2022年陕西省西安市阎、高、蓝、周四区高考数学一模试卷（文科）（学生版+解析版）.docx

1、2022年陕西省西安市阎、高、蓝、周四区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合A2，0，2，By|y1+sin4x，xA，则集合AB的真子集的个数是（）A7B31C16D152（5分）某市中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了解该地区中小学生近视形成的原因，现用分层抽样的方法抽取5%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A750，100B1500，100C1500，120D750，1203（5分）已知复数z满足（1+i）2z=4|1+i|（i为虚数单位），则复

2、数z1在复平面内对应的点所在的象限为（）A第二象限B第三象限C第四象限D第一象限4（5分）设yf（x）是定义在R上的函数，若下列四条性质中只有三条是正确的，则错误的是（）Ayf（x）为0，+）上的减函数Byf（x）为（，0上的增函数Cyf（x+1）为偶函数Df（0）不是函数的最大值5（5分）从数字1，2，3，4，5中任取两个数，则这两个数的和是2的整数倍的概率为（）A25B35C45D7106（5分）若等差数列an和bn的前n项的和分别是Sn和Tn，且SnTn=n2n+1，则a6b6=（）A1221B1123C613D12237（5分）若a，b，c，d为实数，则下列命题正确的是（）A若ab，则

3、a|c|b|c|B若ac2bc2，则abC若ab，cd，则acbdD若ab，cd，则acbd8（5分）“=-6”是“函数f(x)=sin(2x+3)(xR)与函数g（x）cos（2x+）（xR）为同一函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9（5分）如图所示的程序框图中，若输入的x（2，9），则输出的y（）A0，7B（0，17）C（0，7D（0，7）10（5分）已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|F1F2|3，则双曲线的离心率的取值范围是（）A

4、（3，355）B（355，+）C（1，3）D（1，355）11（5分）已知f(x)=2x-1(x1)lnx(0x1)，则不等式f（3x1）f（2x+1）的解集为（）A（0，2）B（0，13）C（13，2）D（2，+）12（5分）四面体DABC内接于球O，（O为球心），BC2，AC4，ACB60若四面体DABC体积的最大值为4，则这个球的体积为（）A256327B1639C128D128327二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若曲线在f（x）mxexn在点（1，f（1）处的切线为yex，则mn 14（5分）已知非零向量a，b满足b24a2，且a（2a+b），则向量a与b

5、的夹角为 15（5分）设Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a4+a72an.则n 16（5分）已知直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆x22+y2b=1总有公共点，则b的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题（60分）17（12分）某校开展党史知识竞赛现从参加竞赛活动的学生中随机抽取了n名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100得

6、到如图所示的频率分布直方图（1）求a的值；（2）估计这n名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）活动规定：竞赛成绩位于60分以下为不及格，不低于80分为“优秀”，若抽取的学生中成绩不及格的有15人请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀不优秀合计男生40女生50合计参考公式及数据：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82818（12分）已

7、知锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若sinAsinBsinC=32（sin2A+sin2Bsin2C）（1）求sinC；（2）若c=3，求ABC周长的取值范围19（12分）如图，四棱锥EABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形AE平面BCE，且AE2（1）求证：ADBE；（2）线段AD上是否存在一点F，使三棱锥CBEF的高h=125？若存在，请求出F的位置；若不存在，请说明理由20（12分）已知抛物线x2ay（a0），过点M（0，a2）作两条互相垂直的直线l1，l2，设l1，l2分别与抛物线相交于A，B及C，D两点，当A点的横坐标为2时，抛物线在点A处的切线斜率为1（1）

8、求抛物线的方程；（2）设线段AB、CD的中点分别为E、F，O为坐标原点，求证：直线EF过定点21（12分）函数f（x）ex+asinx，x（，+）（1）求证：当a1时，f（x）存在唯一极小值点x0，且1f（x0）0；（2）当a0时，设F(x)=f(x)aex-1a，求F（x）在（，+）的最小值选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosy=sin（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin22cos0（1）求

9、曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）过点M（12，0）的直线l依次与两曲线交于A，B，C，D四点，且|AB|CD|，求直线l的普通方程选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x3|（）若a3，且不等式f（x）5的解集为x|-32x72，求a的值；（）如果对任意xR，f（x）4，求a的取值范围2022年陕西省西安市阎、高、蓝、周四区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合A2，0，2，By|y1+sin4x，xA，则集合AB的真子集的个数是（）A7

10、B31C16D15【解答】解：集合A2，0，2，By|y1+sin4x，xA，B0，1，2，AB2，0，1，2，AB的真子集的个数是24115，故选：D2（5分）某市中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了解该地区中小学生近视形成的原因，现用分层抽样的方法抽取5%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A750，100B1500，100C1500，120D750，120【解答】解：由题意，样本容量为（18500+7500+4000）5%1500，抽取的高中生近视人数为40005%0.5100，故选：B3（5分）已知复数z满足（1+i）2z=4|1+i|（i为虚数单位）

