第一章概率论基础知识(修改版)课件.ppt
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- 第一章 概率论 基础知识 修改 课件
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1、1第一章第一章 概率论基础知识概率论基础知识主要主要内容内容四个概念(随机事件、概率、条件概四个概念(随机事件、概率、条件概率及率及事件的独立性)事件的独立性)四个公式(加法公式、乘法公式、四个公式(加法公式、乘法公式、全全概率公式和贝叶斯公式)概率公式和贝叶斯公式)三个概型(古典概型、几何概型、独三个概型(古典概型、几何概型、独立试验概型即伯努利概型)立试验概型即伯努利概型)21.1 样本空间与随机事件样本空间与随机事件31.1.1 随机试验随机试验1.1.可以在相同条件下可以在相同条件下重复重复进行;进行;2.2.试验结果试验结果不止一个不止一个,且可以预知,且可以预知一切一切 可能可能的
2、结果的取值范围;的结果的取值范围;3.3.试验前试验前不能不能确定会出现哪一个结果。确定会出现哪一个结果。 随机试验的随机试验的三个特点三个特点: : 对随机现象进行的观察或试验称为对随机现象进行的观察或试验称为随随机试验机试验,简称为,简称为试验试验。4例如考虑试验:将一枚硬币抛掷两次例如考虑试验:将一枚硬币抛掷两次, 第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T):(T,H):(T,T):(H,H):可能结果为(可能结果为(正面为正面为H,反面为,反面为T):=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T) 可见,该随机试验可见,该随机试验的所有可能的结果,的所有可能的结果,构成一个
3、集合:构成一个集合:我们称该集合为这我们称该集合为这个随机试验的个随机试验的样本样本空间空间。51.1.2 样本空间样本空间在下图中,用在下图中,用表示一个试验的所有可能的表示一个试验的所有可能的集合,则集合,则称称 为为样本空间样本空间. 而而这个随机试验这个随机试验的每个的每个基本结果基本结果称为称为样本点样本点,记作,记作. 样本点样本点. 6-样本空间的子集样本空间的子集例:掷一颗骰例:掷一颗骰(tou)子,观察出现的点数子,观察出现的点数.= 1,2,3,4,5,6样本空间:样本空间:B = 1,3,5B发生当且仅当发生当且仅当B中的样中的样本点本点1,3,5中的中的某一个某一个出现
4、出现.事件事件B就是就是 的一个子集的一个子集随机事件随机事件7从集合的角度看从集合的角度看 AB 事件是由某些样本点所构成的一个集合一个事件发事件是由某些样本点所构成的一个集合一个事件发生,当且仅当属于该事件的样本点之一出现由此可生,当且仅当属于该事件的样本点之一出现由此可见,样本空间见,样本空间作为一个事件是作为一个事件是必然事件必然事件,空集,空集 作作为一个事件是为一个事件是不可能事件不可能事件,仅含一个样本点的事件称,仅含一个样本点的事件称为为基本事件基本事件 1.1.3 事件的关系及运算事件的关系及运算1.1.事件的包含与相等事件的包含与相等 “A A发生必导致发生必导致B B发生
5、发生”,”,记记作作 A A B.B. A AB B A A B B且且B B A.A.9事件的和(并)事件的和(并) “事件事件A与与B至少有一个发生至少有一个发生”,记作记作A Bn个事件个事件A1, A2, An至少有一个发生,记作至少有一个发生,记作iniA110n个事件个事件A1, A2, An同时发生,记作同时发生,记作 A1A2An3. 事件的积(交)事件的积(交):A A与与B B同时发生,记作同时发生,记作 A A B B或或ABAB11思考:何时思考:何时A-B=A-B= ? ? 何时何时A-B=AA-B=A? 注:注:A-B=A-ABA-B=A-AB4.4.事件的差:事件
6、的差: A AB B称为称为A A与与B B的差事件的差事件, ,表示事件表示事件 发生而发生而B B不发生不发生125.5.互不相容(互不相容(互互斥)的事件斥)的事件:如果事件如果事件A A与事件与事件B B不不能同时发生,即能同时发生,即ABAB ,则称,则称A A与与B B为互为互斥事件。斥事件。 注:注:(b) 互斥事件可同时不发生。互斥事件可同时不发生。 (a) 基本事件组是互斥事件组,基本事件组是互斥事件组,136. 6. 对立(互逆)的对立(互逆)的事件事件:如果如果 A A B B , , 且且ABAB , ,则称则称A A与与B B为互逆事件,记作为互逆事件,记作B=A,如
