如图：在正方形网格中有向量a，b，c若c=xa+yb，则（）Ax2，y1Bx1，y2Cxy1Dxy27（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）2x+x1，则当x0时，f（x）（）A2xx1B2x+x+1C2xx1D2x+x+18（5分）已知alog35，blog45，c=1a+1b，则5c（）A12B112C7D179（5分）设函数f(x)=sin(x+6)在，的图象大致如图所示，则f（x）的最小正周期为（）A43B32

3、C76D10910（5分）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，取正六边形A1B1C1D1E1F1各边的中点A2，B2，C2，D2，E2，F2，作第二个正六边形A2B2C2D2E2F2；然后再取正六边形A2B2C2D2E2F2各边的中点A3，B3，C3，D3，E3，F3，作第三个正六边形A3B3C3D3E3F3；依此方法一直继续下去，则第2022个正方形的面积为（）A63(32)2021B63(32)2022C63(34)2021D63(34)202211（5分）过抛物线C：y24x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|3|BF|，则l的斜率是（）A3B-2C3D212（5

4、分）在九章算术商功中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，ABBCCD1，BCCD，则鳖臑ABCD内切球的表面积为（）A3B(3-22)C12D(3+22)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设向量a=(1，-1)，b=(m+1，2m)，若ab，则m 14（5分）曲线f（x）lnx+2x+1在点（1，f（1）处的切线方程为 15（5分）已知F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左，右焦点，过右焦点F2与实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若三角形F1AB为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为 16（5分）

5、若函数f（x）|32xx2|的图象和直线2x+ay+70有四个交点，则实数a的取值范围为 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17（12分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosA=3bsinB（1）求角A；（2）若a2，求三角形ABC面积的最大值18（12分）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB2，AA14，点E，M，N分别是C1D1，AB1，CC1的中点（1）求证：MN平面A1EA；（2）求点N到

6、平面A1EA的距离19（12分）已知正项数列an的前n项和为Sn，且满足4Sn（an+1）2（1）求证：数列an是等差数列；（2）设bn2n，求数列anbn的前n项和Tn20（12分）已知函数f（x）exx1（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当x0时，求证：f(x)+x+112x2+cosx21（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，点F1，F2是椭圆C的左、右焦点，且右焦点F2与抛物线y24x的焦点重合（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点F1且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，求ABF2面积的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任

7、选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在极坐标系中，射线与以C(52，4)为圆心，5为半径的圆相交于A，B两点（1）求圆C的极坐标方程；（2）若AB=4OA，求sin+cos选修4-5：不等式选讲23已知x0，y0，x+2y4（1）证明：x2+4y28；（2）求x2+2y2的最小值2022年山西省吕梁市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑.1（5分）已知集合Ax|x25x60，B2，1，4，8，则AB（

8、）A2，1B1，4C1，8D4，8【解答】解：集合Ax|x25x60x|1x6，B2，1，4，8，则AB1，4故选：B2（5分）若zi+2i2+3i3，则z=（）A2+2iB22iC22iD2+2i【解答】解：zi+2i2+3i3i23i22i，z=-2+2i故选：D3（5分）已知圆C：x2+y24x0，过点M（1，1）的直线被圆截得的弦长的最小值为（）A2B22C1D2【解答】解：设过点M的弦为AB，根据题意，圆C：（x2）2+y24的圆心C为（2，0），半径r2，当CM与AB垂直时，即M为AB的中点时，弦长|AB|最短，此时|CM|=(2-1)2+(0-1)2=2，则|AB|24-2=22

9、故选：B4（5分）已知sin(+6)=35，则cos(2+3)=（）A725B-725C2125D-2125【解答】解：sin（+6）=35，cos(2+3)=12sin2(+6)=12925=725，故选：A5（5分）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，依次连接正方体相邻面的中心，组成一个正八面体，则该正八面体的体积与正方体的体积之比为（）A13B14C16D18【解答】解：设正方体的棱长为1，则正八面体的棱长为(12)2+(12)2=22，高为1，所以正八面体的体积为V=13(22)21=16，而正方体体积为1，所以该正八面体的体积与正方体的体积之比为16故选：C6（5分）如图：在正

