高中数学第一章三角函数1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件北师大必修4.ppt
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- 高中数学 第一章 三角函数 1.4 单位 周期性 正弦 函数 余弦 基本 性质 课件 北师大 必修
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1、1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质【知识提炼知识提炼】1.1.终边相同的角的正、余弦函数终边相同的角的正、余弦函数(1)sin(x+k(1)sin(x+k2)=_;2)=_;(2)cos(x+k(2)cos(x+k2)=_,kZ.2)=_,kZ.sinxsinxcosxcosx2.2.周期性周期性(1)(1)条件条件: :对于函数对于函数f(xf(x) )存在存在_T;_T;对于定义域内的任意一个对于定义域内的任意一个x x值都有值都有f(x+Tf(x+T)= _.)= _.(2)(2)结论结论: :函数函数f(xf(x) )为周期函数为周期函数; ;_为函
2、数的周期为函数的周期. .非零常数非零常数f(xf(x) )T T3.3.正、余弦函数的周期性正、余弦函数的周期性正、余弦函数都是以正、余弦函数都是以_(kZ,k0)_(kZ,k0)为周期的周期函数为周期的周期函数, ,最小正周最小正周期为期为_._.2k2k224.4.单位圆与正、余弦函数的性质单位圆与正、余弦函数的性质正弦函数正弦函数y=y=sinxsinx余弦函数余弦函数y=y=cosxcosx定义域定义域R R值域值域_周期周期_在在0,20,2上的单上的单调性调性在在 上是增加的上是增加的; ;在在 上是减少的上是减少的在在,2,2上是增加上是增加的的; ;在在0,0,上是减少的上是
3、减少的-1,1-1,12230,2 22,3,22【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)若存在非零常数若存在非零常数T,T,对于函数对于函数f(xf(x),),若存在若存在x x值有值有f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x),),则函则函数数f(xf(x) )是周期函数吗是周期函数吗? ?提示提示: :不一定不一定, ,如函数如函数f(xf(x)=x)=x2 2, ,存在非零常数存在非零常数T=4,T=4,存在存在x=-2,x=-2,使得使得f(-2 f(-2 +4)=f(-2),+4)=f(-2),但是函数但是函数f(xf(x)=x)=x2 2不是周期函数不是周
4、期函数. .(2)(2)周期函数一定存在最小正周期吗周期函数一定存在最小正周期吗? ?提示提示: :不一定不一定. .如常数函数是周期函数如常数函数是周期函数, ,但是没有最小正周期但是没有最小正周期. .2.2.关于周期函数关于周期函数, ,下列说法正确的是下列说法正确的是_(_(填序号填序号).).周期函数的定义域可以是有限集周期函数的定义域可以是有限集; ;周期函数的周期只有唯一一个周期函数的周期只有唯一一个; ;周期函数的周期可以有无数多个周期函数的周期可以有无数多个; ;周期函数的周期可正可负周期函数的周期可正可负. .【解析解析】由周期函数的定义可得是错误的由周期函数的定义可得是错
5、误的, ,是正确的是正确的. .答案答案: :3.3.函数函数y=2sinxy=2sinx在区间在区间 上的值域是上的值域是_._.【解析解析】当当x x 时时, ,sinxsinx , ,所以所以2sinx2sinx , ,即函数即函数y=2sinxy=2sinx的值域是的值域是 . .答案答案: : 5,445,442,122,22,22,24.4.若若f(xf(x) )是周期为是周期为4 4的函数的函数, ,且且f(1)= ,f(1)= ,则则f(-3)=_.f(-3)=_.【解析解析】因为因为f(xf(x) )是周期为是周期为4 4的函数的函数, ,所以所以f(-3)=f(-3+4)f
6、(-3)=f(-3+4)=f(1)= .=f(1)= .答案答案: :121212【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 周期函数周期函数观察图形观察图形, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题1:1:周期函数的定义域有什么特点周期函数的定义域有什么特点? ?问题问题2:2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征周期函数的函数值、图像有什么样的特征? ?【总结提升总结提升】对于周期函数的四点认识对于周期函数的四点认识(1)(1)对于定义域内的任意对于定义域内的任意x,x,都有都有x+Tx+T属于定义域属于定义域; ;(2)(2)并不是每一个函数都是周期函数并不是每一个函数都是周期函数, ,若
7、函数具有周期性若函数具有周期性, ,不一定有最不一定有最小正周期小正周期; ;(3)(3)如果如果T T是函数的一个周期是函数的一个周期, ,则则nT(nZnT(nZ, ,且且n0)n0)也是函数的周期也是函数的周期. .(4)(4)每相隔周期的整数倍每相隔周期的整数倍, ,图像要重复出现图像要重复出现. .知识点知识点2 2 正弦、余弦函数的基本性质正弦、余弦函数的基本性质观察图形观察图形, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题: :正弦、余弦函数的基本性质与其周期性有什么关系正弦、余弦函数的基本性质与其周期性有什么关系? ?【总结提升总结提升】对正弦、余弦函数性质的四点说明对正弦、余弦
8、函数性质的四点说明(1)(1)正、余弦函数的性质是利用正弦、余弦函数的定义结合单位圆直正、余弦函数的性质是利用正弦、余弦函数的定义结合单位圆直观观察得来的观观察得来的. .(2)(2)这些性质适用于整个函数这些性质适用于整个函数, ,而不仅仅是在而不仅仅是在0,20,2上的性质上的性质. .(3)(3)对于正弦函数与余弦函数来说对于正弦函数与余弦函数来说, ,它们的定义域均是全体实数它们的定义域均是全体实数, ,但并但并不能说它们是增函数或减函数不能说它们是增函数或减函数, ,而只能说在某个区间内是增加的或减而只能说在某个区间内是增加的或减少的少的. .(4)(4)正弦函数的最值在单位圆与正弦
9、函数的最值在单位圆与y y轴的交点处取得轴的交点处取得, ,而余弦函数的最值而余弦函数的最值则在单位圆与则在单位圆与x x轴的交点处取得轴的交点处取得, ,要注意区分要注意区分. .【题型探究题型探究】类型一类型一 函数周期性的应用函数周期性的应用【典例典例】1.(20151.(2015南安高一检测南安高一检测) )coscos 1 110 1 110的值为的值为( () ) 2.2.已知某奇函数的周期为已知某奇函数的周期为3,3,且且f(-1)=10,f(-1)=10,则则f(10)=_.f(10)=_.3.3.若函数若函数f(xf(x) )满足满足f(x+1)=-f(x),f(1)= ,f
10、(x+1)=-f(x),f(1)= ,则则f(2015)=_.f(2015)=_.1313A. B. C. D.222232【解题探究解题探究】1.1.利用余弦函数的周期性利用余弦函数的周期性,1110,1110与哪一个角的终边相与哪一个角的终边相同同? ?提示提示: :因为因为3030=1110=1110-3-3360360, ,故故11101110与与3030的终边相同的终边相同. .2.2.由函数的周期为由函数的周期为3,3,则与则与f(10)f(10)相等的有哪些值相等的有哪些值? ?提示提示: :f(10)=f(7)=f(4)=f(1).f(10)=f(7)=f(4)=f(1).3.
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