第一-晶体几何学课件.pptx

1、绪论材料：你们最关心的是什么？性能：你认为与哪些因素有关？结构：有哪些检测分析技术？现代材料研究方法X射线衍射方法透射电子显微分析扫描电子显微分析俄歇电子能谱分析原子探针显微分析核磁共振与电子自旋共振波谱红外光谱和拉曼光谱. .扫描电镜(scanning electron microscope)二次电子:当被加速的电子以足够大的速度轰击物质表面时,表面原子的部分外层电子,将因获得动能而逸出.背反射电子:在入射电子中有一部分电子和原子外层电子碰撞后,遭到散射,方向和能量均略有改变,且这种散射过程可以连续多次,甚至成百次进行,最终其总的散射角可以大于90o,以重新从试样表面逸出.电子探针(吸收电子

2、):入射电子中一部分电子进入试样后,能量损失殆尽,终至被试样吸收俄歇电子(二次电子):二次电子中部分电子的能量具有和特定元素相对应的特征值,能测得的具有特征值的俄歇电子仅限于来自试样表面二,三层的原子透射电镜(透射电子):入射电子中透过试样的那一部分电子电子探针分析,X射线荧光分析以及材料物相组成和晶体结构分析(X射线): 电子轰击试样后,在电子被减速的同时,原子被激发,发出电磁辐射.第一章、晶体几何学基础第一章、晶体几何学基础 1、晶体晶体 ：外观上晶体常具良好的几何多面体外形。本质上说， 晶体是内部质点在三维空间作规则排列三维空间作规则排列的物质。即具有长程有序长程有序。如水晶，NaCl等

3、。邻苯二甲酸氢冰洲石的菱面体晶体第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第一节第一节 刚玉电气石锗酸铋晶体规则的几何外形晶体规则的几何外形是晶体内部结构规律是晶体内部结构规律性的外在反映性的外在反映第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第一节第一节 2.常见晶体结构类型常见晶体结构类型常见单质的晶体结构Fcc: 金,银,铜,铝,镍,铂,-铁等Bcc: 钨,钼,铬,钒,铌,钽,-铁,-钛,钠,锂等Hcp: 镁,锌,-钛,-钴等金刚石型结构:金刚石,硅,锗等常见化合物的晶体结构NaCl型:MgO,VC,NbC,TiC,ZrC,NiO,PbS,TiOCsCl型:ZnO,-AgCd,-CuZ

4、n,-AlFe,FeCo,NiAl闪锌矿型:ZnS,BeS,CdTe第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第一节第一节 3. 空间点阵：空间点阵：由各类由各类等同点等同点在三维空间排列构成的表示晶在三维空间排列构成的表示晶体结构中物质分布周期规律的三维几何图形。即表征晶体体结构中物质分布周期规律的三维几何图形。即表征晶体结构中原子排列周期性的一种几何图象结构中原子排列周期性的一种几何图象.空间格子第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第一节第一节 红球：氯离子红球：氯离子 蓝球：钠离子蓝球：钠离子由Na+和Cl-各自组成面心立方晶格，是两个面心立方结构套构组成，属于复式结构。第一章

5、第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第一节第一节 空间点阵示意图空间点阵可由单胞重复排列而得第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第一节第一节 空间点阵的要素：A、结点：、结点：空间点阵中的点是抽象的几何点，它代表晶体结构中的原子、分子等相同点。只有几何意义,并不是具体的质点。B、行列：、行列：结点在直线上的排列。它相当晶体上的晶棱或晶向。 C、面网：、面网：结点在平面上的排列。它相当于晶体上的晶面。面网之间的间距称为面网间距。D、单位点阵（平行六面体）：、单位点阵（平行六面体）：空间点阵中的一个最小重复单元。它相当于晶体结构中的单位晶胞（单胞）。E、点阵参数或晶体常数：、点阵参数或晶

6、体常数：坐标系统晶轴：一般A轴左右、B轴前后、C轴直立。度量单位：晶轴上的结点间距（点阵周期）a, b , c晶轴夹角：,。晶体常数是一种晶体最重要的参数之一。 第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第一节第一节 晶体除了微观结构的周期性外，每种晶体还有其特殊的宏观对称性在结晶晶体除了微观结构的周期性外，每种晶体还有其特殊的宏观对称性在结晶学中能反映晶体的周期性，又能反映其对称性的特征，通常不一定取最小的学中能反映晶体的周期性，又能反映其对称性的特征，通常不一定取最小的结构单元作为重复单元，而是按对称性特点选取其结构单元，通常是最小单结构单元作为重复单元，而是按对称性特点选取其结构单元，

