第三章：量子力学中的力学量-6讲分析课件.pptx

1、光电信息学院 李小飞第三章：量子力学中的力学量第三章：量子力学中的力学量第第一一讲：讲：力学量的算符表示力学量的算符表示微观粒子具有波粒二象性，其运动状态用波函数描述，那么，如何从波函数求体系的性质？引 入引 入薛定谔说：用算符作用于波函数就行了薛定谔说：用算符作用于波函数就行了 HE比如：比如：对于在势场不显含时间中运动的粒子，其波函数时间t和位置r可分离，用哈密顿算符H作用于定态波函数上，就可以得到粒子的能量。那么，对于其它各种物理量，比如位置、动量等，是否也可以？那么，对于其它各种物理量，比如位置、动量等，是否也可以？ 经典系统与量子系统的区别：经典系统的力学量有确定性，遵守因果论；量子

2、系统由于波粒二象性，一般不具有确定性，但服从统计律，即：虽然每一次测量的值可能不同，但多次测量的统计平均值具有确定性。 一、统计平均值与算符的引入（力学量期望值，或理论平均值）一、统计平均值与算符的引入（力学量期望值，或理论平均值） 例：若已知波函数 ，按照波函统计解释，利用统计平均方法，可求得粒子坐标 的期望值：( , )x tx2*| ( ,)|( ,)( ,)xxx tdxx txx tdx 同样，若已知波函数 ，可求粒子动量 的期望值：(, )xc ptxp2| ( ,)|xxxxppc p tdp 问题：如何在知道波函数 的情况下求 的期望值？ ( , )x txpxxxxxxxxd

3、ppcppcdppcpp)()(| )(|21( )()2xip xxxxx edx p c pdp1( )()2xip xxxxx ep c pdxdp 1( )()()2xip xxxdxiec p dxdpdx 1( )()()2xip xxxdxiec p dpdxdx( )()( )dxix dxdx( )( )xxpx px dx定义算符：定义算符：xdpidx 力学量算符力学量算符与与期望值期望值的关系的关系：*( )( )xx xx dx( )( )xxpx px dxHE*( )( )Er Hr dr*( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1r Hrr

4、Err Hrrr Er HrE*( )( )Er Hr *( )( )rr rr dr( )( )pr pr dr 对于任意一个力学量对于任意一个力学量A A，如果知道它的算符，则它的期望值应为：，如果知道它的算符，则它的期望值应为：*A( )A ( )rr dr如果波函数没有归一化，则*( )A( )A( ) ( )rr drrr dr算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑因此，先定义出各种力学量算符是必要的定义标积（内积），简化书写定义标积（内积），简化书写( ,A )AA( ,A)( ,) 经典物理学中，一般力学量都是坐标与动量的函数，可以依据如

5、下对应关系定义这些力学量的算符A( , )f r p 2( )( )2HTU rpHU r二、由经典物理引进量子力学量算符二、由经典物理引进量子力学量算符 ()rrpiixyxLrpLrpi r A( ,)f r p 2222222pTpT 如：再论波函数的作用：1. 由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的概率分布，即 (r, t) = |(r, t)|2 2. 已知 (r, t)， 则任意力学量的可能值、相应的概率及它的统计平均值都知道。也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数态函数。 3. 知道体系初始时刻的态函数

6、及其所处的力场，由Schrodinger方程即可确定以后各时刻的态函数。波函数完全描述微粒的状态四、力学量算符是线性厄密算符（四、力学量算符是线性厄密算符（ Hermitian） 1. 线性算符的定义11221122A (cc)c Ac A（） （） 2. 厄密算符的定义三、算符的定义三、算符的定义算符：作用于一态函数，把这个态函数变成另一个态函数A满足如下运算法则的算符，称为线性算符满足如下关系式的算符，称为厄密算符* Ad= (A) d(,A)(A,)用内积表示：证明：力学量算符是线性算符设1，2是力学量算符F的本征方程的两个解，有：Ff11Ff1111c Fc f22Ff2222c Fc