11、，则复数z1在复平面内对应的点所在的象限为（）A第二象限B第三象限C第四象限D第一象限【解答】解：（1+i）22i，|1+i|=12+12=2，（1+i）2z=4|1+i|，2iz=42=22，即z=-2i，z-1=-1-2i，复数z1在复平面内对应的点（1，-2），所在的象限为第三象限故选：B4（5分）设yf（x）是定义在R上的函数，若下列四条性质中只有三条是正确的，则错误的是（）Ayf（x）为0，+）上的减函数Byf（x）为（，0上的增函数Cyf（x+1）为偶函数Df（0）不是函数的最大值【解答】解：由yf（x+1）为偶函数得函数yf（x）的图像关于x1对称假设A、B正确，则有f（x）ma

12、xf（0），所以D错误，yf（x+1）不可能为偶函数，由此判断出C、D错误，与已知矛盾；由此判断答案A、B中一个正确一个错误，C、D正确；而A、C矛盾，由此确定A错误故选：A5（5分）从数字1，2，3，4，5中任取两个数，则这两个数的和是2的整数倍的概率为（）A25B35C45D710【解答】解：从数字1，2，3，4，5中任取两个数，基本事件总数n=C52=10，这两个数的和是2的整数倍包含的基本事件有：（1，3），（1，5），（2，4），（3，5），共4个，则这两个数的和是2的整数倍的概率为P=410=25故选：A6（5分）若等差数列an和bn的前n项的和分别是Sn和Tn，且SnTn=n2n

13、+1，则a6b6=（）A1221B1123C613D1223【解答】解：由等差数列的前n项和公式可得S11T11=11(a1+a11)211(b1+b11)2=11a611b6=a6b6，又S11T11=11211+1=1123，a6b6=1123，故选：B7（5分）若a，b，c，d为实数，则下列命题正确的是（）A若ab，则a|c|b|c|B若ac2bc2，则abC若ab，cd，则acbdD若ab，cd，则acbd【解答】解：若ab，则a|c|b|c|（|c|0时“”成立），故A错误；若ac2bc2，则c20，则ab，故B正确；若ab，cd，则dc，得adbc，故C错误；若ab0，cd0，则a

14、cbd，故D错误正确的命题是B故选：B8（5分）“=-6”是“函数f(x)=sin(2x+3)(xR)与函数g（x）cos（2x+）（xR）为同一函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：当=-6时，g（x）cos（2x-6）sin（2x-6+2）sin（2x+3），此时两个函数为同一函数，当=-6+2k时，满足g（x）cos（2x-6+2k）sin（2x-6+2）sin（2x+3），但此时=-6不一定成立，即“=-6”是“函数f(x)=sin(2x+3)(xR)与函数g（x）cos（2x+）（xR）为同一函数”的充分不必要条件，故选：A9

15、（5分）如图所示的程序框图中，若输入的x（2，9），则输出的y（）A0，7B（0，17）C（0，7D（0，7）【解答】解：由程序框图可得，f（x）=x2，-2x22x-3，2x51x，5x9，当2x2时，0y4，当2x5时，1y7，当5x9时，19y15，故0y7故选：A10（5分）已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|F1F2|3，则双曲线的离心率的取值范围是（）A（3，355）B（355，+）C（1，3）D（1，355）【解答】解：焦点F2（c，0）到渐近线y=bax的距离为d=|cb

16、|a2+b2=b，所以|AB|=2a2-b2，因为，|AB|F1F2|3，即|AB|2c3，即2a2-b22c3，9（a2b2）c2，9a29（c2a2）c2，解得e295e1，1e355故选：D11（5分）已知f(x)=2x-1(x1)lnx(0x1)，则不等式f（3x1）f（2x+1）的解集为（）A（0，2）B（0，13）C（13，2）D（2，+）【解答】解：f(x)=2x-1(x1)lnx(0x1)，当0x1时，f（x）0，且单调递增；当x1时，f（x）2x11，且单调递增，所以f(x)=2x-1(x1)lnx(0x1)在（0，+）上单调递增，不等式f（3x1）f（2x+1）等价于03x

17、12x+1，解得13x2故选：C12（5分）四面体DABC内接于球O，（O为球心），BC2，AC4，ACB60若四面体DABC体积的最大值为4，则这个球的体积为（）A256327B1639C128D128327【解答】解：在ABC中，BC2，AC4，ACB60，BA2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=16+4-24212=12，AC2AB2+BC2，ABC90，ABC外接圆半径r=12AC=2，SABC=12223=23如图所示，设AC的中点为O1，则O1为过ABC的截面圆的圆心，设球的半径为R，所以球心O到平面ABC的距离为OO1=R2-r2=R2-4，当点DO1平面ABC时，四面体