7、通常是最小单元的几倍，称为结晶学原胞或简称晶胞，一般而言，晶体的原胞和晶胞有习元的几倍，称为结晶学原胞或简称晶胞，一般而言，晶体的原胞和晶胞有习惯选取方法，上图为立方晶系的三种结构：简立方、而心立方和体心立方的惯选取方法，上图为立方晶系的三种结构：简立方、而心立方和体心立方的结构及原胞选取示意图。结构及原胞选取示意图。 第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第四节第四节 结论：空间点阵表明了晶体物质的一个最根本性质-周期性一个晶体物质，无论其内部结构多么复杂，都只有一种空间点阵第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第一节第一节 晶体是具有格子构造的固体，因此所有晶体也有晶体是具有格

8、子构造的固体，因此所有晶体也有它们所共有的格子构造所决定的性质。它们所共有的格子构造所决定的性质。A.A.自限性：自限性：晶体具有自发的形成规则几何外形的特征。不同晶体学平面作为表面时会因原子排列密度、键性质的不同而造成不同的表面能，热力学原理造成晶体会尽可能以低表面能的晶面作为表面。B.B.均匀性：均匀性：晶体不同部分的宏观性质相同，反映了晶体性质的平移特性。因为晶体的具有格子构造的固体，在晶体的各个不同部分质点的分布与排列都是一样的。第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第二节第二节 AA方向，H45，小刀可刻动。BB方向，H65，小刀不能刻动C.异向性（各向异性）：异向性（各向异性

9、）：晶体的物理性质随观测方向而变化的现象称为各向异性。晶体的性质因方向不同而有差异。这是因为晶体在不同的方向上质点的排列方式不同而决定的。晶体的很多性质表现为各向异性，如压电性质、光学性质、磁学性质及热学性质等。例如：石墨的电导率，当我们沿晶体不同方向测其电导率时，得到方向不同而石墨的电导率数值也不同的结果。 如兰晶石在不同的方向上硬度有很大差异。第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第二节第二节 D.对称性：对称性：晶体中相等的晶面、晶棱、角顶以及晶体的物理化学性质在不同方向或位置上有规律地重复出现。晶体的宏观性质一般说来是各向异性的，但并不排斥晶体在某几个特定的方向可以是异向同性的。

10、晶体的宏观性质在不同方向上有规律重复出现的现象称为晶体的对称性。 晶体的对称性反映在晶体的几何外形和物理性质两个方面。实验表明，晶体的许多物理性质都与其几何外形的对称性相关。第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第二节第二节 E. 最低内能与固定熔点：最低内能与固定熔点：实验表明：从气态、液态或非晶态过渡到晶体时都要放热，反之，从晶态转变为非晶态、液态或气态时都有要吸热。表明：在相同的热力学条件下，与同种化学成分的气体、液体或非晶体相比，晶体的内能最小。即在相同的热力学条件下，以具有相同化学成分的晶体与非晶体相比，晶体是稳定的，非晶体是不稳定的，后者有自发转变为晶体的趋势。 晶体具有固定

11、的熔点。当加热晶体到某一特定的温度时，晶体开始熔化，且在熔化过程中保持温度不变，直至晶体全部熔化后，温度才又开始上升。第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第二节第二节 对称的普遍性对称的普遍性：自然界中，植物、动物、建筑物的外形等。：自然界中，植物、动物、建筑物的外形等。对称定义对称定义：对称是物体上相等的部分有规律地重复。：对称是物体上相等的部分有规律地重复。对称的必要条件对称的必要条件：1 1物体上有相等的部分；物体上有相等的部分；2 2这些相等的部分有规律地重复（通过操作，如旋转、反映、这些相等的部分有规律地重复（通过操作，如旋转、反映、反伸使相等部分重复）反伸使相等部分重复）。

12、第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第三节第三节 晶体对称的特点晶体对称的特点 晶体的对称则是由其内部的格子构造所决定的，因此，晶体的对称则是由其内部的格子构造所决定的，因此，晶体对称有其特点晶体对称有其特点：1.1.所有的晶体都是对称的所有的晶体都是对称的，只要是晶体，就具有格子构造，只要是晶体，就具有格子构造，格子是对称的。这是晶体对称的普遍性。格子是对称的。这是晶体对称的普遍性。2.2.晶体的对称是有限的晶体的对称是有限的，晶体对称受格子构造的规律所限，晶体对称受格子构造的规律所限制，只有符合格子构造的对称才能在晶体上反映出来。制，只有符合格子构造的对称才能在晶体上反映出来。3.

