理论力学-动量定理讲解课件.ppt

1、动量定理3-1 动量与冲量动量与冲量3-2 动量定理和冲量定理动量定理和冲量定理3-3 质心运动定理质心运动定理第第三三章章 动动量量定定理理目录几个实际问题 宇航员在太空拔河，开始静止。若宇航员在太空拔河，开始静止。若A的力气大于的力气大于B的力气，谁胜谁负的力气，谁胜谁负几个实际问题几个实际问题 蹲在磅秤上的人站起来时磅秤指蹲在磅秤上的人站起来时磅秤指示数会不会发生的变化示数会不会发生的变化几个实际问题几个实际问题偏心转子电动机工偏心转子电动机工作时为什么会左右作时为什么会左右运动；运动； 这种运动有什么规这种运动有什么规律；律；会不会上下跳动；会不会上下跳动；利弊得失。利弊得失。几个实际

2、问题几个实际问题3-1 动量与冲量3-1 动量与冲量动 量冲 量 质点的质量质点的质量 m 与速度与速度 v 的乘积的乘积 mv 称为该质点的动量。称为该质点的动量。 p= mivipx = mivix ， py = miviy ， pz = miviz 以以 px，py 和和 pz 分别表示质点系的动量在固定直角坐标轴分别表示质点系的动量在固定直角坐标轴 x，y 和和 z 上的投影。则有上的投影。则有1. 动量的定义动量的定义（1） 质点的动量质点的动量 质点系内各质点的动量的矢量和称为该质点系的质点系内各质点的动量的矢量和称为该质点系的动量主矢动量主矢，简称为，简称为质质点系的动量点系的动

3、量。并用。并用 p 表示，即有表示，即有（2） 质点系的动量质点系的动量（3） 质点系动量的投影式质点系动量的投影式一、动一、动 量量质点系的质心质点系的质心 C 的矢径表达式可写为的矢径表达式可写为miri = m rC 当质点系运动时，它的质心一般也是运动的，将上式两端对时间求导数，当质点系运动时，它的质心一般也是运动的，将上式两端对时间求导数，即得即得p = mivi= mvC2. 质点系动量的简捷求法质点系动量的简捷求法px = mivix = mvCx py = miviy = mvCypz = miviz =mvCz投影到各坐标轴上有投影到各坐标轴上有可见可见，质点系的动量,等于质

4、点系的总质量与质心速度的乘积。 例题例题 3-1 画椭圆的机构由匀质的曲柄画椭圆的机构由匀质的曲柄 OA ，规尺，规尺 BD 以及以及滑块滑块B 和和 D 组成组成( 图图 a)，曲柄与规尺的中点，曲柄与规尺的中点 A 铰接。已知规尺铰接。已知规尺长长2l ，质量是，质量是 2m1 ；两滑块的质量都是；两滑块的质量都是 m2 ；曲柄长；曲柄长 l ，质量，质量是是 m1 ，并以角速度，并以角速度绕定轴绕定轴 O 转动。试求当曲柄转动。试求当曲柄 OA 与水平成与水平成角角时整个机构的动量。时整个机构的动量。xyOADB(a)例题 3-1 整个机构的动量等于曲柄整个机构的动量等于曲柄OA、规尺、

5、规尺BD、滑块滑块B 和和D的动量的矢量和，即的动量的矢量和，即解法一解法一: :p = pOA + pBD + pB + pDyBvDvAvBvEE系统的动量在坐标轴系统的动量在坐标轴 x，y 上的投影分别为：上的投影分别为：DAExvmvmvmp211sin)2(sin已知：已知： 曲柄曲柄OA长长 l ，质量是，质量是 m1，并以角速度，并以角速度绕定轴绕定轴 O 转动。转动。 规尺规尺BD长长2l ，质量是，质量是 2m1 ，两滑块的质量都是，两滑块的质量都是 m2 。sin2sin)2(sin2211lmlmlmCsin)225(21lmm系统的动量在系统的动量在 y 轴上的投影为：