7、 f根据态叠加原理, c11+c22也是本征方程的解：112211221122()cFc Fc fc ff cc(1)11221122()()F ccf cc(2)所以：11221122()F ccc Fc F得证：例 例 证明：力学量算符是厄密算符*AAd力学量A的期望值为取上式的复共轭* *AAAAddd （） （） （） （）因为可观测力学量的期望值应为实数，即*AA*AAdd （）得证： 因此，我们只需要研究 (1) 线性算符的运算特点、 (2) 厄密算符的性质 (3) 厄密算符的本征值等问题，就可知道所有力学量算符的基本性质 结论：结论：所有力学量算符都是线性厄密算符五、线性算符的运

8、算五、线性算符的运算1. 算符的和：算符的和运算满足交换律和结合律A+B=B+A(A+B)+CA+(B+C)2. 算符的积算符的积不一定满足交换律 xxxpp xi 3. 算符的对易式, 定义：如果： ，称两算符对易，否则称不对易A,B=B,A六、厄密算符的性质六、厄密算符的性质1. 两厄米算符之和仍为厄米算符 3. 无论两厄米算符是否对易，算符 及 都是厄米算符。12ABBA12ABBAi2. 当且仅当两厄米算符 和 对易时，它们之积 才为 厄米算符。ABAB4. 七、厄密算符的七、厄密算符的本征值与本征函数本征值与本征函数 厄密算符的本征值方程A厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘

9、以一个常数，则称 是 的本征值， 为属于 的本征函数，此方程称为算符 的本征值方程。全部本征值 是且仅是相应力学量A的所有可能取值（或测量值）.AA 2. 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、厄米算符的平均值、本征值、本征函数有如下本征函数有如下定理定理：1. 厄米算符的本征值为实数。3. 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。4. 厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化。5. 厄米算符的本征函数系具有完备性。6. 厄米算符的本征函数系具有封闭性。定理定理1 1 厄密算符的本征值是实数定理定理2 2 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米

10、算符*AAA的 平 均 值 是 实 数AA（ ，）（， ）12令：12121212A(A，)（)）12211221( )+(A)AAA+，（，）（，）1122iaibee取： , ，代入上式,有()()12122121( )-( )( )-( )AAAAi a bi a bee，12122121( )=( ),b,( )=AA( )AAa是任意实，数，证毕定理定理3 3 厄密算符的任意两个属于不同本征值的本征函数正交.正交正交归归一的表示形式：一的表示形式：分立谱:*1*0nnmnmnmnddd*()d 连续谱：正交归一系满足以上条件的函数系 n 或 称为正交归一系。定理定理4 4 属于同一本

11、征值的多个简并本征函数可经重组后正交归一化：A,(1,2,3,.,)iiaaaif如果对于同一本征值有多个独立的本征函数则称本征值a是f重简并的， 这f个函数不一定是彼此正交的，但它们可以重新组合成f个独立而彼此正交的新函数，这些新函数依然是本征值a的本征函数。例 1. 找正交归一化函数 2. 看它们是否依然简并定理定理3 3 厄密算符的任意两个属于不同本征值的本征函数正交.定理定理4 4 属于同一本征值的多个简并本征函数可经重组后正交归一化 由以上两定理，可以认定厄密算符的本函数是彼此正交的由以上两定理，可以认定厄密算符的本函数是彼此正交的定理定理5 5 厄密算符的本征函数具有完备性，构成完

12、备系.体系的任一态函数都可用在任一力学量的本征函数集上展开，不再需要添加其他任何波函数。.nnnkkkcc定理定理6 6 厄密算符的本征函数具有封闭性.(,)(,)nmnmmnmnmmccc 不证？不证？( ,)nnnnnnc 求展开系数：展开系数 的物理意义（1）： 处于本征态 的概率nnc( , )( )( )( , )( )( ).nnnkkkr tc trr tc tr证明：计算力学量A的期望值( ,A)( ,A)( ,A)( ,)nnnnnnnnnnccc a(,)mmnnnmncc a*,mnnmnnnnm nnc c ac c a2| |nnnca展开系数 的物理意义（2）：在

