第七章-常微分方程-7.4-二阶常系数线性微分方程课件.ppt

1、第七章第七章 常微分方程常微分方程二、二、 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 一、一、 二阶常系数齐次线性微分方程的通解二阶常系数齐次线性微分方程的通解7.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: :),(0为常数qpyqypy xrye和它的导数只差常数因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程, ,( r 为待定常数 ),xrre,函数为常数时因为所以令的解为 其根称为特征根特征根.结论：结论： 1. 齐次线性微分方程解的叠加原理，即y1(x) 和y2(x) 都是方程的两个解，那么C1 y1

2、(x) +C2 y2(x) 也是解.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程: :( )ypyqyf x2. 如果y*是二阶非齐次线性方程的一个特解,Y 是齐次方程的通解,则y*+Y是二阶非齐次线性微分方程的通解 1. 当042qp时,有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解为xrxrCCy21ee21则微分一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解02qrpr考察特征方程2. 当当042qp时,特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程，得e1xr)(1u

3、rup0uq)2(211ururu ,2p.e11xry )(e1xuxr1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 则得,e12xrxy 因此原方程的通解为xrxCCy1e)(210)()2(1211 uqrprupru3. 当当042qp时,特征方程有一对共轭复根i,i21rr这时原方程有两个复数解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的叠加原理 ,得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解为)sincos(e21xCxCyx小结:),(0为常数qpyqypy ,02q

4、rpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .例例1 求方程 的通解032 yyy解：解： 解特征方程 2230rr特征根为121,3rr 故所求通解为312xxyC eC e例例2 求方程 的通解解：解： 解特征方程 特征根为故所求通解为440yyy2440rr221 rr212()xyCC x e例例3 求方程 的通解解：解： 解特征方程 特征根为故所求通解为052 yyy2250rr1 212ri ，12(cos2sin2

5、 )xyeCxCx)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法二、二阶常系数非齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程( ),nypyqyP x1.( )nP x是n次多项式. 例例4 求方程 的一个特解. 231yyyx解解: 设y是x的n次多项式,则y是n-1次多项式, y是n-2次多项式.由方程两边次数相等,故n=2. 2yaxb 2yaxbxc令是方程特解,则

6、 2ya 代入方程，得 22223()1aaxbaxbxcx整理得223(23 )231axab xabcx比较系数得 31230231aababc解得 13a 29b 727c 故21273927yxx是方程的一个特解. 例例5 求方程 的一个特解. 解：解： 设y是x的n次多项式,则y是n-1次多项式, y是n-2次多项式.由方程两边次数相等,故n=3. 代入方程，得 21yyx令是方程特解,则 32yaxbxcx232yaxbxc 6yaxb 226321axbaxbxcx整理得比较系数得 解得 13a 223(62 )1axab xbcx316201aabbc1b 2c 故是方程的一个

7、特解. xxxy23123例例6 求方程 的一个特解. 21yx 解解: 方程两边同时积分得3113yxxC 再积分得 2421121xxy212421121CxCxxy取 ，得到一个特解021CC2.( )nP x是n次多项式. ( ),xnypyqyeP x 0做变量代换 ( )xyQ x e，则 ( )( )xyQ xQ x e2( )2( )( )xyQ xQ xQ x e代入方程, 整理得2( )(2)( )() ( )( )xxnQ xp Q xpq Q x eP x e得到 2( )(2)( )() ( )( )nQ xp Q xpq Q xP x即 ( )( )( )( ) (

8、 )( )nQxQ xQ xP x 因此， ( )xyQ x e是方程的解等价于 ( )Q x是方程的解. 例例7 7 xxyyy2e65 求方程的一个特解. 解解: : 特征多项式为,0652 rr,22(2)25 2620 (2)2 259设特解为 ，则*2( )xyQ x e( )9( )20 ( )Q xQ xQ xx比较等式两边次数，设 ( )Q xaxb920()aaxbx则比较系数, 得2019200aab解得 120a 9400b 原方程的一个特解为 *219()20400 xyxe例例8 8 求方程 的通解,并求满足条件2(1)xyyyxe(1)(1)1yy的特解.解解: :

9、 特征多项式为2( )21rrr12(1)12 1 10 (1)2 120 即特征方程为 有重根 2210rr 1r 对应齐次微分方程通解为 12()xYCC x e设原方程特解为 ，则*( )xyQ x e( )1Q xx得特解3211( )62Q xxx因此原方程的一个特解为 xxxxye2e623*故原方程的通解为 xxxxxxCCyeee26)(2321求导得 xexxCCCy6) 1()(3221(1)(1)1yy将 带入得65123112121eeCCCC解得 1211612eCC特解为 321116262xxxxxyxeeee例例9 求微分方程 的一个特解. xxeyyy 23解

10、解: 特征多项式为 2( )32rrr1 2( 1)( 1)3 ( 1)20 ( 1)2 ( 1)31 设原方程特解为 ，则*( )xyQ x e( )( )QxQ xx设 ，则( )Q xaxbaaxbx解得 1,1ab ( )1Q xx所以 21( )2Q xxx原方程一个特解为 *21()2xyxx e3.A、B、为实数.sincosypyqyAxBx 此类方程的特解具有如下形式：*( cossin)kyxaxbx其中a,b为待定系数,当 且 时,取 .其他 0p 2q 1k 情况取 . 0k 例例10 求方程 的通解cos2yyx解解: 特征方程为 210r 对应的齐次方程的通解为xCxCYsincos21由 212 设特解为 sin2cos2yaxbx则 2 cos22 sin2yaxbx4 sin24 cos2yaxbx 代入原方程,得4 sin24 cos2sin2cos2cos2axbxaxbxx013ab 解得于是原方程的通解为121cossincos23yCxCxx