2022年山东泰安市高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

1、2022年山东泰安市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知复数z满足方程z+iz=i（i为虚数单位），则z=（）A12+12iB12-12iC-12+12iD-12-12i2（5分）已知集合Ax|x2x20，B=x|y=x-1，则AB（）ARB1，+）C（，11，+）D（，10，+）3（5分）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）Ap：a1，q：f（x）logax（a0，且a1）在（0，+）上为增函数Bp：a1，b1，q：f（x）axb（a0，且a1）的图象不过第二象限Cp：x2且y2，q：x2+y

2、24Dp：a+cb+d，q：ab且cd4（5分）若双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一条渐近线被圆x2+y24y+20所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（）A3B233C2D25（5分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系yekx+b（e2.718为自然对数的底数，k，b为常数）若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（）A16小时B20小时C24小时D28小时6（5分）已知sin（3-）=14，则sin（6-2）（）A78B-78C78D-187（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，点M

3、在抛物线C上，射线FM与y轴交于点A（0，2）与抛物线C的准线交于点N，FM=55MN，则p的值等于（）A18B2C14D48（5分）已知数列an是首项为a，公差为1的等差数列，数列bn满足bn=1+anan若对任意的nN*，都有bnb5成立，则实数a的取值范围是（）A6，5B（6，5）C5，4D（5，4）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示：x3467y2

4、.5345.9根据表中的数据可得回归直线方程y=0.7x+a，则以下正确的是（）A变量x与y正相关By与x的相关系数r0Ca0.35D产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨（多选）10（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，0）将yf（x）的图象上所有点向右平移23个单位长度，然后横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数yg（x）的图象若g（x）为偶函数，且最小正周期为2，则下列说法正确的是（）Ayf（x）的图象关于（12，0）对称Bf（x）在（0，512）上单调递减Cg（x）12的解集为6+k2，3+k2，kZD方程f（x）g（x2）在（0，54）上有且只有两个相异实根（多选）1

5、1（5分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，AA12，D是棱AA1的中点，DC1BD，点E在BB1上，且BB14BE，则下列结论正确的是（）A直线DC1与BC所成角为90B三棱锥DBCC1的体积为13CCE平面BC1DD直三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为6（多选）12（5分）已知函数f（x）=x21-x-1，x1lnx+x-1，x1，g（x）kxk，kR，则下列结论正确的是（）Af（x）在（0，2）上单调递增B当k=54时，方程f（x）g（x）有且只有3个不同实根Cf（x）的值域为1，+）D若对于任意的xR，都有（x1）（f（x）g（x）0成立，则k2，+）三、填空题：

6、本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）在（1x）4（2x+1）5的展开式中，含x2的项的系数是 14（5分）如图，在四边形ABCD中，AB=3DC，E为边BC的中点，若AE=AB+AD，则+ 15（5分）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如表频数分布表：笔试成绩X40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100人数51025302010

7、由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N（，2），其中，近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替），则 若12.9，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数（结果四舍五入精确到个位）为 参考数据：若XN（，2），则P（X+）0.6827，P（2X+2）0.9545，P（3X+3）0.997316（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2=3设椭圆，双曲线的离心率分别为e1，e2，则e12+e22的最小值为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分

8、）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且-3cacosB=tanB+tanA（1）求A；（2）若D为BC上一点，且BC3BD=3AB，AD3，求ABC的面积18（12分）已知各项均为正数的等差数列an，a25，2a1，a3，a5+2成等比数列（1）求an的通项公式；（2）设数列bn满足an（3bn-1）1，Tn为数列bn的前n项和，nN*求证：Tnlog3an+1a119（12分）如图，在五面体ABCDE中，已知AC平面BCD，EDAC，且ACBC2ED2，DCDB=3（1）求证：平面ABE平面ABC；（2）求二面角ABEC的余弦值20（12分）某工厂对一批零件进行质量检测具体

9、检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立（1）若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率：（2）已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元/件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列和数学期望21（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左，右