7、果如果A A,B B是任意两事件,则有是任意两事件,则有,.AAAAABABAA AA3)()ABABA 注意对立事件与互斥的区别注意对立事件与互斥的区别. .147.7.完备事件组完备事件组1nii A若事件若事件A A1 1,A,A2 2,A,An n为两两互不相容的事件,为两两互不相容的事件,并且并且 , ,称事件组称事件组A A1 1,A,A2 2,A,An n构成构成一个完备事件组。一个完备事件组。注注: : A(a) A与与 构成一个完备事件组;构成一个完备事件组; (b)基本事件组构成一个完备事件组。基本事件组构成一个完备事件组。事件事件的关系与运算与的关系与运算与集合集合的关系
8、及运的关系及运算是一致的,具有相同的运算律。算是一致的,具有相同的运算律。说明:说明:15 事件间的事件间的运算律:运算律:( (课本第四页课本第四页) )1、交换律:、交换律:ABBA,ABBA2、结合律、结合律:(AB)CA(BC), (AB)CA(BC)3、分配律、分配律:(AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC)4、对偶律,又称德、对偶律,又称德摩根摩根(De Morgan)律律:.,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广16(1)只有乙没有击中;只有乙没有击中;(2)甲、乙至少有一人击中,而丙甲、乙至少有一人击中,而丙未击中;未击中;(3)至少两人击中目标;至少
9、两人击中目标;(4)靶上仅中一弹;靶上仅中一弹;(5)三人都没有击中;三人都没有击中;(6)三人中至少有一人击中目标;三人中至少有一人击中目标;例例1 1:甲、乙、丙三人各向靶子射击一次,以甲、乙、丙三人各向靶子射击一次,以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标,试用分别表示甲、乙、丙命中目标,试用A A、B B、C C的运算关系表示下列事件:的运算关系表示下列事件:CBACBA)( ACBCABCBACBACBACBACBA思考:思考:(7)三人中最多有一人击中目标;三人中最多有一人击中目标; (8)靶上恰中两弹。靶上恰中两弹。17例例2:一工人生产了一工人生产了n个零件,设个零件
10、,设Ai表示表示“第第i个零件是个零件是正品正品”(i=1,2,.n).试用文字叙述下列事件:试用文字叙述下列事件:(1) ,(2) , (3)1niiA1niiA1()niknkkiAA解:解: (1)n个零件全为正品;个零件全为正品; (2)至少有一个零件不是正品,或)至少有一个零件不是正品,或 ; (3)有且仅有一个零件不是正品。)有且仅有一个零件不是正品。1niiAi=1n18 我们关心某个随机事件我们关心某个随机事件A发生的可能性大小:发生的可能性大小: 想法:想法: 用用P(A)来度量,来度量,P(.)的取值跟的取值跟A有有 关,即:用一个与关,即:用一个与A有关函数来定义。有关函
11、数来定义。 因此:因此:P(.)是个集函数。是个集函数。 下面考虑该集函数的应具有的性质。下面考虑该集函数的应具有的性质。1.2 事件发生的概率事件发生的概率191.2.1 频率及性质频率及性质 定义定义1.1 在在 次重复试验中,若事件次重复试验中,若事件A发生发生了了 次,则称次,则称 为事件为事件A发生的频数,称发生的频数,称为事件为事件A发生的发生的频率频率,记为,记为 。nkknk /)(Afn 在不变条件下在不变条件下, , 重复进行重复进行 n n 次试验次试验, ,事件事件A A发生发生的频率的频率稳定地在某一常数稳定地在某一常数 p p 附近摆动附近摆动, , 且一般地说且一
12、般地说, , 当次数当次数 n n 越大越大时时, , 摆动幅度越小摆动幅度越小, ,则称常数则称常数 p p为事为事件件 A A 发生的概率发生的概率, , 记作记作P P( (A A) )。 频率频率f fn n(A(A) )虽然具有虽然具有波动性,但有刻画事件波动性,但有刻画事件A A 发生可能性客观的一面,故发生可能性客观的一面,故被称为被称为A A的的统计概率统计概率。201.1.非负性:非负性:对于每一个事件对于每一个事件A A,00P P( (A)1;)1;2.2.规范性:规范性:P(P( )=1; )=1; 3.3.可列可加性:可列可加性:对于两两互斥的事件对于两两互斥的事件