13、3.晶体的对称不仅表现在形式上，晶体的对称不仅表现在形式上，还表现在物理化学性质还表现在物理化学性质上。上。第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第三节第三节 对称是晶体结构的基本特性之一。对称是晶体结构的基本特性之一。 对称操作对称操作：如果一个物体经过一定的动作后，其位置，形态：如果一个物体经过一定的动作后，其位置，形态相对观察者来说没有变化，称此现象为规律重复。使得物体相对观察者来说没有变化，称此现象为规律重复。使得物体没有变化的动作称为对称操作（或称对称动作、对称变换、没有变化的动作称为对称操作（或称对称动作、对称变换、对称运用）。在对称动作中所凭借的对称运用）。在对称动作中所凭

14、借的几何元素几何元素（点、线、面）（点、线、面）称为对称元素（或对称要素）称为对称元素（或对称要素）晶体外形上可能存在的晶体外形上可能存在的对称要素对称要素: 对称面、对称轴、旋转反伸轴、旋转反映轴、对称中心对称面、对称轴、旋转反伸轴、旋转反映轴、对称中心第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第三节第三节 1.1.对称面（对称面（m m） 通过晶体中心的假想平面，把晶体分为互为镜象反通过晶体中心的假想平面，把晶体分为互为镜象反映的两个部分。相应的操作是对平面的反映。映的两个部分。相应的操作是对平面的反映。对称面必通过晶体几何中心，且垂直平分某些晶面、晶对称面必通过晶体几何中心，且垂直平分

15、某些晶面、晶棱，或包含某些晶棱。棱，或包含某些晶棱。 晶体中有的没有对称面，最多的有晶体中有的没有对称面，最多的有9 9个对称面。个对称面。菱方晶系的菱方晶系的3个对称面个对称面立方晶系中的立方晶系中的9个对称面个对称面a）垂直晶面和通过晶棱中点，并彼此互）垂直晶面和通过晶棱中点，并彼此互相垂直的相垂直的3个对称面。个对称面。b）包含一对晶棱，）包含一对晶棱，垂直斜切晶面的垂直斜切晶面的6个对称面个对称面第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第三节第三节 宏观对称操作宏观对称操作2 2对称轴（对称轴（CnCn） 名称符号基转角作图符号一次对称轴二次对称轴三次对称轴四次对称轴六次对称轴C1

16、C2C3C4C63601801209060第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第三节第三节 宏观对称操作宏观对称操作不可能使五边形互相连接充满整个平面不可能使五边形互相连接充满整个平面 如图所示，不难设想，如果晶体中有n=5的对称轴，则垂直于轴的平面上格点的分布至少应是五边形，但这些五边形不可能相互拼接而充满整个平面，从而不能保证晶格的周期性。 第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第三节第三节 宏观对称操作宏观对称操作3 3对称中心对称中心（i）由对称中心联系起来的呈反向平行的相等晶面BACABC第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第三节第三节 宏观对称操作宏观对称操作

17、4 4旋转反伸轴（倒转轴）旋转反伸轴（倒转轴） 旋转反伸轴是通过晶体中心的一根假想直线，晶体绕旋转反伸轴是通过晶体中心的一根假想直线，晶体绕此直线旋转一定的角度后，此直线旋转一定的角度后，再通过中心倒反再通过中心倒反，可使晶体上，可使晶体上的相等部分重复。的相等部分重复。操作操作: :旋转旋转+ +反伸反伸。L Li i1 1=i L=i Li i2 2=m L=m Li i3 3=L=L3 3+i L+i Li i6 6=L=L3 3+m+m第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第三节第三节 需要特别引起注意: Li6的对称特点虽与的对称特点虽与L3+P相当相当,但但Li6是六次对称是