10、焦点分别为F1，F2，上，下顶点分别为A，B，四边形AF1BF2的面积和周长分别为2和42（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：yk（x+1）（k0）与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中垂线交y轴于M点，且EMF为直角三角形，求直线l的方程22（12分）已知函数f（x）aln（x+1）+x22-x，其中，a为非零实数（1）当a1时，求f（x）的极值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，求证；f（x1）+f（x2）x12022年山东泰安市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

11、是符合题目要求的。1（5分）已知复数z满足方程z+iz=i（i为虚数单位），则z=（）A12+12iB12-12iC-12+12iD-12-12i【解答】解：由z+iz=i，得z+izi，z=-i1-i=-i(1+i)(1-i)(1+i)=1-i2=12-i2则z=12+12i故选：A2（5分）已知集合Ax|x2x20，B=x|y=x-1，则AB（）ARB1，+）C（，11，+）D（，10，+）【解答】解：A=x|x2-x-20，B=x|y=x-1，Ax|x1或x2，Bx|x1，AB（，11，+）故选：C3（5分）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）Ap：a1，q：f（x）logax（a

12、0，且a1）在（0，+）上为增函数Bp：a1，b1，q：f（x）axb（a0，且a1）的图象不过第二象限Cp：x2且y2，q：x2+y24Dp：a+cb+d，q：ab且cd【解答】解：若p是q的必要不充分条件，则qp，p不能推出q，A：p：a1，q：f（x）logax（a0，且a1）在（0，+）上为增函数，则a1，此时pq，不满足题意；B：p：a1，b1，q：f（x）axb（a0，且a1）的图象不过第二象限，则a1，b1，此时pq，q不能推出p，不满足题意；C：p：x2且y2，q：x2+y24，则pq，q不能推出p，不满足题意；D：p：a+cb+d，q：ab且cd，此时qp，p不能推出q，符合

13、题意故选：D4（5分）若双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一条渐近线被圆x2+y24y+20所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（）A3B233C2D2【解答】解：双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一条渐近线不妨为：bx+ay0，圆x2+y24x+20即为（y2）2+x22的圆心（0，2），半径为2，双曲线的一条渐近线被圆x2+y24y+20所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：2-1=2aa2+b2，解得：4c2-4a2c2=1，由e=ca，可得e24，即e2故选：C5（5分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系yekx+b（e2.718

14、为自然对数的底数，k，b为常数）若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（）A16小时B20小时C24小时D28小时【解答】解：yekx+b（e2.718为自然对数的底数，k，b为常数）当x0时，eb192，当x22时e22k+b48，e22k=48192=14e11k=12eb192当x33时，e33k+b（e11k）3（eb）（12）319224故选：C6（5分）已知sin（3-）=14，则sin（6-2）（）A78B-78C78D-18【解答】解：因为sin（3-）cos2-（3-）cos（6+）=14，所以sin（6-2）cos2-（6

15、-2）cos2（6+）2cos2（6+）12（14）21=-78故选：B7（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点A（0，2）与抛物线C的准线交于点N，FM=55MN，则p的值等于（）A18B2C14D4【解答】解：依题意F点的坐标为（p2，0），设M在准线上的射影为K由抛物线的定义知|MF|MK|，FM=55MN，|FM|MN|=55，可得|MK|MN|=55，则|KN|：|KM|2：1，kFN=0-2p2-0=-4p，-4p=-2，求得p2，故选：B8（5分）已知数列an是首项为a，公差为1的等差数列，数列bn满足bn=1+anan若对任意

16、的nN*，都有bnb5成立，则实数a的取值范围是（）A6，5B（6，5）C5，4D（5，4）【解答】解：根据题意：数列an是首项为a，公差为1的等差数列，所以ann+a1，由于数列bn满足bn=1+anan=1an+1，所以1an1a5对任意的nN都成立，故数列an单调递增，且满足a50，a60，所以a5=5+a-10a6=6+a-10，解得5a4故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系，