10、方形网格中有向量a，b，c若c=xa+yb，则（）Ax2，y1Bx1，y2Cxy1Dxy2【解答】解：以向量a，b的公共点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则a=(-2，1)，b=（3，2），c=（1，4），因为c=xa+yb，则（1，4）x（2，1）+y（3，2），所以-2x+3y=-1x+2y=4，解得x2，y1，故选：A7（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）2x+x1，则当x0时，f（x）（）A2xx1B2x+x+1C2xx1D2x+x+1【解答】解：根据题意，当x0时，x0，则f（x）2xx1，又由f（x）为奇函数，则f（x）f（x）2x+x+1，故

11、选：D8（5分）已知alog35，blog45，c=1a+1b，则5c（）A12B112C7D17【解答】解：c=1a+1b=log53+log54log512，5c=5log512=12，故选：A9（5分）设函数f(x)=sin(x+6)在，的图象大致如图所示，则f（x）的最小正周期为（）A43B32C76D109【解答】解：根据函数f(x)=sin(x+6)在，上的图象，结合五点法作图可得，59+6=，=32，函数的最小正周期为232=43，故选：A10（5分）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，取正六边形A1B1C1D1E1F1各边的中点A2，B2，C2，D2，E2，F2，

12、作第二个正六边形A2B2C2D2E2F2；然后再取正六边形A2B2C2D2E2F2各边的中点A3，B3，C3，D3，E3，F3，作第三个正六边形A3B3C3D3E3F3；依此方法一直继续下去，则第2022个正方形的面积为（）A63(32)2021B63(32)2022C63(34)2021D63(34)2022【解答】解：由题知第n个正六边形的面积组成一个等比数列an，其中a1=63，q=34，所以an=63(34)n-1，故a2022=63(34)2021，故选：C11（5分）过抛物线C：y24x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|3|BF|，则l的斜率是（）A3B-2C3D2【解

13、答】解：抛物线C：y24x的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）设直线l的方程为：yk（x1），k0联立y=k(x-1)y2=4x，化为：k2x2（4+2k2）x+k20，x1+x2=4+2k2k2，x1x21|AF|3|BF|，x1+13（x2+1），联立解得k3故选：C12（5分）在九章算术商功中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，ABBCCD1，BCCD，则鳖臑ABCD内切球的表面积为（）A3B(3-22)C12D(3+22)【解答】解：因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB平面BCD，BCCD，所以ABBD，ABBC，

14、BCCD，ACCD，设四面体ABCD内切球的球心为O，则VABCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD=13r内(SABC+SABD+SACD+SBCD)，所以r内=3VSABCD，因为四面体ABCD的表面积为SABCD=SABC+SABD+SACD+SBCD=1+2，又因为四面体ABCD的体积VABCD=16，所以r内=3VS=2-12，所以S球=4r2=(3-22)，故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设向量a=(1，-1)，b=(m+1，2m)，若ab，则m1【解答】解：根据题意，向量a=(1，-1)，b=(m+1，2m)，若ab，则

15、ab=m+12m1m0，解可得：m1；故答案为：114（5分）曲线f（x）lnx+2x+1在点（1，f（1）处的切线方程为 3xy0【解答】解：曲线f（x）lnx+2x+1可得f（x）=1x+2，所以f（1）3，f（1）3，所以曲线f（x）lnx+2x+1在点（1，f（1）处的切线方程为：y33（x1），即3xy0故答案为：3xy015（5分）已知F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左，右焦点，过右焦点F2与实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若三角形F1AB为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为 1+2【解答】解：由ABx轴时，AMN为等腰直角三角形，可得|AF2|F