18、六次对称,其对称程度要高于三次其对称程度要高于三次,不能替代不能替代. 与对称轴情况一样，倒转轴也只可能有与对称轴情况一样，倒转轴也只可能有1、2、3、4、6五种轴次。五种轴次。宏观对称操作宏观对称操作1.1.平移平移 将晶体结构（或空间点阵）平行移到与原来环境完全相同的位置，这种对称操作称为平移。2.2.螺旋旋转螺旋旋转 绕一固定轴旋转，每次旋转(360o/n)角度后，接着平移t方能得到规律重复。这种复合对称操作 称为螺旋旋转。3.3.滑移滑移 凭借一个平面施行反映之后，再平行于该面施行平移t，而使晶体结构图形得到规律重复，这种对称操作称为滑移。滑移操作中的反映面 称为滑移面，或滑移对称面。

19、微观对称操作微观对称操作第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第三节第三节 不同晶体的点阵参数是不同的。尽管自然界的晶体有几千种，但根据这些点阵参数的特点，可以把空间点阵归类为七个晶系： 立方晶系立方晶系(等轴晶系) 正方晶系正方晶系(四方晶系)六方晶系六方晶系菱形晶系菱形晶系(三方晶系)正交晶系正交晶系(斜方晶系)单斜晶系单斜晶系三斜晶系三斜晶系 第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第四节第四节 根据结点在单胞中的分布，单位点阵有 简单（原始）点阵（P）： 结点均在角顶上 底心点阵（C）： 除角顶外每一对面上各有一个结点 体心点阵（I）： 除角顶外中央有一个结点面心点阵（F）：

20、 除角顶外每个面上均还有一个结点 根据点阵参数的特点和结点的分布，所有晶体空间点阵的种类有14种。它们是法国晶体学家布拉菲总结出来的，故亦称为布拉菲点阵。 单胞中结点的数目：简单（原始）点阵： 1 底心点阵： 2 体心点阵： 2 面心点阵： 4 简单点阵简单点阵 : 1 : 1 000000 体心点阵体心点阵: 2 : 2 000 1/2 1/2 1/2 000 1/2 1/2 1/2 底心点阵底心点阵:2 :2 000 1/2 1/2 0 000 1/2 1/2 0 面心点阵面心点阵: 4: 4000 1/2 1/2 0000 1/2 1/2 01/2 0 1/2 0 1/2 1/21/2

21、0 1/2 0 1/2 1/2 第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第四节第四节 晶系点阵常数布拉菲点阵阵胞内节点数节点坐标立方cubica=b=c=90简单立方10 0 0体心立方20 0 0 1/2 1/2 1/2面心立方40 0 0 1/2 1/2 01/2 0 1/2 0 1/2 1/2正方（四方）tetragonala=bc=90简单正方10 0 0体心正方20 0 0 1/2 1/2 1/2斜方（正交）Orthorhombica b c=90简单斜方10 0 0体心斜方20 0 0 1/2 1/2 1/2底心斜方20 0 0 1/2 1/2 0面心斜方40 0 0 1/2

22、1/2 01/2 0 1/2 0 1/2 1/2七大晶系与七大晶系与14种布拉菲点阵种布拉菲点阵第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第四节第四节 菱方Trigonala=b=c=90简单菱方10 0 0六方Hexagonala=bc=90=120 简单六方10 0 0单斜Monoclinicabc= =90 120 简单单斜10 0 0底心单斜20 0 01/2 1/2 0三斜Triclinicabc90简单三斜10 0 0第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第四节第四节 定义定义点对称操作的集合所构成的群即点群点对称操作的集合所构成的群即点群. .点群以高度的数学点群以高度的

23、数学抽象方式表述了实际晶体的点对称性抽象方式表述了实际晶体的点对称性. .点群的用途及推导方法点群的用途及推导方法晶体结构的许多固体物理学性质的对称性都与其所对应晶体结构的许多固体物理学性质的对称性都与其所对应的点群有关的点群有关. .晶体或其他物体所具有的点对称性可以通过晶体或其他物体所具有的点对称性可以通过点群符号简洁的描述出来点群符号简洁的描述出来. .根据这些符号人们可以知道其根据这些符号人们可以知道其全部点对称性全部点对称性, ,即点群符号可以对应着晶体或物体的全部即点群符号可以对应着晶体或物体的全部点对称性。点对称性。第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第五节第五节 7个晶

24、系的划分和个晶系的划分和32晶体学点群晶体学点群第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第五节第五节 第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第五节第五节 第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第五节第五节 滑移面滑移面: 亦称象移面, 是一种复合的对称要素。其辅助几何要素有两个：一个假想的平面和平行此平面的某一直线方向。相应的对称变换为：对于此平面的反映和沿此直线方向平移的联合，其平移的距离等于该方向行列结点间距的一半。晶体微观对称的主要特点晶体微观对称的主要特点 在晶体构造中，任何一个对称要素有无穷多个相同对称要素和它平行。出现了一种在宏观对称中不可能出现的对称操作平移操作。