6、轴上的投影为：BAEyvmvmvmp211cos)2(coscos2cos)2(cos2211lmlmlmcos)225(21lmm 所以，系统的动量大小为所以，系统的动量大小为22yxppp方向余弦为为方向余弦为为 ),cos( , ),cos(ppyppxyxppxyBvDvAvBvEEClmm)45(2121解法二解法二: 整个机构的动量等于曲柄整个机构的动量等于曲柄OA、规尺、规尺BD、滑块滑块B 和和D的动量的矢量和，即的动量的矢量和，即p = pOA + pBD + pB + pD其中曲柄其中曲柄OA的动量的动量pOA=m1vE ,大小是大小是pOA = m1vE = m1l/2其

7、方向与其方向与vE一致，即垂直于一致，即垂直于OA并顺着并顺着的转的转向向(图图 b)xyOADBvDvAvBvEExyOADB(b)pBD+pB+pDpOA 因为规尺和两个滑块的公共质心在因为规尺和两个滑块的公共质心在点点 A，它们的动量表示成，它们的动量表示成p= pBD + pB + pD = 2(m1 + m2)vA由于动量由于动量 KOA 的方向也是与的方向也是与 vA 的方向的方向一致，所以整个椭圆机构的动量方向一致，所以整个椭圆机构的动量方向与与 vA 相同，而大小等于相同，而大小等于lmmlmmlmpppOA)45(21)(22121211xyOADBvDvAvBvEExyOA

8、DB(b)pBD+pB+pDpOAE 常常力与作用时间力与作用时间t 的乘积的乘积 Ft 称为称为常常力的力的冲量冲量。并用并用 I 表示，即有表示，即有I = Ft1. 常力的冲量常力的冲量2. 变力的冲量变力的冲量冲量是矢量，方向与力相同。冲量是矢量，方向与力相同。 若若力力F F是变力，可将力的作用时间是变力，可将力的作用时间t 分成无数分成无数的微小时间段的微小时间段d dt ，在，在每个每个d dt内，力内，力F可视为不变。可视为不变。元冲量元冲量力力F在微小时间段在微小时间段d dt 内的内的冲量称为冲量称为力力 F 的的元冲量元冲量。变力变力F 在在t时间间隔内的冲量为：时间间隔

9、内的冲量为：tt0dFI二、冲二、冲 量量上式为一矢量积分，具体计算时，可投影于固定坐标系上上式为一矢量积分，具体计算时，可投影于固定坐标系上所以，变力所以，变力F F 的冲量又可表示为：的冲量又可表示为：2. 变力的冲量变力的冲量tt0dFI d , d , d000tzztyytxxtFItFItFIkjiIzyxIII3-2 动量定理和冲量定理动量定理动量守恒定理冲量定理因为质点系的动量为因为质点系的动量为tmtiid)(dddvp一、动量定理一、动量定理一、动量定理p = mivi , 对该式两端求时间的导数，有对该式两端求时间的导数，有iiimFa分析右端，把作用于每个质点的力分析右

10、端，把作用于每个质点的力F 分为内力分为内力F（ i ) 和外力和外力F( e )，则得则得(e)(i)iiiFFF因为内力之和因为内力之和0(i)iF则有则有一、动量定理一、动量定理)e(dditFp即，即，质点系动量对时间的导数，等于作用于它上所有外力的矢量和，这就是质点系动量定理的微分形式。常称为常称为动量定理。在具体计算时，往往写成投影形式，即在具体计算时，往往写成投影形式，即,dd)e(ixxFtp)e(ddiyyFtp)e(ddizzFtp即即，质点系的动量在固定轴上的投影对时间的导数,等于该质点系的所有外力在同一轴上的投影的代数和。设在设在 t1 到到 t2 过程中，质点系的动量

