高中数学《二项式定理》公开课PPT课件.ppt

1、二项式定理 (1) 1.在在n=1,2,3时，写出并研究时，写出并研究(a+b)n的展开式的展开式. (a+b)1= , (a+b)2= , (a+b)3= , a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3结合左边的次数分析：结合左边的次数分析：展开式中的项数、次数展开式中的项数、次数(a、b各自次数）各自次数）每一项的系数规律每一项的系数规律提出问题：提出问题：次数次数: :各项的次数等于二项式的次数各项的次数等于二项式的次数项数项数: :次数次数+1+1(a+b)2 (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数为各项在展开

2、式中出现的次数。这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑考虑b对对(a+b)(a+b)2 2展开式的分析展开式的分析每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即 ,则则a2前的系前的系数为数为02C02C恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有 种，则种，则ab前的系数为前的系数为12C12C恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有 种，则种，则b2前的系数为前的系数为22C22C(a+b)2 = a2 +2ab+b2 a2 + ab+ b202C12C22C(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= a3 + a2b+ ab2 + b303C13C23C33C2.在在n=4时

3、，猜测时，猜测(a+b) 的展开式的展开式.4(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？问题：问题：1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？展开后各项形式分别是什么？2)各项前的系数代表着什么？各项前的系数代表着什么？3)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现代表着这些项在展开式中出现的次数的次数3)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即 则则a4前的前的系数为系

4、数为04C04C恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有 种，则种，则a3b前的系数为前的系数为14C14C恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有 种，则种，则a2b2前的系数为前的系数为24C24C恰有恰有3个取个取b的情况有的情况有 种，则种，则ab3前的系数为前的系数为34C34C恰有恰有4个取个取b的情况有的情况有 种，则种，则b4前的系数为前的系数为44C44C则则 (a+b)4 a4 a3b a2b2 ab3 b404C14C24C34C44C一一二二三三四四问题：问题：4个容器中有相同的红、黑玻璃个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个，从每个容器中取一个球，球各一个，从每个容器中取一个球，

5、有多少不同的结果？有多少不同的结果？4个红球个红球0个黑球个黑球3个红球个红球1个黑球个黑球2个红球个红球2个黑球个黑球1个红球个红球3个黑球个黑球0个红球个红球4个黑球个黑球C40C41C42C43C44一一二二三三四四a4 a3b a2b2 ab3 b4都都不不取取b取取一一个个b 取取两两个个b 取取三三个个b 取取四四个个b 项项系数系数C40C41C42C43C44(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)(a+b)4=C4a4+C4a3b+C4a2b2+C4ab3+C4b401234结果：结果：发现规律：发现规律：对于对于( (a+b) )n= =()()()n

6、a+b a+ba+b个的展开式中的展开式中an-rbr的系数是在的系数是在n个括号中，恰有个括号中，恰有r个个括号中取括号中取b( (其余括号中取其余括号中取a) )的组合数的组合数 . .那么，那么，我们能不能写出我们能不能写出(a+b)n的展开式？的展开式？ rnC将将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？展开的结果又是怎样呢？ 归纳提高归纳提高 011nn-rn-rrn nnnnnC aC a bC a bC b(a+b)n =)(Nn一般地，对于一般地，对于n N*有有011222()CCCCCnnnnnnnrnrrnnnnabaabababb 二项式定理二项式定理 这个公式表示的定理叫做

7、这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式定理，公式，公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做 (a+b) n的的 ， 其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ， 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有项，展开式共有_个项个项.Crn展开式展开式二项式系数二项式系数Crn rrnabr+1n+11Crn rrrnabT011()CCCCnnnrn rrnnnnnna+baababb2.系数规律：系数规律：nnnnnCCCC、 2103.指数规律：指数规律：（1）各项的次数均为各项的次数均为n；（2）字母字母a按降