13、A A1 1,A,A2 2,有有. )(11iiiiPPAA 1.2.21.2.2概率的公理化定义概率的公理化定义设设E是随机试验,是随机试验, 是它的样本空间。是它的样本空间。对于每一个事件对于每一个事件A赋予一个实数赋予一个实数P(A),称为称为事件事件A的概率,如果它满足:的概率,如果它满足:21概率的性质概率的性质0)P( 1 一般地,一般地,)互斥(即互斥(即 ABB A,2)()()(BPAPBAP ), 2 , 1,(jinjiAAji niiniiAPA11)()(P 22AA)AP(-1P(A) 3 )AB(P)A(P)BA(P4 则则特特别别:若若,AB )B(P)A(P)
14、BA(P BA-B A B)A(P)B(P,AB 则则小结论小结论:概率的性质概率的性质1)(5 AP236(加法公式加法公式) )(BAP)(ABP 推广:推广:)(CBAP)()()(CPBPAP )()()(BCPACPABP )(ABCP )()(BPAP ABAB概率的性质概率的性质24 P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5 P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.2从而从而 P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.3-0.2 =0.1。例例3:3:已知已知 P(A)=0.7,P(B)=0.3,P(A-B)=0.5,求求P(B-A)。解:解:25例例4: 某市有某市有A,B,C
15、三种报纸三种报纸,调查表明居民家调查表明居民家庭订购庭订购C报的占报的占30%,同时订同时订A,B两种报纸占两种报纸占10%,同时订同时订A,C及及B,C两种报纸各占两种报纸各占8%与与5%,三种都订的占三种都订的占3%.求从该市任选一户求从该市任选一户,问该户问该户(1) 只订只订A、B两报的概率;两报的概率;(2) 只订只订C报的概报的概率。率。解解: : 设设A,B,CA,B,C分别表示该户订分别表示该户订A,B,CA,B,C报这三个报这三个事件事件, ,则则)()() 1 (ABCABPCABP )()(ABCPABP )(ABABC P(C)=0.3, P(AB)=0.1, P(AC
16、)=0.08, P(BC)=0.05, P(ABC)=0.03. 于是,于是,=0.10.03=0.07;26)BA(C(P)CBA(P)2( )BA(CC(P )ABC(P)BC(P)AC(P)C(P 2 . 0)03. 005. 008. 0(3 . 0 27等可能概型等可能概型等可能概型是指在一次试验中,样本空间的每个等可能概型是指在一次试验中,样本空间的每个样本点被取到的可能性相等的随机试验类型,这样本点被取到的可能性相等的随机试验类型,这是一种最简单的概率类型。是一种最简单的概率类型。古典概型古典概型几何概型几何概型等可能概型等可能概型281.3.1 古典概型古典概型古典概型古典概型
17、具有如下特点:具有如下特点:(1)样本空间样本空间 中的样本点的数量是有中的样本点的数量是有限的,即试验的基本事件总数为限的,即试验的基本事件总数为有限个有限个:=1, , 2 , , , n ;(2)每次试验中,每个样本点出现的)每次试验中,每个样本点出现的可可能性相同能性相同: P(P(1 1)=P()=P(2 2)=P()=P(n n).).(3)在任何一次试验中,)在任何一次试验中,1, , 2 , , , n中中有且仅有一个发生有且仅有一个发生29古典概型的计算公式古典概型的计算公式在古典概型中,若在古典概型中,若 中有中有n个样本点,个样本点,事件事件A中有中有k个样本点,则个样本
18、点,则( )knP A A中的样本点数。中的样本点数A所包含的基本事件数试验的基本事件总数这就是古典概型概率的计算公式。这就是古典概型概率的计算公式。30一般古典概型的概率计算步骤为:一般古典概型的概率计算步骤为:(1 1)判断试验为古典试验,即判断试验为古典试验,即基本事件总数为基本事件总数为有限个,且有限个,且各基本事件出现的可能性相同。各基本事件出现的可能性相同。(2 2) 计算样本空间中样本点的个数计算样本空间中样本点的个数n;(3 3) 计算事件计算事件A包含样本点的个数包含样本点的个数k;(4 4) 由由 计算事件计算事件A A的概率。的概率。( )knP A 31 一个袋子中装有
19、一个袋子中装有10个大个大小、形状完全相同的球小、形状完全相同的球. 将球将球编号为编号为110 。把球搅匀,蒙。把球搅匀,蒙上眼睛,从中任取一球上眼睛,从中任取一球. 因为抽取时这些球是完全因为抽取时这些球是完全平等的,故没有理由认为平等的,故没有理由认为10个球中的某一个会比另一个个球中的某一个会比另一个更容易取得更容易取得 . 也就是说,也就是说,10个球中的任一个被取出的机个球中的任一个被取出的机会是相等的,均为会是相等的,均为1/10. 1325 67 8 9 10410个球中的任一个被个球中的任一个被取出的机会都是取出的机会都是1/10 所以,所以,称称这类概率模型为这类概率模型为