11、由过程中，质点系的动量由p1 变为变为 p2 ，则对上式积分，可得，则对上式积分，可得二、冲量定理二、冲量定理二、冲量定理 可见可见，质点系的动量在一段时间内的变化量，等于作用于质点系的外力在同一段时间内的冲量的矢量和。这就是。这就是质点系动量定理的积分形式，也称为也称为质点系的冲量定理。一、动量定理一、动量定理)e(dditFp即，即，质点系动量在某固定轴上投影的变化量,等于作用于质点系的外力在对应时间间隔内的冲量在同一轴上的投影的代数和。具体计算时，将上式投影到固定直角坐标轴系上具体计算时，将上式投影到固定直角坐标轴系上izttizzziyttiyyyixttixxxItFppItFppI

12、tFpp212121ddd)e(12)e(12)e(1221d)e(12ttiitIFpp二、冲量定理二、冲量定理,dd)(exxFtp,dd)(eyyFtp)(ddezzFtp1. 如果在上式中如果在上式中Fi（e) 0，则有，则有p = p0 = 常矢量常矢量其中：其中： p0 为质点系初始瞬时的动量为质点系初始瞬时的动量 。有结论有结论在运动过程中,如作用于质点系的所有外力的矢量和始终等于零，则质点系的动量保持不变。这就是质点系的这就是质点系的动量守恒定理。三、动量守恒定理三、动量守恒定理2. 如果在上式中如果在上式中F ix（e) 0，则有，则有p x = p0 x = 常常 量量其中

13、：其中： p0 x 为质点系初始瞬时的动量为质点系初始瞬时的动量 在在x轴上的投影。轴上的投影。有结论有结论在运动过程中,如作用于质点系的所有外力在某一轴上的投影的代数和始终等于零，则质点系的动量在该轴上的投影保持不变。二、动量守恒定理二、动量守恒定理一、动量定理一、动量定理)e(dditFp,dd)e(ixxFtp,dd)e(iyyFtp)e(ddizzFtp 实例分析：实例分析： 内力不改变整个内力不改变整个质点系的动量，但是质点系的动量，但是质点系每一部分的动质点系每一部分的动量可能会改变。量可能会改变。实例分析：实例分析： 内力不改变整个内力不改变整个质点系的动量，但是质点系的动量，但

14、是质点系每一部分的动质点系每一部分的动量可能会改变。量可能会改变。实例分析：实例分析： 内力不改变整个内力不改变整个质点系的动量，但是质点系的动量，但是质点系每一部分的动质点系每一部分的动量可能会改变。量可能会改变。实例分析：实例分析： 实例分析：实例分析：例题例题 3-2 火炮（包括炮车与炮筒）的质量是火炮（包括炮车与炮筒）的质量是 m1，炮弹的质量是，炮弹的质量是 m2，炮弹相对炮车的发射速度是炮弹相对炮车的发射速度是 vr，炮筒对水平面的仰角是，炮筒对水平面的仰角是 （图（图a）。设火）。设火炮放在光滑水平面上，且炮筒与炮车相固连，试求火炮的后坐速度和炮弹炮放在光滑水平面上，且炮筒与炮车

15、相固连，试求火炮的后坐速度和炮弹的发射速度。的发射速度。(a)ABFAFBm1gm2guxyvr例题 3-2 取火炮和炮弹（包括炸药）这个系取火炮和炮弹（包括炸药）这个系统作为研究对象。统作为研究对象。解: 设火炮的反座速度是设火炮的反座速度是 u，炮弹的发，炮弹的发射速度是射速度是 v，对水平面的仰角是，对水平面的仰角是 （图图b）。 炸药（其质量略去不计）的爆炸力是炸药（其质量略去不计）的爆炸力是内力，作用在系统上的外力在水平轴内力，作用在系统上的外力在水平轴 x 的的投影都是零，即有投影都是零，即有 Fix = 0。 可见，系统的动量在轴可见，系统的动量在轴 x 上的投影守上的投影守恒，