13、态对力学量A进行测量， 测得本征值 的概率nanc证毕！2| |1nnc小结：在任一态（叠加态）下对随意力学量A进行测量，得到的只能是它的本征值之一！测得这个本征值的概率就是展开式中对应本征函数前的系数！证毕！封闭性是完备性的充要条件：封闭性是完备性的充要条件：( )( )nnnxcx*( ) ( )nncxx dx*( )()( ) ()nnnxxxx dx*()( )()nnnxxxx必要条件充分条件( ),( )()nnxxxx*()( )()nnnxxxx*()()( )nnnxxxx本征函数的封闭性也可看作是 函数按本征函数展开，而展开系数恰好是本征函数的复共轭。例例例 备注施密特正

14、交化方法121121221111211211122111212,.,-,.,.,0,.,.,nnnnnnnnnnijnijn 给定一组线性无关基组取易证，及基组为正交基组，对进行归一化，得到正交归一基组*,bd 内积第第二二讲：讲：几种基本力学量几种基本力学量算符算符 及其本征值问题及其本征值问题算符与力学量的关系算符与力学量的关系 力学量算符A本征值： （本征值谱)12,na aa本征函数： （正交归一完备函数系） ,21nnn nAa 当体系处于 的本征态 时， 表示的力学量有确定值，该值就是 在 态中的本征值 nAnaAnA本征态本征态非本征态非本征态( )( )nnnxcx2nn|c

15、|1当体系处于的态(x)不是 的本征态，那么这个态总可以展开在由本征函数构成的完备集上。因此测量力学量A所得到的值虽不是确定的，但它必定必定是算符 的某个本征值 ，测得此本征值的概率为 。2ncAAna*( ) ( )( )( )( )( )nnmmmmnmmmmnmnxx dxxcx dxcxx dxcc ( )( ),nnnxcx*( ) ( )nncxx dx证明证明*nmnmnm=c *c dx nm nmnm=c *c 2nnnnn=c *c =|c |力学量取某一本征值的几率*nnmmnm1= (x)(x)dx=c c dx 2|nnnFc方法1*( )( )Fx Fx dx方法2

16、若(x)为归一化的波函数，则F平均值为力学量算符的平均值力学量算符的平均值证：证： dxxFxF)()(* dxxcFxcmmmnnn)()( dxxFxccmnmmnn)()(* dxxxccmnmmnmn)()(* nmmmnmncc * nnnc 2| 若波函数没有归一化，则平均值的计算方法为22*|( )( )( )( )nnnnncFcx Fx dxFxx dx若本征值有连续谱( )( )( ),nnnxcxx d*( ) ( )nncxx dx*( ) ( )cxx dx22nn|c |c |1d22nn|c |c |nFd总之：总之： （1 1） 各力学量算符的本征值问题，各力学

17、量算符的本征值问题， 具有重要的物理意义具有重要的物理意义（2 2）了解常用力学量算符（如坐标、动量、）了解常用力学量算符（如坐标、动量、 角动量等）的本征值问题，是有必要的角动量等）的本征值问题，是有必要的（一）坐标算符（一）坐标算符 xx本征值谱为连续谱0(,)x 0 x本征值为 的本征函数00( )()xxxx正交归一性0000(,)( )xxxx完备性( ),( )( )xxxxxx本征方程000 xxxx000 ()()xxxxxx任意两个属于不同本征值的本征函数正交封闭性与完备性的充要条件，所以可以这么写（二）动量算符（二）动量算符pi 本征值谱为连续谱，区间 内所有实数(,) 本