18、DABC体积的最大，即：13SABC(R+OO1)=1323(R+OO1)=4，解得R=433，V=43(433)3=256327故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若曲线在f（x）mxexn在点（1，f（1）处的切线为yex，则mn-e4【解答】解：由f（x）mxexn，得f（x）mex+mxex，又曲线f（x）mxexn在点（1，f（1）处的切线方程为yex，f(1)=me-n=ef(1)=2me=e，解得：m=12，n=-e2，mn=-e4故答案为：-e414（5分）已知非零向量a，b满足b24a2，且a（2a+b），则向量a与b的夹角为 【解答】解：非零

19、向量a，b满足b24a2，|b|2|a|，a（2a+b），2a2+ab=2|a|2+2|a|2cosa，b=0，cosa，b=-1，0a，b，向量a与b的夹角为故答案为：15（5分）设Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a4+a72an.则n10【解答】解：若q1，则有S33a1，S66a1，S99a1但a10，即得S3+S62S9，与题设矛盾，q1又依题意S3+S62S9，可得a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q，整理得2q6q310由q1，得方程2q3+10，q3=-12，a4+a72an，a4+a4q32a4qn412=2(-1

20、2)n-43，得n10，故答案为：1016（5分）已知直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆x22+y2b=1总有公共点，则b的取值范围是 1，2）【解答】解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以0b2，直线ykx1与y轴的交点为（0，1），若该直线与椭圆总有公共点，则点（0，1）在椭圆内部，所以b1，综上，b的取值范围是1，2）故答案为：1，2）三、解答题：本大题共5小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题（60分）17（12分）某校开展党史知识竞赛现从参加竞赛活动的学生中随机抽取了n名学

21、生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100得到如图所示的频率分布直方图（1）求a的值；（2）估计这n名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）活动规定：竞赛成绩位于60分以下为不及格，不低于80分为“优秀”，若抽取的学生中成绩不及格的有15人请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀不优秀合计男生40女生50合计参考公式及数据：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，na+b+c+dP（K2k0）0.1

22、00.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】解：（1）由题可得，（0.005+0.01+0.02+0.03+a+0.01）101，解得a0.025（2）平均成绩为：450.05+550.1+650.2+750.3+850.25+950.174（3）不及格的人数为15人，抽取的总人数为n=150.15=100，故比赛成绩优秀的有1000.3535人，22列联表如下： 优秀 非优秀 合计 男生 10 40 50 女生 25 25 50 合计 35 65100K2=100(1025-2540)2356550509.891

23、0.828，没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”18（12分）已知锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若sinAsinBsinC=32（sin2A+sin2Bsin2C）（1）求sinC；（2）若c=3，求ABC周长的取值范围【解答】解：（1）由sinAsinBsinC=32（sin2A+sin2Bsin2C）及正弦定理得：absinC=32（a2+b2c2），即absinC=3abcosC，所以tan=3，又C为锐角，可得C=3，所以sinC=32（2）由2R=csinC=332，得R1，所以ABC的周长La+b+c2R（sinA+sinB）+32（sinA

24、+sinB）+32sinA+2sinB+32sinA+2sin（23-A）+33sinA+3cosA+323sin（A+6）+3，因为A（0，2），23-A（0，2），所以A（6，2），A+6（3，23），所以23sin（A+6）+3（3+3，33，即a+b+c（3+3，33，所以ABC周长的取值范围为（3+3，3319（12分）如图，四棱锥EABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形AE平面BCE，且AE2（1）求证：ADBE；（2）线段AD上是否存在一点F，使三棱锥CBEF的高h=125？若存在，请求出F的位置；若不存在，请说明理由【解答】证明：（1）AE平面BCE，BC平面BCE，AEB

25、C又因为ABCD是正方形，所以BCAB，AEABA，因此BC平面ABEADBC，AD平面ABE，ADBE解：（2）AE2，AB4，AEBE，BE=23，假设线段AD上存在一点F满足题意，AE平面BCE，AEBE，由（1）知BEAD，AEADA，BE平面ADE，BEEF，VC-BEF=131223EF125=435EF，ADBC，AD平面BCE，BC平面BCE，AD平面BCE，点F到平面BCE的距离与点A到平面BCE的距离相等，BCBE，VF-BCE=13122342=833，VCBEFVFBCE，解得EF=103，EF2AE2+AF2，AF=1009-4=834，线段AD上存在点F，且AF=8