16、1F2|BF2|，所以2c=b2a，即c22aca20，故e22e10，因为e1，解得e1+2，故答案为：1+216（5分）若函数f（x）|32xx2|的图象和直线2x+ay+70有四个交点，则实数a的取值范围为 （，1）【解答】解：f(x)=|3-2x-x2|=3-2x-x2，x-3，1-3+2x+x2，x(-，-3)(1，+)，画出函数f（x）的图象，直线2x+ay+70过定点(-72，0)，当a0时，显然不符合题意；当a0时，直线2x+ay+70可化为y=-2ax-7a，直线的斜率为-2a，当直线y=-2ax-7a与y32xx2（3x1）相切时，有三个交点联立得到ax2+2（a1）x（3

17、a+7）0，由4（a1）24a（3a7）0得a1或a=-14当a1时，方程x24x40的解为x2，满足条件3x1，此时切线的斜率为2；当a=-14时，当-14x2-52x-254=0的解为x5，不满足条件3x1结合图象知，若函数f（x）|32xx2|和直线2x+ay+70有四个交点，所以直线的斜率应满足0-2a2，实数a的取值范围是（，1）故答案为：（，1）三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17（12分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c

18、，且满足acosA=3bsinB（1）求角A；（2）若a2，求三角形ABC面积的最大值【解答】解：（1）由acosA=3bsinB，结合正弦定理asinA=bsinB，得sinAcosA=3sinBsinB=3，所以tanA=3又因为A（0，），所以A=3（2）解法一：由余弦定理a2b2+c22bccosA，得4b2+c2bc2bcbcbc，即bc4（当且仅当bc2等号成立），所以SABC=12bcsinA12432=3，即当bc2时，三角形ABC面积SABC的最大值为3解法二：由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得b=asinBsinA=433sinB，c=asinCsinA=43

19、3sinC所以bc=(433)2sinBsinC=163sinBsinC，又因为B+C=23，C=23-B所以bc=163sinBsinC=163sinBsin(23-B)=83cos(2B-23)+43又因为0B23，所以2B-23(-23，23)，故cos(2B-23)(-12，1，83cos(2B-23)+43(0，4，即bc（0，4，所以SABC=12bcsinA=12bc32(0，3，所以当2B-23=0，即B=3时，三角形ABC面积SABC的最大值为318（12分）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB2，AA14，点E，M，N分别是C1D1，AB1，CC

20、1的中点（1）求证：MN平面A1EA；（2）求点N到平面A1EA的距离【解答】（1）证明：取A1B1的中点P，连接MP，C1P，因为E，P都是中点，所以A1PEC1，所以四边形A1PC1E是平行四边形，所以C1PA1E，即C1P平面A1EA，又因为P，M是中点，由中位线知PMAA1，即PM平面A1EA，而C1PPMP，所以平面PMNC1平面A1EA，又因为MN平面PMNC1，所以MN平面A1EA（2）解：因为MN平面A1EA，所以点N到平面A1EA的距离等于点M到平面A1EA的距离，因为AB2，AA14，所以EA1=5，SEA1A=1254=25，设点M到平面A1EA的距离为d，所以VM-A1

21、EA=1325d=25d3，又因为SMA1A=1214=2，所以VE-MA1A=1322=43，由VM-A1EA=VE-MA1A，解得d=255，即点N到平面A1EA的距离为25519（12分）已知正项数列an的前n项和为Sn，且满足4Sn（an+1）2（1）求证：数列an是等差数列；（2）设bn2n，求数列anbn的前n项和Tn【解答】（1）证明：在4Sn=(an+1)2中，令n1，可得a11，因为4Sn=(an+1)2，所以当n2时，4Sn-1=(an-1+1)2，得，4an=(an+1)2-(an-1+1)2，整理得，（an+an1）（anan12）0，因为an0，所以anan12（n2

22、），所以数列an是以1为首项，2为公差的等差数列（2）解：由（1）得an2n1，所以anbn=(2n-1)2n，所以Tn=121+322+523+(2n-1)2n，2Tn=122+323+524+(2n-1)2n+1，两式相减得，-Tn=2+2(22+23+2n)-(2n-1)2n+1=-6+(3-2n)2n+1，所以Tn=6+(2n-3)2n+120（12分）已知函数f（x）exx1（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当x0时，求证：f(x)+x+112x2+cosx【解答】解：（1）易知函数f（x）定义域为R，因为f（x）exx1，所以f（x）ex1令f（x）ex10，解得x0，所