18、征值为 的本征函数p321( )(2)ip rpre 本征方程ppip 正交归一性(,)( )pppp完备性( ),( )( )pprrrrxxip xip xxiep ex)()()(xyxyzzxzxyyzyzxyxipypxLxzipxpzLzyipzpyL由于角动量平方算符中含有关由于角动量平方算符中含有关于于 x x，y y，z z 偏导数的交叉项偏导数的交叉项, ,所以直角坐标下角动量平方算所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量符的本征方程不能分离变量, ,为为此，我们此，我们采用球坐标较为方便采用球坐标较为方便. .prL riprL (I) 直角坐标系2222222

19、2222)()()()()()(xyzxyzxyzxyzzyxyxxzzypypxpxpzpzpyLLLL角动量平方算符（三）角动量算符的形式（三）角动量算符的形式 )3(/tan)2(/cos)1(cossinsincossin2222xyrzzyxrrzryrx zyxxxxxfxfxrrfxfiiii,321 其其中中 直角坐标与球坐标之间的变换关系rxz球 坐 标ry这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, , )(II) 球坐标cossinsincossinzryrxr将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得： sin1sincos1coscos1rzryrx

20、将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得：对于任意函数f (r, , ) （其中，r, , 都是 x, y, z 的函数）则有： 0sincos1sinsin1zryrx 将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得：zzzrrzyyyrryxxxrrx 0sin1cossincos1sincos1sinsinsinsin1coscos1cossin rrzrrryrrrx将上面结果 代回原式得： iLiLiLzyxsincotcoscoscotsin则角动量算符 在球坐标中的 表达式为：sin1)(sinsin122222 L可以看出，球坐标第中，角动量算符只与 有关 , （四）（四）L

21、 Lz z角动量算符角动量算符()()()()izzzldLildcec 解 得 ：其 中 是 积 分 常 数 ， 亦 可 看 成归 一 化 系 数 。( )(2 )求 归 一 化 系 数2202202|2112dcdcc)(02120mndeeinim 正交性：I. I. 波函数有限条件，要求波函数有限条件，要求 z z 为实数；为实数； II.II.波函数单值条件，要求波函数单值条件，要求当当 转过转过 22角角回到原位时波函数回到原位时波函数值相等，即：值相等，即：)2( zizillcece1/2sin/2cos2 zzllilezi , 2, 1, 022 mmlz 于于是是, 2,

22、 1, 0 mmlz合记之得 正交归一化 条件：mninimdee 2021(I) 的本征方程zL1( )2zimmlme1()e2im()()zLm()()imL Lz z角动量算符本征方程角动量算符本征方程本征函数本征函数（五）（五）L L2 2角动量算符角动量算符取本征方程22( , )( , )( , )LYl YY 因为Lz是厄密算符，它的本征函数集 是完备的 ( )( , )Y 可以在它上面展开( , )( )( )mmmY ()()imL2的本征值是（2l+1)简并的例 例 例 例 证 例 证 第第三三讲：讲：算符的对易关系算符的对易关系算符对易关系的定义设 和 为两个算符FG若

23、 ，FGGF则称 与 对易GF若 ，FGGF则称 与 不对易GF引入对易子：FGGFGF,若 ，0,GF 则 与 对易GF若 ，0,GF 则 与 不对易GF算符对易关系的运算法则 xxxxiixpx )() 1 (解： xxxxiixixp )() 2(xxxxxpp xixpp xi而（）因为是任意波函数，所以xxxpp x1.xxxpi 例：请判断算符的对易关系yyzzypp yizpp zi同理可证其它坐标算符与共轭动量算符的对易关系000000000 zxxzyzzyxyyxyyxxzzxxzzyyppppppppppppzppzzppzyppyyppyxppxxppx但是坐标算符与其