8、幂排列按降幂排列,次数由次数由n递减到递减到0 字母字母b按升幂排列按升幂排列,次数由次数由0递增到递增到n1.项数规律：项数规律：展开式共有展开式共有n+1个项个项二项式定理二项式定理 )(Nn011()CCCCnnnrn rrnnnnnna+baababb二项式定理二项式定理 )(Nn4.二项式系数可写成组合数的形式二项式系数可写成组合数的形式, ,组合数的下组合数的下标为二项式的次数标为二项式的次数, ,组合数的上标由组合数的上标由0 0递增到递增到n n5. 展开式中的第展开式中的第 r + 1 r + 1 项，即通项项，即通项 T Tr+1r+1=_=_；rrn-rnC ab6. 二

9、项式系数为二项式系数为 _；rnC项的系数为项的系数为 二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积的展开式）写出（71. 1q 7)1 (q23456717213535217qqqqqqq=+ nx)1 ( 22xCnxCn11 nnnrrnxxCC nba)( 222bannCbaannnnCC110 nnnnrrnrnbbarCC11 012 23 34 45 56 67 777777777CC qC qC qC qC qC qC q+3.nab写写出出（） 的的展展开开式式的展开式）写出（nx1. 2课堂练习课堂练习特别地特别地: 1、把、把b用用- -b代替代替 (a-b)n=

10、Cnan-Cnan-1b+ +(-1)rCnan-rbr + +(-1)nCnbn01rn对定理的再认识对定理的再认识2、令、令a=1，b=xnnnrrnnnnxCxCxCxCx 2211)1 (3 3、在上式中，令、在上式中，令 x = 1 = 1，则有：，则有：0122 = C +C +C +C +Cnrnnnnnn4324)1()1(4)1(6)1(41)11 (xxxxx解解: :（1）.11260160240192643223xxxxxx6366) 12(1)12()12()2(xxxxxxnnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba( 例例1. 用二项式定理展开下列各

11、式：用二项式定理展开下列各式：64)12()2()11 () 1 (xxx.14641432xxxx例例2、求（求（x+a)12的展开式中的倒数第的展开式中的倒数第4项项7)3x( (1 1) )求求（1 1+ +2 2的的展展开开式式的的第第例例 、4 4项项的的系系数数931)xxx ( (2 2) )求求（的的展展开开式式中中的的系系数数和和中中间间项项解解:12()13,xa的展开式有项 倒数第4项是它的第10项.912 99399 112220.TC xax a解解:37 3333 17(1)1(2 )280TCxx第四项系数为第四项系数为280.99 21991(2)()( 1).

12、rrrrrrrTC xC xx 339923,84.rxC 3由得r=3.故的系数为(-1)49 4459 554 195 195,11126()126(). TC xxTC xxxx中间两项是第 项和第6项，nnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba ( 例例4.求近似值（精确到求近似值（精确到0.001）（1） (1.002)6 ；（；（2）(0.997)3 （3）今天星期三，再过）今天星期三，再过22001天是星期几？天是星期几？分析：（分析：（1） (1.002)6=（1+0.002)6 （2） (0.997)3=(1-0.003)3 （3）22001=（7+1）667

13、类似这样的近似计算转化为二项式定理类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式，按精确度展开到一定项求展开式，按精确度展开到一定项. .61.23xy求求（）的的展展开开式式的的第第三三项项6 2224232 16232160TTCxyx y解解：由由二二项项式式展展开开式式的的通通项项知知62.32yx求求（） 的的展展开开式式的的第第三三项项6 2224232 16324860TTCyxy x解解：由由二二项项式式展展开开式式的的通通项项知知63.23ab求求（） 的的展展开开式式的的第第三三项项的的二二项项式式系系数数 2422626123216032babaCTT 通项知通项知解：由二项

14、式展开式的解：由二项式展开式的2160,15,26数数为为而而展展开开式式的的第第三三项项的的系系第第三三项项的的二二项项式式系系数数为为展展开开式式的的由由二二项项式式系系数数定定义义知知 C课堂练习课堂练习4.(1)(1)求求 的展开式常数项的展开式常数项 93()3xx1999219931( )()( )333rrrrrrrrrxTCCxx 06.rr1由9-r-得269 66791( )322683TC解解:(2) (2) 求展开式的中间两项求展开式的中间两项 解解:展开式共有展开式共有10项项,中间两项是第中间两项是第5、6项。项。49 44354 193( )()423xTTCxx