25、从而出现了其特有的对称要素：平移轴和滑移面。平移轴和滑移面。第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第六节第六节 平移轴：平移轴：为一直线方向，相应的对称变换为沿此直线方向平移一定的距离。对于具有平移轴的图形，当施行上述对称变换后，必可使图形相同部分重复，亦即带个图形复原。在平移这一对称变换中，能够使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距移距。是一种复合的对称元素。其辅助几何要素为：一根假想的直线及与之平行的直线方向。相应的对称变换为围绕此直接旋转一定角度和沿此直线方向平移的联合。第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第六节第六节 空间群空间群晶体结构中一切对称要素的组合称为空间群

26、。共有晶体结构中一切对称要素的组合称为空间群。共有230230种。种。晶体对称型与空间群之差异，即是否有平移操作。晶体对称型与空间群之差异，即是否有平移操作。点群无平移的原因点群无平移的原因: : A A、晶体几何外形是有限的，平移操作是不能成立、晶体几何外形是有限的，平移操作是不能成立 B B、对称型中所有对称要素都必须是共点。、对称型中所有对称要素都必须是共点。 C C、晶体外部对称上所不能存在的滑移面和螺旋轴、晶体外部对称上所不能存在的滑移面和螺旋轴等微观上特有的对称要素。等微观上特有的对称要素。第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第六节第六节 空间群的符号空间群的符号 包含了空

27、间格子类型包含了空间格子类型, , 对称元素及其相互之间的关系。对称元素及其相互之间的关系。国际符号分两个部分：前半部分是平移群的符号，即布拉国际符号分两个部分：前半部分是平移群的符号，即布拉维格子的符号，按格子类型的不同而分别用字母维格子的符号，按格子类型的不同而分别用字母P P、R R、I I、C C、F F等表示之。后半部分则是其他对称要素之集合的符号，等表示之。后半部分则是其他对称要素之集合的符号，类似于点群符号的表达类似于点群符号的表达, , 但有的被微观对称要素取代。但有的被微观对称要素取代。符号格子类型123PnmaPnma第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第六节第六节

28、 1) 1) 垂直纸面方向的对称元素；垂直纸面方向的对称元素；2) 2) 从左至右从左至右(y(y方向方向) )的对称元素；的对称元素；3) 3) 由上到下由上到下(x(x方向方向) )的对称元素。的对称元素。晶系三个位所表示的方向(依次列出)等轴ca+b+ca+b001111110四方caa+b001100110斜方abc100010001单斜b 010 三斜任意方向任意方向三六方ca2a+b0011002101 2 31 2 3第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第六节第六节 晶面坐标x 一个空间点阵的晶面或晶向的，为表示晶面和晶向空间点阵中的相对位置，人们设计了晶面指数和晶向指数

29、。较常用的是由英国晶体学家米勒1839年设计的，故亦称米勒指数 1、晶面指数晶面指数确定的方法：A、量出待定晶面在三个晶轴的截距，并用点阵周期a, b, c度量它们。 B、取三个截距的倒数 1/1 , 1/2 , 1/3C、把它约简化为最简的整数h, k, l, 并用小括号括起来，就构成该晶面的晶面指数（h k l）。 yzoabc第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第七节第七节 1001001101101111112102101 1/1 /1/1(100)1111/1(110)111111(111)1/2121/1(210)第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第七节第七节 1

30、11 111 111 111 111 111 111 111111111晶面族中的晶面组晶面族中的晶面组第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第七节第七节 六方系的四轴坐标系六方系的四轴坐标系：标准定向以标准定向以6 6次轴为次轴为c c轴轴，2 2个个2 2 次轴次轴为为a a轴轴和和 b b轴轴。6 6个柱面属同一平面族，但指数为个柱面属同一平面族，但指数为VUu3132=UVv3132=UVt3131=Ww = 0110010110010101001110100110 100010101001010011hkilkhi=四轴坐标系四轴坐标系6 6个柱面指数为个柱面指数为三轴指数三轴