17、在生产过程中收集了4组数据如表所示：x3467y2.5345.9根据表中的数据可得回归直线方程y=0.7x+a，则以下正确的是（）A变量x与y正相关By与x的相关系数r0Ca0.35D产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨【解答】解：对于A，表中变量y随x的增大而增大，是正相关关系，选项A正确；对于B，因为y与x是正相关，所以相关系数r0，选项B错误；对于C，计算x=14（3+4+6+7）5，y=14（2.5+3+4+5.9）3.85，代入回归直线方程得a3.850.750.35，所以选项C正确；对于D，由题意得回归直线方程y=0.7x+0.35，x8时，y=0.78+0.355.95，即产量

18、为8吨时预测所需材料约为5.95吨，选项D正确故选：ACD（多选）10（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，0）将yf（x）的图象上所有点向右平移23个单位长度，然后横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数yg（x）的图象若g（x）为偶函数，且最小正周期为2，则下列说法正确的是（）Ayf（x）的图象关于（12，0）对称Bf（x）在（0，512）上单调递减Cg（x）12的解集为6+k2，3+k2，kZD方程f（x）g（x2）在（0，54）上有且只有两个相异实根【解答】解：将yf（x）的图象上所有点向右平移23个单位长度，得到ysin （x-23）+）sin（x-23+），然后横坐标

19、缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数yg（x）的图象即g（x）sin（2x-23+），若g（x）的最小正周期为2，则22=2，得2，此时g（x）sin（4x-43+），g（x）为偶函数，-43+k+2，kZ，即k+116，kZ，0，当k1时，=56，g（x）sin（4x-43+56）sin（4x-2）sin（2-4x）cos4x，f（x）sin（2x+56），则当x=12时，2x+56=212+56=，则f（x）的图象关于（12，0）对称，故A正确，当x（0，512），则2x（0，56），2x+56（56，53），此时f（x）不是单调函数，故B错误，由g（x）12得cos4x12得即co

20、s4x-12，即2k+234x2k+43，kZ，得12k+6x12k+3，kZ，故C正确，由f（x）g（x2）得sin（2x+56）cos2xsin（2x-2），则2x+56=2x-2+2k或2x+56=（2x-2）+2k，得不成立，由得x=6+12k，kZ，x（0，54），k0时，x=6，k1时，x=23，k2时，x=76，则在（0，54）上有且只有3个相异实根，故D错误，故选：AC（多选）11（5分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，AA12，D是棱AA1的中点，DC1BD，点E在BB1上，且BB14BE，则下列结论正确的是（）A直线DC1与BC所成角为90B三棱锥DBCC

21、1的体积为13CCE平面BC1DD直三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为6【解答】解：对于A，在矩形ACC1A1中，因为AA12，AC1，D为棱AA1的中点，所以CDC1D=2，则CD+C1DCC1，所以CDC1D，又因为C1DBD，BDCDD，所以C1D平面BCD，则C1DBC，即直线C1D与BC所成角为90，故A正确；对于B，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1BC，又DC1BC，DC1CC1C1，所以BC平面DCC1，又DC平面DCC1，所以DCBC，则VD-BCC1=VC1-BCD=1312212=13，故B正确；对于C，由AB可知，AC，BC，CC1两两垂直，如图，以C为原点建

22、立空间直角坐标系，则B（0，1，0），D（1，0，1），E（0，1，12），则CE=（0，1，12），BD=（1，1，1），所以CEBD=-1+12=-120，则CE，BD不垂直，所以CE不垂直平面BC1D，故C错误；对于D，连接A1B，则线段A1B即为直三棱柱ABCA1B1C1外接球的直径，则A1B=1+1+4=6，所以外接球的半径R=62，所以直三棱柱ABCA1B1C1的外接球表面积为4R6，故D正确；故选：ABD（多选）12（5分）已知函数f（x）=x21-x-1，x1lnx+x-1，x1，g（x）kxk，kR，则下列结论正确的是（）Af（x）在（0，2）上单调递增B当k=54时，方程f