15、359 55265 193()()423xTTCxx思考：思考： 化简：化简： 12Cn+4Cn8Cn+2n Cn123n1- -2Cn+4Cn- -8Cn+（- 2)n Cn123n例例5 5 求求 展开式中的有理项展开式中的有理项93xx解:1132919( ) ()rrrrTC xx2769( 1)rrrC x 令令273466rrZZ即(0,19)r 39rr或3344492734( 1)846rrTC xx 99331092793( 1)6rrTC xx 原式的有理项为原式的有理项为: :4484Tx310 xT16210:nxxx已已知知展展开开式式中中第第五五项项的的系系例例数数

16、与与第第三三项项的的系系数数比比是是，求求展展开开式式中中含含、的的项项1244444252()()2nnnnTCxC xx分分 析析 ：262232nnxCT（舍）或解得化简得：由题意得：380245,1102222244nnnnCCnn112x011222112122nnnnnnnnnCCCC原式(1 2)3nn例例7 7 计算并求值计算并求值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解解(1):(1):将原式变形将原式变形例例7 7 计算并求值计算并求值12(1)1242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)1

17、0(1)xxxx5(1)x解解:(2):(2)原式原式055(1)C x145(1)C x235(1)C x325(1)C x45(1)C x55C55C5(1) 11x51x例例8:8:求求 的展开式中的展开式中 项的系数项的系数. .65(1) (21)xx6x解解62666()rrrrCxC x6(1)x 的通项是的通项是55555(2 )( 1)( 1) 2sssssssCxCx5(21)x 的通项是的通项是1622556( 1) 2rssrssC Cx 65(1) (21)xx的通项是的通项是65(1) (21)xx由题意知16226rs 24(06,05)rsrs02rs21rs4

18、0rs解得所以所以 的系数为的系数为: :6x3206252) 1(CC426152) 1(CC5046052) 1(CC640 注意：注意：对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算项之积比较方便运算例例9 9192除以除以100的余数是的余数是929209219191929292929291(901)909090CCCC分分析析：由此可见，除后两项外均能被由此可见，除后两项外均能被100整除整除811008282819092929192CC所以 9192除以100的余数是8122*89()643nnnN 能被整除。求习：证：练整除

19、性问题，余数问题，主要根据二项式整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项除的结构，展开后观察前几项或后几项, ,再再分析整除性或余数。这是解此类问题的最分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数常用技巧。余数要为正整数22*89()643nnnN 能被整除。求习：证：练2211389989(8 1)89nnnnnn01112111111011211110112111188888964(88)8(1) 1 8964(88)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCn

20、CCCnnMMCCC 记M为整数6464M能被整除.，1、已知、已知 的展开式中的展开式中x3的系数的系数 为为 ，则常数，则常数a的值是的值是_ 92xxa942、在、在(1-x3)(1+x)10的展开式中的展开式中x5的系数是（）的系数是（） A.-297 B.-252 C. 297 D. 2073、(x+y+z)9中含中含x4y2z3的项的系数是的项的系数是_课堂练习课堂练习4 4、已知、已知(1+)n展开式中含展开式中含x x-2-2的项的系数为的项的系数为1212，求，求n.n.5 5、已知（、已知（10+x10+xlgxlgx）5 5的展开式中第的展开式中第4 4项为项为10106

21、 6，求，求x x的值的值. .x2 6、 若若 展开式中前三项系数成等差展开式中前三项系数成等差 数列，求数列，求（1）展开式中含）展开式中含x的一次幂的项；的一次幂的项； （2）展开式中所有展开式中所有x 的有理项；的有理项；42 xn1( x+)1.3.1 1.3.1 二项式定理二项式定理(2)(2)1.1.二项式定理：二项式定理：011()nnnrn rrn nnnnna bC aC abC abC b 2.2.通项规律：通项规律：1,(0,1,2,)rn rrrnTC abrn 3.3.二项式系数：二项式系数：rnC第第( (r+1)+1)项项 运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一

