测量误差基本知识PPT课件.ppt

1、测量误差的基本知识第三章第一节 测量误差的概念第二节 评定精度的标准第三节 观测值的算术平均值及改正数第四节.观测值的精度评定（中误差）第五节 误差传播定律及应用第六节 权第一节 测量误差的概念 一. 测量误差的发现 1.对同一量多次观测，其观测值不相同。 2.观测值之和不等于理论值 三角形 +180 闭合水准 h0 二. 测量误差产生的原因 1. 仪器误差 2. 观测者感官的限制 3. 外界条件的影响 总称为观测条件（必要条件）。等精度和不等精度观测。 三. 测量误差的分类与处理原则 根据观测误差的性质可分为：系统误差、偶然误差。（一）系统误差 又称累积误差。 在相同的观测条件下，对某一量作

2、一系列的观测，如果出现的误差无论在个体和群体上，呈现出以下特性：在符号和大小上都相同，或按一定的规律变化，这种误差就叫系统误差。 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。 例 钢尺：尺长、温度、倾斜改正 水准仪：i角 经纬仪：c角、i角 观测值的准确度 指观测值偏离真值的程度。系统误差对其有较大的影响。 系统误差对观测值的影响具有一定的数学或物理上的规律：积累性。（二）偶然误差 在相同的观测条件下，对某一量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向， 即表面上没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。是由人力所不能控制的因素或无法估计的因素共同引起的，其数值的正负、

3、大小纯属偶然 大量的偶然误差具有统计性，或称之为具有概率论的规律。（三）误差处理原则 粗差（错误）测错，记错，算错可以避免错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。 防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面） “ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由多余观测产生的往返差、不符值、闭合差，可根据差值大小评定精度，超限重测，不超限调整之。 系统误差应尽可能按其产生的原因和规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正仪器、观测值加改正数、对称观测：水准，前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均值。 不同时间的多次观测，有可能削弱部分情况不明的系统误差四、偶然误差的特性iXli（i，） 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的一系

4、列观测值中如何求得最可靠的结果和评定成果的精度i 第i次观测的偶然误差X某一量的真值li 第i次观测值 从单个偶然误差看无规律，观察其大量的偶然误差，就能发现隐藏在偶然性下的必然性，统计数量越大规律性越明显。 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；（密集性、区间性） 绝对值相等的正、负误差出现的机会大致相等，可相互抵消；（对称性）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；（有界性）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即 。（抵偿性） 0limnn偶然误差的特性：若用图表示，偶然误差服从正态分布。正态分布曲线的数学方程式方差为偶然误差平

5、方的理论平均值：标准差为第二节 评定精度的标准 为对观测值的精度作出科学的评定，常用中误差、极限误差、相对误差为评定精度的标准。 一.中误差 定义 在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次观测，观测值l1，l2，ln，偶然误差（真误差）1， 2，n，则中误差M的定义式为：nmnnMlim2式中：M2称为中误差平方。实际工作中，由于n值总是有限的，故使用时M的估值常由中误差m表达，即式中：分析 中误差小，观测精度高。2232221.n例 已知：用甲乙两台仪器对同一角各观测十次，其真误差为： 解： 二.相对误差 中误差和真误差是绝对误差。 仅用中误差衡量观测值的精度对某些测量工作来说，还不能正确反

6、映观测的质量。 相对误差k 是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即 mDDmk1例 已知：D1=100m, m1=0.01m D2=200m, m2=0.01m 求： K1, K2 解：20000120001. 010000110001. 0222111DmKDmK 一般情况 角度，高差用m表示、钢尺量距用k表示。 较差率 在距离量测中，常用往返测量结果的较差率来进行检合。较差率为DDDDDDD平均平均平均返往1 较差率是真误差的相对误差。较差率愈小，观测结果愈可靠。 三.极限误差（容许误差） 定义 由偶然误差的特性知，在一定的观测条

7、件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。误差出现在微小区间中的概率以倍中误差为区间中误差出现的概率通常以3倍中误差为真误差极限误差的估值，即 极3m 。 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差，即容=2m 或 容=3m 。 作用 区别误差和错误的界限。 k=1 ( m)=0.683=68.3% k=2 ( 2m)=0.954=95.4% k=3 ( 3m)=0.997=99.7%第三节 观测值的算术平均值及改正数 一. 算术平均值（最或然值、似真值） 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为l1、l2ln，中误差为m1、m2 mn，则其算术平均值（最

8、或然值、似真值）为 可证明其合理性和可靠性可证明其合理性和可靠性 nlnlllxn 21 推导过程 设未知量的真值为X，可写出观测值的真误差公式为 （i=1，2，n）将上式相加得 或故 XliinXlllnn )(2121nXl nnlXx观测值的算术平均值x算术平均值真误差则有由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，x趋近于零，即 n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。 xxX0limxn二观测值的改正值算术平均值与观测值之差称为观测值的改正值（v）： v1=x-l1 v2=x-l2 vn=x-ln上列等式相加，得 v=nx-l则v=n l -l=0可证明vi符合“最小二乘原则”第四节.