23、（x）g（x）有且只有3个不同实根Cf（x）的值域为1，+）D若对于任意的xR，都有（x1）（f（x）g（x）0成立，则k2，+）【解答】解：对于A：f（x）=x21-x-1，x1lnx+x-1，x1，因为f（34）=(34)21-34-1=54，f（54）ln54+54-1ln54+14，所以f（34）f（54）1ln540，所以f（34）f（54），所以f（x）在（0，2）上不是增函数故A错误；对于B：当k=54时，方程f（x）g（x）可化为：x21-x-1=54(x-1)x1或lnx+x-1=54(x-1)x1，由x21-x-1=54(x-1)x1可解得：x=13，对于lnx+x-1=5

24、4(x-1)x1，显然x1代入方程成立，所以x1是方程的根，当x1时，记h（x）lnx+x1-54（x1）lnx-14（x1），h（x）=1x-14=4-x4x，所以令h（x）0，解得：1x4；令h（x）0，解得：x4；所以h（x）在（1，4）上单增，在（4，+）上单减，所以h（4）h（1）0，所以h（x）在（1，4）上没有零点；而h（x）在（4，+）上单减，且h（4）0，h（e3）lne3-14（e31）=13-e340，所以在（4，+）上有且只有一个零点综上所述：当k=54时，方程f（x）g（x）有且只有3个不同实根，故B正确；对于C：对于f（x）=x21-x-1，x1lnx+x-1，x1

25、，当x1时，f（x）lnx+x1，f（x）=1x+10，所以f（x）f（1）ln1+110；当x1时，f（x）=x21-x-1，f（x）=2x-x2(1-x)2令f（x）0，解得：0x1；令，f（x）0，解得：x0；所以f（x）在（，0）上单减，在（0，+）上单增，所以f（x）f（0）011；故f（x）的值域为1，+）成立，故C正确；对于D：对于任意的xR，都有（x1）（f（x）g（x）0成立，所以x1x21-x-1k(x-1)及x1lnx+x-1k(x-1)恒成立若x1x21-x-1k(x-1)恒成立，则有kx2(1-x)(x-1)-1x-1（x1）令t（x）=x2(1-x)(x-1)-1x

26、-1（x1），只需kt（x）max令mx1，则m0，则y=(m+1)2-m2-1m=-（1m2+3m+1）=-(1m+32)2+54，所以ymax=54，即k54；若x1lnx+x-1k(x-1)恒成立，当x1，无论k取何值，不等式均成立，所以kR当x1，则有klnxx-1-1（x1），令P（x）=lnxx-1+1（x1），只需kp（x）maxp（x）=1x(x-1)-lnx(x-1)2=1-1x-lnx(x-1)2记m（x）1-1x-lnx，则m（x）=1x2-1x=1-xx20，所以m（x）1-1x-lnx在（1，+）上单减，所以m（x）m（1）0，即p（x）0，所以P（x）=lnxx-1

27、+1在（1，+）上单减，所以p（x）max=limn1+(lnxx-1+1)=limn1+(lnx)(x-1)+11+12，所以k2综上所述：k2故D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）在（1x）4（2x+1）5的展开式中，含x2的项的系数是 6【解答】解：二项式可以化为（14x+6x24x3+x4）（2x+1）5，则二项式的展开式中含x2的项为1C53(2x)2-4xC54(2x)1+6x2C55(2x)0=6x2，所以x2的系数为6，故答案为：614（5分）如图，在四边形ABCD中，AB=3DC，E为边BC的中点，若AE=AB+AD，则+76【解答】

28、解：连接AC，因为E是BC的中点，所以AE=12(AB+AC)，又因为AC=AD+DC=AD+13AB，所以AE=23AB+12AD，即=23，=12，+=76故答案为：7615（5分）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如表频数分布表：笔试成绩X40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100人数51025302010由频数分布表可认为该市全体考