26、320（12分）已知抛物线x2ay（a0），过点M（0，a2）作两条互相垂直的直线l1，l2，设l1，l2分别与抛物线相交于A，B及C，D两点，当A点的横坐标为2时，抛物线在点A处的切线斜率为1（1）求抛物线的方程；（2）设线段AB、CD的中点分别为E、F，O为坐标原点，求证：直线EF过定点【解答】解：（1）x2ay即y=x2a的导数为y=2ax，可得抛物线在点A处的切线斜率为4a=1，解得a4，即有抛物线的方程为x24y；（2）证明：M（0，2），设直线l1的方程为yk1x+2，直线l2的方程为yk2x+2，k1k21，与抛物线的方程x24y联立，可得x24k1x80，xA+xB4k1，可得

27、AB的中点E（2k1，2+2k12），同理可得F（2k2，2+2k22），直线EF的斜率为2+2k12-2-2k222k1-2k2=k1+k2，直线EF的方程为y22k12（k1+k2）（x2k1），化为y（k1+k2）x+22k1k2即y（k1+k2）x+4，所以直线EF恒过定点（0，4）21（12分）函数f（x）ex+asinx，x（，+）（1）求证：当a1时，f（x）存在唯一极小值点x0，且1f（x0）0；（2）当a0时，设F(x)=f(x)aex-1a，求F（x）在（，+）的最小值【解答】解：（1）证明：当a1时，f（x）ex+sinx，x（，+），则f（x）ex+cosx，f（x）e

28、xsinx，当x（，0）时，ex0，sinx0，则f（x）exsinx0，当x0，+）时，ex1，sinx1，所以f（x）exsinx0，所以f（x）exsinx0恒成立，所以f（x）单调递增，又f(-2)=e-20，f(-34)=e-34+cos(-34)=e-34-22，因为(e34)2=e32e2，所以e342，即e-3422，所以f(-34)0，所以存在x0(-34，-2)，使得f（x0）0，即ex0+cosx0=0，则在（，x0）上，f（x）0，f（x）单调递减，在（x0，+）上，f（x）0，f（x）单调递增，所以f（x）存在唯一的极小值点x0，所以，f(x0)=ex0+sinx0=

29、sinx0-cosx0=2sin(x0-4)，所以当x0(-34，-2)，则x0-4(-，-34)，所以f(x0)=2sin(x0-4)(-1，0)；（2）F(x)=f(x)ax-1a=sinxex，则F(x)=cosx-sinxex=-2sin(x-4)ex，令F（x）0，得x=k+4，k1，kZ，有函数y=2sin(x-4)的图像与性质可知，则x(4+2k，54+2k)时，2sin(x-4)0，F（x）单调递增，x(54+2k，4+2+2k)时，2sin(x-4)0，F（x）单调递减，所以x=2k+54，k1，kZ，F（x）取得极小值，即当x=-34，54，时，F（x）取极小值，又sin(

30、-34)e-34sin(54)e540，即F(-34)F(54)0，又因为在(-，-34)上，F（x）单调递减，所以F(x)F(-34)=-22e34，所以x（，+）时，F(x)-22e34，所以F（x）的最小值为-22e34选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosy=sin（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin22cos0（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）过点M（12，0）

31、的直线l依次与两曲线交于A，B，C，D四点，且|AB|CD|，求直线l的普通方程【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为x=1+cosy=sin（为参数），转换为普通方程为（x1）2+y21；曲线C2的极坐标方程为sin22cos0，根据x=cosy=sinx2+y2=2，转换为直角坐标方程为y22x；（2）设过点M（12，0）的直线l的方程为：y=k(x-12)，由于该直线依次与两曲线交于A，B，C，D四点，所以当直线与圆相交时，|AB|21-d2=21-(2k-k1+k2)2，当直线与抛物线相交时，y2=2xy=k(x-12)，整理得k2x2-(k2+2)x+k24=0；所以x1+x2=k2

32、+2k2，x1x2=14；故|DC|=1+k2|x1-x2|=1+k2(k2+2k2)2-4，利用|AB|CD|，解得k1，故直线l的方程为y=(x-12)选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x3|（）若a3，且不等式f（x）5的解集为x|-32x72，求a的值；（）如果对任意xR，f（x）4，求a的取值范围【解答】解：（）若a3，不等式f（x）5即为|xa|+|x3|5，由解集为x|-32x72，可得-32，72为方程|xa|+|x3|5的两个实根，即有a3|-32-a|+92=5|72-a|+12=5，解得a1，由|x+1|+|x3|5的几何意义为数轴上的点与1，3的距离之和小于5，而-32x72，满足原不等式，故a1；（）如果对任意xR，f（x）4，等价为|xa|+|x3|4恒成立，由|xa|+|x3|xax+3|a3|，当且仅当（xa）（x3）0取得等号，即有|a3|4，解得a7或a1第21页（共21页）