24、非共轭但是坐标算符与其非共轭动量对易，动量对易，各各动量动量之间也相互之间也相互对易。对易。()xxxypyii y证：()xxxp yiyi y 0 xxypp y,0,0,0 x yy zz x, 0, 0, 0 xyyzzxpppppp , 0 xx,1, 2, 3 ,0pp 123,xx xy xz1,2,3()xyzpppppp,1, 2, 3 ,0,0,0,yzxyxzxyzx px px piy piy py pz pz pz pi,( ,1, 2, 3)xpi 坐标坐标与与动量对易关系总结动量对易关系总结1,0,其他力学量一般都是坐标和动量的函数，知道以上基本的其他力学量一般都

25、是坐标和动量的函数，知道以上基本的对易关系，其他力学量之间的对易关系也都可以得到对易关系，其他力学量之间的对易关系也都可以得到 。 0,1,2,3x pp xip pp p 动量和坐标对易关系通式动量和坐标对易关系通式: :量子力学基本的对易关系量子力学基本的对易关系。,0,1,2,3xpipp （一）量子力学最基本的对易关系（二）角动量算符之间的基本对易关系yxzxzyLiLLLiLL, 同同理理,zyxzpxpzpzpy ,zxyzyxpxpzpzpyLL 证：,zxyzxzpxpzpzpxpzpy ,zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpy zyxLiLL, yzzyzxxzpp

26、xzpxpzppzypzpy , , yzxzppxzpzpy , yzyzxzxzppxzppzxpzpyppyz , , , , yxpixpiy)()( xypypxi zLi , ,LLiLx y z 可写成：其中 ， ，L L i L矢量形式：222,0,0,0 xyzLLLLLL【证明证明】例，证明对易关系式例，证明对易关系式定理定理1 1. . 如果两算符具有共同的本征函数完备系，则它们对易如果两算符具有共同的本征函数完备系，则它们对易（四）算符对易的条件及其意义逆定理逆定理. . 如果两算符对易，则它们具有共同的本征函数完备系。如果两算符对易，则它们具有共同的本征函数完备系。【

27、证明证明】定理推广：（两个以上的算符）一组力学量算符具有共同完全本征定理推广：（两个以上的算符）一组力学量算符具有共同完全本征函数系的充要条件是这些算符相互对易。函数系的充要条件是这些算符相互对易。即：如果一组算符有共同本征函数，而且这些共同本征函数组成完即：如果一组算符有共同本征函数，而且这些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余的算符都对易。全系，则这组算符中的任何一个和其余的算符都对易。这个定理的逆定理也成立。这个定理的逆定理也成立。（五）算符对易的物理意义 1.1. 若一组不同力学量相互对易，则它们有共同的本征态，当体系若一组不同力学量相互对易，则它们有共同的本征态，当体

28、系处于共同本征态时，它们同时具有确定值。处于共同本征态时，它们同时具有确定值。 2. 2. 若一组相互对易的力学量能完全确定一个量子体系的状态，若一组相互对易的力学量能完全确定一个量子体系的状态，即构成一个力学量的完全集合，则这组完全集合中力学量的数目一即构成一个力学量的完全集合，则这组完全集合中力学量的数目一般与体系的自由度的数目相等般与体系的自由度的数目相等（五）算符不对易（五）算符不对易测不准原理测不准原理引 言由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。问 题两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中进行测量时，究竟

29、不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度：测量值 F 与平均值 的偏差的大小。FFFFFF均方差22()()FFF222FFFF222FFFF222FF FF22FF2222FFF即等于平方的平均值减去平均值的平方测不准关系的推导,FGGFF Gik令是算符或普通数的辅助积分：引入实参量2( )|()|0IFiGd *Fi GFi Gd ()*()*Fi GFiGd ,F G k分别表示F,G和k在态的平均值,FFFGGG令222*()*()*()FdiF GG FdGd ,FG 为厄密算符222()FiF GG FG 222,FiFGG ()*()*Fi GFiGd 2()()*()()