31、指数uvw uvw 与四轴指数与四轴指数uvtwuvtw之间的转换关系为：之间的转换关系为：第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第七节第七节 A、当晶面交于晶轴的负端时，对应的指数就是负的，并将负号标在数字的上面。B、晶面指数中第一、二、三位分别代表与A、B、C轴的关系，它们之间不能随意变换。C、一个晶面指数实际上是代表某个方向上的一组面，而不是一个面。D、当晶面指数中某个位置上的指数为0时，表示该晶面与对应的晶轴平行。如（100）(001） 。 2、晶向指数、晶向指数晶向指数表示某一晶向（线）的方向。晶向指数的确定方法：A、过坐标原点找一条平行于待定晶向的行列。B、在该行列中任选一个

32、结点，量出它在三个坐标轴上的坐标值（用a, b, c度量）C、将它们化为简单的整数u, v, w，并用方括号括起来，便构成晶向指数 uvw。第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第七节第七节 1/21012012000001100332111100010120021100210abc0010011/2-101-200211 1 111111/202102101 1 1第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第七节第七节 1. 倒易点阵的概念倒易点阵的概念 倒易点阵是由晶体点阵（正点阵）按一定对应关系建立的与其相联系的另外一个假想空间点阵。倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个

33、三维空间（倒易空间）点阵，它的真面目只有从客观存在的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解 。2. 倒易点阵中单位矢量的定义倒易点阵中单位矢量的定义 设正点阵的原点为O，基矢为 ，倒易点阵的原点为O*，基矢为 ，则有式中V为正点阵中单胞的体积.表明某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二基矢所成平面。 cba,cba,vbacvacbvcba=,第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第八节第八节 倒易基矢和正空间基矢之间的关系倒易基矢和正空间基矢之间的关系O(O*)abc(010)(100)(001)C*a*b*f fy yw wwycos1cos1cos1*ccbbaa=由：由：a*b

34、= a*c = b*a = b*c = c*b = 0 a*a = b*b = c*c = 1可导出：第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第八节第八节 bacacbcbaV=bacacbcbaVV和V*分别为正空间的体积和倒易空间阵胞的体积。vbacvacbvcba=,由有：VabcVcabVbcasin;sin;sin=, , , , 分别是两个矢量的夹角；分别是两个矢量的夹角；a,b,c倒易点阵的方向倒易点阵的方向如前所定义的。如前所定义的。第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第八节第八节 =cbaV和有：vvccbccbbbvcbvcbV1100111)()(*=vbac

35、vacbvcba=,因此倒易空间的阵胞体积和正空间的阵胞体积互为倒数关系。第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第八节第八节 avabaaabacvbaacvbavacvvcb=)()()()()(因此有：vbacvacbvcba=第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第八节第八节 oPcnhklbaABCa/hb/kc/ldhkl面ABC与3个轴的交点分别为A，B，C，截距为a/h, b/k, c/l, 则：hakbOAOBABhalcOAOCAC=第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第八节第八节 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为（hkl）的阵点的矢量度g hkl

36、（倒易矢量）为：ghkl = h a* + k b* + l c* 0)()(0)()(=aahhbbkkc lbkahhakbgABaahhccllc lbkahhalcgAChklhkl所以矢量所以矢量ghkl与与(hkl)面垂直，与面法线平行。面垂直，与面法线平行。hklhklhklhklhklhklggc lbkahhagghanhad1=第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第八节第八节 式中（h,k,l）为正点阵的晶面指数，上式表明： 倒易矢量ghkl垂直于正点阵中相应的（h,k,l）晶面，或平等于它的法向N hkl 。倒易点阵中的一点代表的是正点阵中的一组晶面。倒易点阵就是

37、与正点阵中所有（倒易点阵就是与正点阵中所有（hkl）面组相对应的倒易矢量的集合。面组相对应的倒易矢量的集合。倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即ghkl =1/ dhkl 第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第八节第八节 正点阵正点阵和和倒点阵倒点阵的几何对应关系的几何对应关系倒易点阵中的倒易点阵中的一个点一个点代表正点阵中的代表正点阵中的一组晶面一组晶面正点阵倒点阵（111111）（021）（011）ocba O c b a100010001011111021101110020120121102002012022112122000第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础

38、 第八节第八节 例：在a，b轴组成的平面中画出单斜晶系晶系的倒易空间与正空间的对应关系（假设c轴垂直与纸面，a=0.4nm，b0.8nm），并在图中标出(100), (010), (110)三个晶面在正空间和倒易空间的位置？ a (nm)b (nm)0.40.40.80.8a* (nm-1)b* (nm-1)1nm-1(100)(010)a (O*)(110)第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第八节第八节 1、晶带与晶带定律：、晶带与晶带定律：在空间点阵中，所有平行于某一直线的一组晶面的组合称为一个晶带。或者说交线相互平行的一组晶面的组合称为一个晶带。这一直线就称为晶带轴，它用晶向指