16、考虑到初始瞬时系统处于静止，即有恒，考虑到初始瞬时系统处于静止，即有 p0 x = 0，于是有于是有px = m2vcos m1u = 0(a)ABFAFBm1gm2guxyvr(b) vvevr另一方面，对于炮弹应用速度合成定理，可得另一方面，对于炮弹应用速度合成定理，可得v = ve + vr考虑到考虑到 ve = u，并将上式投影到轴并将上式投影到轴 x 和和 y 上，上，就得到就得到vcos = vrcos u vsin = vrsin 联立求解上列三个方程，即得联立求解上列三个方程，即得tan)1 (tan cos)()2(1cos12r2221221r212mmvmmmmmvvmm

17、mupx = m2vcos m 1u = 0(b) vvevrABFAFBm1gm2guxyvrtan)1 (tan12mm由上式可见，由上式可见，v与与vr方向不同，方向不同，。当当m1 m2 时，时，。但在军舰或车上但在军舰或车上时，应该考虑修正量时，应该考虑修正量 m2/m1。 讨论(b) vvevrABFAFBm1gm2guxyvr 例题例题 3-3 锻锤锻锤 A 的质量的质量 m = 3 000 kg，从高度，从高度 h = 1.45 m处自处自由下落到锻件由下落到锻件 B 上。假设锻锤由接触锻件到最大变形的时间上。假设锻锤由接触锻件到最大变形的时间t = 0.01s，求锻锤作用在锻

18、件上的平均碰撞力。，求锻锤作用在锻件上的平均碰撞力。v0=0v例题 3-3 取锻锤作为研究对象。它从高度取锻锤作为研究对象。它从高度 h 自由下落到自由下落到锻件产生最大变形的过程，可分成两个阶段。锻件产生最大变形的过程，可分成两个阶段。解：解： （1）碰撞前的自由下落阶段。）碰撞前的自由下落阶段。从而求得碰撞前锻锤速度的大小从而求得碰撞前锻锤速度的大小mghmv0212ghv2锻锤只受重力作用，由动能定理锻锤只受重力作用，由动能定理Bv0=0vvAOyhA 写出冲量定理在铅直轴写出冲量定理在铅直轴 y 上的投影式，并注意上的投影式，并注意锻件变形最大时锻锤速度为零，有锻件变形最大时锻锤速度为

19、零，有 （2）锻锤由开始接触锻件到最大变形阶段。）锻锤由开始接触锻件到最大变形阶段。0 mv = mgt FBt从而求得从而求得代入求出的速度代入求出的速度 v 和已知数据，即得和已知数据，即得FB = 16.3 102 kNmgtmvFB 该阶段锻锤受重力该阶段锻锤受重力mg和锻件对锻锤的碰撞力和锻件对锻锤的碰撞力（设其平均值为（设其平均值为 FB）的作用。）的作用。vAOy3-3 质心运动定理18-3 质心运动定理质心运动定理质心运动守恒定理质点系动量定理的表达式质点系动量定理的表达式引入质心的加速度引入质心的加速度 aC = dvc / dt，则上式可改写成，则上式可改写成maC = F

20、i（e）即即，质点系的总质量与其质心加速度的乘积,等于作用在该质点系上所有外力的矢量和（主矢）,这就是这就是质心运动定理。)e()(ddddiCmttFvp一、质心运动定理一、质心运动定理一、质心运动定理 把质点系动量的表达式把质点系动量的表达式 p = mivi = mvC代入上式，可得代入上式，可得)e(dditFp 1. 定理表达式定理表达式 具体计算时具体计算时, 常把常把质心运动定理表质心运动定理表达达式投影到固定直角坐标轴系上得式投影到固定直角坐标轴系上得)e(22)e(22)e(22ddddddizCiyCixCFtzmFtymFtxm假设假设 n 个质点组成的质点系由个质点组成