30、*()()*()()*FFdiGFdiFGdGGd222*()*()*()*()FdiF GdiG FdGd 222()()0FkG FGF GG F ，()()()()FFGGGGFFF GG FFGik，222,FiFGG 2222( )()()00IFkGabc 222()()()4kFG240bac 2221()(),4FGF G 或对比方程：对比方程：xxpi，例1：坐标和动量的测不准关系22),22xxxpxp 或（即：海海森堡测森堡测不准不准关系关系 (1927年）年）2 xpx 2 ypy 2 zpz 对比F,G=ik, 得 k2222( )44xkxp （海森堡，海森堡，德，

31、190119761932年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖 由测不准关系 看出：若两个力学量算符 和 不对易，则一般说来 与 不能同时为零，即 和 不能同时测定（但注意 的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符 和 对易，则可以找出这样的态，使 和 同时满足，即可以找出它们的共同本征态。 222() ()4FGkFGFG , 0F G FG0F0GFG2xpx比如：比如： 表明： 和 不能同时为零，坐标 的均方差越小，则与它共轭的动量 的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。xxpxPx 海森堡测不准关系 角动量的测不准关系22224)zyxzyxL

32、LLLiLL （，2222241)()44xyLLmm （当粒子处在 的本征态时zL 谐振子的零点能的量子根源科学界最珍贵的照片科学界最珍贵的照片永恒的瞬间, （29人，17人诺贝尔物理学奖）Werner Heisenberg维尔纳维尔纳海森堡海森堡第三排：奥古斯特皮卡尔德、亨里奥特、保罗埃伦费斯特、爱德华赫尔岑、顿德尔、 埃尔温薛定谔、维夏菲尔特、沃尔夫冈泡利、维尔纳海森堡、拉尔夫福勒、里昂布里渊，第二排：彼得德拜、马丁努森、威廉劳伦斯布拉格、亨德里克安东尼克雷默、保罗狄拉克、 阿瑟康普顿、路易德布罗意、马克斯玻恩、尼尔斯玻尔，第一排：欧文朗缪尔、马克斯普朗克、玛丽居里、亨德里克洛伦兹、阿尔

33、伯特爱因斯坦、保罗朗之万、查尔斯欧仁古耶、查尔斯威耳逊、欧文理查森第第四四讲：讲：力学量平均值随时间的演化力学量平均值随时间的演化*dFFF dxdxFdxdtttt（1）Hit1*)(1Hit由薛定谔方程有 *( , ),( , )Fx t F x tx t dx1、力学量平均值随时间的演化体系所处的状态 随时间而变化力学量算符 是时间的显函数， 随时间变化F),( tx此式表明力学量平均值随时间变化有两方面的原因: *11dFFdFH dHFddttii*1 ()dFFdxFH HFdxdtti利用对易子记号 ,HFFHHF)(1FHHFitFdtFd（2） *11dFFdFH dHFdd

34、ttii因 是厄米算符 H HFdHF d,1HFitFdtFd则这就是力学量平均值随时间的演化规律如 不显含tF,1HFidtFd2、力学量守恒的条件0dFdt则有F 常量若力学量算符 不显含时间t,且与哈米顿算符 对易FH ,0F HFHHF且即 ，0tF可以证明力学量F测量值的概率分布也不随时间改变,1HFitFdtFdFF结论:力学量 的平均值 不随时间而变化,则称 为运动恒量，或 在运动中守恒。FF证明力学量F测量值的概率分布也不随时间改变考虑到 可以选择包含 和 在内的一组力学量完全集，将其共同本征态记为 （n是一组完备的量子数标记）有： 0,HFHFnnnnEHnnnFFdttC

35、nn)()(*nnntCt)()(体系的任一状态 均可用 展开：)(tn在 态下，t 时刻测量 得到 的概率为)(tFnF2)(tCn0)(2tCdtdn下面证明 成立)()()()()()()(*2tCdtdtCtCtCdtdtCtCdtdtCdtdnnnnnnn*)()()()(tCdtdtCtCdtdtCnnnn)()()()(*dtdtddttCdtdtCnnnndttdtnn)()(*ditHdtnn)()(*dtHdtinn)()(1*dtHdtinn)()()(1*dtdtiEnnn)()(*dtdtiEnnn)()(*2)(tCiEnn2*)()()(tCiEtCdtdtCnn