39、数来表示。 第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第九节第九节 a001bc晶带轴100102101100210属于 晶带的某些晶面001晶带定律：晶带定律： 已知一个晶面 (hkl) 和它所属的晶带uvw，从很容易得到二者之间的关系：hu+kv+lw=0，通常把这个关系式称为晶带定律。 晶带定律给出了晶面与晶向之间的关系，它如果晶向uvw包括在晶面(hkl)中，二者就满足这个关系式。有了这个关系，我们就可以根据已知的晶面或晶带来求得另外一些晶面或晶带。 第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第九节第九节 晶面（hkl）的法线向量为矢量g，故有：*c lbkahg=晶向L可表示为：

40、cwbvauL=第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第九节第九节 晶带定律的应用晶带定律的应用1)已知两晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)，求交线uvw。h1u+k1v+l1w=0h2u+k2v+l2w=0u：v：w=(k1l2-k2l1):(l1h2-l2h1):(h1k2-h2k1) 当：oLg=0)()(*=c lbkauc lbkahLg因此有：0)(=lwkvhuLg2)已知两晶带u1v1w1和u2v2w2，求晶面指数(hkl)。hu1+kv1+lw1=0hu2+kv2+lw2=0h:k:l=(v1w2-v2w1):(w1u2-w2u1):(u1v2-u2v1) 例 已知

41、两晶带010和001，求二者决定的晶面。h0+k1+l0=0h0+k0+l1=0h:k:l=(11-00):(00-10):(00-01)=1:0:0晶面100 2、晶面间距的计算晶面间距(面网间距)指两个相邻晶面间的垂直距离。对晶面(hkl), 一般用d(hkl)来表示其晶面间距。一般的规律是，在空间点阵中，晶面的晶面指数越小，其晶面间距越大，晶面的结点密度越大，它的X射线衍射强度越大，它的重要性越大。晶面间距在X射线分析中是十分重要的。 第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第九节第九节 若已知某个晶体的晶体常数a、b、c和、，根据解析几何原理，很容易推导出计算晶面间距的公式。 立方

42、晶系 222lkhadhkl=第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第九节第九节 根据倒易矢量g*与面间距的关系：hklhklgd1=可知：)(1*2lckbhalckbhadhkl=2*111aaaccbbaa=0*=caba第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第九节第九节 2222221clbkahdhkl=正方晶系 *21c lbkahc lbkahdhkl=斜方晶系 )(1*2lckbhalckbhadhkl=2*111aaaaa=2*111bbbbb=2*111ccccc=所以：2222221clbkahdhkl=3、晶面夹角的计算 若已知某晶体上两个晶面(h1k1l1

43、)和(h2k2l2)，可以求二者之间的夹角 (晶面法线的夹角 )。立方晶系的公式 ： 222111222111coslkhlkhlkhlkhgggg=f222222212121212121coslkhlkhl lkkhh=f第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第九节第九节 借助二维图形表示三维晶体及点阵等图形中直线、平面的取向及它们之间的相互配置情况，称晶体投影。 晶体学中用保角投影。 球面投影： 引入参考球，晶体置于球心，将各直线或平面平移至过球心再投影。 直线：延长，交球面于一点，迹点。 平面：扩展至球面交成一大圆，圆为该平面的迹线。 法线延长，交球面于一点，点为该平面的极点。第一

44、章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第十节第十节 球面上任一点球面上任一点PP的位置用球坐标表示。记为的位置用球坐标表示。记为PP（ ， ），）， 为极角，为极角， 为辐角。为辐角。 角度测量：（经纬线网）角度测量：（经纬线网） 以球心为圆心，球直径为直径，以球心为圆心，球直径为直径， 经线：过经线：过N N、S S的一组大圆；的一组大圆； 纬线：平行赤道的平面与球面相交而成的一组小圆，圆心均在纬线：平行赤道的平面与球面相交而成的一组小圆，圆心均在N N、S S轴上轴上。 第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第十节第十节 极射赤面投影：极射赤面投影：为便于使用，球面投影以极射赤面投