20、古典概型古典概型.2 3479108615示例:示例:32在此示例中在此示例中,若若 记记 A=摸到摸到2号球号球 若记若记 B=摸到红球摸到红球2234791086151324 56 P(A)=1/10显然:显然:则则 P(B)=? P(B)=6/10 显然:显然:P(A)=?则则这里实际上是从这里实际上是从“比例比例” 转化转化为为“概率概率”静态动态动态当要求当要求“摸到红球摸到红球”的概率时,的概率时,实际上只要找出它在静态时相实际上只要找出它在静态时相应的比例应的比例.33加法原理:加法原理:设完成一件事可以分为设完成一件事可以分为两类两类(两种(两种途径),第一种途径有途径),第一
21、种途径有n n1 1种方法,第二种途径有种方法,第二种途径有n n2 2种方法,则完成这件事共有种方法,则完成这件事共有n n1 1+n+n2 2种方法。种方法。回顾:排列与组合回顾:排列与组合1 1、两条原理:、两条原理:乘法原理乘法原理:设完成一件事需分设完成一件事需分两步两步,第一步,第一步有有n n1 1种方法种方法, ,第二步有第二步有n n2 2种方法,则完成这件种方法,则完成这件事共有事共有n n1 1n n2 2种方法种方法。34(1 1)有重复排列:从含有)有重复排列:从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k次,次,每次取一个,记录其结果后放回,将记录结
22、果排成一列,每次取一个,记录其结果后放回,将记录结果排成一列,共有共有n nk k种排列方式种排列方式. .2 2、排列:、排列:(2 2)无重复排列(选排列):从含有)无重复排列(选排列):从含有n n个元素的集合中随个元素的集合中随机抽取机抽取k k 次,每次取一个,记录其结果后不放回,将记录次,每次取一个,记录其结果后不放回,将记录结果排成一列,结果排成一列,共有共有A An nk k=P=Pn nk k=n(n-1)(n-2)=n(n-1)(n-2)(n-k+1)(n-k+1)种排列方式种排列方式. .(3 3)全排列:从含有)全排列:从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随
23、机抽取n n次,每次,每次取一个,记录其结果后不放回,将记录结果排成一列,次取一个,记录其结果后不放回,将记录结果排成一列,共有共有A An n=P=Pn n=n!=n!种排列方式种排列方式. .35(1 1)从含有)从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取 k k个,共有个,共有种取法种取法. .)!( !knknkPknCknkn3 3、组合:、组合:(2 2)把)把n n个个元素随机地分成元素随机地分成 m m组组(n(nm m),),要求第要求第 i i 组恰组恰有有n ni i个个 (i=1,(i=1,m)m),共有,共有!1mnnn种分法种分法. .36n个不同元素
24、分为个不同元素分为m 组,各组元素数目组,各组元素数目 分分别为别为 n1,n2,nm 的分法总数为:的分法总数为:nnnn,!n!n!n!nm21m21 n1个个元素元素nm个个元素元素n2个个元素元素n个个元素元素mm211nnnnnnnCCC !n!n!n!nm21 因为:因为:分组分分组分配配37 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七七个字母分别写在七张同样的卡片上,并且将卡片放入同一盒中,现张同样的卡片上,并且将卡片放入同一盒中,现从盒中任意一张一张地将卡片取出,并将其按取从盒中任意一张一张地将卡片取出,并将其按取到的顺序排成一列,假设排列结果恰好拼成一个到的顺序排成一列
25、,假设排列结果恰好拼成一个英文单词:英文单词:C ISN C EE问:在多大程度上认为这样的结果问:在多大程度上认为这样的结果是奇怪的,甚至怀疑是一种魔术?是奇怪的,甚至怀疑是一种魔术?例例1:38故该结果出现的概率为:故该结果出现的概率为: 这个概率很小,这里算出的概率有如下的实际意义:这个概率很小,这里算出的概率有如下的实际意义:422 解解:设设A:排列结果恰好拼成英文单词:排列结果恰好拼成英文单词 S C I E N C E 拼成英文单词拼成英文单词SCIENCE 的情况数为:的情况数为::k00079. 012601!74)( AP如果多次重复这一抽卡试验,则我们所关心的事件如果多次
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