23、以f（x）在（0，+）上单调递增，令f（x）ex10，解得x0，所以f（x）在（，0）上单调递减，即f（x）的单调递增区间为（0，+），单调递减区间为（，0）所以函数f（x）的极小值为f（0）0，没有极大值（2）解法一：要证f(x)+x+112x2+cosx，即证ex-12x2-cosx0设g(x)=ex-12x2-cosx，要证原不等式成立即证g（x）0成立，因为g（x）exx+sinx因为sinx1，所以g（x）exx+sinxexx1（当且仅当x=-2+2k，kZ等号成立），由（1）知exx10（x0等号成立），所以g（x）0，所以g（x）在（0，+）单调递增，所以g（x）g（0）0所以

24、当x0时，f(x)+x+112x2+cosx得证解法二：要证f(x)+x+112x2+cosx，即证ex-12x2-cosx0设g(x)=ex-12x2-cosx，要证原不等式成立即证g（x）0成立，因为g（x）exx+sinx，设h（x）g（x）exx+sinx，则h（x）ex1+cosx，h（x）exsinx因为x0，ex1，又|sinx|1，所以h（x）exsinx0，即h（x）ex1+cosx在0，+）单调递增，所以h（x）h（0）10，即h（x）在0，+）单调递增，所以h（x）h（0）10，所以g（x）0，即g（x）在0，+）单调递增，所以g（x）g（0）0所以当x0时，f(x)+x

25、+112x2+cosx得证21（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，点F1，F2是椭圆C的左、右焦点，且右焦点F2与抛物线y24x的焦点重合（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点F1且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，求ABF2面积的取值范围【解答】解：（1）易知抛物线y24x的焦点为（1，0），所以c1，又因为离心率e=ca=12，所以a2，又因为b2a2c23，所以椭圆C的方程为x24+y23=1（2）由题意设直线AB方程为xty1，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立x24+y23=1x=ty-1消去y得：（3t2+4）y26ty90，易

26、知0，所以y1+y2=6t3t2+4，y1y2=-93t2+4，所以|AB|=1+t2|y1-y2|=1+t2(y1+y2)2-4y1y2=12(1+t2)3t2+4，因为F2（1，0）到直线AB的距离为d=21+t2，所以SABF2=12|AB|d=1221+t212(1+t2)3t2+4=121+t23t2+4，设m=1+t21，则SABF2=12m3m2+1=123m+1m，设y=3m+1m，则y=3-1m20，所以y=3m+1m在1，+）单调递增，所以0SABF2124=3，即三角形ABF2面积的取值范围为（0，3（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按

27、所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在极坐标系中，射线与以C(52，4)为圆心，5为半径的圆相交于A，B两点（1）求圆C的极坐标方程；（2）若AB=4OA，求sin+cos【解答】解：（1）圆C的圆心坐标为（5，5）；半径为5；故圆的方程为（x5）2+（y5）225，根据x=cosy=sinx2+y2=2，转换为极坐标方程为210（sin+cos）+250；（2）将代入得：210（sin+cos）+250；设A（A，），B（B，），所以A+B10（sin+cos），AB25，由于AB=4OA，所以OB=5OA，即B5A，故A=5，B=55；所以sin+cos=355选修4-5：不等式选讲23已知x0，y0，x+2y4（1）证明：x2+4y28；（2）求x2+2y2的最小值【解答】（1）证明：x2+4y22x24y2=4xy，且x0，y0，x+2y4，2（x2+4y2）x2+4y2+4xy（x+2y）216，x2+4y28，当且仅当x2，y1时等号成立；（2）解：x0，y0，x+2y4，x2+2y2=(4-2y)2+2y2=6y2-16y+16=6(y-43)2+163163，当且仅当x=43，y=43时取到最小值x2+2y2的最小值为163第17页（共17页）