29、生的笔试成绩X近似服从正态分布N（，2），其中，近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替），则73若12.9，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数（结果四舍五入精确到个位）为 1587参考数据：若XN（，2），则P（X+）0.6827，P（2X+2）0.9545，P（3X+3）0.9973【解答】解：由题意知455+5510+6525+7530+8520+9510100=73，易知P（X85.9）P（X73+12.9）=1-0.68272=0.15865，故该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数大约为100000.158651587故答案为：73

30、，158716（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2=3设椭圆，双曲线的离心率分别为e1，e2，则e12+e22的最小值为 1+32【解答】解：由题意，可设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，由椭圆和双曲线的定义可知，PF1+PF22a1，PF1PF22a2，则PF1a1+a2，PF2a1a2，又F1PF260，由余弦定理可得(2c)2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos60，整理得4c2=a12+3a22，即1e12+3e22=4，则14e12+34e22=1，所以e12+e22=(14e12+34e22

31、)(e12+e22)(12e1e1+32e2e2)2=1+32，当且仅当e2e1=3e1e2时，等号成立，故答案为：1+32四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且-3cacosB=tanB+tanA（1）求A；（2）若D为BC上一点，且BC3BD=3AB，AD3，求ABC的面积【解答】解：（1）在ABC中，因为-3cacosB=tanB+tanA，所以由正弦定理得：-3sinCsinAcosB=sinBcosB+sinAcosA，即-3sinCsinAcosB=sinBcosA+cosBs

32、inAcosBcosA=sin(A+B)cosBcosA=sinCcosBcosA，因为sinC0，cosB0，所以-3sinA=1cosA，即tanA=-3，因为A（0，），所以A=23（2）在ABC中，因为BC3BD=3AB，A=23，所以a=3c，由余弦定理得：a2b2+c22bccosA，即b2+bc2c20，解得：bc （b2c舍去），因为AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13（AC-AB）=23AB+13AC，所以AD2（23AB+13AC）2即32=49c2+229bccos23+19b2，因为bc，所以32=39c2，解得：c227，所以ABC的面积SABC=12bcsi

33、nA=122732=2734，即ABC的面积为273418（12分）已知各项均为正数的等差数列an，a25，2a1，a3，a5+2成等比数列（1）求an的通项公式；（2）设数列bn满足an（3bn-1）1，Tn为数列bn的前n项和，nN*求证：Tnlog3an+1a1【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由a25，2a1，a3，a5+2成等比数列，得（5+d）22（5d）（7+3d），即7d26d450，解得d3或d=-157（舍去）an5+（n2）33n1；证明：（2）由an（3bn-1）1，得3bn=13n-1+1=1+3n-13n-1=3n3n-1，bn=log33n3n-1，假设

34、数列cn的前n项和为An，An=log3an+1a1=log33n+22，则An-1=log33n-12，cn=An-An-1=log33n+22-log33n-12=log33n+23n-1（n2），验证n1时cn成立要证Tnlog3an+1a1，即证TnAn，只需证log33n3n-1log33n+23n-1，也就是证3n3n-13n+23n-1，即证3n3n+2，此式显然成立Tnlog3an+1a119（12分）如图，在五面体ABCDE中，已知AC平面BCD，EDAC，且ACBC2ED2，DCDB=3（1）求证：平面ABE平面ABC；（2）求二面角ABEC的余弦值【解答】（1）证明：取B

35、C中点M，AB中点N，连接DM，MN，ENMNAC且MN=12AC，又DE=12AC，DEAC，DEMN，且DEMN，所以四边形MNED是平行四边形，ENDM且ENDM，又AC平面BCD，AC平面ABC，平面ABC平面BCD，DCDB，DMBC，又平面ABC平面BCDBC，DM平面BCD，DM平面ABC，EN平面ABC，又EN平面ABE，所以平面ABE平面ABC（2）解：由（1）知，ACBC，ENDM且ENDM，EN平面ABC，平面ABE平面ABC，以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），N（1，1，0），E(1，1，2)，