22、些式运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一些式子子, ,从而能解决些问题从而能解决些问题. .这节课我们来做一些练习这节课我们来做一些练习. .4.4.特殊地：特殊地：12211nrrnnnnnnxC x C xC xC x （）012(11)nnnnnnCCCC 2n 注注: :项的系数与二项式系数是两个不同的概念项的系数与二项式系数是两个不同的概念令以令以x=1=1得得已知已知求求:(1):(1) ； (2) (2) ； (3) (3) ; ; (4) (4)7270127(12 )xaa xa xa x 127aaa 1357aaaa 017|aaa 0246aaaa （一）赋值法的应用

23、（一）赋值法的应用: :73110932 1094 2187分析分析: :取通项来分析取通项来分析, , 10211013rrrrTCxx 常数项即常数项即 项项.0 x（二）求特定项（二）求特定项: :解：根据二项式定理，取解：根据二项式定理，取a3 3x2 2，b1x的通项公式是的通项公式是2101(3)xx 的展开式中第的展开式中第9 9项为常数项。项为常数项。2101(3)xx 520102102110101313rrrrrrrrTCxCxx 由题意可知，由题意可知，520082rr故存在常数项且为第故存在常数项且为第9项，项，常数项常数项 8810 8091013405TCx 常数项

24、即常数项即 项项.0 x 求求(x 2)10 （x 21）展开式中含）展开式中含 x 10 项项的系数为的系数为. (高考题高考题) 179能力训练能力训练5: 在在(x2 + 3x + 2)5 的展开式中的展开式中, x的系数为多少？的系数为多少？240能力训练能力训练5 : (x2+3x+2)5展开式中展开式中x的系数为的系数为_. 方法方法1 (x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5 2403244C5,xx3)2x(51C442 其其系系数数为为的的项项才才存存在在在在展展开开式式中中只只有有方法方法2 (x2+3x+2)5=x(x+3)+25 2402351C,x2)3x( x51

25、C44 其其系系数数为为的的项项才才存存在在在在展展开开式式中中只只有有方法方法3 (x2+3x+2)5=x2+(3x+2)5 2402351C,x)2x3(50C45 其其系系数数为为的的项项才才存存在在在在展展开开式式中中只只有有方法方法4 (x2+3x+2)5= (x+1)5 (x+2)5 ，.妙妙! !(5)二项式定理简单应用二项式定理简单应用.(1)二项式定理：二项式定理： (2)二项展开式的通项二项展开式的通项: (注意，它是注意，它是第第k+1项项)(3)(3)区别区别二项式系数二项式系数，项的系数项的系数(4)(4)掌握用掌握用通项公式通项公式求二项式系数，项的系数及项求二项式

26、系数，项的系数及项011()nnnknkknnnnnnabC aC abC abC b ()nN 1kn kkknTC ab 2.求求(1 + x + x2)(1x)10展开式中含展开式中含 x 项的系数项的系数3.3.求求(1+(1+x)+(1+)+(1+x) )2 2+ +(1+(1+x) )1010展开式中展开式中x3 3的系数的系数4. 9192除以除以100的余数是的余数是.5.若若( x + 1 )n = x n + ax3 + bx2 +1(nN*)， 且且 a : b=3 : 1 ，那么，那么 n =_ （95上海高考）上海高考） 4. 9192除以除以100的余数是的余数是9

27、29209219191929292929291(901)909090CCCC 分分析析：由此可见，除后两项外均能被由此可见，除后两项外均能被100整除整除9192929290828182 10081CC 所以所以 9192除以除以100的余数是的余数是815.若若( x + 1 )n = x n + ax3 + bx2 +1（nN*），）， 且且 a : b=3 : 1 ，那么，那么 n =_3232.:3:1:3:1.11.nnnnaCbCa bCCn解：由题意，知：，又 ，解得6.6.试判断在试判断在 的展开式中有的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由没有，说明理由. .8312xx 解：设展开式中的第解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：项为常数项，则： 8824 43188311122rrrrrrrrxTCCxx 由题意可知，由题意可知，244063rr 故存在常数项且为第故存在常数项且为第7项，项，常数项常数项 8 6660781172TCx 常数项即常数项即 项项.0 x