45、为便于使用，球面投影以极射赤面投影的保角变换形式变换成平面投影。影的保角变换形式变换成平面投影。以赤道平面为投影平面，上半球以赤道平面为投影平面，上半球S S极极为投射点，以为投射点，以或或 表示，下半球表示，下半球N N极为投射点，以极为投射点，以 或或 表示表示 21 tanOSOP =OSPP点在投影基圆的位置为：点在投影基圆的位置为： 为投影基圆半径；为投影基圆半径； 为为PP的极角的极角第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第十节第十节 1）与投影面平行的水平小圆投影为基圆的同心圆2）任意倾斜的小圆投影为小圆3）与投影面垂直的小圆为小圆弧。球面上水平小圆的极射赤平投影球面上倾斜

46、小圆极射赤平投影球面上直立小圆的极射赤平投影第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第十节第十节 4）球面上大圆的投影，水平大圆投影为基圆，与投影面垂直的大圆投影为直线。5）倾斜大圆投影为大圆弧，大圆法线投影点为该大圆的极点。P为大圆BAC的极点，因此大圆极点与大圆弧上任意一点的角距都为90，直立大圆的极射赤平投影倾斜大圆的极射赤平投影第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第十节第十节 表示极射面投影图上极点的位置以及测量极点间的夹角关系的一种坐标网，称乌氏网。乌氏网就像地球的经纬线，由刻划在参考球上的网络投影而来。取参考球一直径NS为南北极，通过球心O并垂直于NS的大圆为赤道，平行

47、于赤道大圆的一系列等角距离的平面与参考球相交形成纬线，通过NS轴等距离平面形成经线。吴氏网吴氏网第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第十节第十节 极氏网 若以赤道平面上一点为投射点，投影面平行于NS轴就得到如图所示的乌氏网；若以N或S为投射点，而投影面平行于赤道平面，则得到如图所示的极网。乌氏网和极网的基圆直径可做成任意尺寸，其网格的角间距多为2 。第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第十节第十节 二极点间的夹角测定：二极点间的夹角测定： 转动投影图，使二极点处于同一经线大圆（包括基圆）或赤道上，二点间纬度差或赤道上经度差即为极点间夹角，如图所示。 极点间夹角的测量(b)(c)

48、(a)第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第十节第十节 求与已知极点成等夹角的轨迹：求与已知极点成等夹角的轨迹：转动投影图使已知极点P位于乌氏网的赤道线WE上，在P点两侧求出二等角距点Q、R、PQ=PR=某确定角度（如30），以QR为直径作圆（圆心P），此小圆即为与P点成30角的点的轨迹。若夹角较大（50），使Q、R中之一点落于基圆之外，则可过P点作一经线大圆，在P点二侧的大圆上求出与其夹角为50的二点M、T，将其与赤道上的一点共三点求圆P“，此圆即为欲求的轨迹。 求与极点成等夹角点的轨迹a)轨迹在正面时 b)部分轨迹在背面时第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第十节第十节 转

49、动轴垂直于投影面：轴的投影即为基圆圆心，只需将极点P在它所在的圆周上向指定方向转过预定的角度到达P即可（如图所示）。转动轴平行于投影面：轴的投影为基圆直径，转动投影图，使转动轴与乌氏网的NS轴重合，待转动的点沿它所在的纬线向指定方向转动预定的角度（如图中A1A2）若需转至投影图背面，则应用不同符号标明（如图B1B1 )。 极点平行于投影面的轴转动极点绕垂直于投影面的轴转动PPf第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第十节第十节 转动轴与投影面成任意倾角：如轴的投影为B1点（见图），欲使A1绕B1顺时针转动f2，其转动步骤如下：将B1点置于乌氏网的赤道线上；将A1、B1二点同时绕NS轴转动

50、，直至B1点到达投影基圆的圆心，称其为B2，A1点也沿自身所在的纬线转过相同的角度到达A2；A2绕B2按预定方向和角度转过f2角到达A3；B2按步骤中的逆向转回到其原投影位置B1，A3沿其所在纬线NS转过与B2相同的角度到达A4，A4即为A1绕B1转动f2角后的新位置。 极点绕倾斜轴转动BA极点绕倾斜轴转动极点绕倾斜轴转动F F2角角第一章第一章 晶体几何学基础晶体几何学基础 第十节第十节 第十一节、单晶体的标准投影图第十一节、单晶体的标准投影图 对具有一定点阵结构的单晶体，选择某一个低指数的重要晶面作为投影面，将各晶面向此面投影，就得到单晶体的标准投影图，图示是立方晶体的（001）、（011