36、nn而0)(2tCdtdn得F 在球坐标系中算符 等只是 的函数，与时间t无关，对时间偏微商为0。 2,LLLLzyx( ,)Ex2. 粒子在中心力场中运动的角动量又221PmTH21 , , 02P HPPm0dPdt故 守恒P自由粒子的动量是运动恒量动量守恒Ex1. 自由粒子的动量 0PtPi 不显含时间角动量各分量算符及角动量平方算符均为守恒量。 角动量守恒定律！222221( )22HrLU rrrrr 角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈米顿算符对易Ex3. 哈米顿算符不显含时间的体系的能量0tH当 不显含t时，H0,HH 又0dHdt即：能量守恒定律！哈米顿算符可表示为： ),(

37、),(),(),(2trItrtrItrIIEx4. 哈米顿算符对空间反射不变时的宇称守恒),(),(trtrI 空间反演算符也称为宇称算符空间反射算符I21I 反射算符 的本征值I本征值1I ( , )r t(, )r t空间反射：rr 具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇称。宇称是运动空间对称性的描述。宇称守恒律：若体系的哈米顿算符具有空间反射不变性( , )(, )( , )IH r tHr tH r t即则 为运动恒量，即宇称守恒I( ) ( , )() (, )( )( , )IH rr tHrr tH r Ir t证：( , )( , )Ir tr t( , )( , )Ir

38、 tr t(偶宇称)(奇宇称)11I 故 0,1HIitIdtId 宇称守恒表示体系的哈米顿算符和宇称算符具有共同本征函数, 因而体系能量本征函数可以有确定的宇称，而且不随时间变化。因此,为运动恒量，亦即宇称守恒IIHHI0,HI0It又 不显含t，I(1)与经典力学守恒量不同,量子体系的守恒量并不一定 取确定值,即体系的状态并不一定就是某个守恒量的 本征态. 一个体系在某时刻是否处于某守恒量的本征态,决定 于其初始条件. (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值.关于量子体系的守恒量的几点说明若初始时刻体系处于守恒量F的本征态,则体系保持在该本 征态;反之,若初始时刻体系并不处于

39、守恒量F的本征态,则以后的状态也不是F的本征态,但F的平均值和测量值概率 的分布不随时间变.(1)定态是体系的一种特殊的状态,即能量本征态, 在定态 下,一切力学量(不显含时间t,但不管是否守恒量)的平均 值和 测量值概率分布都不随时间而改变;(2)守恒量则是体系的一种特殊的力学量,它与体系的 Hamilton量对易,守恒量则在一切状态下(不管是否 定态)的平均值和测量值概率分布都不随时间而改变.只当一个体系不处于定态,而所讨论的力学量又不是体系的守恒量时,才需要研究该力学量的平均值和测量值概率分布如何随时间改变.守恒量与定态的区别思考题: 判断下列提法的正误(1)在非定态下,力学量的平均值随

40、时间变化(2)设体系处于定态,则不含时力学量的测量值的概率分布 不随时间变化(3)设Hamilton量为守恒量,则体系处于定态3. 能级简并与守恒量关系守恒量在能量本征值问题中的运用附录1：用到的部分积分公式 10!mxmmx edx2202xxed xed x 224baxbxaedxea222201.3.5.(21)2(2)nxnxnnxedxxedxsin,cos22ikxikxikxikxeeeekxkxi22222222111()(sin)sinsinrrrrrr 在一些具体的问题中遇到动量的本征值问题在一些具体的问题中遇到动量的本征值问题时，常常需要把动量的连续本征值变为分立本征时