21、的质点系由N个部分构成，则由个部分构成，则由式式p = mivi = mvC ，可把可把质心运动定理表达质心运动定理表达式的左端表示成式的左端表示成CjNjjCNNCCiniiCmmmmmmaaaaaa122111 3. 投影表达式投影表达式mac = F i（e）质心运动定理质心运动定理 2. 定理的转化式定理的转化式)e(1iCjNjjmFa即即，如作用于质点系的所有外力的矢量和（主矢）始终等于零，则质心运动守恒，即质心作惯性运动；如果在初瞬时质心处于静止，则它将停留在原处。1. 如果如果Fi（e） 0，则由上式可知，则由上式可知 aC= 0，从而有，从而有vc = 常矢量常矢量maC =

22、 Fi（e）质心运动定理质心运动定理二、质心运动守恒定理二、质心运动守恒定理 2. 如果如果Fix 0，则由上式可知，则由上式可知 d2xC / dt 2 = aCx = 0，从而，从而dxC / dt = vCx = 常量常量即即，如果作用于质点系的所有外力在某固定轴上投影的代数和始终等于零,则质心在该轴方向的运动守恒。质心运动定理质心运动定理投影表达式投影表达式另外另外，如果初瞬时质心的速度在该轴上的投影也等于零（即vCx = 0),则质心沿该轴的位置坐标不变。即即xC = xC0 = 常量常量)e(22)e(22)e(22ddddddizCiyCixCFtzmFtymFtxm实例分析：实

23、例分析：mAvA+ mBvB = (mA+ mB)vC =0 宇航员在太宇航员在太空拔河，开始静空拔河，开始静止。若止。若A的力气的力气大于大于B的力气，的力气，谁胜谁负谁胜谁负? ?动量守恒动量守恒 两人在光滑冰上拔河，开始向左运动。若两人在光滑冰上拔河，开始向左运动。若A的力气大于的力气大于B的力气，两人如何运动的力气，两人如何运动实例分析：实例分析：实例分析：实例分析： 为什么赛车比赛前，车手会使轮胎在地面空转为什么赛车比赛前，车手会使轮胎在地面空转蒸汽机与机车蒸汽机与机车1892年研制的蒸汽机车年研制的蒸汽机车蒸汽机车蒸汽机车问题：问题： 如何提高牵引力？如何提高牵引力？柴油机车柴油机

24、车 电力机车电力机车问题：问题：（1）在输出扭矩相同的条件下，）在输出扭矩相同的条件下，机车主动轮半径与牵引力的关系机车主动轮半径与牵引力的关系如何？如何？（2）列车提速后又带来了哪些）列车提速后又带来了哪些新问题？新问题？电力车组电力车组实验中的磁悬浮列车实验中的磁悬浮列车上海磁悬浮列车上海磁悬浮列车问题：问题： 若机车电机有足若机车电机有足够的动力，是否机车够的动力，是否机车可以跑得充分快？可以跑得充分快？实例分析：实例分析：实例分析：实例分析： 实例分析之四：实例分析之四：maC= FNmg ,FN = m(aC +g) 例题例题 3-4 如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到如图所示

25、，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人质量为船尾，设人质量为m2，船的质量为，船的质量为m1 ，船长，船长l，水的阻力不，水的阻力不计。求船的位移。计。求船的位移。 Olsabxxy例题 3-4 解：解：取人与船组成质点系。取人与船组成质点系。12120mmbmamxC人走到船尾时，船移动的距离为人走到船尾时，船移动的距离为s，则质，则质心的坐标为心的坐标为 1212)()(mmsbmslamxC取坐标轴如图所示。在人走动前，系统的取坐标轴如图所示。在人走动前，系统的质心坐标为质心坐标为 因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影之和等于零，即因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影之和等于零，

26、即Fix 0。则有则有又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不变。即有又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不变。即有0CCxx0CCxxOlsabxxy可以求得小船移动的位移可以求得小船移动的位移122mmlms,12120mmbmamxC1212)()(mmsbmslamxC上式代入上式代入0CCxx1. 质点系的内力（鞋底与船间摩擦力）虽质点系的内力（鞋底与船间摩擦力）虽不能改变系统质心的运动，但能改变系统不能改变系统质心的运动，但能改变系统中各部分的（人与船）的运动；中各部分的（人与船）的运动；2. 靠码头的小船会因人上岸而离岸后退，为防止，应在岸上将船栓住。靠码头的小船会因人

27、上岸而离岸后退，为防止，应在岸上将船栓住。 讨 论Olsabxxy 均质曲柄均质曲柄AB长长r，质量为，质量为m1，假设受力偶作用以不变得角速度，假设受力偶作用以不变得角速度转转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D，如图所示。滑槽、连杆、活塞，如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为总质量为m2 ，质心在点，质心在点C。在活塞上作用一恒力。在活塞上作用一恒力F。滑块。滑块B质量为质量为m，不计摩，不计摩擦，求作用在曲柄轴擦，求作用在曲柄轴A处的水平反力处的水平反力Fx。 BCbDxyA例题例题 3-5BCbDxyA 选取整个机构为研究的质点系。选取整个机构为研究

28、的质点系。解：解：EFFammaamxCBE21 cos cosaEaBaC即即由质心运动定理由质心运动定理FFrmmrrmx cos cos cos222221求得作用在曲柄轴求得作用在曲柄轴A处的水平反力处的水平反力 )e(1iCjNjjmFa得得cos)21(221rmmmFFxBCbDxyA 选取杆选取杆AB和滑块和滑块B为研究的质点系。为研究的质点系。解：解：EgmmFmaamyBE)(sin sin 211即即由质心运动定理由质心运动定理求得作用在曲柄轴求得作用在曲柄轴A处的竖直反力处的竖直反力 sin)21()(211rmmgmmFy)e(1FaCjNjjm得得如何求作用在曲柄轴

29、如何求作用在曲柄轴A处的竖直反力？处的竖直反力？ AEaEaBB 讨 论例题例题 3-6 电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，定子的质量是电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，定子的质量是 m1，转，转子的质量是子的质量是 m2，转子的轴线通过定子的质心，转子的轴线通过定子的质心 O1。制造和安装的误差，使转。制造和安装的误差，使转子的质心子的质心 O2对它的轴线有一个很小的偏心距对它的轴线有一个很小的偏心距 e（图中有意夸张）。求转子以（图中有意夸张）。求转子以匀角速度匀角速度 转动时，电动机所受的总水平反力和铅直反力。转动时，电动机所受的总水平反力和铅直反力。例题 3-6 取整个电动机（包括

30、定子和转子）作为研究对象。取整个电动机（包括定子和转子）作为研究对象。解：) 1 ( cos22xFtamO1O2xytm1gm2gFxFya2由质心运动定理有由质心运动定理有)2( sin2122gmgmFtamy由此求得电动机所受的总水平反力和铅直反力由此求得电动机所受的总水平反力和铅直反力Fx = m2e2costFy = (m1 + m2)g m2e2sint)e(1iCjNjjmFa 例题例题 3-7 若上例中电动机没有用螺栓固定，各处摩擦不若上例中电动机没有用螺栓固定，各处摩擦不计，初始时电动机静止。试求：（计，初始时电动机静止。试求：（1 1） 转子以转子以匀角速匀角速 转动转动

31、时电动机外壳在水平方向的运动方程；（时电动机外壳在水平方向的运动方程；（2）电动机跳起的最）电动机跳起的最小角速度。小角速度。tm1gm2gO1O2xyOas例题 3-71. 电动机外壳在水平方向的运动方程电动机外壳在水平方向的运动方程xyOas设电动机的水平位移为设电动机的水平位移为 s 。tO2O1O2O1O2O11. 电动机外壳在水平方向的运动方程电动机外壳在水平方向的运动方程设电动机的水平位移为设电动机的水平位移为 s 。由于电动机不固定，且不计摩擦，故外力在水平轴上的投影之和等由于电动机不固定，且不计摩擦，故外力在水平轴上的投影之和等于零，即于零，即Fix 0。则有则有又因系统初瞬时

32、静止，因此质心在水平轴上保又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不变。即有持不变。即有0CCxx0CCxxxC 0 = a，已知已知2121)sin()(mmtesamsamxCtm1gm2gO1O2xyOasFy由由xC = xC0 解得电动机外壳在水平方向的运动方程：解得电动机外壳在水平方向的运动方程：由此可见，当转子偏心的电动机未用螺栓固定时，将在水平面上作往复运动。由此可见，当转子偏心的电动机未用螺栓固定时，将在水平面上作往复运动。 0CCxx已知已知 xC 0 = a，2121)sin()(mmtesamsamxCtemmmssin212tm1gm2gO1O2xyOasFy2.

33、求电动机起跳条件求电动机起跳条件 电动机起跳的条件为：电动机起跳的条件为： Fy = 0 因此求得机座的铅直反力因此求得机座的铅直反力 ：2122cosyFm gm gm et2min122yFm gm gm e由此求得电动机起跳的最小角速度由此求得电动机起跳的最小角速度12m in2mmgm etm1gm2gO1O2xyFyO由质心运动定理有由质心运动定理有g g- -g g21n2cosmmFtamy即即g g- -g g2122cosmmFtemy而机座铅直反力的最小值：而机座铅直反力的最小值：电动机是否会起跳电动机是否会起跳 ？起跳的条件是什么？起跳的条件是什么？ 思考题 例题例题 3

34、-8 复摆是一个在重力作用下可绕水平轴复摆是一个在重力作用下可绕水平轴 O 摆动的刚摆动的刚体。它的质量是体。它的质量是 m，对转轴的转动惯量是对转轴的转动惯量是 JO，质心，质心 C 到转轴到转轴O的距离的距离 OC = b。设摆动开始时。设摆动开始时 OC 对铅直线的偏角是对铅直线的偏角是 0，角，角速度是速度是 。试求摆动中轴承。试求摆动中轴承 O 对复摆的反力。对复摆的反力。OC0b0(a)0例题 3-8 复摆在任意位置时，所受的外力有重力复摆在任意位置时，所受的外力有重力 mg 和和轴承轴承 O 的反力，为便于计算，把轴承反力沿质心轨的反力，为便于计算，把轴承反力沿质心轨迹的切线和法

35、线方向分解成两个分力迹的切线和法线方向分解成两个分力 F1和和 F2。 写出质心运动定理在质心轨迹的自然轴系上写出质心运动定理在质心轨迹的自然轴系上的投影式，可得的投影式，可得2nt, babaCC解解: :质心质心C 的加速度在这两个方向的投影为的加速度在这两个方向的投影为) 1 (sin1mgFmb )2(cos22mgFmg(b)OC0b0 F1F2mgatcanc应用动能定理应用动能定理: T2 T1 =W，有，有从而求得从而求得将上式两端对时间求导，得将上式两端对时间求导，得)cos(cos21210202mgbJJOO)cos(cos20202OJmgb sin22OJmgb即即s

36、inOJmgb (b)OC0b0 F1F2mgacacn分别代入分别代入)cos(cos2cossinsin0202221OOJmgbmbmgFJgbmmgF)cos(cos20202OJmgbsinOJmgb 经整理后即可求出经整理后即可求出) 1 (sin1mgFmb )2(cos22mgFmg(b)OC0b0 F1F2mgacacn 例题例题 3-9 图示单摆图示单摆B的支点固定在一可沿光滑的水平的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道平移的滑块直线轨道平移的滑块A上，设上，设A，B的质量分别的质量分别为mA，mB运运动开始时动开始时，x=x0， , ， 。试求单摆试求单摆B的轨迹的轨迹方程

37、。方程。00 x 0ABxyxO例题 3-9解：解：以系统为对象，其运动可用滑块以系统为对象，其运动可用滑块A的坐标的坐标x和单摆摆动和单摆摆动的角度的角度两个广义坐标确定。两个广义坐标确定。0000)sin()sin(CBABABABACxmmlxmxmmmlxmxmxsin0lmmmxxBABcsinsin0lmmmxlxxBAACBcoslyB解出解出单摆单摆B的坐标为的坐标为则则 由于沿由于沿x方向无外力作用，且初始静止，系统沿方向无外力作用，且初始静止，系统沿x轴的轴的动量守恒，质心坐标动量守恒，质心坐标xC应保持常值应保持常值xC0。ABxyxO消去消去，即的到单摆，即的到单摆B设

38、轨迹方程：设轨迹方程：22202)()1 (lyxxmmBCBAB0Cxx 是以是以 x = xC0 , y = 0 为中心的椭圆方程，因此悬挂在滑为中心的椭圆方程，因此悬挂在滑块上的单摆也称为椭圆摆。块上的单摆也称为椭圆摆。 sinsin0lmmmxlxxBAACBcoslyBABxyxO 例例 题题3-10 如图表示水流流经变截面弯管的示意图。如图表示水流流经变截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的，流动是稳定的。求流体对管壁设流体是不可压缩的，流动是稳定的。求流体对管壁的作用力。的作用力。 从管中取出所研究的两个截面从管中取出所研究的两个截面aa与与bb之间的流体作为质点系。之间的流体作为

39、质点系。tqvmdd时间间隔时间间隔dt内质点系动量的变化为内质点系动量的变化为 )()(1111110aabababbabbapppppppp解：解： 设想经过无限小的时间间隔设想经过无限小的时间间隔dt，这一部分流体流到两个截面这一部分流体流到两个截面a1a1与与b1b1之间。令之间。令qv为流体在单位时间内流过为流体在单位时间内流过截面的体积流量，截面的体积流量，为密度。为密度。则质点系在时间则质点系在时间dt内流过截面的质量为内流过截面的质量为将动量定理应用于所研究的质点系，将动量定理应用于所研究的质点系，则有则有 因为管内流动是稳定的，有因为管内流动是稳定的，有 于是于是 baba1

40、1pp110aabbppppdt为极小，可认为在截面为极小，可认为在截面aa与与a1a1之之间各质点的速度相同，截面间各质点的速度相同，截面b1b1与与bb之间各质点的速度相同，于是得之间各质点的速度相同，于是得 )(d0abtqvvvppttqvbaabd)()(dFFFWvv消去时间消去时间dt，得，得 FFFWvvbaabqv)(若将管壁对于流体的约束力若将管壁对于流体的约束力F分为两部分为两部分：分：F为与外力为与外力W，Fa和和Fb相平衡的管相平衡的管壁静约束力。壁静约束力。F为由于流体的动量发生为由于流体的动量发生变化而产生的附加动约束力。即变化而产生的附加动约束力。即F由下由下式

41、计算：式计算： 0FFFWba附加动约束力由下式确定：附加动约束力由下式确定： )(abqvvvF 设截面设截面aa与与bb的面积分别为的面积分别为Sa和和Sb，由不可压缩流，由不可压缩流体的连续性定律知体的连续性定律知 bbaavSvSqv 因此，只要知道流速和曲管的尺寸，即可求得附因此，只要知道流速和曲管的尺寸，即可求得附加动约束力。加动约束力。 如图为一水平等截面直角弯管，流体对管壁的附如图为一水平等截面直角弯管，流体对管壁的附加作用力大小等于管壁对流体作用的附加动约束力，加作用力大小等于管壁对流体作用的附加动约束力，即即2222)0(vSvqvFx 2111)0(vSvqvFy 由此可见，当流速很高或管子截面积很由此可见，当流速很高或管子截面积很大时，附加动压力很大，在管子的弯头大时，附加动压力很大，在管子的弯头处应该安装支座。处应该安装支座。 在应用前面的公式时应取投影形式。在应用前面的公式时应取投影形式。