36、则CB=(0，2，0)，CN=(1，1，0)，CE=(1，1，2)，设平面BCE的一个法向量为n=(x，y，z)，则nCE=x+y+2z=0nCB=2y=0，取z=2，则x=-2y=0，n=(-2，0，2)，又ACBC，则CNAB，又平面ABC平面ABEAB，CN平面ABC，所以CN平面ABE，即CN为平面ABE的一个法向量，cosn，CN=|nCN|n|CN|=|-2|26=33，显然二面角ABEC为锐角，故其余弦值为3320（12分）某工厂对一批零件进行质量检测具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过假设每件

37、零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立（1）若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率：（2）已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元/件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列和数学期望【解答】解：（1）若此批零件检测未通过，恰好检测5次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，故恰好检测5次的概率P=C410.1(1-0.1)30.1=0.02916（2）由题意可得，合

38、格产品利润为70元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为90元，则X可取70，50，90，故P（X70）0.9，P（X50）0.10.80.08，P（X90）0.10.20.02，故X的分布列为：X 70 5090 P 0.9 0.080.02故E（X）700.9+500.08900.265.2（元）21（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，上，下顶点分别为A，B，四边形AF1BF2的面积和周长分别为2和42（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：yk（x+1）（k0）与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中垂线交y轴于M点，

39、且EMF为直角三角形，求直线l的方程【解答】解：（1）由题意可知，122cb2=24a=42a2=b2+c2，解得a=2b=1，所以椭圆C的方程为x22+y2=1；（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），联立y=k(x+1)x22+y2=1，消去y，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k220所以x1+x2=-4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2，（4k2）24（1+2k2）（2k22）8（1+k2）0，所以x1+x22=-2k21+2k2，y1+y22=k(x1+x2+2)2=k1+2k2，所以线段EF的中垂线y-k1+2k2=-1k(x+2k21+2k2)，令x0，解得y

40、=-k1+2k2，因此，M(0，-k1+2k2)，所以ME=(x1，y1+k1+2k2)，MF=(x2，y2+k1+2k2)，因为EMF为直角三角形，且MEMF，所以MEMF，所以MEMF=x1x2+(y1+k1+2k2)(y2+k1+2k2)=x1x2+k2(x1+1)(x2+1)+k1+2k22k1+2k2+k2(1+2k2)2 =(k2+1)x1x2+k2(x1+x2)+k2+3k2(1+2k2)2 =(k2+1)2k2-21+2k2-4k21+2k2+k2+3k2(1+2k2)2 =2(k4-1)1+2k=0，所以k21，即k1，所以直线l的方程为xy+10或x+y+1022（12分）

41、已知函数f（x）aln（x+1）+x22-x，其中，a为非零实数（1）当a1时，求f（x）的极值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，求证；f（x1）+f（x2）x1【解答】解：函数f（x）的定义域为（1，+）（1）当a1时，f（x）ln（x+1）+x22-x，f（x）=-1x+1+x1=x2-2x+1，令f（x）0，解得x=2或x=-2（舍），当x（1，2）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（2，+）时，f（x）0，f（x）单调递减，所以当x=2时，f（x）有极小值f（2）ln（2+1）+1-2，所以f（x）的极小值为ln（2+1）+1-2，无极大值（2）f（x）=ax+1+x1=x2+(a-1)x+1，当a1时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增；当0a1时，令f（x）0，解得x=-1-a或x=1-a，且-1-a-1，所以f（x）在（1，-1-a），（1-a，+）上单调递增，在（-1-a，1-a）上单调递减；当a0时，令f（x）0，解得x=-1-a或x=1-a，且-1-a-1，所以f（x）在（1，1-a）上单调递减，在（1-a，+）上单调递增，综上，当