41、，常常需要把动量的连续本征值变为分立本征值进行计算，下面我们把动量的本征函数变为分值进行计算，下面我们把动量的本征函数变为分离值，即箱归一化。离值，即箱归一化。 我们设想粒子被限制在一个正方形箱中，箱的边长我们设想粒子被限制在一个正方形箱中，箱的边长为为L L，取箱的中心作为坐标原点，要求波函数在，取箱的中心作为坐标原点，要求波函数在两个相两个相对的箱壁上对应的点具有相同的值对的箱壁上对应的点具有相同的值。波函数所满足的波函数所满足的边界条件称为边界条件称为周期性周期性边界条件边界条件。加上这个条件后，动。加上这个条件后，动量的本征值就由连续谱变为分立谱。因为根据这一条量的本征值就由连续谱变为

42、分立谱。因为根据这一条件，在点件，在点A(1/2L,y,z)A(1/2L,y,z)和点和点A A/ /(-1/2L,y,z),(-1/2L,y,z),波函数的值波函数的值相等。相等。附录2：箱归一化 （2） 箱归一化法（具体看课本）xyzAAoL zyLrA,2 zyLrA,2周期性边界条件()2()2xyzxyziLpp y p ziLpp y p zcece()1xip Le给波函数加上一些边界条件，把粒子限制在一正方形箱内，2lx 即在时，波函数相等。()( )xyzip xp yp zprCe()( )22ppLL因为2,0,1,2,xxxnpnL22,0,1,2,yzyzyznnpp

43、LLnn同理：周期性边界条件使连续谱变成了分立谱L趋于无限大使分立谱变成了连续谱()1xip Le2xxPLn222)(zyxpLznLynLxnicer1*322/2/22/2/ LcdcdLLppLLrpVrpLnnniizyxee12/31)(箱归一化加上周期条件，动量的本征函数可归一化为32cL2()()1nxxLiip LLee因为总结：5、掌握动量算符及其本征函数、本征值。、掌握动量算符及其本征函数、本征值。 1、掌握算符基本假定的表述；物理上可观测量应该对应什么样的算符及原因。、掌握算符基本假定的表述；物理上可观测量应该对应什么样的算符及原因。 9、掌握坐标、动量及角动量算符的对

44、易关系式。、掌握坐标、动量及角动量算符的对易关系式。6、掌握球坐标下角动量、掌握球坐标下角动量z分量算符的表达式，并能解其本征值方程。分量算符的表达式，并能解其本征值方程。7、掌握角动量平方算符的本征值、本征函数。、掌握角动量平方算符的本征值、本征函数。 8、掌握氢原子在波函数所描述的状态下的能级、角动量平方、角动量、掌握氢原子在波函数所描述的状态下的能级、角动量平方、角动量z分量的分量的值、能级简并度以及宇称的特点。值、能级简并度以及宇称的特点。10、掌握系统在某一状态下求力学量平均值的方法（直接计算积分、或通过求、掌握系统在某一状态下求力学量平均值的方法（直接计算积分、或通过求该状态在力学

45、量本征函数展开式的方法）。该状态在力学量本征函数展开式的方法）。 11、掌握若两个或多个力学量具有一组共同本征函数集，且组成完全系，则算、掌握若两个或多个力学量具有一组共同本征函数集，且组成完全系，则算符间相互对易，反之亦然；力学量的完全集合的概念。符间相互对易，反之亦然；力学量的完全集合的概念。 12、掌握测不准关系的主要内容；均方偏差、均方根偏差的计算公式。、掌握测不准关系的主要内容；均方偏差、均方根偏差的计算公式。 2、掌握求力学量可能取值及相应概率的方法、掌握求力学量可能取值及相应概率的方法 （测量基本假定）。（测量基本假定）。两个假设两个假设两个定理两个定理3、掌握厄密算符的定义；厄密算符的性质。、掌握厄密算符的定义；厄密算符的性质。 4、掌握守恒量的定义；守恒量的性质；守恒量与定态的区别。、掌握守恒量的定义；守恒量的性质；守恒量与定态的区别。 两个定义两个定义四个算符四个算符两类公式两类公式