9、观测值的精度评定（中误差） 第一公式 第二公式 其中 vi似真误差（观测值改正数） nm条件X（观测值真值）已知1nvvm条件X（观测值真值）未知，x（算术平均值）已知xlvii观测值平均值证明：nm1nvvxlviiXlii（i=1，2，3，n） （a）两式相减，有iiivvXxnnvvv 2211即（b）（c）将上列等式两端各自平方，并求其和，则 22nvvv将 和 代入上式，则 nvv2 0vXlii式中： n2 nnnnQPnn 2222)(1)(1243322122221221（PQ）（d）由于 为偶然误差，它们的非自乘积 仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特性，即n ,21QP0

10、limnQPn代回原式中，得 （e） 22将（e）式代入（d）式 移项即 21) 1(mnvvnvvnnnvv证毕第五节 误差传播定律及应用 一.概念 在间接观测的情况下，未知量的中误差和观测值中误差之间必有一定的关系，阐述这种关系的定律为误差传播定律。即根据观测值的中误差去求观测值函数中误差。 求直接观测值的中误差 1nvvnm例 三角形中，已知：A、B角的中误差为mA 、mB，求：C角中误差mC。 解： ，C角是直接观测值A、B角的函数。 mC = ?例 高差测定中的 ，h是直接观测值a、b的函数。bahBAC180二、观测值的函数（一）和差函数（二）倍函数（三）线性函数（四）一般函数三.

11、线性函数设线性函数的一般式为：式中： 为系数； 为独立观测值。当观测值的中误差分别为 时，按误差传播定律，函数 的中误差 用下式计算： nnxkxkxkxkz 332211ikixnmmmm,321 zzm22332222112)()()()(nnzmkmkmkmkm nn 各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。设平均值的中误差为mx，则有 故 nlnlnlxn 21nmmnmnmnmx22222222111 由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。 n1例如 对某量进行n次等精度观测算术平均值为 ) 1( nnvvmxnmmx例 可见，1次丈量的中误差为1.5mm,其相对误差

12、为 0.0015/120=1/80000 6次丈量的算术平均值的中误差为0.6mm,其相对误差为 0.0006/120=1/200000增加观测次数对算术平均值精度的作用 例如，在比例尺为l：500的地形图上量得某两点间的距离d1347mm，图上量距的中误差md=土02mm，则换算为实地两点间的距离D及其中误差mD为 D=500 134.7mm=67.35m mD=500(0.2mm)=0.1m 写成 D=67.35 0.1m倍函数z=kx的中误差为 mz=kmz22221nzmmmm四、和差函数的中误差 设有和差函数 z=x1 x2 xn 是中，x1 xn为独立变量，其中误差为m1m2,顾及

13、k1=k2 = =kn= 1 则得和差函数的中误差等精度自变量的和差函数的中误差 mz= m n五.一般函数P=ab设非线性函数的一般式为：式中： 为独立观测值； 为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“”替代“d”，得),(321nxxxxfz ixnmmmm,321 nxnxxZxfxfxf )()()(2121式中： 是函数对 的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：ixf), 2 , 1(ni 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm ix2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 例已知：测量矩形的两边a

14、=20.000.02m, b=50.000.04m 求：矩形面积A及其中误差mA 解：1.函数式 A=ab=100米2 2.全微分 dA=bda+adb 3.中误差式 （m）222)()(baAmambm22)04. 020()02. 050(28. 164. 1Am例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030 求：水平距离D 解：1.函数式 2.全微分 3.化为中误差 （m） dDDdDd)sin()(cos cosDD2222203)15sin50(05.0)15(cos)sin()(cos mDmmDD048. 0Dm六.求观测值函数中误差的步骤和方法 1.列出观

15、测值函数的表达式： 2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式： 式中， 是用观测值代入求得的值。 ),(21nxxxfZ nxnxxZxfxfxf )()()(2121)(ixf 3.写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式： 注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值，其真误差之间须满足下式，即 4.计算观测值函数中误差22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm 0limnyxn误差传播定律的应用 一、距离测量的精度 二、角度测量的精度 （一）水平较观测精度 （二）多边形角度闭合差的规定 三、水准测量的精度 （一）两次测定高差时的误差

16、规定 （二）水准路线的高差测定误差第七节 权 一. 观测值的权 各非等精度观测值的可靠程度，可用一个数值来表示，称其为各观测值的权。 “权”是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。权通常用“p”表示。 二. 权与中误差的关系 权与中误差的平方成反比。三. 加权算术平均值及其中误差 单位权中误差为 加权算术平均值中误差为npm00pnpM55写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal