直线与方程阶段复习课人教A版必修课件.pptx

1、 1.直线的倾斜角：理解直线的倾斜角的概念要注意三点： （1）直线向上的方向； （2）与x轴的正方向； （3）所成的最小正角，其范围是0,）.知识点回顾知识点回顾 2.直线的斜率： （1）定义：倾斜角不是90的直线它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan.=90的直线斜率不存在； （2）经过两点P（x1,y1）,Q（x2,y2）的直线的斜率公式（其中x1x2）.2121yykxx 3.直线的方程：由直线的几何要素确定 （1）点斜式：y-y0=k（x-x0）,直线的斜率为k且过点（x0,y0）； （2）斜截式：y=kx+b,直线的斜率为k，在y轴上的截距为b； （3）两点式

2、：直线过两点（x1,y1）,（x2,y2）,且x1x2,y1y2； （4）截距式：直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b； （5）一般式Ax+By+C=0（A，B不全为零）.112121,yyxxyyxx 1xyab ， 4.两条直线的平行与垂直：已知直线l1：y=k1x+b1;l2：y=k2x+b2，则直线l1l2k1=k2且b1b2；直线l1l2k1k2=-1. 5.求两条相交直线的交点坐标，一般通过联立方程组求解. 6.点到直线的距离： 点P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0的 距离0022AxByCdAB ； 特别地，点P（x0,y0）到直线x=a的距离d=x0-a； 点P

3、（x0,y0）到直线y=b的距离d=y0-b； 两条平行线l1：Ax+By+C1=0与l2： Ax+By+C2=0的距离 7.若P（x1,y1）,Q（x2,y2），则 线段PQ的中点是2122.CCdAB PQ 221212xxyy （） （）；1212,.22xxyy （）题型题型 一一 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率【典例典例1 1】(2013(2013晋江高一检测晋江高一检测) )过点过点A(2A(2，b)b)和点和点B(3B(3，-2)-2)的直线的倾斜角为的直线的倾斜角为 , ,则则b b的值是的值是( )( )A.-1 B.1 C.-5 D.5A.-1 B.1 C.-5 D.

4、5【解析解析】选选A.A.因为因为 且且所以所以-2-b=-1,-2-b=-1,所以所以b=-1.b=-1.2bk2b,32 3ktan1,4 34【典例典例2 2】若直线若直线l：y=kx- y=kx- 与直线与直线2x+3y-6=02x+3y-6=0的交点位于第的交点位于第一象限，则直线一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是( )( )A.,)B.(,)6 36 2C.(,)D.,3 26 2 3【解析解析】选选B.B.直线直线l：y=kx- y=kx- 恒过定点恒过定点C(0,- ).C(0,- ).直线直线2x+3y-6=02x+3y-6=0与与x x轴和轴和y y轴

5、的交点设为轴的交点设为A,B,A,B,如图所示，如图所示，33则则A,BA,B两点的坐标分别为两点的坐标分别为(3,0)(3,0)，(0,2).(0,2).直线直线CACA的斜率为的斜率为 对应的倾斜角为对应的倾斜角为 ，直线，直线CBCB与与x x轴垂直，轴垂直，对应的倾斜角为对应的倾斜角为 ，故直线，故直线l的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是CA0(3)3k303 ，62().6 2 ，【技法点拨技法点拨】1.1.倾斜角与斜率的联系倾斜角与斜率的联系(1)(1)每一条直线都有倾斜角每一条直线都有倾斜角, ,但不一定有斜率但不一定有斜率, ,直线的倾斜角直线的倾斜角的范围是的范围是0

6、0180180. .(2)(2)当当=90=90时时, ,直线直线l垂直于垂直于x x轴轴, ,它的斜率它的斜率k k不存在不存在. .2.2.过两点过两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2)(x)(x1 1xx2 2) )的直线的斜率公式：的直线的斜率公式：2121yyk.xx题型题型 二二 求直线的方程求直线的方程【典例典例3 3】求与直线求与直线3x+4y+1=03x+4y+1=0平行，且在两坐标轴上截距之平行，且在两坐标轴上截距之和为和为 的直线的直线l的方程的方程. .73【解析解析】方法一：设直线方法一：设直线l的方程为的方程为3

7、x+4y+m=0,3x+4y+m=0,令令x=0 x=0得得y y轴上的截距轴上的截距令令y=0y=0得得x x轴上的截距轴上的截距所以所以 解得解得m=-4,m=-4,所以所求直线所以所求直线l的方程为的方程为3x+4y-4=0.3x+4y-4=0.mb,4 ma,3 mm7(),343 方法二：易知直线方法二：易知直线l在两坐标轴上的截距不为在两坐标轴上的截距不为0 0，设直线，设直线l的方的方程为程为所以所以 解得解得所以所求直线的方程为所以所求直线的方程为 即即3x+4y-4=0.3x+4y-4=0.xy1,ab7ab,3b3a4 ，4a,3b1.xy1413 ，【技法点拨技法点拨】1

8、.1.直线方程的几种形式及确定直线方程的几种形式及确定(1)(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件，不能表示所有的直线，直线方程的一般式则可以限制条件，不能表示所有的直线，直线方程的一般式则可以表示所有直线表示所有直线. .(2)(2)在解题的时候，如果没有特别说明，最后的结果都要化成在解题的时候，如果没有特别说明，最后的结果都要化成一般式一般式. .2.2.确定直线方程的两种方法确定直线方程的两种方法(1)(1)待定系数法，在设直线方程的时候，要注意对斜率不存在待定系数法，在设直线方程的时候，要注意对斜率不存在的直线

9、讨论的直线讨论. .(2)(2)从直线的几何性质出发，建立方程从直线的几何性质出发，建立方程. .题型题型 三三 平行与垂直的性质及判定平行与垂直的性质及判定【典例典例4 4】已知直线已知直线l1 1：mx+8y+n=0,mx+8y+n=0,l2 2：2x+my-1=0,2x+my-1=0,分别满足分别满足下列情况：下列情况：(1)(1)两直线平行两直线平行.(2).(2)两直线垂直两直线垂直, ,且且l1 1在在y y轴上的截距为轴上的截距为-1.-1.试分试分别确定别确定m,nm,n的值的值. .【解析解析】(1)(1)当当m=0m=0时时, ,显然显然l1 1不平行于不平行于l2 2.

10、.当当m0m0时时, ,l1 1, ,l2 2斜斜率都存在率都存在, ,因为因为l1 1l2 2, ,故故 所以所以m=m=4.4.又当又当m=4,n=-2m=4,n=-2时时, ,两直线重合两直线重合, ,当当m=-4,n=2m=-4,n=2时时, ,两直线重合两直线重合, ,所以当所以当m=4,n-2m=4,n-2或或m=-4,n2m=-4,n2时时, ,两直线平行两直线平行. .(2)(2)当当2 2m+mm+m8=08=0时时, ,两直线垂直两直线垂直, ,即即m=0,m=0,又又- =-1,- =-1,所以所以n=8.n=8.m82mn8【技法点拨技法点拨】1.1.两直线平行两直线平

11、行(1)(1)斜率存在且不重合的两条直线斜率存在且不重合的两条直线l1 1：y=ky=k1 1x+bx+b1 1, ,l2 2：y=ky=k2 2x+bx+b2 2, ,则则l1 1l2 2k k1 1=k=k2 2,b,b1 1bb2 2. .(2)(2)两条不重合直线两条不重合直线l1 1, ,l2 2的倾斜角为的倾斜角为1 1,2 2, ,则则l1 1l2 21 1=2 2. .(3)(3)两直线两直线l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0(A=0(A1 1,B,B1 1,C,C1 1不同时为不同时为0),0),l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C

12、2 2=0(A=0(A2 2,B,B2 2,C,C2 2不同时为不同时为0),0),则则l1 1l2 2A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 1=0=0且且A A1 1C C2 2-A-A2 2C C1 10(0(或或B B1 1C C2 2-B-B2 2C C1 10).0).2.2.两直线垂直两直线垂直(1)(1)斜率存在的两条直线斜率存在的两条直线l1 1：y=ky=k1 1x+bx+b1 1, ,l2 2：y=ky=k2 2x+bx+b2 2, ,则则l1 1l2 2k k1 1k k2 2=-1.=-1.(2)(2)两直线两直线l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+C

13、y+C1 1=0(A=0(A1 1,B,B1 1,C,C1 1不同时为不同时为0),0),l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0(A=0(A2 2,B,B2 2,C,C2 2不同时为不同时为0),0),则则l1 1l2 2A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0.=0.题型题型 四四 距离问题距离问题【典例典例5 5】已知直线已知直线l经过直线经过直线2x+y-52x+y-50 0与与x-2yx-2y0 0的交点的交点. .(1)(1)点点A(5,0)A(5,0)到到l的距离为的距离为3 3，求，求l的方程的方程. .(2)(2)求点求点A(5,0)A(5

14、,0)到到l的距离的最大值的距离的最大值. .【解析解析】(1)(1)经过两已知直线交点的直线系方程为经过两已知直线交点的直线系方程为2x+y-5+(x-2y)2x+y-5+(x-2y)0 0，即即(2+)x+(1-2)y-5(2+)x+(1-2)y-50 0，所以所以即即222 2-5+2-5+20 0，所以，所以 或或2.2.所以所以l方程为方程为x x2 2或或4x-3y-54x-3y-50.0.22|1055|3,(2)(12 ) 12(2)(2)由由 解得交点解得交点P(2,1)P(2,1)，如图，过，如图，过P P作任一直线作任一直线l，设，设d d为点为点A A到到l的距离，则的

15、距离，则d|PA|(d|PA|(当当lPAPA时等号成立时等号成立).).所以所以2xy50,x2y0,22maxd|PA|(52)(0 1)10.【技法点拨技法点拨】1.1.点到直线的距离公式点到直线的距离公式已知一点已知一点P(xP(x0 0,y,y0 0) )及一条直线及一条直线l：Ax+By+C=0,Ax+By+C=0,则点则点P P到直线到直线l的的距离距离2.2.两平行直线之间的距离两平行直线之间的距离已知两平行直线已知两平行直线l1 1：Ax+By+CAx+By+C1 1=0,=0,l2 2：Ax+By+CAx+By+C2 2=0,=0,则则l1 1与与l2 2之间之间的距离的距

16、离提醒：提醒：在应用此公式时在应用此公式时, ,应将两条直线方程中应将两条直线方程中x,yx,y的系数化成的系数化成对应相同的形式对应相同的形式. .0022|AxByC|d.AB1222|CC |d.AB方法方法 一一 分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用【典例典例1 1】过点过点P(-1P(-1，0)0)，Q(0Q(0，2)2)分别作两条互相平行的直分别作两条互相平行的直线，使它们在线，使它们在x x轴上的截距之差的绝对值为轴上的截距之差的绝对值为1 1，求这两条直线，求这两条直线的方程的方程. .【解析解析】(1)(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分当两条直线的斜率不存在时，

17、两条直线的方程分别为别为x=-1,x=0,x=-1,x=0,它们在它们在x x轴上截距之差的绝对值为轴上截距之差的绝对值为1 1，符合题意，符合题意. .(2)(2)当两条直线的斜率存在时，设其斜率为当两条直线的斜率存在时，设其斜率为k.k.因为因为k=0k=0时，不时，不符合题意，所以符合题意，所以k0,k0,则设两条直线的方程分别为则设两条直线的方程分别为y=k(x+1),y=k(x+1),y-2=kx.y-2=kx.令令y=0y=0，得，得x=-1,x= .x=-1,x= .由题意，得由题意，得|-1+ |=1,|-1+ |=1,即即k=1.k=1.所以所求直线的方程为所以所求直线的方程

18、为y=x+1,y=x+2,y=x+1,y=x+2,即即x-y+1=0,x-y+2=0.x-y+1=0,x-y+2=0.综上可知，所求的直线方程为综上可知，所求的直线方程为x=-1,x=0 x=-1,x=0或或x-y+1=0,x-y+2=0.x-y+1=0,x-y+2=0.2k2k【技法点拨技法点拨】1.1.分类讨论思想的划分标准分类讨论思想的划分标准分类讨论思想是根据研究对象本质属性的异同，确定划分标分类讨论思想是根据研究对象本质属性的异同，确定划分标准，进行分类，然后对每一类分别进行求解，并综合得出答准，进行分类，然后对每一类分别进行求解，并综合得出答案的一种数学思想案的一种数学思想. .在

19、划分中要求始终使用同一个标准，这个在划分中要求始终使用同一个标准，这个标准应该是科学的、合理的，它要满足互斥、无漏、最简的标准应该是科学的、合理的，它要满足互斥、无漏、最简的原则原则. .2.2.分类讨论的一般步骤分类讨论的一般步骤分类讨论的一般步骤是：确定分类标准；恰当分类；分类讨论的一般步骤是：确定分类标准；恰当分类；逐类讨论；归纳结论逐类讨论；归纳结论. .3.3.求直线方程中的分类讨论求直线方程中的分类讨论直线方程的几种形式都有一定的限制条件，因此在涉及求直直线方程的几种形式都有一定的限制条件，因此在涉及求直线方程时要考虑斜率存在不存在，截距为零不为零等情况线方程时要考虑斜率存在不存在

20、，截距为零不为零等情况. .提醒：提醒：分类时要注意分类标准的确定及分类的准确性分类时要注意分类标准的确定及分类的准确性. .方法方法 二二 转化思想与数形结合思想转化思想与数形结合思想【典例典例2 2】(1)(1)已知直线已知直线5x-12y-60=0,5x-12y-60=0,求求x x2 2+y+y2 2的最小值的最小值. .(2)(2)已知实数已知实数x,yx,y满足满足y=xy=x2 2-2x+2(-1x1),-2x+2(-1x1),求求 的最大值的最大值与最小值与最小值. .y3x2【解析解析】(1)(1)因为因为 所以所以x x2 2+y+y2 2可以看可以看成是直线上的动点到原点

21、的距离的平方成是直线上的动点到原点的距离的平方. .当且仅当动点与原点的连线垂直于直线时，当且仅当动点与原点的连线垂直于直线时， 取最小取最小值，原点到直线的距离值，原点到直线的距离 所以所以x x2 2+y+y2 2 的最小值为的最小值为2222xy(x0)(y0)，22xy22|5 0 12 060|60d,13512 3 600.169(2)(2)由由 的几何意义可知，它表的几何意义可知，它表示经过定点示经过定点P(-2P(-2，-3)-3)与曲线段与曲线段ABAB上任一点上任一点(x,y)(x,y)的直线的斜率的直线的斜率k k，如，如图，则图，则k kPAPAkkkkPBPB, ,由

22、已知，得由已知，得A(1,1),B(-1,5),A(1,1),B(-1,5),所以所以 所以所以 k8,k8,所以所以 的最大值是的最大值是8 8，最小值是，最小值是 . .y3x2PA3 14k,2 13 PB35k8,2( 1) 43y3x243【技法点拨技法点拨】1.1.利用转化思想与数形结合思想可解决的问题利用转化思想与数形结合思想可解决的问题(1)(1)已知点已知点P(x,y)P(x,y)在直线在直线Ax+By+C=0(AAx+By+C=0(A，B B，C C不同时为不同时为0)0)上，上，求形如求形如(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2的最小值的最小值. .(2

23、)(2)求形如求形如 的最大值与最小值问题的最大值与最小值问题. .ybxa2.2.利用数形结合思想处理最值问题的策略利用数形结合思想处理最值问题的策略(1)(1)转化：把所求解的问题转化为点到直线的最短距离问题或转化：把所求解的问题转化为点到直线的最短距离问题或直线的斜率的最大值与最小值问题直线的斜率的最大值与最小值问题. .(2)(2)作图：在定义域内依据函数的性质，作出涉及函数的图象作图：在定义域内依据函数的性质，作出涉及函数的图象. .(3)(3)识图：观察作出的图象，分析所作的图象的特点及图象间识图：观察作出的图象，分析所作的图象的特点及图象间的关系，把图象的问题转化为所求解的问题的

24、关系，把图象的问题转化为所求解的问题. .提醒：提醒：利用数形结合解决问题时要注意图形的准确性利用数形结合解决问题时要注意图形的准确性. .1.(20131.(2013合肥高一检测合肥高一检测) )直线直线x=1x=1的倾斜角和斜率分别是的倾斜角和斜率分别是( )( )A.45A.45,1 B.135,1 B.135,-1,-1C.90C.90, ,不存在不存在 D.180D.180, ,不存在不存在【解析解析】选选C.C.直线直线x=1x=1垂直于垂直于x x轴，因此倾斜角为轴，因此倾斜角为9090, ,斜率不存斜率不存在在. .2.2.已知已知A(1A(1，2)2)，B(-1B(-1，4)

25、4)，C(5C(5，2)2)，则，则ABCABC的边的边ABAB上的中上的中线所在的直线方程为线所在的直线方程为( )( )A.x+5y-15=0 B.x=3A.x+5y-15=0 B.x=3C.x-y+1=0 D.y-3=0C.x-y+1=0 D.y-3=0【解析解析】选选A.A.设设ABAB的中点为的中点为D D，则点，则点D D的坐标为的坐标为(0,3)(0,3)，CDCD的方的方程为程为 即即x+5y-15=0.x+5y-15=0.y2x53205，3.3.若两条直线若两条直线3ax-y-2=03ax-y-2=0和和(2b-1)x+5by-1=0(2b-1)x+5by-1=0分别过定点

26、分别过定点A A，B B，则，则|AB|AB|等于等于( )( )【解析解析】选选C.C.因为直线因为直线3ax-y-2=03ax-y-2=0可化为可化为y=3ax-2,y=3ax-2,过定点过定点A(0A(0，-2).-2).直线直线(2b-1)x+5by-1=0(2b-1)x+5by-1=0可化为可化为(2x+5y)b-(x+1)=0(2x+5y)b-(x+1)=0过过定点定点B(-1, ),B(-1, ),所以所以89171311A.B.C.D.55552522213|AB|(0 1)( 2).55 4.4.已知直线已知直线l1 1：(m+1)x+y=2-m(m+1)x+y=2-m和和l

27、2 2：4x+2my=-16,4x+2my=-16,若若l1 1l2 2, ,则则m m的值为的值为. .【解析解析】当当m=0m=0时时, ,l1 1：x+y=2x+y=2, ,l2 2：x=-4,x=-4,两直线不平行两直线不平行. .当当m0m0时，由时，由得得解得解得m=1.m=1.答案：答案：1 1m112m,42m162mm20,m2, 5.5.已知直线方程已知直线方程l1 1：2x+3y-5=02x+3y-5=0与与l2 2：3x+2y-5=0,3x+2y-5=0,(1)(1)求两直线的交点求两直线的交点.(2).(2)求经过交点求经过交点, ,且与直线且与直线x+4y+3=0 x+4y+3=0平行平行的直线方程的直线方程. .【解析解析】(1)(1)故两直线交点为故两直线交点为(1,1).(1,1).(2)(2)因为所求直线与直线因为所求直线与直线x+4y+3=0 x+4y+3=0平行平行, ,所以可设所求直线方程为所以可设所求直线方程为x+4y+c=0,x+4y+c=0,由题意知点由题意知点(1,1)(1,1)在直线在直线x+4y+c=0 x+4y+c=0上上. .所以所以1+4+c=0,1+4+c=0,所以所以c=-5,c=-5,所以所求直线方程为所以所求直线方程为x+4y-5=0.x+4y-5=0.2x3y50,x1,3x2y50y1.由得